JP2005297025A - タンデム圧延装置のチャタリング予測方法及び制御方法 - Google Patents

Abstract

【課題】タンデム圧延装置におけるチャタリング発生を予測し、その予測に基づきタンデム圧延装置を制御する。
【解決手段】圧延材５を複数の圧延機Ｆ（ｉ）で連続的に圧延するタンデム圧延装置１で、各圧延機Ｆ（ｉ）に備えられたワークロール３，３の上下振動と、圧延中の圧延材５の内部を伝播する張力振動とを考慮した圧延機Ｆ（ｉ）の自励振動モデルを作成し、この自励振動モデルを用いて、圧延機Ｆ（ｉ）でのチャタリングの発生の有無を予測する。
【選択図】図１

Description

本発明は、タンデム圧延装置におけるチャタリング予測方法と、当該チャタリング予測方法を用いて、チャタリングが発生しないようにタンデム圧延装置を制御する制御方法に関するものである。

従来から、タンデム圧延装置において、圧延速度を上げて行くと、最終圧延機や上流側の圧延機で自励振動が発生し、この振動を原因として板厚不良や圧延材破断などの圧延トラブルが発生することが知られている。この現象はチャタリング（圧延機の自励振動）といわれるものであって、特に、冷間の薄板圧延で顕著に発生していた。チャタリングの振動周波数は約１００Ｈｚ〜７００Ｈｚ程度であり、圧延機の固有振動数に近い値を示す。
チャタリング現象は、圧延機の固有振動数、圧延潤滑状態、圧延材張力や圧延速度などの圧延条件が関わっていることが知られており、特に、圧延速度とは強い相関を持つため、チャタリングが起こった際には、現場での対応として、圧延速度を下げたりすることでチャタリング現象を回避していた。しかしながら、圧延速度の低下により、生産性が低下するなどの他の問題が起こっていた。

このようなチャタリング現象を回避する技術としては、例えば、特許文献１〜特許文献３、非特許文献１があった。
特許文献１には、タンデム圧延装置による冷間圧延において、高速圧延時のワークロールでの潤滑油膜厚さを算出して、この潤滑油膜厚さが設定された下限を越える場合にチャタリングが発生すると考え、かかる下限値を越えないように潤滑油を供給する技術が開示されている。
特許文献２には、タンデム圧延装置による冷間圧延において、最終圧延機に隣接する上流側の圧延機の摩擦係数に基づいて、最終圧延機の摩擦係数の目標範囲を設定し、この目標範囲を満たすように、最終圧延機又は上流側圧延機の潤滑条件を変更する技術が開示されている。

特許文献３には、タンデム圧延装置による冷間圧延において、先進率が負になるとチャタリングが発生しやすいとの知見から、各圧延機の先進率が負にならないように圧下率配分や張力、圧延速度を制御する技術が開示されている。
一方、非特許文献１には、チャタリングの発生メカニズムを考慮した上で自励振動モデル（チャタリング発生モデル）を構築することが記載されている。この自励振動モデルは、圧延機のワークロールの上下振動に加えて、水平振動がチャタリングに大きく寄与しているとし、チャタリング発生のメカニズムのモデル化を図っている。
特開平０９−２３９４３０号公報（第３頁〜第９頁、図１） 特開２０００−９４０２４号公報（第２頁〜第７頁、図１、図２） 特開平０３−１５１１０７号公報（第１頁〜第３頁、図４） 石野ら、「圧延機チャタリングの振動解析」、日本機械学会論文集（Ｃ編）、（社）日本機械学会、２００３年１１月、６９巻６８７号、ＰＰ１３５〜１４２

しかしながら、特許文献１〜特許文献３のいずれも、実績データから得たれた推定式を用いてチャタリング防止の対応を行うものであって、チャタリング発生のメカニズムを明らかにした上で、その防止措置を講じてはいない。ゆえに、異なった条件下でのチャタリング発生に対応できる技術とはなっていない。
また、非特許文献１に記載された自励振動モデルは、チャタリング発生のメカニズムを論理的に考察した上で構築されているものの、圧延材に作用する張力は一定と仮定し、単独の圧延機に発生するチャタリングに着目したものとなっている。従って、前記自励振動モデルは、各圧延機が相互に影響しあって振動が発生・増長すること、換言すればタンデム圧延装置全体での振動の挙動を反映しているとは言い難い。

そこで、本発明は、上記問題点を鑑み、タンデム圧延装置全体を考慮した自励振動モデルを構築した上で、かかるモデルを用いたチャタリング予測方法提供すると共に、当該チャタリング予測方法を用いて、チャタリングが発生しないようにタンデム圧延装置を制御する制御方法を提供することを目的とする。

前記目的を達成するため、本発明においては以下の技術的手段を講じた。
本願出願人は、チャタリングの発生状況を詳細に観察・研究した結果、図１に示す如く、タンデム圧延装置において、ある圧延機で自励振動が発生した場合、それらが圧延材中を伝播する張力振動として隣接する圧延機に伝播し、ついにはタンデム圧延装置全体としてチャタリングが発生することを明らかにした。すなわち、チャタリングの原因として、各圧延機におけるワークロールの上下振動と、その上下振動を隣接する圧延機に伝播させる圧延材中の張力振動との２つが重要であるとの見解に達した。

そこで、本願発明人は、タンデム圧延装置のチャタリング予測方法における課題解決のための技術的手段を、圧延材を複数の圧延機で連続的に圧延するタンデム圧延装置で、各圧延機に備えられたワークロールの上下振動と、圧延中の圧延材の内部を伝播する張力振動とを考慮した圧延機の自励振動モデルを作成し、この自励振動モデルを用いて、圧延機でのチャタリングの発生の有無を予測することとしている。
この技術的手段によれば、自励振動モデルを用いることで、様々な条件下でのチャタリング発生の有無を予測することが可能となる。

前記自励振動モデルを構築するにあたり、まず、本願出願人は、ワークロールの上下振動に関与するものとして、圧延荷重の変動に起因する振動と、圧延機内に存する流体の粘性に起因する上下方向の振動と、圧延機全体の剛性による上下方向の撓み振動とを考えた。
さらに、ある圧延機のワークロールが上下に振動し始めて、そのロールギャップが狭くなった場合、当該ロールギャップの通過抵抗が大きくなって、圧延材の移送速度が遅くなり結果として圧延材中の張力が減少するようになる。逆に、ロールギャップが広くなった場合は、圧延材の移送速度が速くなりその結果として圧延材中の張力が増大するようになる。このような現象の考察から、ワークロールの上下振動は、圧延材の張力振動を引き起こし、それが隣接する圧延機に影響を及ぼし、振動がタンデム圧延装置全体に波及すると考えるに至った。

以上のことを鑑み、本願出願人は、前記自励振動モデルを、 圧延荷重の変動、圧延機内に存する流体の粘性、圧延機全体の弾性の少なくとも１つがワークロールの上下振動に寄与するとしたワークロール運動方程式と、隣り合う圧延機間での圧延板の移送速度変化が張力振動を発生するとした張力振動方程式と、を各圧延機毎に設定し、前記ワークロールの上下振動と張力振動とが同一周波数で発生するとして、前記ワークロール運動方程式及び張力振動方程式から特性方程式を導出し、この特性方程式をもって構成している。
各圧延機におけるワークロール運動方程式と張力振動方程式とを解くにあたり、両者が同一周波数の振動解を持つと仮定し特性方程式を導出しているが、ワークロールの上下振動が張力振動で他の圧延機に伝播するという状況下においては、ワークロールの上下振動と張力振動との周波数が異なるとは考えにくく、同一周波数振動という仮定は妥当である。

前記仮定により、数学的手法を用いて特性方程式を導出でき、当該特性方程式をもって自励振動モデルを構築することが可能となる。
特性方程式から、チャタリング発生を予測するにあたっては、特性方程式の複素数解の実部がプラスの場合に、チャタリングが発生すると判定するようにするとよい。
これは、特性方程式の解として振動解を仮定しているため、その解が複素数である場合には、かかる複素数解の実部の符号を見ることにより、振動が発散する（自励振動となる）かどうかが、数学的にすでに自明な事柄だからである。

これら数学的見知の基に、特性方程式の複素数解の実部にのみ着目することで、チャタリング発生を知ることができるようになる。
一方、タンデム圧延装置の最適制御方法における課題解決のための技術的手段は、前記自励振動モデルを用いて、チャタリング発生を防止可能とする各圧延機での圧延制御量を算出し、これに基づいて各圧延機を制御することを特徴とする。
この技術的手段によれば、様々な条件下のタンデム圧延装置において、自励振動モデルを用いて理論的にチャタリングの発生を防止することが可能となる。

なお、好ましくは、前記自励振動モデルの複素数解の実部がマイナスとなるように、各圧延機での圧延制御量を算出し、これを基に各圧延機を制御するとよい。
これによれば、特性方程式の複素数解の実部にのみ着目し、タンデム圧延装置を制御することができるようになる。
さらに好ましくは、前記自励振動モデルの複素数解の実部を圧延制御量で変分し、この変分値がプラスの場合は、当該変分値が減少するように各圧延機の圧延制御量を変化させ、前記変分値がマイナスの場合は、当該変分値が増加するように各圧延機の圧延制御量を変化させるとよい。

これによれば、最適制御理論で用いられる変分法の考えを用い、より簡単且つリアルタイムにタンデム圧延装置を制御することが可能となる。
なお、前記圧延制御量は、圧延材張力及び板厚であるとよい。

本発明によれば、タンデム圧延装置全体を考慮した自励振動モデルにより、タンデム圧延装置のチャタリング発生を正確に予測できるようになると共に、この自励振動モデルを用いて、チャタリングが発生しないようにタンデム圧延装置を制御することが可能となる。

以下、本発明にかかるタンデム圧延装置のチャタリング予測方法及び制御方法を、薄板の冷間圧延を行うタンデム圧延装置を例示して説明する。
図２、図３には、冷間薄板圧延用のタンデム圧延装置１が模式的に示されている。
本タンデム圧延装置１に備えられている各圧延機Ｆ（ｉ）は、一対のワークロール３，３とそれをバックアップする一対のバックアップロール４，４とを有している。圧延材５は下流側（ｉ−１側）から上流側（ｉ＋１側）へ圧延されつつ移送される。
各圧延機Ｆ（ｉ）には、入側の圧延材５の板厚を計測する入側板厚計６や、出側板厚を計測する出側板厚計７が備えられ、入側張力を計る入側張力計８や出側張力を計測する出側張力計９も設けられている。加えて、出側の圧延材の速度（板速度）を計測する板速計１０や圧延荷重を計測する圧延荷重計１１も備えられている。

さらに、前記各計測計６，７，８，９，１０，１１で計られた圧延機Ｆ（ｉ）の圧延制御量が入力されて、後述する制御方法に従ってチャタリングが発生しない圧延制御量を算出し、その圧延制御量で圧延機Ｆ（ｉ）を制御する制御手段１２を備えている。
このタンデム圧延装置１において、当該装置１におけるチャタリング予測方法及びその制御方法を実施しており、以下、その予測方法及び制御方法を説明する。
まず、タンデム圧延装置１でチャタリングが発生するか否かを判定するために用いる自励振動モデルについて述べる。
［自励振動モデル］
本願出願人は、チャタリングの発生状況を詳細に観察、研究した結果、図１に示す如く、ある圧延機Ｆ（ｉ）で自励振動（図中のＡ）が発生した場合、それらが圧延材５中を伝播する張力振動として、隣接する圧延機Ｆ（ｉ＋１）、Ｆ（ｉ−１）に伝播し（図中のＢ）、ついにはタンデム圧延装置１全体としてチャタリングが発生することを明らかにした。このことから、チャタリングの原因として、各圧延機Ｆ（ｉ）におけるワークロール３，３の上下振動と、その上下振動を隣接する圧延機Ｆ（ｉ＋１）、Ｆ（ｉ−１）に伝播させる圧延材５中の張力振動との２つが重要であるとの見解に達した。

換言すれば、圧延材５を複数の圧延機Ｆ（ｉ）で連続的に圧延するタンデム圧延装置１で、各圧延機Ｆ（ｉ）に備えられたワークロール３，３の上下振動と、圧延中の圧延材５の内部を伝播する張力振動とを考慮した圧延機の自励振動モデルを作成した。
図４には、かかる考えに基づく自励振動モデルの導出過程を示している。
まず、各圧延機Ｆ（ｉ）でのワークロール３の運動方程式と、隣接する圧延機Ｆ（ｉ），Ｆ（ｉ＋１）間における張力振動方程式を設定する。これらの動的方程式に、圧延荷重の変動等を示す静的方程式を組み合わせることで、タンデム圧延装置１全体の圧延状態を示す式を導出する。

この圧延状態を示す式において、振動解をΔｘ＝ｅｘｐ（ωｔ）、Δσ＝ｅｘｐ（ωｔ）、ωは複素数と仮定し、特性方程式を導出する（特性方程式については、例えば、「小川枝郎著，応用数学概論，１９８０年，培風館」等を参照）。このようにして導出された特性方程式が自励振動モデルとなる。
以下、自励振動モデルの導出について詳しく説明する。
まず、モデルに用いる変数は次の通りである。なお、変数はｉ番目の圧延機Ｆ（ｉ）（ｉスタンド）に関するものを示している。

・入力張力：σ⁽ⁱ⁾ _in
・出側張力：σ⁽ⁱ⁾ _out
・入側板厚：ｈ⁽ⁱ⁾ _in
・出側板厚：ｈ⁽ⁱ⁾ _out
・入側板速度：Ｖ⁽ⁱ⁾ _in
・出側板速度：Ｖ⁽ⁱ⁾ _out
・ワークロール速度：Ｖｒ_(i)
・ワークロール扁平変形係数：Ｋ⁽ⁱ⁾
・圧延機Ｆ（ｉ）の見かけの質量（ミルのマス係数）：ｍ⁽ⁱ⁾
・ワークロールやバックアップロールのダンピング係数：λ⁽ⁱ⁾
・圧延機Ｆ（ｉ）のミル定数：Ｍ⁽ⁱ⁾
・圧延材の板幅：Ｗ
・隣接するスタンド間の距離：Ｌ
・縦波音速：Ｖｓ
・次スタンドへの張力伝達遅れ：τ₀＝Ｌ／Ｖｓ＝１．０×１０^-4
・次スタンドへの板厚伝達遅れ：τ₁＝Ｌ／Ｖ⁽ⁱ⁾ _out＝１．０×１０^-2〜５．０×１０^-3

次に、静的方程式を考える。

まず、荷重変動ΔＰの静的方程式は、式（１）で表される。

上側ワークロール３の変位をΔｘとした場合、ワークロール３，３の変位の静的方程式は、式（２）で表される。

圧延機Ｆ（ｉ）における先進率ｆｓの変動Δｆｓは、式（３）で表される。

次に、動的方程式として、圧延機Ｆ（ｉ）に設けられたワークロール３の運動方程式を考える。
ワークロール運動方程式は、圧延荷重の変動、圧延機内に存する流体の粘性、圧延機Ｆ（ｉ）全体の弾性の少なくとも１つがワークロール３の上下振動に寄与すると考えたもので、式（４）に示すようになる。
すなわち、ワークロール３の上下振動の原因としては、まず、圧延荷重Ｐ⁽ⁱ⁾の変動が考えられる。加えて、ミル定数Ｍ⁽ⁱ⁾で表される圧延機Ｆ（ｉ）全体の弾性が関与すると考える。

さらに、圧延機Ｆ（ｉ）内に存する流体の粘性は、ワークロール３の見かけのダンピング係数λ⁽ⁱ⁾として表現され、ワークロール３の上下振動に寄与するものとする。
圧延機Ｆ（ｉ）内のワークロール３やバックアップロール４はベアリング構造で圧延機本体に支持されているが、かかるベアリング構造内には潤滑のための油膜（流体）があり、この油膜の粘性に起因する上下方向の流体振動が発生したりする。また、ワークロール３やバックアップロール４はそれぞれが流体シリンダ等により支持されている場合は、当該流体シリンダ内の流体の粘性に起因する上下振動が発生したりする。これらの振動が、前記ダンピング係数λ⁽ⁱ⁾を介してワークロール運動方程式に反映されるようになる。

一方、張力振動方程式は、隣り合う圧延機Ｆ（ｉ）間での圧延板の移送速度変化が、張力振動を発生するとしたもので、式（５）のようになる。

張力振動は、圧延材５の中を縦波で且つ音速のスピードで伝播するため、その速度だけ、振動の伝播に時間遅れが発生する。この遅れ分は式（６）で表現される。加えて、圧延材５自体は式（７）で示されるごとく、次スタンドに対して遅れることになる（むだ時間）。

式（４）に式（１）を代入することで、式（８）が得られる。

この式（８）へ式（２）を代入することで、式（９）を得ることができる。

式（９）の関係は、各圧延機Ｆ（ｉ）で成立するものであるため、タンデム圧延装置１全体では、式（１０）のようになる。

一方、式（７）に式（２）を代入すると、式（１１）のようになる。

式（１１）を式（１０）へ代入すると、式（１２）が導かれる。

このようにして導かれた式（１２）に式（６）を代入すると、式（１３）が得られる。

さらに、式（５）に、式（２），式（６），式（１１）を代入すると、式（１４）が得られる。

式（１３），式（１４）は、ΔｘとΔσ_outの連立方程式となっており、以下のように表記することができる。

前記連立偏微分方程式（式（１５））を解くにあたり、式（１６）に示すように、ワークロール３，３の上下振動と張力振動とが同一周波数で発生すると仮定する。

ある圧延機Ｆ（ｉ）で発生したワークロール上下振動は圧延材５の中を張力振動として伝播し、隣接する圧延機Ｆ（ｉ＋１），Ｆ（ｉ−１）へ振動を伝播することになるが、この状況下でワークロール３，３の上下振動と張力振動とが異なるとは非常に考えにくく、両者が同一周波数とするという仮定は妥当なものである。
式（１６）の解のもとで、式（１５）の行列式（デターミナント）を考えると、式（１７）のようになる。

式（１７）を解くと、式（１８）のようになり、さらに具体的に計算を進めると、式（１９）を導くことができる。これは連立偏微分方程式（式（１５））の特性方程式である。

式（１９）の第２項目を右辺に移項し、両辺を二乗した上で計算を進めることで、式（２０）を導くことができる。

式（２０）をわかりやすいように整理したものが、式（２１）であり、これがタンデム圧延装置１の自励振動モデルである。

なお、圧延荷重Ｐおよび先進率ｆｓに対する偏微分計算をするにあたっては、適宜設定した荷重モデルおよび先進率モデルよりＰ，ｆｓを計算するようにしている。これら荷重モデルおよび先進率モデル中には、摩擦係数μを含んでいるが、摩擦係数は同定することで算出可能である。
［自励振動モデルを用いたチャタリング予測方法］
この自励振動モデルを用いて、チャタリングの発生状況をシミュレーションした結果を図５、図６に示す。

自励振動モデル（式（２１））は４次方程式であり、その解として、ω＝０の明白解と、実解１個と、複素数解２個とを有している。この複素数解の実部がダンピング項であって、プラスの場合は発散すなわち自励振動発生、マイナスの場合はダンピングすなわち振動減衰となる。また、複素数の虚部は振動項であって自励振動の周波数を決定する。
式（２１）の解を解析的に求めることは一般的に困難であるため、本実施形態の場合は、コンピュータ等を用いた数値解析により、複素数解の実部と虚部を求めるようにしている。前記コンピュータは、タンデム圧延装置１の制御手段１２として備えられているプロコン（プロセスコンピュータ）やワークステーションであってもよく、タンデム圧延装置１とは独立した、実験室等に設置されたワークステーションであってもよい。

まず、数値計算に当たり、各圧延機Ｆ（ｉ）の動特性として求まる圧延機の見かけの質量（ミルのマス係数）ｍ⁽ⁱ⁾、ワークロール３の見かけの弾性係数（ダンピング係数）λ⁽ⁱ⁾、圧延機Ｆ（ｉ）のミル定数Ｍ⁽ⁱ⁾を決定する必要がある。これらのパラメータは、圧延機Ｆ（ｉ）に対する強制振動実験より決定することが可能であるが、本実施形態ではチャタリングの周波数（約１００Hz）に一致するように各パラメータを決定した。
具体的には、チャタリングが発生した圧延材（圧延材コイル）の圧延速度、圧延荷重、板厚等の実測値とチャタリング周波数との測定を行い、これらの値を用いて、圧延速度の上昇と共に、自励振動モデルの複素数解の実部がプラスとなる速度とチャタリングの発生が一致するようにｍ⁽ⁱ⁾、λ⁽ⁱ⁾とを決定した。このように特定の圧延材で決定したｍ⁽ⁱ⁾とλ⁽ⁱ⁾とにより、他の圧延材でのチャタリング発生が予測できることは、本願出願人らの数々の実験から明らかとなっている。

図５において、横軸は圧延速度であり、縦軸は摩擦係数である。自励振動モデルの計算結果から、斜線部が発散領域（チャタリング発生領域）であって、白抜き部が減衰領域であることが判明した。すなわち、発散領域は、式（２１）の複素数解の実部がプラスの領域であり、減衰領域はマイナスの領域である。
なお、計算において、圧延速度、摩擦係数以外の圧延条件、すなわち板厚、圧下率、板張力等は、圧延機Ｆ（ｉ）を最高圧延速度で操業している時のものとしている。
図５からわかるように、チャタリングの発生すると考えられる発散領域は、高摩擦係数側と低摩擦係数側とに存在している。

実際の圧延では、圧延速度が上昇するに従い、ロールバイト内への導入油膜厚さが厚くなり潤滑性が向上する。図中の圧延実績で圧延速度に伴い摩擦係数が減少しているのはこのためである。
また、圧延速度とともに摩擦係数が低下するため、高速域では発散領域に掛かりつつあり、潤滑過多でチャタリングが発生している現状の操業実績と一致する。したがって、この図から、摩擦係数を上げることによりチャタリングが防止できることがわかる。
なお、低速側では摩擦係数の上限側に掛かっているが、実操業においてはチャタリング発生は認められていない。これは、自励振動のメカニズムとして何らかの外乱（自励振動と同じ周波数で外部から供給されるトリガー）が必要であり、低速部では圧延機Ｆ（ｉ）のモータ回転による周波数が十分に高くないため、外乱とは成り得ていないためであると推測される。

このように自励振動モデルを用いれば、過去の知見であるチャタリング発生に関する摩擦係数の上下限の存在が予測可能となる。また、このようにチャタリングの発生には摩擦係数の影響が大きいことも説明可能であり、本自励振動モデルがチャタリング発生状況を正確にシミュレートしていることがわかる。
そこで、本自励振動モデルを用いて、出側張力と摩擦係数による安定域の計算を行った結果を図６に示す。この図において、横軸が圧延機Ｆ（ｉ）の出側張力であり、縦軸が摩擦係数である。

図６から明らかなように、チャタリングが発生した実績（図中の×印）は、シミュレーション結果における発散領域に入っていることがわかる。逆に、圧延実績でチャタリングが生じなかった事例（図中の●印）は、減衰領域に入っていることもわかる。
これらの結果から、本自励振動モデルにより、チャタリング発生の限界が十分予測できていることがわかる。出側張力を変更することより、圧延状況を減衰領域に移行させることができて、チャタリングの防止が可能であることがわかる。
さらに、本シュミレーション結果から、低張力側でチャタリングが防止できる場合と、高張力側でチャタリングが防止できる場合の２パターンがあることが明らかになっている。
［自励振動モデルを用いた制御方法（１）］
次に、前述した自励振動モデルを用いて、タンデム圧延装置１でチャタリングを発生させないように制御を行う方法について説明する。

図７は、制御方法の第１実施形態を示すフローチャートである。
まず、各圧延機Ｆ（ｉ）において、ｍ⁽ⁱ⁾、λ⁽ⁱ⁾を予め圧延機Ｆ（ｉ）の振動特性実験等から求めておく。（Ｓ１ー１）
次に、予めわかっているミル定数Ｍ⁽ⁱ⁾、スタンド間距離Ｌ、板のヤング率Ｅおよびワークロール３の扁平係数Ｋを読み込むようにする。（Ｓ１−２）
その後、冷間での薄板タンデム圧延を開始する。（Ｓ１−３）
圧延開始後、圧延の実績値として、板速度Ｖ⁽ⁱ⁾とロール速度Ｖｒを測定し先進率ｆｓを求める。（Ｓ１−４）
さらに、各圧延機Ｆ（ｉ）の入側板厚ｈ_in，出側板厚ｈ_out，入側張力σ_in，出側張力σ_out，ロール半径Ｒから摩擦係数μを同定する。（Ｓ１−５）
この摩擦係数μ、入側板厚ｈ_in、出側板厚ｈ_out、入側張力σ_in、出側張力σ_outから圧延荷重式を用いて実績の圧延荷重Ｐ⁽ⁱ⁾に一致するように変形抵抗Ｋｐを求める。（Ｓ１−６）
このようにして求めた摩擦係数μと変形抵抗Ｋｐを、適宜設定した先進率モデルと圧延荷重モデルとに代入し、数値計算をすることで式（２１）のｐ，ｑ，ｒの値を求める。（Ｓ１−７、Ｓ１−８、Ｓ１−９）
最終的に、前記ｐ，ｑ，ｒの値から、式（２１）の解を求めて、複素数解の実部の符号を判断し、実部がプラスの場合はチャタリングが発生し、実部がマイナスの場合は安定（チャタリングなし）であるとする。（Ｓ１−１０，Ｓ１−１１）
チャタリングが発生した場合は、前記実部の値をマイナスにするように、圧延制御量を制御する。（Ｓ１−１２）
以上の処理は、図１、図２に示されている制御手段１２により行われており、制御手段１２は、圧延機Ｆ（ｉ）に接続されたプロコン又はプロコンに付属するワークステーションから構成されている。

かかる制御手段１２には、圧延荷重計１１、板速計１０、入側張力計８、出側張力計９、入側板厚計６、出側板厚計７からの出力信号が入力されるようになっている。これら入力値を基にして、プロコンやワークステーション内で前記Ｓ１−１〜Ｓ１−１２の処理を行い、計算結果に基づいて算出された圧延制御量を出力するようにしている。詳しくは、前記処理をサブルーチン化し、板厚ｈ_in、ｈ_out、張力σ_in、σ_out、ロール速度Ｖr、板速度Ｖ、圧延荷重Ｐ⁽ⁱ⁾を送ることにより、複素数解の実部を返すようになっている。
チャタリング発生の指標となる実部の値は、プロコンやワークステーションのモニタ画面に表示されるようになっており、オペレータはチャタリングが実際に発生する前に圧延条件が不安定になっているかどうかの判断を行うことが可能である。もし実部の値がマイナスであったりマイナスに変わる兆候が見られる際には、それに基づいて、圧延荷重やワークロールギャップを変更すると共に、ルーパ系を制御し、入側張力σ_in、出側張力σ_outを変更するとよい。

以上述べた処理は圧延中にリアルタイムで行われる。なお、本制御において、板厚や板速については、実測値が望ましいが、マスフロー板厚やゲージ板厚などのモデルによる推定値でも構わない。
［自励振動モデルを用いた最適制御方法（２）］
図８は、最適制御方法の第２実施形態を示すフローチャートである。
本実施形態は、Ｓ２−１〜Ｓ２−１０は、第１実施形態とＳ１−１〜Ｓ１−１０と略同一の処理工程となっている。

その後の工程、Ｓ２−１１〜Ｓ２−１４までが第１実施形態と大きく異なっており、自励振動モデルの複素数解の実部の変分を求め、その変分値に基づいて、圧延機Ｆ（ｉ）を制御するようにしている。
詳しくは、まず、複素数の実部Ｑを式（２２）のように関数表現が可能であると考える。

次に、式（２２）に変分法の考え方を導入して、Ｑの値が増加（マイナスからプラス側へ変化）した場合に、Ｑを減少させて圧延状態を安定域に止め置くようにする。Ｑを変分するための変数として、入側板厚ｈ_in、出側板厚ｈ_out、入側張力σ_in、出側張力σ_outを選択し、式（２２）を変分した式（２３）を考える。

式（２３）中のδＱ₁〜δＱ₄を数値的に算出し（Ｓ２−１１）、その絶対値の最も大きいものδＱ_(i)＝ｍａｘを選択する。δＱ_(i)＝ｍａｘの絶対値がプラスの値であるなら、δＱ_(i)が減少するように圧延制御量を制御する。（Ｓ２−１２、Ｓ２−１３）
逆に、δＱ_(i)＝ｍａｘの絶対値がマイナスであるなら、δＱ_(i)が増加するように圧延制御量を制御する。（Ｓ２−１２、Ｓ２−１４）
このようにすることで、Ｑの値はほぼ一定の値に留め置かれるようになり、チャタリングが発生せず安定な圧延状態が保持されるようになる。

なお、本実施形態の方法でタンデム圧延装置１を制御した場合には、圧延制御量を変化させることにより、圧延材５の板厚変動が生じるようになる。この際、圧延制御量を変更した圧延機Ｆ（ｉ）の前段又は後段側の圧延機Ｆ（ｉ−１）又はＦ（ｉ＋１）を適宜制御して、最終的な出側板厚が変化しないように制御するとよい。これら板厚の制御は、圧延機の板厚制御機能として既存の技術を採用するとよい。
なお、本発明は、上記実施の形態に限定されるものではない。
すなわち、本発明にかかる技術は、チャタリングを発生する可能性があり、且つその発生を制御する必要のある圧延装置に適用可能である。圧延材５が厚板であっても、熱間圧延であっても問題はない。

チャタリング発生状況を示す図である。 タンデム圧延装置の概略図である。 制御手段を示す図である。 自励振動モデルの導出過程を示すフローチャートである。 自励振動モデルのシミュレーション結果である。 自励振動モデルのシミュレーション結果である。 タンデム圧延装置の制御手順を示すフローチャートである。 タンデム圧延装置の制御手順を示すフローチャートである。

符号の説明

１ タンデム圧延装置
３ ワークロール
４ バックアップロール
１２ 制御手段
Ｆ（ｉ） 圧延機（ｉ番目）

Claims (7)

1. 圧延材を複数の圧延機で連続的に圧延するタンデム圧延装置で、
   各圧延機に備えられたワークロールの上下振動と、圧延中の圧延材の内部を伝播する張力振動とを考慮した圧延機の自励振動モデルを作成し、
   この自励振動モデルを用いて、圧延機でのチャタリングの発生の有無を予測することを特徴とするタンデム圧延装置のチャタリング予測方法。
2. 前記自励振動モデルは、圧延荷重の変動、圧延機内に存する流体の粘性、圧延機全体の弾性の少なくとも１つがワークロールの上下振動に寄与するとしたワークロール運動方程式と、隣り合う圧延機間での圧延板の移送速度変化が張力振動を発生するとした張力振動方程式と、を各圧延機毎に設定し、
   前記ワークロールの上下振動と張力振動とが同一周波数で発生するとして、前記ワークロール運動方程式及び張力振動方程式から特性方程式を導出してなることを特徴とする請求項１に記載のタンデム圧延装置のチャタリング予測方法。
3. 前記特性方程式の複素数解の実部がプラスの場合に、チャタリングが発生すると判定することを特徴とする請求項２に記載のタンデム圧延装置のチャタリング予測方法。
4. 前記請求項１〜３のいずれかに記載された自励振動モデルを用いて、チャタリング発生を防止可能とする各圧延機での圧延制御量を算出し、これに基づいて各圧延機を制御することを特徴とするタンデム圧延装置の制御方法。
5. 前記自励振動モデルの複素数解の実部がマイナスとなるように、各圧延機での圧延制御量を算出し、これを基に各圧延機を制御することを特徴とする請求項４に記載のタンデム圧延装置の制御方法。
6. 前記自励振動モデルの複素数解の実部を圧延制御量で変分し、この変分値がプラスの場合は、当該変分値が減少するように各圧延機の圧延制御量を変化させ、
   前記変分値がマイナスの場合は、当該変分値が増加するように各圧延機の圧延制御量を変化させることを特徴とする請求項４に記載のタンデム圧延装置の制御方法。
7. 前記圧延制御量は、圧延材張力及び板厚であることを特徴とする請求項４〜６のいずれかに記載のタンデム圧延装置の制御方法。