JP7629802B2 - Curve generating device and curve generating program - Google Patents
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Description
本発明は、曲線生成装置および曲線生成用プログラムに関し、特に、意匠デザイン分野で求められる曲率変化の滑らかな曲線を生成するための曲線生成装置および曲線生成用プログラムに用いて好適なものである。 The present invention relates to a curve generation device and a curve generation program, and is particularly suitable for use in a curve generation device and a curve generation program for generating curves with smooth curvature changes required in the field of design.
一般の製品設計では、ＣＡＤ（Computer Aided Design）により、製品の形状データが製作される。その方法の１つとして、リバースエンジニアリング技術を活用し、モデルとなる物体の測定データからその曲線／曲面の形状を再構築する方法が注目されている。例えば、自動車メーカでは、デザイナのアイデアをクレイモデルで具現化し、その測定データからＣＡＤデータが製作されている。 In general product design, product shape data is created using CAD (Computer Aided Design). One method that has attracted attention is the use of reverse engineering technology to reconstruct the shape of curves and surfaces from measurement data of the model object. For example, automobile manufacturers embody the designer's ideas in clay models, and then create CAD data from the measurement data.
測定データからＣＡＤで曲線を再構築する場合、(i)生成する曲線は指定されたトレランス以内で測定データを十分に近似できていること、(ii)生成する曲線はその曲率変化が滑らかであること、の２点が要求される。特に、(ii)において、曲率単調性の条件の取り扱いが重要となる。事実、特徴線またはキャラクタ線と呼ばれる意匠デザイン上の重要な曲線は、部分的に曲率単調であっても全域にわたって曲率単調とは限らない。そこで、１本の曲線を複数のセグメントに分割し、分割したセグメントごとに曲率単調性の条件を満足するように曲線を生成する方法が提案されている（例えば、特許文献１，２参照）。 When reconstructing a curve from measured data using CAD, two requirements are met: (i) the generated curve must adequately approximate the measured data within a specified tolerance, and (ii) the generated curve must have a smooth change in curvature. In particular, in (ii), it is important to handle the condition of curvature monotonicity. In fact, important curves in design, known as feature lines or character lines, may have curvature monotonicity in parts, but not necessarily over the entire area. Therefore, a method has been proposed in which a curve is divided into multiple segments and a curve is generated so that the condition of curvature monotonicity is satisfied for each divided segment (see, for example, Patent Documents 1 and 2).
特許文献１に記載の曲線生成装置では、接続すべき曲線セグメントの両端点のうち接続すべき端点を頂点とし、この端点を通る接線方向をｘ軸とする放物線を端点に表示する。そして、放物線の形状を決めるパラメータの制御により、端点に対して接線連続する曲線を放物線の一部分から生成する。 In the curve generation device described in Patent Document 1, the end point to be connected between the two end points of the curve segments to be connected is set as a vertex, and a parabola is displayed at the end point with the tangent direction passing through this end point as the x-axis. Then, by controlling the parameters that determine the shape of the parabola, a curve that is tangent to the end point is generated from a portion of the parabola.
しかしながら、この方法で放物線を決定するには、始点位置、終点位置、接線方向への伸縮および法線方向への伸縮の４つのパラメータが必要で、さらに、曲線セグメント間を曲率連続にするには、セグメント間で曲率半径が連続となるように放物線のパラメータを適切に調整する必要がある。つまり、全体として曲率変化が滑らかな曲線を生成するためには、複数のパラメータの調整が必要となるが、それには試行錯誤を伴うため、所望の曲線は容易には得られない。 However, to determine a parabola using this method, four parameters are required: the start position, the end position, and stretch in the tangential and normal directions. Furthermore, to achieve curvature continuity between curve segments, the parameters of the parabola must be appropriately adjusted so that the radius of curvature is continuous between segments. In other words, to generate a curve with smooth overall curvature changes, multiple parameters must be adjusted, but this requires trial and error, and the desired curve is not easily obtained.
特許文献２に記載のＣＡＤシステムでは、入力で与えられた曲線データを複数のセグメントに分割し、各セグメントの曲率半径または曲率のべき乗が該セグメントの弧長パラメータの１次式で表されるように、分割されたセグメント毎に美的曲線を生成する。さらに、隣接するセグメントが曲率連続になるようするため、接続点での互いのセグメント端における曲率値の差が所定の閾値以下になるように、各セグメントを変形する。 In the CAD system described in Patent Document 2, input curve data is divided into multiple segments, and an aesthetic curve is generated for each divided segment so that the radius of curvature or the power of curvature of each segment is expressed as a linear expression of the arc length parameter of the segment. Furthermore, to make adjacent segments curvature continuous, each segment is deformed so that the difference in curvature value at each segment end at the connection point is equal to or less than a predetermined threshold.
特許文献２の記載によれば、分割した個々のセグメントに対して、それぞれの曲率半径または曲率のべき乗に関する条件を満たすように美的曲線を生成できる。しかしながら、個々の当該曲線を生成した後、セグメント間の曲率連続を実現させようと接続部分を強引に調整する結果、最終的に生成される曲線は、美的曲線ではなくなってしまっている。 According to the description in Patent Document 2, aesthetic curves can be generated for each divided segment so as to satisfy conditions related to the radius of curvature or the power of curvature. However, after generating each of the curves, the connecting parts are forcibly adjusted in an attempt to achieve curvature continuity between the segments, and as a result, the final curve generated is no longer an aesthetic curve.
本発明は、このような問題を解決するために成されたものであり、部分的には曲率単調である一方で全体的には曲率単調とは限らない意匠デザインに好適な曲線を、曲率変化が滑らかな曲線として容易に生成できるようにすることを目的とする。 The present invention was made to solve such problems, and aims to make it possible to easily generate curves with smooth curvature changes that are suitable for design, even if the curvature is monotonic in parts but not necessarily monotonic overall.
上記の課題を解決するために、本発明では、曲線形状を示す測定データまたはＢスプライン曲線の入力データから、曲線全体の曲率変化が滑らかであって、所定の条件を満たす放物型曲率曲線を生成する。本発明では、所定の条件として、曲率関数が弧長パラメータの２次式で与えられるという第１条件を用いる。 In order to solve the above problems, the present invention generates a parabolic curvature curve in which the curvature of the entire curve changes smoothly and satisfies a predetermined condition from measurement data indicating the curve shape or input data of a B-spline curve . In the present invention, the first condition that the curvature function is given by a quadratic expression of the arc length parameters is used as the predetermined condition.
上記のように構成した本発明によれば、所定の条件を満たすように生成される曲線は、曲率関数が弧長パラメータに沿って単調増加または単調減少する以外に、単調増加から単調減少へ、または単調減少から単調増加へと転じる極値を持つことも可能となる。これにより、部分的には曲率単調である一方で全体的には曲率単調とは限らない意匠デザインに好適な曲線を生成する際に、曲率単調性の条件を満足するように生成した個々のセグメント曲線どうしを接続するといった操作が不要で、全体としての曲率変化が滑らかな曲線を、多くの試行錯誤を要することなく曲線形状を示す測定データ等の入力データから容易に生成することができる。 According to the present invention configured as described above, a curve generated to satisfy a specified condition can have an extreme value where the curvature function changes from monotonically increasing to monotonically decreasing, or from monotonically decreasing to monotonically increasing, in addition to monotonically increasing or decreasing along the arc length parameter. As a result, when generating a curve suitable for a design that has a curvature that is partially monotonic but not necessarily monotonic overall, there is no need to perform an operation such as connecting individual segment curves generated to satisfy the condition of curvature monotonicity, and a curve with a smooth change in curvature overall can be easily generated from input data such as measurement data that indicates the curve shape without requiring a lot of trial and error.
以下、本発明の一実施形態を図面に基づいて説明する。図１は、本実施形態による曲線生成装置の機能構成例を示すブロック図である。図１に示すように、本実施形態の曲線生成装置は、機能構成として、曲線データ入力部１、曲線タイプ指定部２および曲線生成部３を備えて構成されている。 An embodiment of the present invention will now be described with reference to the drawings. FIG. 1 is a block diagram showing an example of the functional configuration of a curve generating device according to this embodiment. As shown in FIG. 1, the curve generating device of this embodiment is configured to include, as its functional components, a curve data input unit 1, a curve type designation unit 2, and a curve generating unit 3.
これらの機能ブロック１～３は、ハードウェア、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ソフトウェアの何れによっても構成することが可能である。例えばソフトウェアによって構成する場合、上記各機能ブロック１～３は、実際にはコンピュータのＣＰＵ、ＲＡＭ、ＲＯＭなどを備えて構成され、ＲＡＭやＲＯＭ、ハードディスクまたは半導体メモリ等の記録媒体に記憶されたプログラムが動作することによって実現される。 These functional blocks 1 to 3 can be configured using either hardware, a DSP (Digital Signal Processor), or software. For example, when configured using software, the functional blocks 1 to 3 are actually configured with a computer's CPU, RAM, ROM, etc., and are realized by the operation of a program stored in a recording medium such as the RAM, ROM, hard disk, or semiconductor memory.
本実施形態の曲線生成装置は、以上のような各機能ブロック１～３の機能を用いて、曲線形状を示す測定データ等の入力データから、全体として曲率変化が滑らかな放物型曲率曲線を生成するものである。放物型曲率曲線とは、曲率関数が弧長パラメータの２次式で与えられる曲線のことである。本実施形態の詳細を説明する前に、まず、本実施形態の放物型曲率曲線と対比される従来の一般的な美的曲線について説明する。 The curve generating device of this embodiment uses the functions of each of the functional blocks 1 to 3 described above to generate a parabolic curvature curve with a smooth overall change in curvature from input data such as measurement data that indicates the shape of the curve. A parabolic curvature curve is a curve whose curvature function is given by a quadratic expression of the arc length parameter. Before explaining the details of this embodiment, we will first explain a conventional general aesthetic curve that can be compared to the parabolic curvature curve of this embodiment.
一般の自由曲線は、複数のセグメントにより表現される。そして、各セグメントは、曲線の曲がり具合を示す（曲線の印象を左右する）定数αによって特徴付けられる。特許文献２に記載の通り、曲率半径のα乗が弧長パラメータの１次式で表された曲線セグメントは、デザインに好適な美的曲線（人が美しいと感じる曲線）とされる。このとき、定数αは当該セグメントの曲率対数分布図における直線の傾きを示している。 A typical free curve is represented by multiple segments. Each segment is characterized by a constant α, which indicates the degree of curvature of the curve (which affects the impression of the curve). As described in Patent Document 2, a curve segment in which the α power of the radius of curvature is expressed as a linear expression of the arc length parameter is considered to be an aesthetic curve (a curve that people find beautiful) that is suitable for design. In this case, the constant α indicates the slope of the straight line in the logarithmic distribution diagram of the curvature of the segment.
すなわち、各セグメント曲線に関して、弧長パラメータをｓ、曲率半径をρとすると、曲率対数分布図の横軸はｌｏｇρ、縦軸はｌｏｇ｛ρ（ｄｓ／ｄρ）｝となる。曲率対数分布図が直線で与えられることから、以下の（式１）が成り立つ。なお、ｃ1は定数である。この（式１）は美的曲線の基本方程式と呼ばれている。この（式１）は、次の（式２）のように変形できる。以上が一般的な美的曲線の説明である。 That is, for each segment curve, if the arc length parameter is s and the radius of curvature is ρ, the horizontal axis of the logarithmic curvature distribution diagram is log ρ and the vertical axis is log {ρ(ds/dρ)}. Since the logarithmic curvature distribution diagram is given by a straight line, the following (Equation 1) holds. Note that c1 is a constant. This (Equation 1) is called the basic equation of aesthetic curves. This (Equation 1) can be transformed into the following (Equation 2). The above is a description of general aesthetic curves.
上述したように、曲線形状を示す測定データ等の入力データからＣＡＤシステムで曲線を再構築する場合、生成する曲線の曲率単調性を適切に取り扱うことが重要である。実際の意匠デザインの現場で製作される曲線は、図２の例に示すように、部分的には曲率単調である一方で、全体的には曲率単調であるとは限らない。なお、図２において、符号２０は曲線を示し、符号２１は曲率κの大きさ（を適当にスケール倍したもの）を示し、符号２２は曲率半径ρ（＝１／κ）の１／１０の大きさを示している。 As mentioned above, when reconstructing a curve using a CAD system from input data such as measurement data that indicates the curve shape, it is important to properly handle the curvature monotonicity of the curve to be generated. As shown in the example of Figure 2, curves produced at actual design sites are partially curvature monotonic, but are not necessarily curvature monotonic overall. In Figure 2, reference numeral 20 indicates the curve, reference numeral 21 indicates the magnitude of the curvature κ (appropriately scaled), and reference numeral 22 indicates the magnitude of 1/10 of the radius of curvature ρ (= 1/κ).
そこで、本実施形態では、次の（式３ａ）で示す関数と（式３ｂ）の凸性条件を導入する。この（式３ａ）において、ｆα(|κ|)は特許請求の範囲の「曲率関数」に相当する。ここで、（式３ａ）においてα＝１とし、（式３ｂ）の凸性条件として次の２つの場合を考える。１つ目の場合は、（式３ｂ）の不等式が等号の場合、すなわち、ｄ2|κ|／ｄｓ2＝０である。ｓで２回積分するとκ＝ａｓ＋ｂ（ａ，ｂは定数）が得られる。すなわち、曲率κは弧長パラメータｓに対して線形な関係となる。これは、クロソイドまたはオイラースパイラルと呼ばれる曲線が曲率単調性を持っていることを意味する。また、α＝－１の場合は対数螺旋、α＝－２の場合は円のインボリュート曲線を意味する。これは従来の美的曲線と同義である。次の２つ目の場合は、（式３ｂ）の不等式が成立する特別な状況、すなわち、ｄ2|κ|／ｄｓ2＝aである。ｓで２回積分するとκ＝ａｓ2＋ｂｓ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃは定数）が得られ、曲率κは弧長パラメータｓの２次式（放物線）となる。これは、本実施形態の放物型曲率曲線が成立する状況であることを意味する。 Therefore, in this embodiment, the function shown in the following (Equation 3a) and the convexity condition of (Equation 3b) are introduced. In this (Equation 3a), f α (|κ|) corresponds to the "curvature function" in the claims. Here, α=1 in (Equation 3a), and the following two cases are considered as the convexity condition of (Equation 3b). In the first case, the inequality in (Equation 3b) is an equal sign, that is, d 2 |κ|/ds 2 =0. By integrating twice with s, κ=as+b (a and b are constants) is obtained. That is, the curvature κ has a linear relationship with the arc length parameter s. This means that a curve called a clothoid or Euler spiral has monotonic curvature. In addition, α=-1 means a logarithmic spiral, and α=-2 means a circular involute curve. This is synonymous with the conventional aesthetic curve. The second case is a special situation where the inequality (3b) holds, that is, d2 |κ|/ ds2 =a. By integrating twice with respect to s, κ= as2 +bs+c (where a, b, and c are constants) is obtained, and the curvature κ becomes a quadratic expression (parabola) of the arc-length parameter s. This means that the parabolic curvature curve of this embodiment holds.
以下の説明において、曲率関数ｆα(|κ|)と弧長パラメータｓのそれぞれをグラフの縦軸と横軸にして、両者の関係を示したグラフを「曲率グラフ」という。図１に示す本実施形態の曲線生成装置は、この曲率グラフが放物線を表すような放物型曲率曲線ＣＡを、曲線形状を示す測定データ等の入力データ（以下、これを入力曲線Ｃ０あるいは曲線データＣ０という）から生成するものである。以下、図１の各機能ブロック１～３について説明する。 In the following description, a graph showing the relationship between the curvature function f α (|κ|) and the arc length parameter s, with the vertical and horizontal axes of the graph respectively, is referred to as a "curvature graph." The curve generating device of this embodiment shown in Figure 1 generates a parabolic curvature curve C A , such that this curvature graph represents a parabola, from input data such as measurement data that indicates the curve shape (hereinafter, this will be referred to as input curve C 0 or curve data C 0 ). Below, each of the functional blocks 1 to 3 in Figure 1 will be explained.
曲線データ入力部１では、ユーザによる操作またはバッチ処理型のプログラムの実行により、曲線データＣ０を入力する。曲線データＣ０は、ポリラインやＢスプライン曲線等の代表的なパラメトリック曲線で表されるものである。ポリラインは、点列を線形補間して得られる折れ線であり、曲線データＣ０として点列を与えることと同義である。曲線データＣ０の典型例としては、測定データ（ポリゴンデータ）の特徴線上でサンプリングされた点列から作成されたポリラインが挙げられる。また、サンプリングは、必ずしも等間隔で行われるとは限らず、測定データのトリム部分では、サンプリングされるデータが存在しないため、曲線データＣ０を構成する点列は不等間隔にもなり得るし、測定データのノイズの影響を受けている場合もある。曲線データＣ０が表しているところの曲線形状は、２Ｄの平面曲線のこともあるし、３Ｄの空間曲線のこともある。 The curve data input unit 1 inputs the curve data C0 by a user operation or by executing a batch processing type program. The curve data C0 is represented by a typical parametric curve such as a polyline or a B-spline curve. A polyline is a broken line obtained by linearly interpolating a sequence of points, and is synonymous with providing a sequence of points as the curve data C0 . A typical example of the curve data C0 is a polyline created from a sequence of points sampled on a characteristic line of the measurement data (polygon data). In addition, sampling is not necessarily performed at equal intervals, and since there is no data to be sampled in the trimmed portion of the measurement data, the sequence of points constituting the curve data C0 may be unevenly spaced, or may be affected by noise in the measurement data. The curve shape represented by the curve data C0 may be a 2D plane curve or a 3D space curve.
曲線タイプ指定部２は、ユーザによる操作に従って、生成したい放物型曲率曲線ＣＡのタイプを指定する。タイプの指定は、定数αの値を入力することによって行う。 The curve type designation unit 2 designates the type of the parabolic curvature curve C A to be generated in accordance with a user's operation. The type is designated by inputting the value of a constant α.
曲線生成部３は、曲線データ入力部１により入力された曲線データ（入力曲線）Ｃ０を曲線長で除算することによって正規化した後、入力曲線Ｃ０から放物型曲率曲線ＣＡを再構築する。このとき、曲線生成部３は、所定の条件を満たす放物型曲率曲線ＣＡを生成する。ここで用いる所定の条件は、曲率関数ｆα(|κ|)が弧長パラメータｓの２次式で与えられるという第１条件を含む。すなわち、曲線生成部３は、ｆα(|κ|)＝ａｓ2＋ｂｓ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃは定数）を満たす放物型曲率曲線ＣＡを生成する。曲線生成部３は、正規化された空間で生成された放物型曲率曲線ＣＡを元のスケールに復元して出力する。 The curve generating unit 3 normalizes the curve data (input curve) C0 input by the curve data input unit 1 by dividing it by the curve length, and then reconstructs a parabolic curvature curve C A from the input curve C0. At this time, the curve generating unit 3 generates a parabolic curvature curve C A that satisfies a predetermined condition. The predetermined condition used here includes a first condition that the curvature function f α (|κ|) is given by a quadratic expression of the arc length parameter s. That is, the curve generating unit 3 generates a parabolic curvature curve C A that satisfies f α (|κ|) = as 2 + bs + c (a, b, c are constants). The curve generating unit 3 restores the parabolic curvature curve C A generated in the normalized space to the original scale and outputs it.
また、所定の条件は、曲線生成部３により生成される放物型曲率曲線ＣＡと入力曲線Ｃ０との偏差を最小化するという第２条件を更に含む。例えば、曲線生成部３は、次の（式４）に示す目的関数ＪＡを最小化する曲線Ｃ(s)の制御点を求めることにより、第１条件および第２条件を満たす放物型曲率曲線ＣＡを生成する。この（式４）において、右辺の第１項が第２条件を示し、第２項が第１条件を示している。ε１，ε２は重み係数である。 The predetermined conditions further include a second condition of minimizing the deviation between the parabolic curvature curve C A generated by the curve generator 3 and the input curve C 0. For example, the curve generator 3 generates a parabolic curvature curve C A that satisfies the first and second conditions by determining a control point of the curve C(s) that minimizes the objective function J A shown in the following (Equation 4). In this (Equation 4), the first term on the right side indicates the second condition, and the second term indicates the first condition. ε 1 and ε 2 are weighting coefficients.
以下に、この（式４）について詳細に説明する。第１条件に関する（式４）の右辺の第２項は、曲率関数ｆα(|κ|)が弧長パラメータｓの２次式で与えられるということを、次の（式５）に示す関数Φ(Ｃ(s))により評価する。関数Φは、生成される曲線Ｃ(s)の曲率グラフと、２次式で表される放物線との偏差を算出する関数である。第１条件は、この偏差を最小化するものである。 Formula 4 will be described in detail below. The second term on the right side of Formula 4 relating to the first condition evaluates the fact that the curvature function fα (|κ|) is given by a quadratic expression of the arc length parameter s, using the function Φ(C(s)) shown in Formula 5 below. The function Φ is a function that calculates the deviation between the curvature graph of the generated curve C(s) and a parabola expressed by a quadratic expression. The first condition is to minimize this deviation.
図３は、この関数Φ(Ｃ(s))を説明するための図である。ここで、ｆα(|κｎ|)は、曲線Ｃ(s)上に設定されたｎ番目の評価点における曲率関数の値であり、図３に示された〇印がその値に相当する。Ｎは評価点の総数を示す。ａｓ2＋ｂｓ＋ｃは、Ｎ個の曲率関数値ｆα(|κｎ|)を最小二乗法によって近似した２次式である。ｐは任意の定数である。 FIG. 3 is a diagram for explaining this function Φ(C(s)). Here, f α (|κ n |) is the value of the curvature function at the n-th evaluation point set on the curve C(s), and the circle shown in FIG. 3 corresponds to this value. N indicates the total number of evaluation points. as 2 + bs + c is a quadratic expression that approximates N curvature function values f α (|κ n |) by the least squares method. p is an arbitrary constant.
関数Φ(Ｃ(s))＝０の場合、曲線Ｃ(s)の曲率グラフ、すなわち、曲率関数ｆα(|κ|)対弧長パラメータｓは放物線を示す。なお、２次の係数aが正値なら曲率グラフは下凸となり、負値なら上凸となる。 When the function Φ(C(s)) = 0, the curvature graph of the curve C(s), i.e., the curvature function f α (|κ|) versus the arc length parameter s, is a parabola. Note that if the quadratic coefficient a is positive, the curvature graph is downward convex, and if it is negative, the curvature graph is upward convex.
また、第２条件に関する（式４）の右辺の第１項において、Ｑｎは、正規化された入力曲線Ｃ０上で出来るだけ等間隔に設定されたｎ番目の評価点の座標値である。また、Ｃ(ｓｎ)は、Ｑｎからの最近点として曲線Ｃ(s)上に設定されたｎ番目の座標値である。 In the first term on the right side of (Equation 4) regarding the second condition, Qn is the coordinate value of the nth evaluation point set as equally spaced as possible on the normalized input curve C0 , and C( sn ) is the coordinate value of the nth evaluation point set on the curve C(s) as the closest point from Qn .
曲線生成部３は、上記の（式４）に示す目的関数ＪＡを最小化する曲線Ｃ(s)を求めることにより、第１条件および第２条件をほぼ満足する放物型曲率曲線ＣＡ(s)を生成する。これにより、曲線形状を示す測定データ等の入力データを十分に近似できていて、かつ、曲率変化が全域にわたって滑らかで、曲率関数が放物線としての極値を持つことも可能な放物型曲率曲線を、それぞれ曲率単調性の条件を満足するように整形した複数のセグメント曲線どうしを接続するといった操作を行うことなく簡単に生成することができる。ここで、図４（ａ）に示すように、曲線の定義域内（０≦ｓ≦１）に曲率の極値を持つ放物型曲率曲線、または図４（ｂ）に示すように、曲線の定義域外に極値を持つ放物型曲率曲線の何れも生成することが可能である。 The curve generator 3 generates a parabolic curvature curve C A (s) that substantially satisfies the first and second conditions by obtaining a curve C (s) that minimizes the objective function J A shown in the above (Equation 4). This allows a parabolic curvature curve that can sufficiently approximate input data such as measurement data showing the curve shape, has a smooth curvature change over the entire range, and can have an extreme value as a parabola, without performing an operation such as connecting a plurality of segment curves that are shaped to satisfy the condition of curvature monotonicity. Here, it is possible to generate either a parabolic curvature curve that has an extreme value of curvature within the domain of the curve (0≦s≦1) as shown in FIG. 4(a), or a parabolic curvature curve that has an extreme value outside the domain of the curve as shown in FIG. 4(b).
＜変形例１＞
３Ｄの空間曲線を生成する場合、所定の条件は、曲線生成部３により生成される放物型曲率曲線の捩率の大きさを最小化するという第３条件を更に含んでもよい。一例として、曲線生成部３は、次の（式６）に示す目的関数Ｊ１を最小化する曲線Ｃ(s)の制御点を求めることにより、第１条件～第３条件を満たす放物型曲率曲線ＣＡを生成する。この（式６）において、右辺の第１項が上記（式４）の右辺の第１条件および第２条件を示し、第２項が第３条件を示している。ε３は重み係数である。
<Modification 1>
When generating a 3D space curve, the predetermined conditions may further include a third condition of minimizing the magnitude of the torsion of the parabolic curvature curve generated by the curve generator 3. As an example, the curve generator 3 generates a parabolic curvature curve C A that satisfies the first to third conditions by determining a control point of the curve C(s) that minimizes the objective function J 1 shown in the following (Equation 6). In this (Equation 6), the first term on the right side indicates the first and second conditions on the right side of the above (Equation 4), and the second term indicates the third condition. ε 3 is a weighting coefficient .
第３条件に関する（式６）の右辺の第２項は、生成される曲線Ｃ(s)の捩率の大きさを最小化するということを、次の（式７）に示す関数Ψ(Ｃ(s))により評価する。この（式７）において、τ(ｓｎ)は、曲線Ｃ(s)上に設定されたｎ番目の評価点における捩率の値である。また、ｂｓｎ＋ｃは、Ｎ個の捩率τ(ｓｎ)の値を最小二乗法によって近似した１次式である。 The second term on the right hand side of (Equation 6) relating to the third condition is evaluated by the function Ψ(C(s)) shown in the following (Equation 7) to minimize the magnitude of the torsion of the generated curve C(s). In (Equation 7), τ(s n ) is the value of the torsion at the nth evaluation point set on the curve C(s). Also, bs n +c is a linear expression that approximates the values of N torsions τ(s n ) by the least squares method.
曲線生成部３は、上記（式６）に示す目的関数Ｊ１を最小化する曲線Ｃ(s)を求めることにより、第１条件、第２条件および第３条件をほぼ満足する放物型曲率曲線ＣＡ(s)を生成する。これにより、曲線形状を示す測定データ等の入力データを十分に近似できていて、かつ、曲率変化が全域にわたって滑らかで、曲率関数が放物線としての極値を持つことも可能で、さらに、捩れの小さい放物型曲率曲線を簡単に生成することができる。 The curve generator 3 generates a parabolic curvature curve C A (s) that substantially satisfies the first, second and third conditions by determining a curve C (s) that minimizes the objective function J1 shown in the above (Equation 6). This makes it possible to easily generate a parabolic curvature curve that is sufficiently approximating input data such as measurement data that indicates the curve shape, that has smooth curvature changes over the entire range, that allows the curvature function to have extreme values as a parabola, and that has little twist.
＜変形例２＞
測定データのノイズへのロバスト性を確保するために、低次のパラメトリック曲線を使用することにより、２段階の処理で放物型曲率曲線ＣＡを生成することもできる。例えば、第１段階では、入力曲線Ｃ０に２次の複合ベジエ曲線をフィッティングする。第２段階では、２次の複合ベジエ曲線を３次の曲率連続なＢスプライン曲線に変換する。
<Modification 2>
To ensure robustness to noise in the measurement data, a parabolic curvature curve C A can also be generated in a two-stage process by using a low-order parametric curve. For example, in the first stage, a quadratic composite Bézier curve is fitted to the input curve C 0. In the second stage, the quadratic composite Bézier curve is converted into a cubic curvature-continuous B-spline curve.
第１段階において、曲線生成部３は、次の（式８）に示す目的関数Ｊ２を最小化する２次の複合ベジエ曲線を求める。この（式８）において、右辺の第１項のＪＡは上記（式４）の第１条件および第２条件を示している。ε４は重み係数である。また、κL m，κR mは、図５に示すように、隣接するベジエセグメントのｍ番目の接合点での左右のセグメントの端点における曲率ベクトルを示す。 In the first stage, the curve generator 3 obtains a quadratic composite Bezier curve that minimizes the objective function J2 shown in the following (Equation 8). In this (Equation 8), J A in the first term on the right side indicates the first and second conditions in (Equation 4) above. ε 4 is a weighting coefficient. Also, κ L m and κ R m indicate the curvature vectors at the end points of the left and right segments at the m-th junction point of adjacent Bezier segments, as shown in FIG. 5.
第２段階において、曲線生成部３は、第１段階において求めた２次の複合ベジエ曲線を３次の曲率連続なＢスプライン曲線に強制変換し、これにより得られた曲線を初期曲線として、上記（式６）に示す目的関数Ｊ１を最小化する曲線Ｃ(s)を求めることにより、第１条件、第２条件および第３条件をほぼ満足する放物型曲率曲線ＣＡ(s)を生成する。 In the second step, the curve generator 3 forcibly converts the second-order composite Bezier curve obtained in the first step into a third-order curvature continuous B-spline curve, and uses the curve obtained in this way as an initial curve to obtain a curve C(s) that minimizes the objective function J1 shown in the above (Equation 6), thereby generating a parabolic curvature curve C A (s) that approximately satisfies the first, second and third conditions.
＜その他の変形例＞
なお、上記実施形態では、第１条件を評価する関数Φ(Ｃ(s))を示す（式５）におけるａｓ2＋ｂｓ＋ｃの２次式の係数は、Ｎ個の評価点における曲率関数の値ｆα(|κｎ|)から最小二乗法によって求めているが、本発明はこれに限定されない。例えば、２次式の係数ａ，ｂ，ｃの値をユーザが任意に指定できるようにしてもよい。そうすることにより、例えば、図４（ａ）のように曲線の定義域内に極値を持たせるか、図４（ｂ）のように曲線の定義域外に極値を持たせるかをユーザが意図的に決定（あるいは制御）できる。
<Other Modifications>
In the above embodiment, the coefficients of the quadratic expression of as2 + bs + c in (Equation 5) showing the function Φ(C(s)) for evaluating the first condition are calculated by the least squares method from the values of the curvature function fα (| κn |) at the N evaluation points, but the present invention is not limited to this. For example, the values of the coefficients a, b, and c of the quadratic expression may be arbitrarily specified by the user. By doing so, for example, the user can intentionally determine (or control) whether the extreme value is to be set within the domain of the curve as in FIG. 4(a) or outside the domain of the curve as in FIG. 4(b).
また、上記実施形態では、曲線タイプ指定部２により、生成したい放物型曲率曲線のタイプを指定する構成について説明したが、タイプを指定可能とすることを必須とするものではない。例えば、あらかじめ決められたタイプの放物型曲率曲線を生成するようにしてもよい。 In the above embodiment, the configuration was described in which the curve type designation unit 2 designates the type of parabolic curvature curve to be generated, but it is not essential that the type can be designated. For example, a parabolic curvature curve of a predetermined type may be generated.
また、上記実施形態では、曲線形状を示す測定データ等の入力曲線データから放物型曲率曲線を再構築する例について説明した通り、入力データはクレイモデル等の測定データに起因されるものに限定されない。例えば、第１条件を満たさないＢスプライン曲線を入力データとして、第１条件を満足するＢスプライン曲線を生成することにも本発明の方法を利用することが可能である。 In addition, as described in the above embodiment with respect to an example of reconstructing a parabolic curvature curve from input curve data such as measurement data showing the curve shape, the input data is not limited to data resulting from measurement data of a clay model or the like. For example, the method of the present invention can be used to generate a B-spline curve that satisfies the first condition by using a B-spline curve that does not satisfy the first condition as input data.
その他、上記実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の一例を示したものに過ぎず、これによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその要旨、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。 In addition, the above embodiments are merely examples of how the present invention can be implemented, and the technical scope of the present invention should not be interpreted in a limiting manner. In other words, the present invention can be implemented in various forms without departing from its gist or main features.
１ 曲線データ入力部
２ 曲線タイプ指定部
３ 曲線生成部
1 Curve data input section 2 Curve type designation section 3 Curve generation section
Claims (6)
上記入力データをもとに、所定の条件を満たす放物型曲率曲線を生成する曲線生成部を備え、
上記所定の条件は、曲率関数が弧長パラメータの２次式で与えられるという第１条件を含むことを特徴とする曲線生成装置。 A curve generating device that generates a curve having a smooth change in curvature as a whole from measurement data indicating a curve shape or input data of a B-spline curve , comprising:
a curve generating unit that generates a parabolic curvature curve that satisfies a predetermined condition based on the input data,
The curve generating device, wherein the predetermined conditions include a first condition that the curvature function is given by a quadratic expression of arc length parameters.
上記入力データをもとに、所定の条件を満たす放物型曲率曲線を生成する曲線生成手段としてコンピュータを機能させ、上記所定の条件として、曲率関数が弧長パラメータの２次式で与えられるという第１条件を用いることを特徴とする曲線生成用プログラム。 A curve generating program for generating a curve having a smooth change in curvature as a whole from measurement data indicating a curve shape or input data of a B-spline curve , comprising:
A curve generation program that causes a computer to function as curve generation means for generating a parabolic curvature curve that satisfies predetermined conditions based on the input data, and uses, as the predetermined condition, a first condition that the curvature function is given by a quadratic expression of arc length parameters.
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