JP7629802B2 - 曲線生成装置および曲線生成用プログラム - Google Patents

Description

本発明は、曲線生成装置および曲線生成用プログラムに関し、特に、意匠デザイン分野で求められる曲率変化の滑らかな曲線を生成するための曲線生成装置および曲線生成用プログラムに用いて好適なものである。

一般の製品設計では、ＣＡＤ（Computer Aided Design）により、製品の形状データが製作される。その方法の１つとして、リバースエンジニアリング技術を活用し、モデルとなる物体の測定データからその曲線／曲面の形状を再構築する方法が注目されている。例えば、自動車メーカでは、デザイナのアイデアをクレイモデルで具現化し、その測定データからＣＡＤデータが製作されている。

測定データからＣＡＤで曲線を再構築する場合、(i)生成する曲線は指定されたトレランス以内で測定データを十分に近似できていること、(ii)生成する曲線はその曲率変化が滑らかであること、の２点が要求される。特に、(ii)において、曲率単調性の条件の取り扱いが重要となる。事実、特徴線またはキャラクタ線と呼ばれる意匠デザイン上の重要な曲線は、部分的に曲率単調であっても全域にわたって曲率単調とは限らない。そこで、１本の曲線を複数のセグメントに分割し、分割したセグメントごとに曲率単調性の条件を満足するように曲線を生成する方法が提案されている（例えば、特許文献１，２参照）。

特許文献１に記載の曲線生成装置では、接続すべき曲線セグメントの両端点のうち接続すべき端点を頂点とし、この端点を通る接線方向をｘ軸とする放物線を端点に表示する。そして、放物線の形状を決めるパラメータの制御により、端点に対して接線連続する曲線を放物線の一部分から生成する。

しかしながら、この方法で放物線を決定するには、始点位置、終点位置、接線方向への伸縮および法線方向への伸縮の４つのパラメータが必要で、さらに、曲線セグメント間を曲率連続にするには、セグメント間で曲率半径が連続となるように放物線のパラメータを適切に調整する必要がある。つまり、全体として曲率変化が滑らかな曲線を生成するためには、複数のパラメータの調整が必要となるが、それには試行錯誤を伴うため、所望の曲線は容易には得られない。

特許文献２に記載のＣＡＤシステムでは、入力で与えられた曲線データを複数のセグメントに分割し、各セグメントの曲率半径または曲率のべき乗が該セグメントの弧長パラメータの１次式で表されるように、分割されたセグメント毎に美的曲線を生成する。さらに、隣接するセグメントが曲率連続になるようするため、接続点での互いのセグメント端における曲率値の差が所定の閾値以下になるように、各セグメントを変形する。

特許文献２の記載によれば、分割した個々のセグメントに対して、それぞれの曲率半径または曲率のべき乗に関する条件を満たすように美的曲線を生成できる。しかしながら、個々の当該曲線を生成した後、セグメント間の曲率連続を実現させようと接続部分を強引に調整する結果、最終的に生成される曲線は、美的曲線ではなくなってしまっている。

特開２０００－７６４７０号公報 特許第５１７７７７１号公報

本発明は、このような問題を解決するために成されたものであり、部分的には曲率単調である一方で全体的には曲率単調とは限らない意匠デザインに好適な曲線を、曲率変化が滑らかな曲線として容易に生成できるようにすることを目的とする。

上記の課題を解決するために、本発明では、曲線形状を示す測定データまたはＢスプライン曲線の入力データから、曲線全体の曲率変化が滑らかであって、所定の条件を満たす放物型曲率曲線を生成する。本発明では、所定の条件として、曲率関数が弧長パラメータの２次式で与えられるという第１条件を用いる。

上記のように構成した本発明によれば、所定の条件を満たすように生成される曲線は、曲率関数が弧長パラメータに沿って単調増加または単調減少する以外に、単調増加から単調減少へ、または単調減少から単調増加へと転じる極値を持つことも可能となる。これにより、部分的には曲率単調である一方で全体的には曲率単調とは限らない意匠デザインに好適な曲線を生成する際に、曲率単調性の条件を満足するように生成した個々のセグメント曲線どうしを接続するといった操作が不要で、全体としての曲率変化が滑らかな曲線を、多くの試行錯誤を要することなく曲線形状を示す測定データ等の入力データから容易に生成することができる。

本実施形態による曲線生成装置の機能構成例を示すブロック図である。 意匠デザインの現場で製作された、全域にわたって曲率単調ではない曲線の例を示す図である。 第１条件に関する関数を説明するための図である。 定義域の内外に極値を持つ放物型曲率曲線を説明するための図である。 ２段階の処理で放物型曲率曲線を生成する際の曲率ベクトルの例を示す図である。

以下、本発明の一実施形態を図面に基づいて説明する。図１は、本実施形態による曲線生成装置の機能構成例を示すブロック図である。図１に示すように、本実施形態の曲線生成装置は、機能構成として、曲線データ入力部１、曲線タイプ指定部２および曲線生成部３を備えて構成されている。

これらの機能ブロック１～３は、ハードウェア、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ソフトウェアの何れによっても構成することが可能である。例えばソフトウェアによって構成する場合、上記各機能ブロック１～３は、実際にはコンピュータのＣＰＵ、ＲＡＭ、ＲＯＭなどを備えて構成され、ＲＡＭやＲＯＭ、ハードディスクまたは半導体メモリ等の記録媒体に記憶されたプログラムが動作することによって実現される。

本実施形態の曲線生成装置は、以上のような各機能ブロック１～３の機能を用いて、曲線形状を示す測定データ等の入力データから、全体として曲率変化が滑らかな放物型曲率曲線を生成するものである。放物型曲率曲線とは、曲率関数が弧長パラメータの２次式で与えられる曲線のことである。本実施形態の詳細を説明する前に、まず、本実施形態の放物型曲率曲線と対比される従来の一般的な美的曲線について説明する。

一般の自由曲線は、複数のセグメントにより表現される。そして、各セグメントは、曲線の曲がり具合を示す（曲線の印象を左右する）定数αによって特徴付けられる。特許文献２に記載の通り、曲率半径のα乗が弧長パラメータの１次式で表された曲線セグメントは、デザインに好適な美的曲線（人が美しいと感じる曲線）とされる。このとき、定数αは当該セグメントの曲率対数分布図における直線の傾きを示している。

すなわち、各セグメント曲線に関して、弧長パラメータをｓ、曲率半径をρとすると、曲率対数分布図の横軸はｌｏｇρ、縦軸はｌｏｇ｛ρ（ｄｓ／ｄρ）｝となる。曲率対数分布図が直線で与えられることから、以下の（式１）が成り立つ。なお、ｃ₁は定数である。この（式１）は美的曲線の基本方程式と呼ばれている。この（式１）は、次の（式２）のように変形できる。以上が一般的な美的曲線の説明である。

上述したように、曲線形状を示す測定データ等の入力データからＣＡＤシステムで曲線を再構築する場合、生成する曲線の曲率単調性を適切に取り扱うことが重要である。実際の意匠デザインの現場で製作される曲線は、図２の例に示すように、部分的には曲率単調である一方で、全体的には曲率単調であるとは限らない。なお、図２において、符号２０は曲線を示し、符号２１は曲率κの大きさ（を適当にスケール倍したもの）を示し、符号２２は曲率半径ρ（＝１／κ）の１／１０の大きさを示している。

そこで、本実施形態では、次の（式３ａ）で示す関数と（式３ｂ）の凸性条件を導入する。この（式３ａ）において、ｆ_α(|κ|)は特許請求の範囲の「曲率関数」に相当する。ここで、（式３ａ）においてα＝１とし、（式３ｂ）の凸性条件として次の２つの場合を考える。１つ目の場合は、（式３ｂ）の不等式が等号の場合、すなわち、ｄ²|κ|／ｄｓ²＝０である。ｓで２回積分するとκ＝ａｓ＋ｂ（ａ，ｂは定数）が得られる。すなわち、曲率κは弧長パラメータｓに対して線形な関係となる。これは、クロソイドまたはオイラースパイラルと呼ばれる曲線が曲率単調性を持っていることを意味する。また、α＝－１の場合は対数螺旋、α＝－２の場合は円のインボリュート曲線を意味する。これは従来の美的曲線と同義である。次の２つ目の場合は、（式３ｂ）の不等式が成立する特別な状況、すなわち、ｄ²|κ|／ｄｓ²＝aである。ｓで２回積分するとκ＝ａｓ²＋ｂｓ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃは定数）が得られ、曲率κは弧長パラメータｓの２次式（放物線）となる。これは、本実施形態の放物型曲率曲線が成立する状況であることを意味する。

以下の説明において、曲率関数ｆ_α(|κ|)と弧長パラメータｓのそれぞれをグラフの縦軸と横軸にして、両者の関係を示したグラフを「曲率グラフ」という。図１に示す本実施形態の曲線生成装置は、この曲率グラフが放物線を表すような放物型曲率曲線Ｃ_Ａを、曲線形状を示す測定データ等の入力データ（以下、これを入力曲線Ｃ_０あるいは曲線データＣ_０という）から生成するものである。以下、図１の各機能ブロック１～３について説明する。

曲線データ入力部１では、ユーザによる操作またはバッチ処理型のプログラムの実行により、曲線データＣ_０を入力する。曲線データＣ_０は、ポリラインやＢスプライン曲線等の代表的なパラメトリック曲線で表されるものである。ポリラインは、点列を線形補間して得られる折れ線であり、曲線データＣ_０として点列を与えることと同義である。曲線データＣ_０の典型例としては、測定データ（ポリゴンデータ）の特徴線上でサンプリングされた点列から作成されたポリラインが挙げられる。また、サンプリングは、必ずしも等間隔で行われるとは限らず、測定データのトリム部分では、サンプリングされるデータが存在しないため、曲線データＣ_０を構成する点列は不等間隔にもなり得るし、測定データのノイズの影響を受けている場合もある。曲線データＣ_０が表しているところの曲線形状は、２Ｄの平面曲線のこともあるし、３Ｄの空間曲線のこともある。

曲線タイプ指定部２は、ユーザによる操作に従って、生成したい放物型曲率曲線Ｃ_Ａのタイプを指定する。タイプの指定は、定数αの値を入力することによって行う。

曲線生成部３は、曲線データ入力部１により入力された曲線データ（入力曲線）Ｃ_０を曲線長で除算することによって正規化した後、入力曲線Ｃ_０から放物型曲率曲線Ｃ_Ａを再構築する。このとき、曲線生成部３は、所定の条件を満たす放物型曲率曲線Ｃ_Ａを生成する。ここで用いる所定の条件は、曲率関数ｆ_α(|κ|)が弧長パラメータｓの２次式で与えられるという第１条件を含む。すなわち、曲線生成部３は、ｆ_α(|κ|)＝ａｓ²＋ｂｓ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃは定数）を満たす放物型曲率曲線Ｃ_Ａを生成する。曲線生成部３は、正規化された空間で生成された放物型曲率曲線Ｃ_Ａを元のスケールに復元して出力する。

また、所定の条件は、曲線生成部３により生成される放物型曲率曲線Ｃ_Ａと入力曲線Ｃ_０との偏差を最小化するという第２条件を更に含む。例えば、曲線生成部３は、次の（式４）に示す目的関数Ｊ_Ａを最小化する曲線Ｃ(s)の制御点を求めることにより、第１条件および第２条件を満たす放物型曲率曲線Ｃ_Ａを生成する。この（式４）において、右辺の第１項が第２条件を示し、第２項が第１条件を示している。ε_１，ε_２は重み係数である。

以下に、この（式４）について詳細に説明する。第１条件に関する（式４）の右辺の第２項は、曲率関数ｆ_α(|κ|)が弧長パラメータｓの２次式で与えられるということを、次の（式５）に示す関数Φ(Ｃ(s))により評価する。関数Φは、生成される曲線Ｃ(s)の曲率グラフと、２次式で表される放物線との偏差を算出する関数である。第１条件は、この偏差を最小化するものである。

図３は、この関数Φ(Ｃ(s))を説明するための図である。ここで、ｆ_α(|κ_ｎ|)は、曲線Ｃ(s)上に設定されたｎ番目の評価点における曲率関数の値であり、図３に示された〇印がその値に相当する。Ｎは評価点の総数を示す。ａｓ²＋ｂｓ＋ｃは、Ｎ個の曲率関数値ｆ_α(|κ_ｎ|)を最小二乗法によって近似した２次式である。ｐは任意の定数である。

関数Φ(Ｃ(s))＝０の場合、曲線Ｃ(s)の曲率グラフ、すなわち、曲率関数ｆ_α(|κ|)対弧長パラメータｓは放物線を示す。なお、２次の係数aが正値なら曲率グラフは下凸となり、負値なら上凸となる。

また、第２条件に関する（式４）の右辺の第１項において、Ｑ_ｎは、正規化された入力曲線Ｃ_０上で出来るだけ等間隔に設定されたｎ番目の評価点の座標値である。また、Ｃ(ｓ_ｎ)は、Ｑ_ｎからの最近点として曲線Ｃ(s)上に設定されたｎ番目の座標値である。

曲線生成部３は、上記の（式４）に示す目的関数Ｊ_Ａを最小化する曲線Ｃ(s)を求めることにより、第１条件および第２条件をほぼ満足する放物型曲率曲線Ｃ_Ａ(s)を生成する。これにより、曲線形状を示す測定データ等の入力データを十分に近似できていて、かつ、曲率変化が全域にわたって滑らかで、曲率関数が放物線としての極値を持つことも可能な放物型曲率曲線を、それぞれ曲率単調性の条件を満足するように整形した複数のセグメント曲線どうしを接続するといった操作を行うことなく簡単に生成することができる。ここで、図４（ａ）に示すように、曲線の定義域内（０≦ｓ≦１）に曲率の極値を持つ放物型曲率曲線、または図４（ｂ）に示すように、曲線の定義域外に極値を持つ放物型曲率曲線の何れも生成することが可能である。

＜変形例１＞
３Ｄの空間曲線を生成する場合、所定の条件は、曲線生成部３により生成される放物型曲率曲線の捩率の大きさを最小化するという第３条件を更に含んでもよい。一例として、曲線生成部３は、次の（式６）に示す目的関数Ｊ_１を最小化する曲線Ｃ(s)の制御点を求めることにより、第１条件～第３条件を満たす放物型曲率曲線Ｃ_Ａを生成する。この（式６）において、右辺の第１項が上記（式４）の右辺の第１条件および第２条件を示し、第２項が第３条件を示している。ε_３は重み係数である。

第３条件に関する（式６）の右辺の第２項は、生成される曲線Ｃ(s)の捩率の大きさを最小化するということを、次の（式７）に示す関数Ψ(Ｃ(s))により評価する。この（式７）において、τ(ｓ_ｎ)は、曲線Ｃ(s)上に設定されたｎ番目の評価点における捩率の値である。また、ｂｓ_ｎ＋ｃは、Ｎ個の捩率τ(ｓ_ｎ)の値を最小二乗法によって近似した１次式である。

曲線生成部３は、上記（式６）に示す目的関数Ｊ_１を最小化する曲線Ｃ(s)を求めることにより、第１条件、第２条件および第３条件をほぼ満足する放物型曲率曲線Ｃ_Ａ(s)を生成する。これにより、曲線形状を示す測定データ等の入力データを十分に近似できていて、かつ、曲率変化が全域にわたって滑らかで、曲率関数が放物線としての極値を持つことも可能で、さらに、捩れの小さい放物型曲率曲線を簡単に生成することができる。

＜変形例２＞
測定データのノイズへのロバスト性を確保するために、低次のパラメトリック曲線を使用することにより、２段階の処理で放物型曲率曲線Ｃ_Ａを生成することもできる。例えば、第１段階では、入力曲線Ｃ_０に２次の複合ベジエ曲線をフィッティングする。第２段階では、２次の複合ベジエ曲線を３次の曲率連続なＢスプライン曲線に変換する。

第１段階において、曲線生成部３は、次の（式８）に示す目的関数Ｊ_２を最小化する２次の複合ベジエ曲線を求める。この（式８）において、右辺の第１項のＪ_Ａは上記（式４）の第１条件および第２条件を示している。ε_４は重み係数である。また、κ^L _m，κ^R _mは、図５に示すように、隣接するベジエセグメントのｍ番目の接合点での左右のセグメントの端点における曲率ベクトルを示す。

第２段階において、曲線生成部３は、第１段階において求めた２次の複合ベジエ曲線を３次の曲率連続なＢスプライン曲線に強制変換し、これにより得られた曲線を初期曲線として、上記（式６）に示す目的関数Ｊ_１を最小化する曲線Ｃ(s)を求めることにより、第１条件、第２条件および第３条件をほぼ満足する放物型曲率曲線Ｃ_Ａ(s)を生成する。

＜その他の変形例＞
なお、上記実施形態では、第１条件を評価する関数Φ(Ｃ(s))を示す（式５）におけるａｓ²＋ｂｓ＋ｃの２次式の係数は、Ｎ個の評価点における曲率関数の値ｆ_α(|κ_ｎ|)から最小二乗法によって求めているが、本発明はこれに限定されない。例えば、２次式の係数ａ，ｂ，ｃの値をユーザが任意に指定できるようにしてもよい。そうすることにより、例えば、図４（ａ）のように曲線の定義域内に極値を持たせるか、図４（ｂ）のように曲線の定義域外に極値を持たせるかをユーザが意図的に決定（あるいは制御）できる。

また、上記実施形態では、曲線タイプ指定部２により、生成したい放物型曲率曲線のタイプを指定する構成について説明したが、タイプを指定可能とすることを必須とするものではない。例えば、あらかじめ決められたタイプの放物型曲率曲線を生成するようにしてもよい。

また、上記実施形態では、曲線形状を示す測定データ等の入力曲線データから放物型曲率曲線を再構築する例について説明した通り、入力データはクレイモデル等の測定データに起因されるものに限定されない。例えば、第１条件を満たさないＢスプライン曲線を入力データとして、第１条件を満足するＢスプライン曲線を生成することにも本発明の方法を利用することが可能である。

その他、上記実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の一例を示したものに過ぎず、これによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその要旨、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

１ 曲線データ入力部
２ 曲線タイプ指定部
３ 曲線生成部

Claims (6)

1. 曲線形状を示す測定データまたはＢスプライン曲線の入力データから、全体として曲率変化が滑らかな曲線を生成する曲線生成装置であって、
   上記入力データをもとに、所定の条件を満たす放物型曲率曲線を生成する曲線生成部を備え、
   上記所定の条件は、曲率関数が弧長パラメータの２次式で与えられるという第１条件を含むことを特徴とする曲線生成装置。
2. 上記所定の条件は、上記曲線生成部により生成される上記放物型曲率曲線と上記入力データで示される曲線との偏差を最小化するという第２条件を更に含むことを特徴とする請求項１に記載の曲線生成装置。
3. 上記所定の条件は、上記曲線生成部により生成される上記放物型曲率曲線の捩率の大きさを最小化するという第３条件を更に含むことを特徴とする請求項１または２に記載の曲線生成装置。
4. 曲線形状を示す測定データまたはＢスプライン曲線の入力データから、全体として曲率変化が滑らかな曲線を生成するための曲線生成用プログラムであって、
   上記入力データをもとに、所定の条件を満たす放物型曲率曲線を生成する曲線生成手段としてコンピュータを機能させ、上記所定の条件として、曲率関数が弧長パラメータの２次式で与えられるという第１条件を用いることを特徴とする曲線生成用プログラム。
5. 上記所定の条件として、上記曲線生成手段により生成される上記放物型曲率曲線と上記入力データで示される曲線との偏差を最小化するという第２条件を更に用いることを特徴とする請求項４に記載の曲線生成用プログラム。
6. 上記所定の条件として、上記曲線生成手段により生成される上記放物型曲率曲線の捩率の大きさを最小化するという第３条件を更に用いることを特徴とする請求項４または５に記載の曲線生成用プログラム。