JPH02246448A - 変調システム - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 （産業上の利用分野） この発明は、チャンネルを介してデジタルデータを送出
するための変調システムに関する。

（従来の技術） 従来からの非符号化変調システムにおいては、Ｎ信号次
元当りｎビットを送出するためには、２″個の点のＮ次
元信号配置が用いられる。ｎビットの各群は２１Ｉの信
号点の１つへ独立に写像される０選択された信号点は例
えばパルス振巾変調（ＰＡＭ）送信機のＮ回の使用によ
り、又は直角振巾変１！　（ＱＡＭ）送信機のＮ／２回
の使用によってチャンネルに送信される。配置における
信号点は良好な信号対雑音比（ＳＮＲ）効率を達成する
ように選択され組織される。ＳＮＲ効率を決定する重要
なパラメータは、配置信号点とその平均電力との間の最
小２乗距離である。

これに対して、符号化変調システムにおいては、信号点
の許容しうる系列のセラ）　（ｓｅｔ）から導出される
系列としてデジタルデータが符号化される。

許容される系列は、符号の許容しうる系列の間の最小２
乗距離が系列の構成要素即ち信号点の間の最小２乗距離
よりも大きいように選択される。これには、必ずしも全
ての可能な系列が許容しうるものであるとは限らないこ
とが必要であり、配置の信号点の数が拡張されなければ
ならないことを意味する。配置の拡張はＮ次元当りｎピ
ントを送出するのに要する平均電力を増加させることに
なるが、最小２乗系列距離の増加は平均電力の増加を上
回っており、正味の「符号化利得」が達成される。

符号化変調システムには、ブロックとトレリスという２
Ｍの基本的な型式がある。

ブロック符号化システムでは、符号系列は信号点の有限
長のブロックであり、符号語と呼ばれることが多い、所
与のブロック内では信号点は互いに依存し合うが、異な
るブロックの信号点の間に相互依存性はない、信号点の
系列を定義するものとして符号語を考えるならば、ラテ
ィス（ｌａｔｔｉｃｅ）符号〔ここでは、符号語は多次
元ラティスのトランスレー）　（ｔｒａｎｓｌａｔｅ）
上の点である〕はブロック符号化システムとみなしてよ
い。

一方、トレリス符号化変調〔ウンガーベック著「多重レ
ベル／位相信号を伴うチャンネル符号化」ＩＥＥＥ）ラ
ンザクシッンズ・オン・インフォメーション・セオリ、
ＩＴ−２８１第１号、第５６−６７ページ（１９８２年
１月）〕においては、信号点の符号系列は原理的に無限
長であり、全系列にわたって広がる信号点相互依存性が
ある。

典型的には、符号化変調システムは、関連する信号配置
又は配置のファミリー（ｆａ■ｆｌｙ）と共に設計され
ていた。−船釣に、配置そのものは、Ｎ次元信号点が有
限の（例えば２１′ｏｒ個の点の）Ｎ次元信号配置に存
在する符号の全ての系列のサブラティス（ｓｕｂｌａｔ
ｔｉｃｅ）が許容しうる系列のサブラティスであるブロ
ック形である。つまり、配置はそれぞれのＮ次元で同一
であり、Ｎ次元の外側の信号点には依存していなかった
。

こうした配置は、可能な限り球形に整形されるならば、
改良されたＳＮＲ効率を達成することができる、という
ことが認識されている。

１９８７年６月１２日に出願された米国特許出願番号第
０６２．４９７号において、フォーニーは、族ラティス
のサブラティスのいわゆるボロノイ領域内に存在するラ
ティス〔又はラティスのコセット（ｃｏｓｅｔ）　）の
点を含む信号配置を記述している。ラティスのボロノイ
領域は、任意の他のラティス点との距離が原点との距離
に等しい点のセットである。つまり、配置境界を画定す
るためにラティスのボロノイ領域を使用することにより
、擬似球状配置の利点が達成される。こうしたボロノイ
配置は、コンウェー及びスローン著「ラティス符号及び
量子化器のための高速符号化法」ＩＥＥＥトランザクシ
四ンズ・オン・インフォメーション・セオリ、第１Ｔ−
２９巻　第８２０−８２４ページ（１９８３年）及びフ
ォーニーの米国特許出願番号第１８１，２０３号（１９
８８年４月１３日出願、２次チャンネルを支持するため
にヴオロノイ配置の点を利用する）でも検討されている
。

（発明の概要） この発明は、改良された性能を達成する、いわゆるトレ
リス整形変調システムである。この発明においては、上
記のごとく信号点配置から導出された信号点の系列へデ
ジタルデータ列を写像する代りに、データ列は、各Ｎ次
元で反復的に用いられる単一のＮ次元配置の単なるデカ
ルト積ではない利用可能な系列のいわゆる系列空間から
導出された信号点の系列へ写像される。系列空間の利用
可能な系列によって占有される領域は所要電力を最小と
するように整形される。例えば、該領域はトレリス符号
の基本領域、特に、トレリス符号のヴオロノイ領域への
近似（そこではトレリス符号は反復されたラティス符号
ではない）からなる。

一般に、この発明の一つの特徴においては、デジタルデ
ータ列は、デジタルデータ列に基づいて全ての可能な信
号点系列のサブセット（ｓｕｂｓｅｔ）から信号点系列
を選択することによって、データ伝送のために信号点系
列へ写像される。ここで、サブセットにおける全ての可
能な信号点系列はトレリス符号の基本領域に存在し、該
基本領域は有限次元領域の単純デカルト積以外のもので
ある。

この発明の好ましい実施例は以下の特徴を含む。

サブセットにおける可能な信号点系列は、トレリス符号
がサブコード（ｓｕｂｃｏｄｅ）である第２の符号のト
ランスレートからの符号系列であって、該第２の符号は
トレリス形又はラティス形である。

基本領域はは一′トレリス符号のヴオロノイ領域であり
、最小距離複号器〔例えば、有限な遅れＭ（≧１）を持
つ最小距離複号器〕への近似によってトレリス符号のゼ
ロ系列へ復号される可能な信号点系列のセットを含む、
−層広くいうと、基本領域は、トレリス符号のための任
意の復号器の共通誤り領域へ復号される可能な信号点系
列のセットであってよい。

信号点系列を選択する段階は、トレリス符号の一致クラ
ス（ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ　ｃｌａｓｓ）に所属し且つ
該クラスを表わす初期信号点系列へデジタルデータを写
像し、次いで、初期信号点系列に比較して平均電力が小
さいか等しく一層クラスに所属する信号点系列を選択す
る段階を含む、い（つかの実施例においては、写像する
段階は、トレリス符号の時間ゼロ・ラティスの基本領域
内に存在する点を含む初期配列に所属する信号点へデジ
タルデータ列を写像する段階を含む、他の実施例におい
ては、写像する段階は、デジタルデータ列の要素の一部
をコセット代表発生器に適用して、コセット代表系列を
表す一層多くの数のデジタル要素を形成する段階を含む
。

後者の実施例においては、信号系列を評価されたデジタ
ル要素の系列へ復号し、次いで、フィードバックフリー
のシンドローム形成器（ｓｙｎｄｒｏｍｅｆｏｒｍｅｒ
）を用いて前記の評価されたデジタル要素の部分に基づ
いて、−層少ない数のデジタル要素のシンドロームを形
成することによって、信号点系列の雑音汚染されている
可能性がある変形から、デジタルデータ系列を再生する
。なお、シンドローム形成器はコセット代表発生器の逆
である。

ある実施例では、前記系列の信号点は２Ｄ配置に属し、
前記信号点系列を選択する段階は、前記系列の信号点が
２Ｄ配置の原点の半径Ｒ内にあるように規制される。特
に、一致クラスに属する信号点系列を選択する段階は、
２Ｄ配置に属する信号点を含む最終信号点系列の初期信
号点系列を復号する段階を含み、該復号段階は、配置の
原点から所定の半径Ｒを上回らない大きさを信号点が持
つ最終信号点系列のみが用いられるように規制される。

ある実施例においては、一致クラスに所属する信号点を
選択する段階は、（ａ）ビタビ（Ｖｉ　ｔｅｒｂｉ）ア
ルゴリズムを用いて初期信号点系列を符号系列へ復号し
、（ｂ）復号された系列が第２の符号における許容しう
る系列であることを保証する操作をビタビアルゴリズム
の反復毎に行う段階を含む。

該操作は、ビタビアルゴリズムのトレリスにおける選択
された履歴径路の距離（ｍｅｔｒｉｃ）を、選択された
径路がビタビアルゴリズムの次の反復における最も起り
得る径路にならないように調節する段階を含む、履歴径
路は、ビタビアルゴリズムのトレリスにおける特定の場
所での特定の状態遷移を含むかどうかに基づいて選択さ
れる。前記操作は、トレリスにおける選択された履歴径
路へ大きな距離を割当てる段階を含む。

ある実施例においては、初期配置に所属する信号点の系
列へデジタルデータ列を写像する段階は、初期配置から
信号点を選択するために、データ列のデータ要素をビッ
ト群に変換する段階を含み、該ビット群は、９０度の１
倍、２倍又は３倍の位相回転を受けた送信系列のチャン
ネルで影響された変形から再生することができることを
保証するように差動的に符号化される。

この発明の他の特徴においては、デジタルデータ列は、
時間ｊまでにデジタルデータ列に現われるデジタルデー
タに基づいて、送出されるべき系列を選択する可能な系
列のクラスを決定する段階と、時間ｊ後に系列に現われ
るデジタルデータに基づいて、可能な系列のクラスから
、送出されるべき系列を可能な時間ｊ毎に選択する段階
とを含む技術によって信号点へ写像される。

−船釣に、別の見方においては、送出されるべき信号点
の系列を、デジタルデータ列におけるデジタルデータに
よって特定される可能な系列のクラスから選択し、該選
択が該クラスの異なる可能な系列の平均電力に基づいて
おり、該選択がデジタルデータの有限のブロックにのみ
基づいてはいないことを特徴とする。

好ましい実施例は以下の特徴を含む。

データ列の各データ要素（二進ｂビット値）は２１個の
点の初期配置における点へ写像される。

初期配置からの点の結果とじての系列は、可能な系列の
クラスの代表系列を含む。データ要素の初期配置での点
への写像は線形又は距離不変性である。各要素の写像は
任意の他の要素の写像とは独立に行われる。

初期配置における点の系列は、トレリス符号に従って、
最大可能性系列評価によって復号される。

所与の点に対する複号処理の最終判定は時間ｊに続く少
くとも１つの間隔まで遅延される。基本領域は復号器の
共通誤り領域であり、初期配置における点の系列は共通
誤り領域内の誤り系列へ復号される。共通誤り領域内の
系列における信号点は初期配置よりも大きい最終配置を
含む。

上記方法によって達成される整形利得は符号化利得によ
って増加される。

受信機では、デジタルデータ列は、初期配置の点の系列
を再生するように送出信号点の系列を復号し、次いで、
初期配置の点の系列を逆写像してデジタルデータ列を再
生することによって再生される。送出された信号点の系
列の複号処理は、その他の点とは独立に各点について行
われる。

トレリス符号が使用される場合、それは線形トレリス符
号、例えば４状態ウンガーベック符号又は二重ウェイ（
ｄｕａｌ　Ｗｅｉ）符号である。トレリス符号は二進ラ
ティスの分割に、又は、二進ラティス又は四進ラティス
の分割に基づいている。

また、この発明は、前記の特徴を組み込んだモデムを特
徴とする。

この発明は大きな総合利得を比較的に低い複雑度で達成
する。

他の利点及び特徴は好ましい実施例の以下の説明及び特
許請求の範囲から明白になる。

（実施例） 月、ｌＪばＵ１理 最初に、この発明の基礎となる用語と原理について検討
する。

立主土久 Ｎ次元の実ラティスΔはＮ−タプル（Ｎ−ｔｕｐｌｅｓ
）即ち点の離散集合、即ち実ユークリッドＮ空間ＲＮの
要素の離散集合（Ｒ’に広がると仮定する）であり、ベ
クトル加算下の２つの任意のラティス点の和又は差は別
のラティス点であるという群特性を持つ　ＲＭの２つの
要素は、（ラティスの点であるかどうかに拘らず）それ
らの差が八における点であるならば、−敗する一ｏｄ　
Ａ（ｃｏｎｇｒ−ｕｅｎｔ　ｍｏｄＡ）であると言われ
る。所与のＮ−タプルに一致する全ての要素の集合はへ
のコセット〔又は−敗クラス（ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ　
ｃｌａｓｓ）又はトランスレート（ｔｒａｎｓｌａｔｅ
）　Ａ　＋　ａとよばれる。

幾何学的には、ラティスΔはその点の間の最小２乗距＠
ｄ”ｍ１ｎ（Δ）により、及び、それぞれのラティス点
に関連したＮ空間の体積である基本領域■（Δ）によっ
て特徴付けられる。

−１孟１１」し幻ｌ盪 への基本領域は各一致クラスｓｏｄ　Ａからの唯一の点
を含むＮ空間の領域として定義される。への任意の基本
領域の体積はＶ　（Ａ）である。

へのボロノイ領域Ｒｖ（Δ）は、原点に対する距離と他
の任意の点における距離とが少くとも同じ位に近接して
いるＲＮにおける全ての要素のセットである。ボロノイ
領域Ｒｖ（Δ）はＡの基本領域のクロージ中（ｃｌｏｓ
ｕｒｅ）であり、その体積はＶ（Δ）である。

一１丈コノじ嬶走別 へのサブラティス八は、ラティスである八における点の
サブセット　（ｓｕｂｓｅｔ）である、Δはへのスーパ
ーラティス（ｓｕｐｅｒｌａｔｔｉｃｅ）でもある、λ
はへのサブグループ（ｓｕｂｇｒｏｕｐ）であるから、
ＡばＡ′のコセット　（一致クラス）の成る数１Δ／Ｎ
のユニオン（ｕｎｉｏｎ）である、つまり、λはへのΔ
／１様の分割（ｐａｒｔｉｔｉｏｎ）である０分割はΔ
／Ａ’で指示される。　（より一般的には、Ａの任意の
トランスレートΔ＋ａは１八／λ１のコセットのユニオ
ンである。）数１Δ／λ１は分割へ／Ａ′の次数（ｏｒ
ｄｅｒ）又はＡにおけるＡ′のインデックスとよばれる
。八におけるＩ　Ａ／Ａ　Ｉのコセットのコセット代表
のセットは、各セットからの１つを含む１Δ／λ１のタ
プルの任意のセットで、〔Δ／Ａ′〕で表わされる。

八がへのサブラティスであれば、への基本体積Ｖ　（Ｘ
）は１八／Ｎ　Ｉ　Ｖ（Ａ）　に等りい。

二進ラティス 二進ラティスΔは、サブラティスとして２″ＺＮを持つ
整数ラティス（整数）−タプルのＮ次元ラティスＺＨの
サブラティス）であり、Ｚ’／Ａ／２”ＺＮはラティス
分割鎖（ｌａｔｔｉｃｅ　ｐａｒｔｉｔｉｏｎ　　ｃｈ
ａｉｎ）である、最小のこうしたｎはラティスへの２−
デプス（２ｄｅｐｔｈ）とよばれ、Ａはそこで５ｏｄ−
２”ラティスとよばれる。

５ｏｄ−２ラテイスΔはサブラティスとして２ＺＮを有
するＮ次元の整数ラティスである。どのｍａｄ−２ラテ
イスも、長さＮの線形二進ブロック符号Ｃにおけるコー
ドワードとコングルーエンド５ｏｄ−２である全ての整
数Ｎ−タプルのセットとして特徴付けられる。Ｃが（Ｎ
、　Ｋ）符号であるならば、分割ＺＮ／Ａ及びＡｌ２Ｚ
’はｌ　Ｚ’　／Ａ−２’−”、ＩＡ／２Ｚ”ｌ−２”
であり、Ｃの２１のコードワードは１Δ／２　Ｚ’１様
分割八／へ　Ｚ’のコセット代表のセット〔Ａｌ２ ＺＭ）とみなしうる、一方、全ての二進Ｎ−タプルのセ
ット（Ｎ、Ｋ）におけるＣのコセットに対するコセフト
代表（（Ｎ、Ｎ）／Ｃ）の任意のセットは、ＺＨにおけ
るへのコセットに対するコセット代表（Ｚ’／Ａ）のセ
ットとして（整数Ｎ−タプルとして）取り上げられる。

こうした■ｏｄ　−２ラテイスをＡ（Ｎ、。という表示
によって表わす。

コンス−−ニーエン　　Ｄ−−ス 請ｊｕ旧ル度 Ｎ次元ラティスへのコンスティテユーエント（ｃｏｎｓ
ｔｉｔｕｅｎｔ）　　２　Ｄラティス八、はへの２次元
へのプロジェクシヨン（ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）である
（Ｎ次元の中からの２次元の任意の選択に対して同一で
あると仮定する）０通常、八、がＺ”（整数２−タプル
の二次元ラティス）であるように整数を調整する。Ｎが
偶数であり、Ａ、が多対の次元に対して同一であるなら
ば、八は（Δ、）　１１／１のサブラティスである。へ
の冗長度ｒ（八）は八２・２１でアルナラば２’　”＝
　ｌ　（Ａｔ）”富／Δｌ即ちＩＺＮ／八１でへるよう
に定義される。（２次元当りの）への正規化された冗長
度ρ（Δ）はρ（八）＝２ｒ（Δ）／Ｎとして定義され
る。つまり、ｓｏｄ〜２ラティスＡ　ＯＩＩ　ｔ＋の冗
長度はＮ−にであり、そのの正規化された冗長度は２　
（１−に／Ｎ）である。

Ｎ次元ラティスのコンスティテユーエント２Ｄサブラテ
ィス八、′は（２つの次元の任意の選択に対して同一で
あると仮定して）２つの次元へ投影して、これら２つの
特定の次元を除きコンポーネントが全てゼロであるへの
全ての要素のセットである。Ｎが偶数であり八ｚ′が多
対の次元に対して同一であるならば、（Ａｘ’　）””
はへのサブラティスである。

二進ラティスに対しては、コンスティテユーエント２Ｄ
サブラティスはラティスＺ２の変形Ｒ’　Ｚ　”１７）
無限チエ−７２”／ＲＺ”／Ｒ’Ｚ”／　・・・におけ
るラティスである。ここで、Ｒは２×２マトリツクスＲ
＝（（１，１）、　　（−１，１））によって特定され
るノルム２倍化（ｎｏｒｍ−ｄｏｕｂｌｉＢ）回転演算
子で、それぞれの分割ＲｊＺｔ／Ｒｊ″ＩＺ１の次数は
２である。ただし、Ｒ”Ｚ”＝２２ｔである。二進ラテ
ィスへのデプスμはＲ１ＩＺｔ！がＡのサブラティスで
あるような最小の整数μである。

そこで、ＲＡ’ＺＮが（Ｒ＃ｚｔ）Ｈ２Ｎを意味すると
して、Ａｔ’＝ＲＩＺ”であるならば、２ＩＩ　（Ａｌ
　ａｘ１Δ／　（Ａｔ’　＞“１即ちＩＡ／Ｒｊ’ＺＮ
　ｌであるようにへの情報提供度（ｊｎｆｏｒｓ＋ａｔ
ｉｖｉｔｙ）　ｘ　（Ａ）が定義される。（２次元当り
の）への正規化された情報提供度に（Δ）はに（Δ）＝
２Ｋ（Δ）／Ｎとして定義される。つまり、５ｏｄ−２
（及びデプス−２）ラティス八（Ｎ＋　１１１１の情報
提供度はＫであり、その正規化された情報提供度は２に
／Ｎである。

−−スノ　し奮スＵ 糸Ａ アルファベットＡからの要素ｘｊの系列Ｘ＝（Ｘ・、×
１．・・・・）は時間ｊ＝０で始まるものと定義される
。全ての可能なこうした系列（ｓｅｑｕｅｎｃｅ）のセ
ットはＡ“として表わされる。つまり、要素がラティス
Ａに所属する全てのセットはＡ″と表わされる。任意の
八に対して、セット八〇はシーケンス加算下の群特性を
有し、したがって無限次元ラティスである。

上ｙ工λ葺号 ラティス状トレリス符号Ｃ〔以後、単にトレリス符号（
ｔｒｅｌｌｉｓ　ｃｏｄｅ）という〕はラティス分割Ａ
／Ａ’及びコンポルージョン符号器（ｃｏｎｖｏｌｕ−
ｔｉｏｎａｌ　ｅｎｃｏｄｅｒ）　Ｅ　（又はコンポル
ージョン符号Ｃ）によって定義される。以後、Δ及びＮ
は二進ラティスであるとする０分割Ａ／Ａの次数１八／
λ１ば２つの累乗、例えば２菖／「である、八における
λの２に″のコセットのそれぞれは（ｋ＋ｒ）ビットの
ラベルによって識別される。

第１図を参照すると、符号器ＥｌＯは比に／（ｋ＋ｒ）
の二進コンポルージョン符号器、即ち有限状態マシンで
、その入力系列Ｘ　＝（Ｘ　Ｏ＋　Ｘ　Ｉ＋・・・）は
二進に一タプルｘ、１２の系列であり、その出力系列）
’＝　０’＠、Ｖ＋＋・・・）は二進（ｋ＋ｒ）タプル
ｙｊ１４の系列であって、入カー出カマツブは（加ｇｍ
ｏｄ−２の下では）線形であって時間不変である。符号
器Ｅは有限状態（ゼロ状態とよばれる）において始まり
、入力ＸＪが全てゼロである限りゼロ状態を維持する。

その間、出力ｙｊも全てゼロを維持する。出力（ｋ十ｒ
）−タプルｙＪは、ラベル計画（ｌａｂｅｌｉｎｇ　ｓ
ｃｈｅｍｅ）に従って（分割１８はＡ／Ａに対して）八
におけるへのコセット１６の系列を選択する。

トレリス符号Ｃ（Ａ／Ａ　、　Ｃ）は、符号器Ｅによっ
て選択され得るへのコセットの系列に含まれる、即ちコ
ンボルーシ町ン符号Ｃの符号系列におけるラベルを有す
るへの要素の全ての許容し得る系列Ｃから成る。つまり
、旦（八／Ａｒｃ）は−般にラティス八〇の適正なサブ
セットである。なぜならば、Ａ６″における系列はトレ
リス符号−Ｃ−において許容されないからである。−Ｃ
−が八“であるトリビアルな場合があり、縮退した「１
状態」線形トレリス符号として八〇が示される。

（従来の符号はへのトランスレートＡ＋ａからの信号点
を使うことが多い、ここでは、こうした符号の系列を旦
（Ａ／Ａ’　ｉ　Ｃ）における符号系列のトランスレー
ト−Ｃ（八／　Ａ′；　Ｃ）　＋　ａ　”とみなし、そ
の要素は八そのものにあるように規則される。） トレリス符号器（八／Ａｒｃ）の冗長度ｒ　（Ｃ）はラ
ティスＡと符号Ｃとの冗長度の和として定義され（ｒ（
Ｃ）＝ｒ　（Δ）＋ｒ）、その正規化された冗長度はρ
（Ｃ）＝２　ｒ　（Ｃ）／Ｎと定義される。その情報提
供度はｋ（旦）−Ｋ　（Ａ）＋にであり、その正規化さ
れた情報提供度はに（旦）−２ｋ　（Ｃ）　／Ｎテある
。Ｚ”／ｈ／Ｒ／ＲＥ　Ｚ’は次数ＩＺ’／Δｌ＝２「
ＩＡＩの分割チェーンであるから、１ΔｌＡ’ｌ−２”
”ｌＡ′ｌＲｊ’ＺＮｌ−２”Ｎである。ここで、μは
へのデプスであり、ＩＺ″／Ｒ”ＺＮｌ＝２””、ｒ　
（Ｃ）　＋）ｃ　（ｃ）＝μＮＥ　　２である。

線長上ｙ丈ス丑号 線形トレリス符号器（へ／へ；Ｃ）においては、任意の
２つの符号系列の和は符号系列である。

八におけるＡ′のコセットのラベリング（ｌａｂｅｌｉ
ｎｇ）はその（ｋ＋ｒ）ビット・ラベルの（ｍｏｄ２）
和であり、Ｎの２つのコセット、例えばλ＋ａとＡ′＋
ｂとの和は、両コセットの要素の全ての和を含むコセッ
トλ＋（ａ＋ｂ）として定義される。

線形ラベリングにおいて常にあてはまるように、ゼロ・
ラベルがへのゼロ・コセット（Ａそのもの）に対応する
ならば、Ｃにおけるゼロ値の要素の符号系列によって選
択されたＣ　ＣＮ／Ａ：　ｉ　Ｃ）における全ての系列
のセットは（Ａ）　″であり、（Ａ′）″はＣ（Δ／Ａ
ｒｃ）のサブセットである。

つまり、ｃ　＜Ａ／Ａ′：　ｃ＞が線形トレリス符号で
あるならば、Δ″′／旦（Δ／Ａ′；Ｃ）／（＊）’″
は無限次元ラティス分割チェーンである。

Δ及び八が共に５ｈｏｄ　　２ラテイス、例えばΔ（８
、ｌ及びΔ（８１，りであるという場合には、旦（Δ。

、Ｋ＞　／　Ａ　（Ｎｏ　Ｋす；Ｃ）が線形トレリス符
号であるようにラベリングを選択することは常に可能で
ある。なぜなら、（Ｎ、に’　）符号は（Ｎ。

Ｋ）符号のサブコードでなければならず、Δ（８，にり
におけるＡ（ＮＩ　Ｋりの２ｆ−１ｆ′のコセットは（
Ｎ。

Ｋ）符号における（Ｎ、　Ｋ’　）符号のコセットと同
型だからである。二進（Ｋ、　Ｋ’　）−タプルから（
Ｎ、　Ｋ）符号における（Ｎ、　Ｋ’　）符号のコセッ
ト代表への線形写像（■ｏｄ−２）があり、Ａ１Ｎ＋。

におけるΔ。＋　Ｋ　’３のコセットのコセット代表と
しても扱われる。ラベリングがこうした線形写像である
ならば、旦（Ａ＋、Ｉ、ｘ＋／Δ（８，にり；Ｃ）は線
形トレリス符号である。この場合、旦を５ｏｄ−２トレ
リス符号とよび、（Ｚ’）”／Ａ”／Ｃ（Ａ／λｉ　Ｃ
）／（１″’／（２２Ｎ）“はラティス分割チェーンで
ある。

旦が５ｏｄ−２）レリス符号であるならば、２Ｎ様（２
’−ｍａｙ）分割Ｚ’１２Ｚ”及び増（ａｕｇｍｅｎ　
ｔｅｄ）比ｋ（旦）／　（ｋ（Ｃ）＋ｒ　（Ｃ））コン
ポルージョン符号ｃ’　　（ここでｋ（旦）＋ｒ（旦）
−Ｎである）に基づいて、旦は常に符号−Ｃユ（Ｚ’／
２ＺＮ；Ｃ′）として表わされる。適切なラベリングに
より、符号Ｃ′における二進Ｎ−タプル符号系列にコン
グルーエンドｍａｄ　２である全ての整数Ｎ−タプル系
列のセットとして旦を記述してよい。

簡単化のために、以後、全ての−ｏｄ２）レリス符号旦
はこの形をしているものと考える。トレリス符号ｃ−は
ルー）ｋ（Ｃ）／ＮＮコンボルーシラン符号器よって発
生される。

曹　ゼロ、　　　　−−ス 任意の比に／（ｋ＋ｒ）コンポルージョン符号器已に対
して、時間ゼロ符号Ｃ０は、２１の可能な時間ゼロ人力
に一タプルχ０によって時間ｊ＝０に選択され得る全て
の２にの出力（ｋ＋ｒ）−タプルｙ、のセットとして定
義される。線形性により、（全てのこうしたｙ６が明確
であると仮定して）Ｃ６は（ｋ＋ｒ、ｋ）線形二進ブロ
ック符号である。

これに対応して、旦の時間ゼロ・ラティス八〇はへの２
にの対応するコセットのユニオンとして定義される。（
上記の−Ｃユの定義はこのユニオンがラティスであるこ
とを要するのに不充分であるが、実際上は常にこのよう
に定義される。）つまり、時間ゼロ・ラティスＡ０は次
数２にのへのスーパーラティスであり、へのサブラティ
スである。

八／λ１−２に′であるから、１Δ／Ａ６　ｌ　＝２１
であるということになる。

Ｃ（Ｚ”／２　ｚＮ、ｃ）　が分割Ｚ’／２２Ｎ及び比
に／ＮＮ符号器基づ＜ｓｏｄ　　２）レリスであるなら
ば、その時間ゼロ・ラティスは、時間ゼロ符号Ｃ０にお
けるコードワードにコングルーエンド５ｈｏｄ　　２で
ある全ての整数Ｎ−タプルを含む５ｏｄ−２ラテイスΔ
・＝Δ＋Ｎ＋　Ｋｌ　であり、（Ｎ、　Ｋ）二進ブロッ
ク符号である。

時間ゼロ符号は、符号器状態がゼロのとき可能な出力（
ｋ＋ｒ）タプルＶｏ−Ｖ（ＸＪのセットを表わす、任意
の符号器状態ｓ、に対して、ｙ　（ｏ。

３Ｊ）がＸ、−Ｏのときの符号器出力であるならば、線
形性と時間不変性とにより、出力は符号器入力がＸＪで
あるならば）’　（ＸＪＩ　　Ｓｊ）　＝Ｙ　（ＸＪ）
　＋ｙ　（ｏ、　　３Ｊ）であり、可能な出力（ｋ＋ｒ
）タプルのセットは時間ゼロ符号Ｃ０のコセットである
。それに対応して、任意の実際のコセット符号−ｐユに
おいては、任意の符号器状態Ｓｊに対応する可能な信号
点のセットは、八における時間ゼロ・ラティス八、のコ
セットを形成する八におけるへの２にのコセットのユニ
オンである。

旦（Ｚ”／２Ｚ’Ｃ）が時間ゼロ符号Ｃ０及び時間ゼロ
・ラティスＡ、−へ（Ｎ＋。をイ半う―ｏｄ−２トレリ
ス符号であるならば、Ａ、のコセットは、Ｃ０の所与の
コセットにおける任意のワードにコングルーエンド−ｏ
ｄ　２である全ての整数Ｎ−タプルのセットであり、Ｃ
０のコセットに対するコセット代表の任意のセット（（
Ｎ、Ｎ）／Ｃ，）を、ＺＮにおけるＡ、のコセットに対
するコセット代表のセット（Ｚ”　／Δ、〕として扱う
。

レ　　ス　　　の 線形トレリス符号Ｃ（無限次元ラティス）に対して、Ｒ
（Ｃ）がＣの基本領域であるとすると、ＣがＣにおける
全ての符号系列に亘るときのＣによるＲ　（Ｃ）のトラ
ンスレートのセットは、以下に示すように、系列空間（
Ｒ”　）″の消耗性（ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅ）分割であ
る。多くの良好なトレリス符号、例えば４状態２Ｄウン
ガーベック符号（前掲ウンガーベック著「多重レベル／
位相信号に伴うチャンネル符号化）やほとんどのウェイ
符号〔ウェイ著「多次元配置によるトレリス符号化変調
ＪＩＥＥＥ）ランザクションズ・オン・インフォメーシ
ョン・セオリ、第１Ｔ−３３巻、第１７７〜１９５ペー
ジ（１９８７年〕〕は、線形ラベリングを持つ５ｏｄ−
２ラテイスの分割に基づいており、したがって線形であ
る。

残りのウンガーベック符号やほとんどのカルダーバンク
禦スローン符号〔カルダーバンク及ヒスローン著「ラテ
ィス及びコセットに基づく新規なトレリス符号ＪＩＥＥ
Ｅトランザクションズ・オン・インフォメーション・セ
オリ、第２５巻第１号、第１２−２１ページ（１９８７
年）〕のような他の公知のラティス形のトレリス符号は
、Ｎがｓｏｄ　　４二進ラテイスである分割Δ／Ｎに基
づいている。これらの符号と共に用いられるラベリング
は線形ではなく、所与の符号系列Ｃから旦における全て
の他の符号系列までの距離の分布がＣとは独立であるこ
とを保証する「規則性（ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ）　Ｊと
よばれる弱い条件を満足する。二がこうした距離不変特
性を有するとき、系列空間は、旦における符号系列Ｃの
１つにそれぞれ中心を持ち幾何学的には同一の領域に消
耗的に分割されうる。めのため、ゼロ系列に中心を置（
領域は代表基本領域として扱われる。

レ　　ス　　　の トレリス符号器の消耗性復号器（ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅ
ｄｅｃｏｄｅｒ）は、系列空間（Ｒ’　）″における任
意の系列ｒから旦における系列Ｃへの任意の写像ｃ　（
ｒ）である、任意の特定の符号系列Ｃに関連する判定領
域（ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｒｅｇｉｏｎ）Ｊｌ　（ｃ　）
は、Ｃへ写像する全てのｒのセットである。ｒに関連す
る明白な誤り（又は単に誤りという）はｅｃｒ）＝ｒ−
ｃ（ｒ）であり、（ｃ　（ｒ）−ｃであるような全ての
ｒに対する明白な誤りｅ　（ｒ）のセットである）Ｃに
関連した誤り領域は−Ｒ，（ｃ）−且（Ｃ）−Ｃである
。どの判定領域−Ｒ（ｃ）もＣを含むとすると、どの誤
り領域尺（ｃ）もゼロ系列０を含む。

旦における全てのＣに対する全ての判定領域Ｒ（ｃ）の
セットは系列空間（Ｒ’）〜の消耗性分割を形成する。

線形トレリス符号器のフェア（ｆａｉｒ）消耗性復号器
は、ｒがＣへ写像するならば旦における全てのＣ′に対
してｒｆｃ’がｃ＋ｃ’へ写像するような写像である。

その結果、符号系列Ｏに対応する判定領域が且（０）で
あるならば、任意の符号系列Ｃに対応する判定領域はＲ
（ｃ）　−Ｒ（ｏ）　＋Ｃであり、Ｃにおける全てのＣ
に対して共通誤り碩域且、（Ｃ）−且、（ｏ）＝Ｒ（ｏ
）が存在する。

つまり、旦における全てのＣに対して共通誤り領域−Ｒ
（ｏ）のトランスレート且（ｏ）＋ｃからなる系列空間
（Ｒ’）　”の消耗性分割が存在する。

旦が線形トレリス符号であるとすると、（Ｒ”）”’に
おける２つの系列は、その差が旦の要素であるならばコ
ングルーエンドｓｏｄ　Ｃであるとよばれる。

旦は系列加算の下でのグループであるから、コングルー
エンド（ｃｏＢｒｕｅｎｃｅ）　ｎｏｄ　Ｃ−は等価関
係であり、等価（一致）クラスへ系列空間（Ｒ”）″を
分割する。線形トレリス符号−Ｃ１の基本領域且（交）
は、各一致クラス＋＊ｏｄ　Ｃからの唯一の系列を含む
セット（！ＩＩち、（Ｒ’）″におけるＣのコセットに
対するコセット代表のセット）である、そこで、（Ｒ’
）ｌにおける全ての系列ｒは、ＣにおけるＣ及び且（旦
）におけるｅに対して和ｒ＝ｃ＋ｅとして独特に表わさ
れ得る。即ち、（Ｒ”）″′−旦＋Ｒ（Ｃ）と書くこと
ができるコセット分解（ｃｏｓｅｔ　ｄｅｃｏｓｐｏｓ
ｉｔｉｏｎ）が存在する。

明らかに、且（旦）は、旦に対するフェア消耗性復号器
の共通誤り領域ｆｌ（０）であるならば、またその場合
のみ、線形トレリス符号器の基本領域である。つまり、
適切な復号器を特定することにより、基本領域を特定す
ることができる。

レ　　ス　　　　の 線形トレリス符号−Ｃ−の単純基本領域は、以下のよう
に、旦に対する「確定判定復号器（ｈａｒｄｄｅｃｉｓ
ｉｏｎ　ｄｅｃｏｄｅｒ）　Ｊによって特定される。

且。が時間ゼロ・ラティスΔ。の単純基本領域であると
する。Δ。の任意のコセットΔ。＋ａに対して、ＲＮに
おけるどの点ｒもｒ−（ｃ＋ａ）＋ｅと独特に書き表わ
しうる。ただし、（ｃ＋ａ）はΔ。＋ａの要素であり、
ｅはＲｅの要素である。

これは、共通誤り謂域且。を有する八。のトランスレー
ト八、＋ａに対するフェア消耗性復号器を特定する。

時間ｊ−〇において、確定判定復号器はｒの最初の要素
「。を受は取り、該復号器を用いてＣの最初の要素Ｃ０
に対する「確定判定」を行う、これによって、符号器Ｅ
の時間ｊ＝１における評価された状ｍｓ＋が決定され、
可能な次の要素ｃ。

のセット即ち時間ゼロ・ラティスΔ、のコセットΔ。＋
ａ（ｓ、）が決定される０次いで、ｒの次の要素ｒ、が
与えられると、確定判定復号器は上記の八。

＋ａに対する復号器を用いて、Ｃの次の要素Ｃ１に対す
る確定判定を行う。以下同様。

任意のＣに対して、この確定判定復号器は（ｆｌ。）″
即ち且。の要素の全ての系列のセットに等しい共通誤り
領域を持つ、したがって、該復号器は（良質なものでは
ないけれども）フェア消耗性復号器であり、（且。）″
は線形トレリス符号−Ｃ−の単純基本領域である。

基本領域（且。）６は基本領域且。のデカルト積であり
、Ｎ次元当りＶ（Ｒｏ）−Ｖ（Δ。）の体積を持つもの
とみなしうる。旦の任意の他の基本領域は（Ｒｏ）“１
ｌＩｏｄ　Ｃにコングルーエンドであり、したがって、
同一の体積を持つものとみなしうる。

つまり、時間ゼロ・ラティス八。を持つトレリス符号器
の基本体積はＮ次元当りＶ（Δ。）である。

レ　ス　　のボロ　イ 系列の任意の系列に対して、最小距離系列復号器を特定
する際に概念的な困難がある。なぜなら、所与の系列ｒ
とセットにおける全ての系列との間の二乗誤差（二乗ユ
ークリッド距離１１ｅは通常は無限である。しかしなが
ら、系列のセットが有限状態符号器已によって発生され
たトレリス符号器であるとき、最小距離複号器は、その
入力が系列ｒであるならば、無限定メモリを持つ旦に対
するとタビアルゴリズム復号器によって発生される符号
系列ｃ　（ｒ）として動作的に特定される。

トレリス符号器のボロノイ領域Ｒｖ（Ｃ）　は、符号系
列０へ写像する（Ｒ’）″における全てのｒのセットと
して、即ち最小距離ビタビアルゴリズム復号器の判定領
域且（ｏ）として定義される。Ｃ−が線形トレリス符号
であるならば、これは任意の符号系列Ｃに対するこうし
た復号器の共通誤り領域且（ｏ）である。

トレリスの２つの経路が同一距離（二乗距離）を持つ状
態収束するときに復号器は何を行うか、経路は任意に長
い時間に初期セグメントにおいて何時収束しないか等の
問題は、基本的には、異なる符号系列に対応する判定領
域の間の境界上に系列ｒが存在するとき即ちタイ（ｔｉ
ｅ）の場合に復号器は何を行うかを含む、ラティスのボ
ロノイ領域の場合、ボロノイ碩域且ｖ（Ｃ）をその境界
点の全てを含むものと定義することによって、こうした
問題を回避しうろことは明らかである。ボロノイ領域の
境界は系列空間における測度（ｍｅａｓｕｒｅ）ゼロの
領域であるから、どのように境界タイ（ｂｏｕｎｄａｒ
ｙｔｉｅ）を解決するかは通常は問題ではない、しかし
ながら、配置設計においては、境界点及び境界タイに特
に注意を払う必要がある。

モトビ　ビ′。

実際のビタビアルゴリズムは有限の復号遅延Ｍを有する
。こうした復号器は、ｒの最初のＭ＋１コンポーネント
（ｒｅ、　ｒ＋＋　、、、＋ｒＮ　）に基づいて、Ｃの
最初のコンポーネントＣ，したがって符号器の状態Ｓ、
に対して確定判定を行う、そこで、予測された状１！Ｓ
Ｉが与えられると、（ｒｌ＋　ｒ３＋・・、ｒ、、、）
に基づいてＣ５に対して確定判定を行う、以下同様、こ
うした復号器は次善のものであるが、Ｍが無限大に近づ
くにつれ、その性能は無限定メモリを持つビタビ復号器
のそれに近づく。

Ｍ−０に対して、Ｒ，が時間ゼロ・ラティスΔ。

のボロノイ領域であるとして、こうした復号器は前記の
確定判定復号器になる。つまり、最適確定判定復号器（
ゼロ遅延）で始まり最適最小距離予測器（無限遅延）に
近づく、増加する復号遅延Ｍを持つ「判定帰還」ビタビ
復号器の系列が存在する。

性能がＭと共に単調に増加しなければならないのは明白
である。ｉ大見込み系列予測の他の応用（例えば、畳込
み符号、シンボル間干渉）の場合、有限メモリ判定帰還
復号器の性能は、長さＭ＋１のブロックに適用できる技
術の変形を用いて分析可能であり、無限次元トレリス符
号は有限次元ラティスに適用可能な技術の変形によって
分析することができる。

後に、下記の補助定理が必要となる： 補助定理：トレリス符号Ｃ（Ａ／バｉｃ）のボロノイ領
域Ｒ，（Ｃ）はΔ′のボロノイ領域Ｒ（１の要素の全て
の系列のセット（Ｒｖ（八）〕〜に含まれる。

その証明は、旦は＜Ｓ＞″のコセットのユニオンである
から、（八）″のコセットの各々を個別に復号し、その
結果の系列のうちの最も近いものを選択することにより
、−Ｃ−に対する最小距離複号器を原理的に実現するこ
とができるということである。（Ｎ）″の任意のコセッ
トの最小距離複号器に対する共通誤り領域は〔且ｖ（１
）−であるから、最終誤り系列は（ＲＶ（Ａ））”に含
まれなければならない、この証明は交の線形性に依存せ
ず、したがって−船釣なトレリス符号に対して有効であ
る。

直観的な推論は、Ｎが偶数であり八、がへのコンスティ
テユーエント２Ｄサブラティスであるならば、ｆｌｖ（
Ａ′）は（八、ｌ）Ｎ／！がへのサブラティスであるか
ら（ＲＶ　　（＊ｘ　）　）””に含まれ、したがって
、−Ｑ−のボロノイ領域は（（Ｒｖ（Δ２′）〕”′ｔ
）′″に含まれるということである。

る、八がデプスμの二進ラティスであるならば、旦のボ
ロノイ領域は（Ｒｖ（Ｒ＃　Ｚ”））“、即ち原点に中
心を置き２Ｉの面積の２次元の区画を構成要素とする無
限デカルト積である。

基本皿藍亘■亙徽 第２図を参照すると、立２２の任意の基本領域且２０は
、同じ一層りラスｓｏｄ　Ｃにおける且′の特異点へ且
の点をもっていく写像によって任意の他の基本領域且′
２４へ写像される。動作的には、この写像は共通誤りｆ
ｉ１ＭＲ’を持つ旦に対するフェア消耗性復号器２６に
よって実行され、復号器への入力は且における点ｒであ
り、出力は、共通誤り頚域且′に存在しｒ　ｓｏｄ　Ｃ
にコングルーエンドである特異点でなければならない誤
りｅ−ｒ−ｃである。言うまでもな（、写像は共通誤り
領域且を持つ復号器によって逆にされ得る。

例えば、第３図を参照すると、ｒは単純基本領域（且。

）′″３０からの系列であり、とタビ復号器３２を用い
て、ｒにコングルーエンドな旦のボロノイ領域且ｖ（Ｃ
）３４における系列ｅへｒを写像する。

この写像を逆にするには、共通誤り領域且。を持つΔ。

に対する復号器を用いて単純確定判定復号器３６を使用
してｅから系列ｒを再生する。

整ＪＬｆｌＪｌ トレリス符号旦及び関連する復号器によって定義される
系列空間の基本領域の整形利得（ｓｈａｐｅｇａｉｎ）
は以下のように定義される。

且◎が旦の時間ゼロ・ラティスの任意の基本領域であり
体積■（八。）であるとする、Ｗｉ立密度ｐ　（ｒ）　
＝１／Ｖ　（Δ。）であるとして、Ｒ，にわたって均一
連続性確率分布を定義し、この分布により、（ｆｌ。）
６″における系列ｒにわたる対応均一分布を定義する。

最後に、ｒからｅへの復号器写像によって誘導される分
布として、基本領域尺＝Ｒ（ｏ）即ち復号器の共通誤り
領域における系列ｅにわたる均一分布を定義する。ｅの
Ｎ次元コンポーネントｅＪのノルム１ＩｅＪ　１１”の
平均Ｐ　（Ｒ）は、少くともｊ→（１）のときＲにわた
るこの均一分布の下で良好に定義されると仮定する。

（Ｐ（且）を予測する実際の方法は、且。を横切って均
一に分布する離散ではあるが濃密な点のセットにわたる
擬似ランダム分布及びこれらの点の系列をｇ　＝　Ｒ（
ｏ）における対応の系列へ写像する復号器とを用いるモ
ンテカルロ・シミュレーションによる。） 且の正規化された第２モーメントはＧ　（Ｒ）　＝（Ｐ
　（Ｒ）／Ｎ）／　（Ｖ　（Ｒｅ））””　とし−ｃ定
義される。ただし、Ｐ　（Ｒ）／Ｎは次元当りの平均電
力であり、（Ｖ（且、））ｔ／ＮはＰ（且）のように、
線形な次元の平方として調整する正規化ファクタである
。且◎がサイド（ｓｉｄｅ）　ＲのＮ−キエーブ（ｃｕ
ｂｅ）であり、ＲＯ＝　（ＲＯ）”であるとすると、Ｐ
（且）　−ＮＲ”　／１２ｉ’あり、Ｖ（Ｒ（１）、＝
Ｒｓであるから、Ｇ　（Ｒ）　＝’八へであって、ベー
スライン正規化第２モーメントＧｏ　＝’／Ｉｔである
として定義する。整形利得ｒ　ｓ（Ｒ）は比ｒｓ（Ｒ）
−Ｇｏ／Ｇ　（Ｒ）又はＴ、（且）−１／（１２Ｇ（且
）として定義される。

旦の時間ゼロ・ラティス八。の基本頭域且。に基づく確
定判定復号器に対して、正規化第２モーメント及び整形
利得はＮ次元領域且。の対応のパラメータＧ　（Ｒｅ）
、　　ｒｓ　（Ｒｅ）になる、特に、遅延ゼロのビタビ
アルゴリズムはＲ，−八。のボロノイ領域且、ｖ（Ａｏ
）を持つ確定判定復号器であるから、こうした復号器に
よるトレリス符号旦の整形利得は、旦の時間ゼロ・ラテ
ィス八。のボロノイ領域の整形利得γ８（Δ。）と同一
である。遅延Ｍを伴うビデルビ復号器は、−層少い遅延
を伴う復号器よりも悪（作動することはできないので、
平均電力Ｐ（Ｒ）はＭと共に単調に減少しなければなら
ず、したがって、整形利得はＭと共ににγ。

（八〇）から単調に増加する。整形利得のこの系列は限
界に接近し、この限界をトレリス符号旦の整形利得Ｔ、
（Ｃ）として識別するものと仮定する。

配置］Ｊ」比 初期配置として、領域−Ｒ−０からのＮ次元の点のセッ
トを取る。その体積はＶ（Ｒ−０）−Ｖ　（Ａ、）であ
る、最小距離系列復号器を用いるならば、共通誤り領域
且−且（ｏ）は旦のボロノイ領域である。

補助定理により、この領域は（Ｒｖ（八）〕“に含まれ
るから、最終配置は領域Ｒｖ（Ａ）からのＮ次元の点の
セットであり、その体積はｖ（Ａ′）である。最終配置
がＲｖ（Ａ′）を満すと仮定するとミ最終配置は、Ｎ空
間Ｒ“で初期配置によって占有さレル体！（７）Ｖ（Ａ
）／Ｖ　（ＡＯ）　−１ＡＯ＋　／（＋　＝２’倍の）
１クタである体積を占有する。ただし、ｋは畳込み符号
−Ｃ−の情報提供度である。したがって、２１をＮ次元
における整形配置拡張比と定義する。

２次元においては、最終配置は−Ｒｖ（Δ２′）内に含
まれる。ただし、Ａ□′はへのコンスティテユーエント
２Ｄサブティスである。デカルト積（Δ、ｌ　）Ｈａｔ
は、八が情報提供度ｋ　Ｕ）の二進ラティスであるなら
ば、Ｎ空間におけるへの体積のＶ　（（Ａｔ’　）””
）　／Ｖ　（（Ａ）＝　ｌ　Ａ’／（Ａ！’　）””倍
の基本体積即ち２ｋｌｆｌ’１倍の大きさを有する。つ
まり＜Ｖ　（（Ａｘ’　）””）は総計がＮ空間におけ
るＶ（Ａｓ）の２ｍ１（１倍になる。ただし、ｋ　（Ｃ
）　＝に＋ｋ（八）は符号旦の情報提供度である。２次
元へ正規化されると、配置拡張比は（２ｋｌｃ））　ｔ
／Ｎ＝２′（Ｃりであり、に（Ｃ）＝２ｋ（旦）／Ｎは
符号−ぐ工正規化された情報提供度である。この配置拡
張比はＣＥＲｓ（Ｃ）＝２　”Ｃ’によって表わされる
。配置整形に対する一ｇ−の使用によるからである。（
−方、旦が符号化のために使われると、その関連の配置
拡張比はＣＥＲＣ（旦）−２ρｌ（＋である。

しｉス　の 「トレリス整形」とも称されているが、所謂トレリス配
置構成に線形トレリス符号を用いることができる。この
トリレス符号をＣ，（Ａ、／へｔｉ　Ｃｓ）で指示する
ことにし、添字は（下記するように、符号化に用いるた
めの符号−Ｃ２，（ΔＣ／ΔＣ’　；Ｃｃ　）と区別す
るために）「整形」を意味し、Ｃ８はここではレートｋ
ｓ／　（ｋｓ　＋　ｒ＊）符号である。記号当りの多数
のビットに対して、ＣＥＲ，（Ｃ３）の整形配置拡張比
を犠牲にして−Ｃ−１の整形ゲインｒ、（Ｃ，）を達成
することができる。

（−触性を喪失することなく、Ω、と旦ｄはＮ次元の同
数の格子（ｌａｔｔｉｃｅ）分割に基いているものと想
定する。仮りにΔ１とＡ、′がＮ次元であり、Δ。とΔ
Ｃ′がＭ次元であるとすれば、それぞれＭＮ次元の分割
（Δ吟”／（Δｌ）Ｍおよび（Δ、）’／（Ａｃ’　）
’に基くデカルト槓杵号旦−および旦♂を用いて同じ次
元の整形および符号化コードを得ることができる。） 八をＡ、のいずれかの超格子とする。もしＡ、。

が−Ｃ−１の時間零の格子であるとすれば、ＡはまたΔ
。、の超格子である。全ての格子が２進格子であると想
定すると、分割Δ／八。、の次数Ｉ　Ａ／Ａ、。

はある整数すに対して２′″である。そうすれば、Ａ　
ａｓのいずれかの基本領域且。におけるいずれかの剰余
系（ｃｏｓｅｔ）Δ＋ａから正確に２１の点がある。前
記基本領域は、Ａ十ａがその和集合（ｕｎｉｏｎ）であ
る八。、の２−の剰余系の各々に１個ずつある。

第４図を参照すれば、Ｎ次元当りｂビットを表示しうる
Δ＋ａからの点を備えたトレリス配置を以下のように構
成できる。各ｂビットのデータワード４０が、Ａｏ、の
ある単純な基本領域Ｒ，における人士ａからのＩＡ／Ａ
、、１＝２ｂの点４２の１個を規定するものとする。こ
の２ｂの点のＮ次元の配置を初期配置ｃ、Ｍ、、と呼ぶ
ことにする。そうすれば、配置の点ｒＪの全てのシーケ
ンスｒ４４のセット（Ｃｔ、１ｔｔ）″はｂビットデー
タワードの可能な各々のシーケンスを独特の要領で表示
することができる。次いで、共通のエラー領域且（０）
を備えた、整形コーＦＣｓ用の公正で包括的な復号器（
ｆａｉｒ、　ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅ　ｄｅｃｏｄｅｒ）
４６で前記（Ｃｉ−ｉｔ）”におけるシーケンスｒを復
号させる。前記復号器はｒを、ｒ　ｓｏｄ旦、に適合し
た尺（ｏ）　４８における独特のシーケンスｅヘマッピ
ングする。その場合ｅは伝達されたシーケンスである。

全ての可能なｅｊのセットは最終配置Ｃｆ１ａと称され
、ｅは（Ｃｒｔ−）’″の一要素である。前記シーケン
スｒはΔ。の単純な基本領域−Ｒ−０に基（ハードデシ
ジョン復号器（ｈａｒｄ−ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｄｅｃｏ
ｄｅｒ）　５０によりｅから再生でき、かつオリジナル
ｂビット４０は一旦ｒ、力場ると逆マツプ４２から再生
できる。

通常復号器４６は旦、（又はそれに近い近似値）用の最
小距離複号器である。そして共通のエラー領域Ｒ（ｏ）
は旦、（又はそれに近い近似値）用のボロノイ領域Ｒｖ
（Ｃ，）である、前述のように、最終配置Ｃ４＋＋ｉＬ
は呼称上、Ｎ次元の初期配置Ｃｉｍムｔの１Δ／Δ、’
ｌ／ｌΔ／Ａ、、　ｌ　−Ｉ　Ａ、、／Δ、′＝２−倍
の多くの点を有する。（ここで「呼称上」と云うのは境
界タイの可能性のあるためである）、シかしながら、ｒ
を含有する合同等級（ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ　ｃｌａｓ
ｓ）　Ｊの最小電力のシーケンスとしてｅが選択される
ので、実際に（整形ゲインにより測定される）電力の節
約が達成される。

ンガーベ　　　Ｄ　　に １つの周知のトレリス符号は、旦、で指示するウンガー
ベックの４ステー）２Ｄコード（ウンガベックの「チャ
ンネルコーディング・・・」を参照）である、剰余系コ
ード表示法において、旦。

は４様の格子分割Ａ／Δ’　−Ｚｌ　／２　Ｚ”および
ある比−１／２．４ステートの２進畳込みコードＣに基
いている。旦、はＣにおけるコードシーケンスに対して
合同（ｃｏｎｇｒｕｅｎｔ）　ｓｏｄ　２である全ての
整数のシーケンスから構成されている。コードＣは■ｏ
ｄ　２加算下では直線であるので、Ω、における２つの
シーケンスの和はＣｖにあり、そのためΩＶはシーケン
ス加算の下では群であって、そのため無限の次元の格子
である。

（従来、−Ｃユ、からの整数コードシーケンスの座標は
伝達に対して１八だけオフセットされ、そのため２Ｂ信
号点が半整数グリッドＺ！＋（Ｉ八。

八）から引き出される。シーケンス加算下ではΩ。

は群であらねばならぬため、従来のコードは旦。

の変換値（ｔｒａｎｓｌａｔｅ）即ち剰余系と見做され
る。

第５図を参照すれば、２次元当りｂ＝３ビットを送るに
は、まず各３ビツトのワード５２を初期配置５６を形成
する８個の２Ｄの点ｒＪ５４の中の１個ヘマッピングす
る。（マツピングは、第５図の各点５４の独特の３ビツ
トラベルにより規定される。）前記配置５６は、旦、の
時間零の格子である格子ＲＺ”（７）単純な基本領域５
５（０，２）　Ｘ　（０，１）内に位置する格子（Ｚ／
２）”の変換（Ｚ／２＋１／４）”の８個の要素から構
成されている。時間零の格子ＲＺ”は格子２Ｚ”の２個
の余剰系Ａ。

Ｄの和集合である。ただし、菱形６３は２つの剰余系Ａ
、　Ｄの点を示す、第５Ａ図を参照すれば、分割（Ｚ／
２　）　”　／Ｒｚ！は２方向の分割（Ｚ／２）”／Ｒ
（Ｚ／２）寞／Ｚ”　／ＲＺ”　の鎖に分解しうる８方
向の分割である。またウンガベックコードの部分格子Ａ
′−２ｚ”は時間零格子Ａ、−ＲＺ”の部分格子である
。

第５Ｂ図を参照すれば、各時間ｊ、　　ｊ＋１．　　ｊ
＋２．・・・における対応するトレリス７０において、
（１，２，３および４で示す）４個の可能な状態７２が
ある。各校７４は２Ｚ”の剰余系を示す、（第５図にお
いては、Ａ、　Ｂ、　Ｃ，またはＤである）各剰余系２
Ｚ”は時間ｊにおける可能な状態と、次の時間Ｊ＋１に
おける可能な状態との間を延びる枝の中の２個に現われ
る。各符号器の状態はＲ２２の剰余系の一方、即ちＲＺ
”あるいはその変換値ＲＺ”＋（１，０）のいずれかと
関連する。

（前記変換値は第５図においてＢおよびＣで示す四角形
により指示された、２Ｚ”の剰余系Ｂ、　　Ｃから構成
されている。） このように状態１または状態２は（ＲＺ”に対応する）
ＡまたはＤのラベルを付した枝を介して従来の状態１ま
たは状態３からのみ到達可能であリ、状態３または状態
４は（変換値ＲＺ”　＋（１，Ｏ）に対応する）Ｂまた
はＣのラベルを付した板を介して従来の状態２または４
からのみ到達可能である。

動作時、第５図のマツプはまず、データ５２の各３ビツ
トを配置５６の対応する点５４ヘマッピングする０次い
で、第５Ｂ図のトレリスに従い、復号器が点の結果的な
シーケンスを、ビタビ（ν１ｔｅｒｂｉ）アルゴリズム
を用いて、最大近似シーケンス准定法に基き４個のサブ
セットＡ、Ｂ、Ｃ，Ｄにおける点のコードシーケンスＣ
に復号する。最後に、ｒとＣとの間のエラーシーケンス
が取り出され、（最終配置における点である）エラー値
ｅＪのシーケンスを伝送に用いる。

復号器５８はどの初期配置信号点を伝送すべきか最終決
定する前にいずれかの遅れＭを選定しておくことができ
る。

その結果のシーケンスｒ５７を遅れＭを以て−ｇ−９用
のいずれかの最小距離複号器５８により復号させ、結果
的なエラーシーケンスｅ６０を伝送シーケンスとさせる
。前記復号器により発生した全ての可能な点ｅｊ６２の
セットが最終配置である。旦、用の復号器が最小距離の
ビタビ復号器である場合、最終配置は図示する１６点の
配置である。ｅからｒを再生するには、ハードテシジョ
ン復号器を用いて、難なく、かつ遅れなくｅの各要素ｅ
Ｊを独立して第４図に示す初期配置の８個の点ｒＪの１
個に独立してマツピングできる。

シミュレーションの結果、コード旦、は遅延１５復号器
により０．９４ｄｂの整形ゲインを、かつＭが無限にな
るにつれて０．９７ｄＢの整形ゲインを得ることを示し
た。

゛インと　ム　　　　た　　　゛イン 前記の例はトレリス配置の重要な特性を示しており、シ
ーケンスｒからシーケンスｅへのマツピングは最も重要
なビットに影響するのみである。

Ｃが整数のシーケンスであるので、シーケンスｅの要素
ｅＪの「分数部分Ｊ　（ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｐａｒ
ｔ）はｒのそれらと同じでなければならない。このよう
に、初期配置における２ｂの点が、（ａ）２つの座標の
「分数部分」を規定するｂ−１ビツトおよび（ｂ）第５
図の四角形（０，１）　Ｘ　（０，１）あるいは変換さ
れた四角形（１，２）　ｘ　（０，１）に点があるか否
かを規定する１個の最終ビットにより規定されるものと
見做せば、前者のｂ−１のビットは遅れなく、かつエラ
ーが広がることなく、伝送されたシーケンスｅから直ち
に再生可能であることが容易に判る。（以下説明するよ
うに、最終ビットの再生にはエラーの伝ばんを排除する
ために、送信器が「予備コード化」作動することを要す
る。）この特性の重要な帰結は、「最下位ピント」が、
初期あるいは最終配置における点の間の最小の２乗距離
より大きいシーケンスの最小２乗距離ｄ”−＋−（Ｃｃ
）を得るために別のトレリスコード旦。により符号化し
うろことであり、これらのビットは第５図のｒからｅへ
の整形マツピングにより影響されないので、このシーケ
ンス距離”ｓｉｍ（旦、）は保存され、旦、用の復号器
は雑音のある受信シーケンスで用い、ｅに関する受信側
の予測をできるようにし、そのためコード旦、の符号化
ゲインｒｃ（Ｃｃ）が達成される。このように整形動作
は別の符号化動作と完全に両立性があり、それらが−緒
になって（この例では）整形ゲインｒｓ（Ｃｖ）と符号
化ゲインγＣ（ＣＣ＞の組合せである全体の符号化した
変調ゲインを達成する。

０　と　　の　入せのウンガーベ　クコ−の■ 例えば、旦Ｃとして、ｄ’ａｊ＋ｑ（旦Ｖ）＝４．冗長
性ｒ（旦ｖ）　＝ρ（旦、）＝２次元当り１ビツト、従
って符号化ゲインγｃ（Ｃｖ）　＝２または３．０１ｄ
Ｂの係数２−ρｄ　”ｗｉｎである同じウンガベックコ
ードーＣユＶのスケールされたものを用いるとする。よ
り正確には、同じコードＣに基き、かつＺ２／２ｚｉで
な（むしろΔ、／Δど＝２−”−’Ｚ”／２−’Ｚ”の
スケールされた格子分割に基く例えば２１−区トという
このコードのスケールされたものを用いるとする。スケ
ールされたコードシーケンスＣは２−１Ｉ−＋だけスケ
ールされたＣにおけるコードシーケンスに対する合同ｍ
ｏｄ２−”であるシーケンスである。スケールされたコ
ード２−′″−１ｃＶは２−１１−１ｚ”の変換値例え
ば（２−”−’Ｚ＋２−”−”）”かラノ点のシーケン
スから構成され、スケールされたコードシーケンスの間
の最小二乗距離ｄ”　ｇｅｉｎ（Ｃ（）−２−１ｍを有
し、これは配置点の間の最小二乗路１１２−”４より４
倍良好である。符号化ゲインｒｃ（ΩＶ）はスケーリン
グ（ｓｃａｌｉｎｇ）によっては影響を受けない。

スケールされたコードシーケンスは例えば（２−”−’
Ｚ＋２−”）”からのものであるので、第５図に示す初
期シーケンスγは実際には（ｌｔｍ″゛３点の初期配置
ＣＭａｉｔからの点を備えた、スケールされたコード２
−”−ＩＣ，からのコードシーケンスでよい。

第６図を参照すれば、符号化並びに整形の双方を組み入
れたウンガベックの４ステート２Ｄコードを採用した符
号化変調システムにおいては、２次元当り１ビツト８０
がコード旦、用のレートｌ／２符号器Ｅ８２へ入力され
、その結果の２個の符号化したビットが、その和集合が
（２−”−’　Ｚ　＋　２−”−”）”である２−′″
Ｚ１８４の４個の剰余系の１つを選択する。別の２ｍｌ
の符号化していないビット８６はその和集合が２−′″
２ｇの選択した剰余系である（組合せた選択によりｚｌ
の２１ｍ＋ｆｆｉの剰余系の一つを発生させる）Ｚ”８
Ｂの２ｈ剰余系の一つを選択し、最終のビット９０が四
角形（０，１）　Ｘ　（０，１）あるいは変換された四
角形（１，２）　ｘ　（０，１）のいずれかを選択する
ことによって初期配置９４において点ｒＪを検出する。

従来通りの旦、用復号器５８が初期配置点のシーケンス
ｒを伝送されるシーケンスｅ６０に変換する。

第７図を参照すれば、前述の符号化した変調システム用
の受信器は以下のように作動する。まず、スケールされ
たコード２−′″−’ＣＶ用復号器９６が最大近値シー
ケンス予測法により（ノイズシーケンスｎ９８により改
悪された）伝送シーケンスｅを予測する。もしこの予測
されたシーケンスｅ′が正しいとすれば、初期シーケン
スｒに対して逆マツプ１００があり、これからオリジナ
ルビットのシーケンス１０２は第４図に示すように判定
１０４される。

（以下、エラーの伝ばん防止について述べる。）要約す
れば、第６図に示す符号化変調システムは２次元当り２
ｍ＋２ビツトを取り入れ、四角形領域（−１，１）　ｘ
　（−ｒ、　ｔ）に位置する（２−一一家Ｚ＋２−”）
”からのＬｌ　ｌｓ＊４点のセントである最終配置から
シーケンスｅを作る。２ｇｌ５″ｇ点の未符号化の四角
形配置と比較した全体の配置拡張比はこのように４の係
数であって、その中の２の係数は符号化によるもの、他
の２の係数は整形によるものである。３．９５ｄＢの全
体ゲインを達成しうるが、その中の３．０１ｄＢは符号
化によるもの、０．９４ｄＢは整形によるものである。

（整形ゲインは最終的に、典型的な符号化ゲインにより
はるかに小さい１．５３ｄＢに限定されるが、符号化の
初期の３−４ｄＢのゲインの後、再び符号化の複雑度を
倍にして有効符号化ゲインをそれぞれ０．４ｄＢ増加さ
せることより、ある点で、さらに複雑な符号化をするの
でなく、さらに複雑な整形を行う方がゲインの追加を達
成しやすいことが判明した０例えば、この例においては
、全体のゲインは整形せずに、符号化に用いる１６ステ
ートのウンガベックコードを用いて得られるものと概ね
同じである。

の八　− 一最的に、Ｃｃ（Δｃ／Ａｃ’；ＣＣ）を符号化に用い
るトレリスコードと、またＣ　３　（Ａ　ｓ　／　Ａ　
ｓ　’　；旦、）を旦。と共に用いるべきトレリス配置
用の基準として用いる別の（線形の）トレリスコードと
する。もしΔ。、Ａ（’　、Δ、およびΔ、′が全てＮ
次元の２進格子であるとすれば、２’Ｚ’があるｎに対
する八。′の部分格子であるため、もしコ−Ｆ　Ｃｃを
任意のｍｈｏに対して２−＋ｅ−詐だけスケールすると
すれば（即ち旦。をスケールされた格子分割２−１角Ａ
Ｃ／２−’″−絢Δ、′に基くコードである２−”−’
Ｃ，および同じ畳込みコードの旦。で代替すれば）　、
２−”−”Ａ（’　／２−”ＺＮ／ＺＮ／Δ。

は格子分割の鎖となる。（同等に、旦３を２ａ″“だけ
スケールすることができる。） ２−”−”Ｃｃのコードシーケンスは旦。からコードシ
ーケンスにより選択可能な剰余系（２−”−’ＡＣ’　
）１のシーケンスの１つに位置する（　２−”−”ＡＣ
）″の剰余系のシーケンスである。従って、それらは合
同５ｏｄ（２−’″−ｈΔ。′）″に対するセットの抑
制条件を満足する（２−′″−“Δ、）“の剰余系から
のシーケンスｒと定義できる。（Δ＋）ｏ６はｍ＞０に
対する（　２−”−”八、′）′の部分格子であるので
、ｒ＋ｗｏｄ　Ｃｓ（Ｌ／たがって、むしろｍａｄ　（
八ｓ）６）に対して適合する任意のシーケンスｅはｒＩ
ｌｏｄ（２−１Ｉ−ＢΔｏ′）″ト同シ合同等級に留ま
り、従って２−”−’Ｃｃにおける適合コード（Ｉｅｇ
ｉｔｉｓａｔｅ　ｃｏｄｅ）　　シーケンスとして留ま
る。

このように、２−１り旦、からのコードシーケンスｒに
演算する旦、用復号器により作られた伝送シーケンスｅ
は２−”−’ＣＣ６０コードシーケンスのままである。

このことは、可能な伝送シーケンスｅの間の最小二乗距
離が依然としてｄ１■ｉｎ（２””−”　ＣＣ）のまま
であり、符号化ゲインｒｃ（２−”−”旦ｃ）＝ｒｃ（
旦Ｃ）が依然として達成されることを意味する。また、
２−”−”Ｃ１用復号器をｅを予測するために受信器に
おいて使用しうることも意味する。

一般に、第８図を参照すれば、コード交、は、Ｎが偶数
であるＮ次元の２進格子の分割Δ、／八、′並びにレー
ト−ｋｃ／　（ｋ　ｃ＋　ｒ　ｃ）符号器Ｅ、　１１２
に基く一般的な剰余系コードである。もしΔ、′の深さ
（ｄｅｐ　ｔｈ）がμ。＝μであるとすれば、情報度（
ｉｎｆｏｒａ＋ａｔｉｖｉ　ｔｙ）が（Ａｃ’　）が２
ｋ（＾す＝＝１八。′／ＲＩ　ＺＮ　ｌを満足させ、コ
ード旦。の情報度ｋ（Ｃ，）がｋ（Ｃｃ）−ｋｃ＋ｋ　
（Δｌ）である、コード（旦、）がｍｈｏに対するスケ
ールされたコードＲ−’″−ＪＩＣ，と代替されるとす
れば、Ｎ次元当りのｋ（ＣＣ）データビット１１４がＲ
−”−’　Ａ　ｃ　１１０のある剰余系においてＲ−”
ＺＨの剰余系１１６を選択する。Ｎ次元当りの別のｍＮ
／２の未符号化ビットがＲ−”Ｚ’の選択された剰余系
においてＺＨの剰余系を選択する。最終的に整形コード
の冗長性はｒ（旦ｃ）＝ｒｓ　＋　ｒ　（Ａｃ）となり
、従って、２　Ｆ（Ｃ１１，、、ｌ　Ｚ　’／　Ａ　ｓ
　ｌ　　ｌへｓ／Ａｏｓとなり、そしてＮ次元当りの最
終のｒｃｃｓ）ビット１２２がＺＮの選定された剰余系
において時間零の格子へ。、の剰余系を選択し、これは
時間零の格子の所定の基本領域−Ｒ（Δ。、）において
点「ｊ１２４を決定する。このように、初期配置Ｃ！ｌ
ｌ□は、Ｒ（Ａｏｓ）内にイ装置するＲ−”−β八。＋
ａのＲ−＠−β八ＣへΔｏｓ　ｌ　−２””　”　＋ｒ
　（＋ｓ　Ｎ／　２＋ｒ（Ｃｓ）の点から構成される。

前記点のシーケンスｒ１２６は−Ｃｓのボロノイ領域内
に位置するｒ　５ｈｏｄ玉、ｓに適合するシーケンスｅ
１２８ヘマッピンクサレる。そして最終配置！ｆＣｆ、
、、は、Δ、′のボロノイ領域Ｒｖ（Ａｓ’　）内に位
置するＡＣ＋ａの名目上ΔＣ／八ｓ’　　ｌ　＝　２に
＋”’　十ｒｃ　＋　ｍＮ／　２　＋　ｒ（Ｃｓ）＋に
３の点からなるセットである。Ｎ次元の配置拡張比は、
当該システムがＮ次元当りｋ（ＣＣ）＋ｍＮ／２＋ｒ（
Ｃ工、）ビットを伝送するので２　ｒｃ＋＋＋ｔとなる
。

構成要素２Ｄの最終配置Ｃ！＋　ｆｉｌｌは、Δ、Ｃの
ボロノイ領域−Ｒ４，（Δ。′）内に位置する八、Ｃの
剰余系からの点のセットであり、Δ２ＣはΔ、′の構成
要素２Ｄ格子であり、Δ２．′は八、′の構成要素２ｒ
′１部分格子である。このように、Ｃ！。ｆａｎのサイ
ズｌ　ｉｔｔ　ｆｉＡｌは名目上ＩＡｘｃ／Δ２，１＝
Ｒ−”−＃　　ＣＺｔ／Ｒｔｌ　’Ｚ”　　Ｉ　　＝　
　２　　イ１１４　ｐ、　　Ｃ４Ｂ　　！３　Ｍ／！で
あり、μ、はＡｓ’の深さである。ｋ　（Ｃ，）＋ｒ（
旦り−μｃＮ／２およびｋ（Ωｓ）＋ｒ（旦、）−μｓ
Ｎ／２であるので、２次元における配置拡張比は２　！
ｒ（１：　ｅｌ／Ｎ　、　２！ｋｌｌ：　３１／Ｎ、＝
　２ρ＋（ｃ＋　、２に＋ｃ！ｌ。

ＣＥ　Ｒｅ（Ｃｃ）　・ＣＥ　Ｒｃ（Ｃｓ）である。

ｉΔ　　　− この項において、符号化と整形動作の双方に適用される
格子形トレリスコードの代数的理論の要素を展開する。

双方の場合において、受信側における無制限の誤り伝搬
を阻止することに関心がある。これは、予測されたｅか
ら対応するビットン−ケンス（例えば第７図のブロック
１００．１０４）への逆マツプに含まれる受信側の全て
の要素がフィードバックフリーであるべきことを意味し
ている。

いつフィードバックフリーの逆が存在するかという問題
は本質的に代数上の問題である。

当然のことながら代数的理論はまた二重性（ｄｕａｌｉ
ｔｙ）の概念を導入する。整形コードの要素は本質的に
符号化コードの要素に二元的（ｄｕａｌ）である。

入　コー゛の　　　・　４ レート−に／（ｋ＋ｒ）２進畳込みコードＣは、２進領
域Ｆ　＝　ＣＦ　（２）にわたって線形である符号器Ｅ
と称されるに一人力、（ｋ＋ｒ）出力の有限ステートの
シーケンス回路によって発生する。前記回路への入力は
二進にタプルのシーケンスＸであり、Ｘは（Ｆ”）″の
要素である。出力は２進（ｋ＋ｒ）タプルのシーケンス
ｙであって、ｙはコードシーケンスと称される（Ｆ”’
）′の要素である。コードＣは可能な全てのコードシー
ケンスのセットである。

符号器はＦ　−Ｇ　Ｆ　（２）にわたって線形であるの
で、ｋジェネレータｇ、（１≦ｉ≦ｋ）から構成される
ｋｘ　（ｋ＋ｒ）ジェネレータ・マトリックスＧを特徴
としうる。ジェネレータｇ、は、もし入力が時間零にお
ける１番目の入力上の１つの１を除いて全て零である場
合、（ｋ＋ｒ）タプルの出力コードシーケンスである。

即ち、ｇｔ　は１番目の入力における単位シーケンス１
＝（１，Ｏ，Ｏ・・・）への応答である。線形性と時間
不変性のために、入力シーケンスＸに対応するコードシ
ーケンスｙはｙ−Σ＋１ｃｉ、ｍ　Ｘｔｇｔ−ｘＧとな
る。（ここでは、シーケンス乗算は標準的に畳込みと定
義され、この定義の下ではＦ１″′は環であり、実際は
主理想変域である。） 符号器は有限状態であるので、Ｇの要素は、Ｄ変換表記
法において２つの多項式の比ａ（Ｄ）／ｂ　（Ｄ）とし
て表現できるシーケンス、即ちＦ−ＣＦ　（２）である
有理間数Ｆ　（Ｄ）の環の要素であるシーケンスでなけ
ればならない、Ｇの全ての要素が実際に多項式である場
合、即ち多項式Ｆ　（Ｄ）の環の要素である場合、Ｇは
多項の即ちフィードバックフリーであるといえる。

所定の畳込みコードＣ用の符号器に対して２つの基準形
式がある。最小符号器（ｍｉｎｉｓ＋ａｌ　ｅｎｃｏｄ
ｅｒ）は、そのために （ａ）　Ｇの全ての要素が多項式であり、（ｂ）　Ｇの
ｋＸｋの小行列式（全てのｋＸｋの部分マトリックスの
行列式）が共通の係数を有していない、 （ｃ）　Ｇの高次数係数マトリックスがＧ　Ｆ　（２）
にわたって正則行列である ジェネレータ・マトリックスＧを備えた符号器である。

最小符号器は多項式Ｇを有するので、νＬ（１≦ｉ−≦
−ｋ）の長さを有するにシフトレジスタを含む明白なフ
ィードバックフリーな実現を有する。

ただし、ν、はジェネレータｇ、の度合（ｄｅｇｒｅｅ
）、即ちｇｉのに＋ｒの多項の要素の最大度である。

全体の制限長さはシーΣν、であり、これもＧの任意の
ｋＸｋ小行列式の最大度であり、符号器は２″の状態を
有する。２１′はコードＣを発生させる任意の符号器に
おける状態の最小数であることが判る。

第２の基準形式は系統的符号器（ｓｙｓｔｅ＋＊ａｔｊ
ｃｅｎｃｏｄｅｒ）であって、これは恒第式マトリック
ス１ｍであるｋＸｋの部分マトリックスを有するジェネ
レータ・マトリックスＧを備えた符号器である。

出力の次数を置換することにより、例えばＧはＧ−（１
１Ｐ）と書くことができ、一般的にｋＸｋの奇偶検査マ
トリックスＰは有理関数から構成され、フィードバック
フリーではない。

例えば、一般的なレート１八コードＣが持つ最小符号器
Ｅはジェネレータ・マトリックスＣ−（ｇｔ（Ｄ）　９
ｇ１（Ｄ））により定義される。ただし、ｇｔ（Ｄ）と
ｇｚ（Ｄ）は共通の係数を有さない２つの多項式である
。それは長さがν＝ｍａｘ　　（ｄｅｇｇｒ　（Ｄ）　
、　ｄｅｇ　ｇｔ（Ｄ）　）である単一シフトレジスタ
により実現できる。対応する系統的符号器はＧ＝　（１
，ｇｔ（Ｄ）／ｇ＋（Ｄ））であって、フィードバック
性を備えたνメそり要素を有する回路により実現できる
。

もしＸとｙとが２進ｎタプル即ち（Ｆ”　）″の要素の
シーケンスであるとすれば、それらの内積（ｘ、ｙ）は
、Σ１．！１ａＸ　ｊ　ｙｊと規定され、２進シーケン
ス即ちＦ６６の要素である。前記の２つのシーケンスは
もしそれらの内積が零のシーケンスであるとすれば直交
している。レートに／（ｋ＋ｒ）の畳込みコードＣに対
する二重コードＣ１は、Ｃにおける全てのコードシーケ
ンスに対して直交する２進（ｋ＋ｒ）タプルの全てのシ
ーケンスのセットである。

ルー）ｋ／（ｋ＋ｒ）コードＣに対するシンドローム・
フォーマＨは（ｋ＋ｒ）タプルｈ１′（１＜ｉ’≦ｒ）
のｒシーケンスのセットであって、シンドローム・フォ
ーマのシーケンスｈｉ′のいずれかを備えたＣにおける
任意のコードシーケンスｙの内積（ｙ、ｈ五’）は零で
ある。このことは、（ｋ＋ｒ）ＸｒのマトリックスＨＴ
がＨの配置行列であってＧＨ’−０のときのみ、即ち内
積（ｇｉ、ｈ＋’　）のｋＸｒマトリックスが全て零で
ある場合にのみ発生する。ｒＸ　（ｋ＋ｒ）マトリック
スＨは、Ｃに対する二重コードＣＡであるレートｒ／（
ｋ＋ｒ）の畳込みコードに対するジェネレータ・マトリ
ックスである。（符号器として、Ｈはｒ入力とに＋ｒ比
出力を有し、シンドローム・フォーマとしてＨＴはに＋
ｒの入力とｒの出力とを有する。） もしＧ−（ＩｂＰ］がＣに対する系統的符号器のジェネ
レータ・マトリックスであるとすれば、Ｈ＝　（Ｐｒ　
Ｉ、）はＣ１に対する系統的符号器のジェネレータ・マ
トリックスである。Ｈ″はまた最小（フィードバックフ
リー）の形に変換できる。

ｒＸｒの小行列式はＧのｋＸｋ小行列式と同一であり、
ＨはＧと同数νのメモリ要素により実現できる。（もし
Ｇがレートに／（ｋ＋１）コードＣに対するジェネレー
タ・マトリックスであるとすれば、Ｈは、そのレートが
１／（ｋ＋１）であるコードＣＡに対するジェネレータ
・マトリックスであって、その単一のジェネレータｈは
完全にＣを規定する。） 例えば、レート１八コードＣに対して、もしＧ＝　（ｇ
ｉ（Ｄ）　２ｇｇ（Ｄ））であるとすれば、Ｈ−（ｇｇ
（Ｄ）、ｇｉ（Ｄ））（最小の形態）、あるいはＨ−（
ｇｔ（Ｄ）／ｇ＋（Ｄ）、ｌ）（系統的形態）〔又はＨ
＝　（１，ｇｉ（Ｄ）／ｇｚ（Ｄ））（代替的な系統的
形態）〕である。これらの形態のいずれかに対してＧＨ
“＝０であることは容易に証明される。（最小形態から
）レート１八コードＣの二重Ｃ１は、２つの出力を交換
することを除いて同じコードであるため、レート１八コ
ードは有効に自己二重（ｓｅｌｆ−ｄｕａｌ）である。

最小、シードローム・フォーマＨは（状態数の増加が無
いように）組合せ回路で増補され、ＣＧ−１−１，、即
ち（ｋ＋ｒ）ＸｋのマトリックスＱ　−１がＧの右逆関
数（ｒｉｇｔｈ　１ｎｖｅｒｓｅ）であるように（ｋ＋
ｒ）Ｘ　（ｋ＋ｒ）多項式マトリックス（Ｇ−１）Ｔを
形成するに個の付加的なジェネレータ（ｇ−’）Ｔ（ｒ
＋１＜ｉ＜ｋ＋ｒ）を備えた（ｋ＋ｒ）入力、（ｋ＋ｒ
）出力の回路となることができる。さらに、（ｋ＋ｒ）
Ｘ　（ｋ＋ｒ）ジェネレータ・マトリックス　Ａ＝　（
（、−ＩＨ’）は行列式１を有することにより多項逆関
数Ａ−１＝（Ｑ？１（−１）Ｔにより逆転可能である。

（そのような逆転可能の多項式マトリックスが（ｋ＋ｒ
）Ｘ　（ｋ＋ｒ）スクランブラと称される。）ンガベ・
　・コー゛の 例えば、ウンガベックの４ステート２ＤコードＣｖは、
ジェネレータ・マトリックスがＧ＝（１＋Ｄ’、１　＋
Ｄ＋Ｄ”　）であるレート１八４文テート畳込みコード
Ｃにより発生するｌｌ０ｄ２トレリスコードである。Ｃ
に対する最小シードローム・フォーマはＨ’　＝　（１
＋Ｄ＋Ｄ富、１＋Ｄ”）’テアッテ、Ｇの右逆関数はＧ
−’＝　［Ｄ”、１＋Ｄ＋Ｄｔ）Ｔである。

の行列は行列式１と の逆関数とを有する。

第９図を参照すれば、符号器Ｇ１３０とシンドローム・
フォーマ／右進関数１３２Ａ＝　（Ｇ−’ＨＴ　）との
組合せは４ステートのフィードバックフリー回路である
。

２を（ｋ十ｒ）タプルの任意のシーケンスと想定する。

そうすれば、ｚＡ＝ＣｚＧ−’、ｚＨテ〕＝　（ｔ　（
ｚ）、　　ｓ　（ｚ）　］は入力にタプルｘ　（ｚ）と
シンドロームｒタプルｓ　（Ｚ）とから構成された（ｋ
＋ｒ）タプルのシーケンスである。逆に、２は、 ｚ＝（ｘ　（Ｚ）、ｓ　（ｚ））Ａ−’＝ｘ　（ｚ）Ｃ
＋ｓ　（ｚ）（Ｈ−１）Ｔ　＝ｙ　（ｚ）＋ｔ　（ｚ）
により（ｘ　（ｚ）、　　ｓ　（ｚ））から再生できる
。ｙ（ｚ）＝ｘ　（ｚ）Ｇ＝ｚＧ−’ＧはＣにおけるコ
ードシーケンスであり、ｔ　　（ｚ）　＝ｓ　（ｚ）　
　（Ｈ−’）　Ｔ＝ｚＨ’　（Ｈ−’Ｈ）’　−ｚ　（
Ｈ−’Ｈ）’は、シンドロームＳ　（Ｚ）により識別さ
れるコードＣの剰余系を示すものである。（ｋ＋ｒ）Ｘ
　（ｋ＋ｒ）マトリックスＧ−’Ｇおよび（ｌ（−１）
（）　Ｔは、環Ｆ′″′にわたってに＋ｒの寸法の線形
空間（自由Ｆ″−モジユールと見做される（Ｆ″″１）
′″におけるシーケンスを、それぞれｋおよびｒの次元
の直交する線形部分空間に射影する直交射影演算子（ｏ
ｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　ｏｐｅｒ
ａｔｏｒ）である。

これは、剰余系代表ｔ　（ｚ）の（（Ｆ”’）′／Ｃ〕
のセット自体が（Ｆ″″′）′の線形部分空間である。

剰余系の分解式（Ｆｋ″リー＝Ｃ＋（（Ｆ”リー／Ｃで
ある。

例えば、４ステートのルートＩ／２ウンガベックの例の
コードに対しては下式の通りである。

Ｇ・（１＋Ｄ”、　１　＋Ｄ＋Ｄ”）　　；　　Ｈ干（
１＋Ｄ＋Ｄ”、　１　＋Ｄ”　）Ｈ−１−（１＋Ｄ＋Ｄ
’、Ｄ’）　”；　Ｇ−’＝　（Ｄ”、　　１＋Ｄ＋Ｄ
”）　’　；ｃ−’ｃおよび（Ｈ−’　）Ｉ）’の双方
はランク（ｒａｎｋ）１で、Ｇ−’Ｇ＋　（Ｈ−’Ｈ）
’　＝Ｉｔである。

畳込みコードＣはＦに対するシーケンスの加算下では群
であるため、２個の２進（ｋ＋ｒ）タプル・シーケンス
を、もしそれらの差が畳込みコードＣの要素であるとす
れば、適合−ｏｄ　Ｃと規定し、かつ畳込みコードＣの
剰余系を合同等級−ｏｄ　Ｃのセットと規定することが
できる。Ｃの剰余系が２進（ｋ＋ｒ）タプル・シーケン
ス２のセットであるため、ｚＨ”−ｓであり、Ｓはシン
ドローム・シーケンスと称される所定のｒタプルのシー
ケンスであることは容易に判る。もしＬ＝ｓ　（Ｈ−’
）”であるとすれば、前述のことから、（ｋ＋ｒ）タプ
ルのシーケンスＬはシンドローム・シーケンスＳと関連
した剰余系Ｃ＋ｔのための剰余系代表シーケンスである
。従って、ｒＸ　（ｋ＋ｒ）マトリックス（Ｈ−１）Ｔ
はシンドロームシーケンスＳが所与であること、対応す
る剰余系代表シーケンスｔを発生させる剰余系代表ジェ
ネレータ回路を規定するために使用できる。

例コードに対して、（Ｈ−’）Ｔ＝　（１＋Ｄ＋Ｄ”。

Ｄｇ）はそのような剰余系代表ジェネレータ回路である
。フィードバックを気にしないのであれば、回路（１−
／　（１＋Ｄ＋Ｄ”　）、０）あるいは（０，１／　（
１＋ＤＪ　）を剰余系ジェネレータ回路（Ｈ−’）”と
見做してよい。何故ならば、これらのマトリックスの任
意の配置行列はＨ＝〔１＋Ｄ＋Ｄ”、　　１＋Ｄ”　）
に対する右逆関数であるからで、剰余系代表シーケンス
もの要素１ｊは常にセット（（０，０）、　　（１，０
））あるいはセット（（０，０）、　　（０，１））に
入っている。このように１／（１＋Ｄ＋Ｄ富）または１
／（１＋Ｄ”）による乗算によってシンドロームシーケ
ンスＳを「予備符号化」することにより、この場合は（
２゜１）繰返しコードである、時間零のブロックコード
Ｃ０に対する剰余系代表のセットの常に１つである剰余
系代表シーケンスｔを得る。

−船釣に、フィードバックを含む線形変換を用いること
により、要素１．は常に、全て２進（ｋ＋ｒ）タプルの
セットにおける時間零のコードＣ０に対する２ｒ剰余系
代表のセットに限定することができる。（証明：最小符
号番号Ｈのｒｘｒ小行列式の最大公約数が１であるので
、ＨのｒＸｒの小行列式の少なくとも１つは反転できな
い。このマトリックスの逆関数はプリコーダとして使用
できる。） Ｍｏｄ−し　　スコー　　の　　　　　績閘ｏｄ−２）
レリスコードは畳込みコードと同形であるから、その代
数理論は畳込みコードのものと基本的に同じである。

即ち、５ｏｄ−２）レリスコード旦は常に格子分割Δ／
λ−Ｚ”／２ＺＮに基づくものとみなし得るもので、ｒ
ａｔｅ−にＺＮの畳込みコードＣのコード列ｙと合同（
ｃｏｎｇｒｕｅｎｔ）なｓｏｄ　２である整数Ｎ個（Ｎ
−ｔｕｐｌｃ）の列Ｃの総ての集合として定義され、し
たがってＣを−Ｃ（Ｚ’／２　Ｚ’：　Ｃ）として示す
ことができることはここまでに述べた通りである。

前項の理論は従ってそのまま通用する。２進列にではな
く整数列に適用するために、内積、直交性および双対性
の定義に多少の変更を加えることは必要であるが、以下
に示すように、必要とされる変更が、同形の性質に影響
を与えるものではない。

Ｘ及びｙが実数Ｎ個の列、即ち（Ｒ”）″の要素である
とするなら、これらの内積（ｘ、ｙ）はＲ”の要素、実
数列Σ□ｉ、ＨＸｌｙ＋として定義される。もしＸおよ
びｙが整数Ｎ個の列であるなら、それらの内積（ｘ、ｙ
）は整数列である。

２つの列は、それらの内積がゼロの列を成すときのみに
厳密に直交している。しかしこれらは、それらの内積が
偶数の整数の列、即ち（２Ｚ）″の要素であるときに、
直交するといえる。

ｍａｄ２）レリスコード旦の双対性トレリスコード且１
としたがって、旦のコード列の総ての直交なｔｉｏｄ　
２であるところの実数Ｎ個の列全部の集合として定義さ
れる。自明の例として、Ｃ２が整数Ｎ個の全列の集合（
Ｚ　’）′であるなら、旦１は（２２′４）′″であり
、その逆も言える。ｍａｄ−２トレリスコード旦は総て
集合（２２に）′を含むから、その双対ＣＡは（Ｚ’　
）″の部分集合でなくてはならないし、（２Ｚ’）″は
整数列に対する直交ｍｏｄ２Ｔあるから、その双対−ｃ
’は（２Ｚ’）６゜を含まなければならない。

ｒ＝Ｎ−にの場合に、Ｃ２がｒ　ａ　＋　ｅ−ｋ　／　
ＮコードＣによって生成されるなら、Ｃ１は、Ｃに対す
る双対ｒａｔｅ−ｒ／ＮコードＣＡによって生成される
ところの−ｏｄ−２）レリスコードである。まず、ここ
で示したように、ＣＡは整数Ｎ個列の集合でなくてはな
らない０次に、ＣがＣにおける列ｙに対する合同■ｏｄ
　２である旦における列である場合に、ｄを整数Ｎ個の
ある列とし、Ｚをｄが合同ｓｏｄ　２になる２進Ｎ個の
列とする。そうすると、内積（ｃ、ｄ）は、Ｚが双対コ
ードＣＡにおける列である場合のみに、総てゼロの列で
ある内積（（ｙ、　ｚ　）に対する合同鴫□ｄ２である
。したがって（ｃ、　　ｄ）は、ｄが０１によって生成
された鋼０ｄ−２トレリスコード、即ち旦１であるとき
のみに（２２）”の要素である。

５ｏｄ−２）レリスコード旦は実数列加算に基づく群で
あり、その剰余系はそれぞれ、合同縁■ｏｄ旦の集合で
ある。ｒを、Ｒ’の要素であるｒｊを要素とする実数Ｎ
個の列であると、ｒがｚ＋ｆｓｈｏｄ　２と合同になる
ような（０，１）における要素２．を伴う２進数Ｎ個組
の単一の列Ｚと、〔ｏ。

１〕における要素ｆＪを伴う分数Ｎ個の単一の列ｆとが
存在する。そうすると、旦の剰余系は、Ｈ”が旦を生成
するコードＣのシンドローム成形式である場合に、ｚＨ
”＝ｓとなるような２進数ｒ個シンドローム列Ｓと分数
列ｆとによって特定され得るもので、ｚ＋ｆｗｏｄ２に
合同なｒ総でで構成される。ｒがそのような列でＣがＣ
のコード列ｙに合同なｓｏｄ　２である旦における列で
あるなら、列２およびｙが加えられたモジュロ２である
場合にｒ＋ｃは（ｚ＋ｙ）＋ｆのｓｏｄ　２と合同であ
り、ｚ＋ｙは２と同じＣの剰余系においての２進数Ｎ個
組列であるからそれは同じシンドローム列（２＋ｙ）Ｈ
’−ｚＨ’＝ｓを有する。

Ｍｏｄ−２トレ　スコー　に　づ　　し１ス　　の生成 ５ｏｄ−２）レリスコードＣ（ＺＮ／２　ＺＮ；　Ｃ）
に基づくトレリス配列は、以下のように生成することが
できる。

まず、ＡをＺＨの超格子である２進数束、例えばｍｈｏ
においての２−”Ｚ”またはＲ−”　Ｚ　Ｎとする。

〔Δ／Ｚ”）が分割１八／Ｚ’Ｉの次数であるなら、Ｚ
”の任意の基本的領域、特に半開のＮ立方（０，１）”
において〔Δ／Ｚ’）要素のＡの剰余系Ａ＋ａが存在す
る０分数列ｆはしたがって、２進数（ｌｏｇｔ　（Δ／
Ｚ’））タプルの列、即ちＮ次元につきＩｏｇｚ　（八
／Ｚ’）ビットによって特定される。

次に、シンドローム列Ｓは、ｒ＝Ｎ−ｋがｒａｔｅ−に
／Ｎ畳込みコードＣのリダンダンシーである場合に、２
進数ｒ個組の列として特定される。

シンドローム列Ｓは、ＮＸｒのマトリックス１（−１が
Ｃに対する双対ｒａｔｅ−ｒ　／　Ｎ　：２−ドＣ１の
ｒＸＮ最小ジェネレータマトリックスＨの逆である場合
に、ｒ入力Ｎ出力の剰余系代表生成回路（Ｈ−１）Ｔに
よって剰余系代表列ｔ　＝　ｓ　（Ｈ−’）７に変換す
ることができる。（場合によっては、これら出力のうち
、ｒ以外の総てはゼロにすることができる。）第１０図
において、ｔを整数Ｎ個組の列とみなしての列ｒ＝ｔ＋
ｆ１４０は、トレリスコード−Ｃ工の剰余系代表である
。

Ｃ−のための最小距離デコーダ１４２はしたがって、前
に示したように、ｒｍｏｄｃと合同な最小平均累乗の列
ｅを見つけ出すことができる。

フィードバックを考慮に入れないのであれば（送信回路
においてそうする理由はない）剰余系代表生成回路の出
力Ｎ個組ｔ、１４６が全２進Ｎ個組の集合（Ｎ、Ｎ）に
おけるタイムゼロコードＣ０の２ｒ剰余系の剰余系代表
であり、したがって整数Ｎ個組として、への剰余系とし
てではなく、ＺＨにおけるタイムゼロ束へ〇の２ｒの剰
余系の剰余系代表にもなるように（第１０図に示すよう
に）、（Ｈ−１）Ｔ　１４４を選択することができる。

第１１図において、ｎが通信チャンネルによって持ち込
まれるノイズ列である場合に、ｅ＋ｎを受信列１５０と
する。受信器は、まず推定列ｅ１５２を生成するが、こ
れはコーディングのない場合は、単にΔ＋ａのどの要素
が受信Ｎ個＆ｌｌ　ｅ　ｊ＋　ｎ　ｊのそれぞれに最も
近いかの記号毎の判断の結果であってもよい、信号とノ
イズのマージン充分なものにすれば、これらの記号判断
の大部分は正しいものであろうがまれにはエラーが起る
ものと想定しなくてはいけない、したがって受信器は、
（ａ）ｅ’＝ｅの場合には、正しいビット列が回復され
る、（ｂ）　ｅ７’が単一の記号についてのみ、または
もっと−船釣に短時間についてのみｅｊに等しくない場
合には、最初のエラーの時点からの短時間を除いて正し
いビット列が回復されるというようにオリジナルなビッ
ト列を回復できるものでなくてはならない。言い換えれ
ば、エラー伝播が限られなくてはいけない。

上で述べたように、ｅｍｏｄＺ’の要素の列は、ｒのそ
れと同じもの、即ち分数列ｆである。したがって、記号
毎の演算ｆ　Ｊ＝　ｅ、＋　ｓｏｄ　ＺＮ１５４によっ
て、即ち推定列ｅ′の分数部分を取り出すことによって
、ｆの要素を回復することができる。

今度は、各ｆ、が対応する２進（Ｉｏｇｚ　（Ａ　／　
Ｚ　’　）　）細組を決定する。ｅｊにエラーがあった
場合のみに、ｆ、にエラーが起り得るから、エラー伝播
は全く起らない。

受信列ｅの整数部分ｔ　、　ｌ　＝ｅ、　ｌ　　　ｆ　
、　ｌの行列ｔ′を要素Ｓｉが・対応する入力ｒ個組み
ｓ　、　Ｌの推定値である２進ｒ個組であるところの推
定シンドローム列ｓ’　＝ｔ’　Ｈ”を形成するために
、シンドローム形成器）（Ｔを通過させることができる
。

常に可能なように、Ｈをフィードバック無用のものとし
て選択した場合、ｅＪそしてしたがってＬ′における断
片的エラーは、Ｓｊにおける幾分長いエラーの実行に結
びつ（だけである、実際、δをｒＸＮマトリックスＨに
おける多項式の最大次数とした場合にＳｊにおけるエラ
ーは、ｅ。

における最終エラーの後に、δ−１１ａＸ　ｄｅｇ　ｈ
ｔｊ（Ｄ）時間単位だけ起り得る。したがって、いくら
かのエラー伝播は起り得るものの、それは厳密に限られ
たものである。

コーティングに用いる格子型トレリスコード−Ｃｃと整
形に用いる５ｏｄ２トレリスコード−Ｃｓを組合わせた
ものの一般的構成を以下に示す、この構成は完全に対称
で、コーディングと整形との間の双対性をよく示してい
る。

第１２図において、コード−Ｃ−６を、Ｎが偶数、分割
の順序が〔Ａ、／八。’）＝２”Ｃ″□、そして束てΔ
、′の深さがμＣ（本節では単にμとする）である場合
に２進Ｎ次格子の分割ＡＣ／ＡＣ’に基づくものである
と仮定する。コード旦、は、ｋ（Δ。′）を八。′の情
報伝達力とした場合に、Ｒ−”ＺＮが２ｋＴ＾ｃｌ　ｌ
のＲ−”Ａ　Ｃ’の部分格子であるように、ｍ＞Ｏにお
いてＲ−トｐによって測定されるｅＡｃにおける八、′
の剰余系の（ｋｃ＋ｒｃ）ビットラベルは、生成マトリ
ックスＧｃ１５０を用いて、コードＣｃのｒａ＋ｅ−ｋ
ｃ／　（ｋｅ＋ｒｃ）エンコーダＥｃによっ て生成される。八。およびＡ　（’は２進束であるから
、八。をＲ−ａｍ−ｐｚｓそしてΔ、′をＲ−１ＩＺＮ
とすることもでき、その場合は、エンコーダはに、＋ｋ
　（Ａｃ”）　”　ｋ　（ｃｃ　）入力１５２およびｋ
ｃ＋ｒｃ＋ｋ（Δｃ’）十ｒ（Δ、）−μＮ／２出力を
有することになる。

コード旦、は、分割の順序が〔Ａ、／Δ、′〕−２ｋｓ
′″ｒ３、束へ、′の深さがμ、−２、そしてｒ（Δ、
）がΔ３のリダンダンシーである場合に分割の順序ＣＺ
Ｎ／ｈｓ〕が２”＾ａ’　テｔｏＺｒトｔｋニ、ｇｏｄ
−２Ｎ次格子の分割Δ、／Δ、′に基づくものである。

Δ３におけるΔ、″の剰余系の（ｋｆｉ＋ｒｓ）ビント
ラベルは、生成マトリックス（Ｈｓ−’）”　１６０を
用いて、ｒａｔｅ　−ｒ　ｓ／　（ｋ　ｓ＋ｒ　ｓ）剰
余系代表ラベル生成器によって生成される。八、および
Δ、′は−ｏｄ−２格子であるから、Ａ、を２そしてＡ
　３　’を２２′″とすることができ、その場合には、
剰余系代表ラベル生成器は、ｒ、＋ｔ　（Ａｓ）　＝ｒ
　（旦、）入力１６２上、ｋｌ＋ｒｓ＋ｋ（Δｇ’）＋
ｒ（Δ、）−Ｎ出力１６４とを有する。

中央（測定）部１６６はｍが任意の負でない整数である
場合に、Ｒ−”　Ｚ　ＨにおけるＺＨの剰余系を特定す
るのに、単にｍ　Ｎ　／　２の符号化されていないビッ
トを用いている。

したがって、総計でｋ　（Ｃｃ）　＋ｍＮ／２　＋　ｒ
（Ｃｓ）ビットが、Ｎ次元毎にシステムに入力され、Ｒ
−”−ｊ’Ｚ’の２２’の剰余系の列または同等の剰余
系代表列ｒ１７０を特定するところの複数のパートラベ
ルの列に変換され、この場合、各ｒ、ハＲ−１′−βＺ
ｌ′ノ２２Ｉ″ノ剰余系の、２−＊１１＋１剰余系代表
の集合の一要素である。　Ｃ＄　１７２のデコーダはそ
こで、ｒ　ｓｏｄ　Ｃｓと合同な列の集合の中から最小
平均次数の列ｅ１７４を見つけ出す、受信器側において
、Ｃｅ１７６のデコーダは、ｎが付加的ホワイトガウス
形ノイズとした場合に、Ｃｃにおける最も近いコード列
ｅ′を発見するためにｅ＋ｎに基づいて動作する　ｅ　
ｌのｅｊの構成要素が剰余系代表列ｒ′を決定する。ｒ
の構成要素ｒＪは、送信器における多用なビット列の推
定を構成する複数バートラベルにマツプされることがで
きる　ＺＨにおける２Ｚ’の剰余系を代表する２進Ｎ個
組の列ｔ’１７Ｂは、推定シンドロームｒ　（Ｃｓ）個
＆ｌ１１８１の列ｓ＝ｔ’Ｈ，’を形成するために、フ
ィードバック無用のシンドローム形成器Ｈ，’　１８０
を通過させられる。Ｒ−”ＺＨのＺＨｌの剰余系を代表
する（ｍＮ／２）偏組の列は、直接に、対応する入力（
ｍＮ／２）偏組１８２の推定値としてみなされる。そし
て、Ｒ−１１−ＪＩＺＮのＲ−１ＩＺＮの剰余系を代表
する２進（μＮ／２）偏組１８４の列は、推定情報ｋ（
ＣＣ）偏組の列を形成するために、フィードバック無用
の右逆元Ｇｃ−を通過させられる。

受信器における総てのマツプはフィードバック無用のも
のであるから、エラー伝播は限られたものである。

このピクチャは％ＣＣでのコーティングと旦。

を用いての整形とが、多くの面で双対をなしていること
を示している。送信器におけるエンコーダＧ、は、ｋ（
旦Ｃ）入力を有し；双対コードＣＡノエンコーダＨ，’
は、受信器においてｒ（Ｃｓ）出力を備えたシンドロー
ム形成式として用いられる。（コード旦の情報伝達領域
ｋ（Ｃ）とりダンダンシート（旦）とは、量的に双対を
なすものである。）相対する右逆元ｃｃ−’と（Ｈ３−
’）丁とは、同様に双対の位置にあって、（Ｈｓ−Ｉ）
”は、ｒ（Ｃｓ）入力剰余系代表列生成式として用いら
れる。したがって、コーディングおよび整形による２次
元における配列拡大比はそれぞれ、ＣＥ　Ｒｃ（ＣＣ）
−２ρイＣ（ｌおよびＣＥＲ，（Ｃ，）＝２に（Ｃｓｌ
である。コーディングおよび整形の演算の主たる複雑さ
は、それぞれ旦、のデコーダと旦、′のデコーダにあり
、これらはそれぞれ、送信器の出力と受信器への入力と
に基づいて演算をする。しだがって整形コード旦、をリ
ニアに限定したことに加えて、完全に対象且つ双対なピ
クチャを得るこ々になる。

Ｗ　ｅ　ｉ四次元コード（Ｗｅｉ、　　ｒＴｒｅｌｌｉ
ｓ−ＣｏｄｅｄＭｏｄｕｌａｔｉｏｎ　　ｗｉｔｈ　　
Ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　　Ｃｏｎ５ｔｈｌ
ｌａｔｉｏｎｓ　　ＪＩＥＥＥ　　Ｔｒａｎｓ、　　Ｉ
ｎｆｏｅ＋ｓ　　丁ｈｅｏｒｙ　　Ｖｏｌ、　　ＩＴ−
３３＋　　ｐ９．　４８３〜５０１．１９８７）は優れ
た実用的特性を備えている。

特に、分割Ｚ’／ＲＤ４に基づく８状態および１６状態
のコードと、四次元につき１リダンダントピツトだけで
ｄ”ｍ１ｎ＝４を達成する３ｒａｔｅ−２／３畳込みエ
ンコーダが備わっており正規化リダンダンシーρが１八
で、わずかＣＥＲｃ−２ρ＝２’／、　＝１．４１４の
コーティング配列拡大比で、Ｔｃ＝２−ρｄ　”ｗｉｎ
−２’八（４，５２ｄ　Ｂ　）の名目（基本）コープイ
ンゲインが得られる。１６状態コードは、正規化エラー
係数がわずかＮｏ−１２であり、８状態コードはＮｏ”
’４４である。これらのコードは、ｍｏａ２（且つｄｅ
ｐｔｈ−２）コードであり、同等に、増補ｒａｔｅ−″
／ａ畳込みコードＣを用いた分割Ｚ４／２Ｚ４に基づく
ものとみなすことができる。Ｗｅｉコードの双対は、整
形コードの優れた候補である。

双対Ｗｅｉ４Ｄコードは、それらの双対ｒａｔｅ　　”
／４コードＣと同数の状態を有しているｒａ　ｔｅ　−
’へ畳込みコードＣ１による分割Ｚ’／２Ｚ’に基づく
ものとしてみなし得る。これらの正規化情報伝達力には
１／！であり、したがって、それらの整形配列拡大比は
、ＣＥＲＭ＝２に＝２１７ｇ＝１．４１４である。

第１３図において、コーディングのためのＷ　ｅ　ｉコ
ード旦、は、分割Ｒ−”−”Ｚ’／Ｒ”＠Ｚ’　１９０
に基づいたものとなるように、Ｒ−ａ−１によって測定
される。Ｃのためのｒａｔｅ−３／４２進エンコーダＧ
ｃ１９２は、送信器において符号化に用いられ、フィー
ドバック無用４×３右逆元Ｇｃ−＋１９４は、受信器に
おいて入力情報３個組１９６を回復するのに用いられる
。双対コードＣ”１９Ｂの４×３シンドローム形成弐Ｈ
，Ｔはその双対Ｃのための最小エンコーダＧ、を転置し
たものであり、３×４剰余系代表生成式（）（ｓ−’）
”　２００は、対応する右逆元ＧＣ−’（フィードバッ
クフリーである必要はない）を転置したものである。送
信されるビット２０２の総数は四次元につき２ｍ＋６ま
たは２次元につきｍ＋３ビツトであり、二次元毎に任意
の整数のビット（３未満ではない）を送信できる。最終
配置（２次元のもの）は、２ＺｔのＶｏｒｏｎｏｉｇＪ
ｆ域に広がるＲ　−−−ｔ　ｚ　ｔの平行移動による名
目２ｍ＋４点によって構成されており、総配列拡大比は
したがって２であり、そのうち２１／２はコーディング
に、そして２　’／ｚが整形に由来するものである。（
これは、２１）　ｌｌｌｌｇｅｒｂｏｅｃｋの例におけ
る比率４と比較される。） ８状態および１６状態Ｗ　ｅ　ｉコードＣの最小ｒａｔ
ｅ−３八生成式マへリックスＧｃおよび右逆元ｃｃ−’
を第１４図および１５図に示す、これらマトリックスを
転置したものが、シンドローム形成式マトリックスＨ１
および双対Ｗｅ＋コードＣ’の剰余系代表生成マトリッ
クス（Ｈｓ−１）Ｔである。参考のために、それぞれの
場合において、双対コードＣ１の最小ｒａ、ｔｅ−’／
ａ生成式マトリックスＧｓ＝Ｈｃと、フィードバック無
用の右逆元Ｇｓ−’＝Ｈｃ−１も示した。

これらの例の両方において、Ｇｃによって生成されるコ
ードＣは、ｄＨ−４のハミング距離を有する。ファイナ
ルジェネレータ（（１１１１））はメモリを備えず単に
ＲＤ、における２ＺＮの２つの剰余系のうちの一つを選
択する役目をする（（４，１）反復コードの二つのコー
ドワードのウチの一つを選択する）、８状態コードは、
長さ１（（１１１１））１個と、長さ２（（１１００゜
１０１０）およびそれらの補数）４個との５個の重み４
ワードからなっており、Ｉ６状態コードは重み４ワード
（（１１１１））１個からなっている。

両方にとって、タイムゼロブロックコードは、（’４．
３）シングルパリティチエツクコードである。

両方の場合において、Ｈｏによって生成されるコードＣ
１は、（４，１）コードをそのタイムゼロブロックコー
ドさして有しており、４個組の総ては、（４，３）シン
グルパリティ−チエツクコート′の中にある（即ち選択
された整数４個組は総てり。

の中にある）。

シュミレーションによれば、８状態双対Ｗｅ＋コードは
、Ｍ＝７　（１６ＱＡＭ記号のデコーディングウィンド
ー）において、約０．９０ｄｂの、Ｍが無限大に近づく
につれて１．０５ｄ　ｂのシェーブゲインを達成するこ
とがつきとめられており、漸次的に４状態Ｕ　ｎｇｅｒ
ｂｏｅｃｋコードより優れ、配列域の拡大がずっと小さ
くなっている。

酊丑境界皇ｍ 最も実際的な応用に際しては、最終の配列規模を小さく
保ち又ビークと平均の比（ＰＡＲ）を小さくするために
配列の境界を円形状にすることが好ましい、これによっ
て、非線形ひずみや位相ジッタ等の悪化に対する性能が
向上する。

二進束の分割に基づくトレリスコードを用いたトレリス
整形では、送信列の要素ｅＪは正方形の境界内に広がる
２Ｄ配列域に属する。トレリス整形は、２Ｄ配列域の大
きさを、ファクタ２に＋Ｃｓ′によって拡大する。デコ
ーダ４６（第４図）に制約条件を適用することによって
、配列試の拡大の程度を小さくし、より円形に近い境界
を得ることが可能である０例えば、デコーダを、要素ｅ
ｊ−ｒｊ−Ｃｊが所定の半径Ｒｃより大きくない、即ち
ｅｊｌ　＝　ｌ　ｒｊ　Ｃｊ　ｌ　＜Ｒ（であるところ
の送信列ｅ＝ｒ−ｃとなるようなコード列Ｃを（整形コ
ード−Ｃ４，から）のみを選択するように制約すること
ができる。Ｒｏがある程度大きければば（例えばＲｅが
総ての状態におき最低１本の分岐が常に可能であるのに
充分な大きさである場合に）、デコーダは制約条件を侵
すことなしに先へ進むことができる。しかし、もしＲｏ
が小さすぎると、この制約条件を満たさないコード列を
選択することが強いられるかもしれない。

この種類の制約条件は、最小平均平方エラー（ＭＳＥ）
の大きさがＲｃｚを超えるところのトレリスの分岐を、
それらを適当な一数Ｑと掛は合わせて、デイエンファシ
スすることによって、極めて容易にＶｉｔｅｒｂｉデコ
ーダに組入れることができる。Ｑが大きくなるにしたが
って、制約条件は厳しくなる。これによって制約条件円
の外に存在する点を選択する確立は小さくなる。Ｑが充
分に大きくて、Ｒｅが極端に小さくない場合には、制約
条件円の外則の点は絶対に選択されない、なお、Ｒｅが
小さすぎる場合には、イリーガルな列をコード列として
選択するようにデコーダを強いて当初の列ｒを受信器内
で正しく回復できないことがあるので、分岐を否定すべ
きではない。

送信列ｅが通信路を通しての送信の以前にろ波される場
合は、ろ波後のＰＡＲを最小にするために、制約条件を
項次元で（列ｅの連続する要素の群に）、適用すること
が有益かもしれない。

例えば、制約条件を四次元で適用することができる。こ
れは、以下のようにデコーダ（８状態Ｗ　ｅ　ｉコード
を復号化するもの）に組入れることができる。まず、４
Ｄ分岐距離を平均平方エラーに基づいて通常のように計
算し、次にこれらをしきい値Ｒａと比較する。しきい値
を超える分岐距離は、特定のファクタＱ（普通は２つの
累乗）を掛けて、それに係る分岐をジエンファシスする
。Ｑが充分に大きい場合、デコーダは強制されない限り
（即ち総ての径路がデイエンファシスされない限り）は
、これらの分岐を選択することはない。

そして又、Ｒｇが充分に大きく、充分に大きなＱについ
て各状態において少なくとも一つの分岐が可能な場合、
総エネルギーがＲＡより大きいなら、即ち（ｅｚｊｔ　
”　＋　ｔ　ｅ！ｊ、１１　”−≦−ＲＡであるなら、
デコーダが、二つの連続する記号ｅ□およびｅ□。

を選ぶことは絶対にない。

８　　　　Ｄ　　　Ｗｅｔコー　のモー′ムの　′−次
に、四次元１６状態Ｗｅｉコードをコーディング（Ｃｃ
で示す）に、また四次元８状態双対Ｗｅｉコードを整形
（ＣＳで示す）にどのように用いるが、そして２次元に
つき７ビツトをどのように送るかを示す、コードＣｓは
、ｒａ　ｔｅ　’　／　ａ畳込み１７’：Ｊ−ダ及び分
割Ｚ’　／２Ｚ４に基づいたものである。

これはタイムゼロ東ＡＯ＝ＲＤ、を有している。

コードＣｃは、ｒａｔｅ３八畳込みへンコーダに基づ（
ものであり、分割２−３２’　／２−”Ｚ’を用いるよ
うに位取りされている。これには各四次元毎に、１リダ
ンダントビツトが付加される。なお、旦。

のタイムゼロ束ＲＤ４の基本領域は、位取りされた東２
４Ｚ４の任意の剰余系から正確に２　！　Ｗ　７ｅ＋即
ちｌ　２−’Ｚ’／ＲＤ、ｌ　＝２＋ｓの点を含むもの
である。

第１７図のモデム発信器２１０において、スクランブラ
２３６は、各（２Ｄ）信号間隔毎に、７ビツトをデータ
端末装置（ＤＴＥ）２３８から受は取る。

スクランブルされたビットは、１６（２ｊ）〜ｌ０（２
ｊ）および１６　（２ｊ＋１）〜１０（２ｊ＋１）とラ
ベルを付けた１４のいわゆるＩ−ピント２４２の群とし
て、２つ連続する場合は２ｊおよび２ｊ＋１において、
２進エンコーダ２４０に送られる。

第１８図において、■ビット（２（２ｊ）　Ｉ　１（２
ｊ）は、整数５ｈｏｄ　４を代表するものとし扱われ、
・４を＠ｏｄ　　４加算を表すものとした場合に、１０
２（２ｊ）１０１　（２ｊ）　〜１２（２ｊ）Ｉｔ（２
ｊ）の４ＩＤ２（２ｊ−２）１０１（２ｊ−２）の関係
に従って２つの差動的に符号化されたピッ１−ＩＤ２　
（２ｊ）ＩＤＩ　（２ｊ）を作成するようにコーディン
グ差動エンコーダ２４４によって差動的に符号化される
。

ビットＩＤ！　（２ｊ）およびｌｏ（２ｊ）は、リダン
ダントビットＹＯ（２ｊ）を作成するｒａ　ｔｅ−をへ
２進畳込みエンコーダ２４６に入力される。

第１９図においてエンコーダ２４６は、４個のｄｅｌａ
ｙ−２シフトレジスタ２４８および３個のｓｏｄ　　２
加算器２５０を有するシーケンス回路を備えている。こ
のエンコーダは、他の回路を用いても実現できる。

再び第１８図に戻って、ビットＩＤ２　（２ｊ）ＩＤＩ
（２ｊ）１０　（２Ｊ）およびリダンダントビットＹＯ
（２ｊ）は、以下のテーブルに従って４個の出力ビット
Ｚｌ　（２ｊ）ＺＯ（２Ｊ）Ｚｌ　　（２ｊ＋１）ＺＯ
（２ｊ＋１）を生成するビット変換器２５２に入力され
る。

これらの出力ビットは、その合併（ｕｎｉｏｎ）が四次
元格子２−”Ｚ’　＋　（２−’、２−’、２−’、２
−’）を形成するような２４Ｚ４の１６の剰余系の一つ
を選択するのに用いられる。そのような剰余系のそれぞ
れは、２次元格子２−１２”　＋　（２−’、２−’）
における２−ｘｚｔの一対の剰余系によって表すことが
できる。これらは、Ｚ’（２ｊ）ＺＯ（２ｊ）およびＺ
ｌ　（２ｊ＋１）ＺＯ（２ｊ＋１）によって別個に決定
される。なお、差動エンコーダ２４４、エンコーダ回路
２４６およびビット変換器２５２は、合わせて、第１３
図のｒａｔｅ−３７ｍ　２進エンコーダＧｃ１９２を形
成する。

残りの１ビツト１３（２ｊ）乃至１６（２ｊ）は、変喚
されることな（通過し、Ｚ２（２ｊ）乃至Ｚ３（２ｊ）
として再ラベルされ、６細組ＺＳ（２ｊ）・・・Ｚｌ　
（２３）　ＺＯ（２ｊ）を形成するために、Ｚｌ　（２
ｊ）２０　（２ｊ）と組合わせられる。同様に、■ビッ
ト＋３（２ｊ＋１）乃至１６（２ｊ＋１）は、Ｚｌ　（
２ｊ＋１）Ｚ□（２ｊ　＋　１）と−緒に６細組Ｚ５（
２ｊ−１−１）　　・・・Ｚｌ　（２ｊ＋１）２０　（
２Ｊ＋１）を形成する。

第２０図において、■ビット１２　（２ｊ＋１）１１　
　（２ｊ＋１）ＩＯＣ２ｊ＋１）は、２対のＳビットｓ
ｌ　（２ｊ）ｓｏ　（２ｊ）および５ｌ（２ｊ＋１）ｓ
ｏ　（２ｊ＋１）を作成するｒａｔｅ　　”／ａ逆元シ
ンドローム形成器（Ｈ−１）Ｔ　２５４に入力される。

前述したように、（Ｈ−’戸は、エラー伝播を限定する
ために含まれるものである。

このようにして生成された１６ビツトは、格子２−３Ｚ
”　＋　（２−’、２−’）上に広がる２５６点からな
る２次元平方信号集合から選ばれた２つの初期信号点ｒ
（２ｊ）およびｒ（２ｊ＋１）にマツプされる。まず、
第２１図に示した６４点からなる象限１信号配列域から
１信号点を選択するのに、６個＆ｌｚビットが用いられ
る。この信号集合は、２−！Ｚ！の剰余系であるところ
の４つの部分集合（２６２゜２６４、２６６、２６８）
に区分される。これらは第２１図においては異なった濃
淡によって示される。各信号点は、ＺｌおよびＺＯが第
２１図の左下隅に示したラベリングに従って、剰余系の
１つを選択するように、ラベル付けされている。残りの
ビットｚ５Ｚ４Ｚ３Ｚ２のラベリングは、剰余系２６２
に対してのみ示されている。他の剰余系についてのラベ
リングは、ある点を象限１信号点の中心（Ｉ八、′八）
の周りで９０度面回転ると同じラベリングになるという
規則から求めることができる。

Ｗｅ！エンコーダは、象限ｌ上の点の許容できる各列間
の最小距離が大きく保たれることを確実にするものであ
る。

Ｓとット５ＩＳＯは初期点の最終象限を：５ＩＳＯ象限 の規則に従って決定する。第２２図において、第１象限
２７２の各信号点は、それらが２１の同じ剰余系の中に
留まるように、Ｓビットによって選ばれた象限に移動さ
せられる。これは、その第１１限上の点を、（０，０）
、（０，１）、　　（−１，１）または（−１，Ｏ）に
よってオフセットすることによって達成される。このこ
とから平行移動された最終点は、第１象限上の点と同じ
２−ｔｚｔの剰余系にあることがわかる。したがって許
容可能な列間の゛最小距離は変化しない。このようにし
て得られた信号点は初期点列ｒを形成する。

第２３図において列ｒは、デコーダ２９４によって、送
信列ｅに変換される。デコーダ２９４の機能を理解する
ためには、まず整形コードＣ８を考慮しな（ではいけな
い、このコードにおいて可能な列の総てが、第２４図の
トレリス図によって説明される。

第２２図において、２次元束Ｚｌから選ばれたコード記
号を平方によって示し、他のものは重要でないので、９
つの記号だけを示した。これらの記号は、Ｚｌにおける
２Ｚ”の（４つの）剰余系に対応する４つの部分集合に
分割され、第２２図の左下隅に示したように、Ａ、Ｂ、
ＣおよびＤとラベルがつけられる。

第２４図において、いずれの状態からも２つの分岐があ
り、各分岐はそれぞれ、２つの２次元剰余系を表してい
る０例えば、状ＭＯはＡ、　ＡおよびＢ、　Ｂとラベル
された２つの分岐を有している。

このような剰余系の各１対は、Ｚ４における２Ｚ’の剰
余系を表す、第２３図のデコーダは、Ｖｉｔｓｒｂｉア
ルゴリズムを通して、初期信号点の列ｒに平方ユークリ
ッド距離の観点から最も近い許容できるコード列Ｃを決
定する。このデコーダは、２Ｍを信号間隔の数で測定し
たデコーディング遅延とした場合に、２信号間隔毎（ま
たは反復毎）に、それが２つの遅延された決定ｃ　（２
Ｊ−２Ｍ）およびｃ　（２ｊ＋１−２Ｍ）を発するよう
に、再帰的かつ同期に動作する。

Ｖｉｔｅｒｂｉエルゴリズムの演算は、よく知られたも
のである。ここでは、計算されたコード列が実際にＣ８
からの許容できる列であることを確実にするためにそれ
を多少補強しておく、これは、そうしないと送信列を正
しく回復することができないからである０反復毎におい
て、Ｖｉｔｅｒｂｉアルゴリズムは、最もそれらしい通
路を判定し、例えばある状ＭＭＵから状態Ｖへの状態遷
移に対応する遅延コード記号を判定するために、それを
２Ｍ信号間隔トレースバックする。この補強されたＶ　
１ｔｅｒｂｔアルゴリズムは、他の通路もトレースバッ
クし、それらも状態Ｖへ向かう状態遷移に行きつくかど
うかを判定する。この条件を満たさない通路には、極め
て大きな距離が割り当てられる。このことによって、そ
れらが次回の反復において最もそれらしい通路にならな
いことが確実になり、許容可能なコード列のみが選択さ
れることが保証される。

この補強されたＶＡは、配列域制約条件を含むよう′ち
、更に変更することができる。

第１７酢において、エラー列ｅ＝ｒ−ｃは、減算器２４
１によって計算され、ＱＡＭ変調装置２４３に送られる
。生じる３連続ＱＡＭ記号の多対は送信フィルター２４
５によってろ波され通信路２４７に送られる。なお、エ
ラー列の要素ｅ（２ｊ）およびｅ（２ｊ＋１）は、Ｚ４
の同じ剰余系に、したがって２−ｘｚａにおける２−２
７，４の同し剰余系に、初期点ｒ（２ｊ）およびｒ（２
ｊ＋１）として存在する。したがって、可能なエラー列
間の最小距離は、初期列間の最小距離と同じであるが、
しかし必要とされる平均電力は前にのべたように減少さ
せられる。また、エラー列の要素は、格子２４Ｚ意＋（
２−’、２−’）に存在する２５６点の平方信号集合に
属する。

第２５図の受信器２８１において、受信信号２８３は、
等化器２７７を通って、それからノイズによって汚染さ
れた送信エラーにほぼ対応する受信列２２８０を得るた
めに復！１ｉ２７９される。まず、エラー列ｅ′２７８
の推定値を、１６状態Ｗｅ＋コードＣｃ用のＶ　１ｔｅ
ｒｂｉアルゴリズムデコーダ２８１を用いて求める。こ
のデコーダは勿論よく知られたものであり、送信信号点
を選ぶ２５６点の配列域の平方境界を計算に入れること
ができる。

ｅ’（２ｊ）およびｅ’（２ｊ＋１）が、反復の後にＶ
ｉｔｅｒｂｉデコーダによって生成された２つの推定値
であると仮定する。送信１ビツトについての判断は、こ
れらから以下のようにして得ることができる。まず、Ｚ
ビットを得るにはｅ’（２ｊ）およびｅ’　　（２ｊ＋
１）を、それらがＺＸの同じ剰余系に留まるように、第
１象限に平行移動する。

そして、２ビツトは第１象限における送元マツピングを
用いて取り出すことができる。

Ｓビットを求めるには、まず、 象限　　　　５ＱＩＳＱＯ に従って、（前と同様に）各象限にラベルをつける。そ
うすると、２つの象限ラベルＳＱＩ　（２ｊ）ＳＱＯ（
２ｊ）およびＳＱＬ　（２ｊ＋１）ＳＱＱ（２ｊ＋１）
が得られる。１＝２ｊまたは２ｊ＋１で、・、が非等価
演算を表す場合に、Ｓ　Ｑ　１　（ｉ）ＳＱＯ（＋＞＝
３１（ｉ）Ｓｏ　（ｉ）・、Ｂ１（υＢＯ（ｉ）である
ことを示すのは容品である。Ｂ　１　（ｉ）Ｂ　Ｏ（ｔ
）は、Ｃ８のデコーダによって選ばれた整形コード記号
ｃ　（ｉ）について２Ｚ！の二次元剰余系（Ａ＝ＯＯ，
Ｂ＝１１．Ｃ＝ＯＬまたはＤ＝１０）に対応する２進２
個組を表すものであり、ｅ（＋）＝　ｒ　（ｉ）　−ｃ
　（ｉ）であることを思い出すとよい。

第２６図および２７図において、ラベル５ＱＩ（ｉ）Ｓ
Ｑ　Ｏ（ｉ）は、次にフィードバックフリーのｒａｔｅ
４八シンドローム形成器Ｈ”２５６を通される。このシ
ンドローム形成器は、剰余系ラベルＢｌ（ｉ）Ｂ　Ｏ（
＋）の如何なる許容可能な列もその出力において全ゼロ
列を作成するような特性を備えている。

更に、（Ｈ−’）”）ｌ’＝夏、一致マトリックスを備
えている。したがって、まず（Ｆヒ１）７を通り次にＨ
Ｔを通る列は、変化を受けない。このため、推定値ｅ’
（ｉ）が正しい限りは、シンドローム形成器の出力機構
において、送信ビット１２（２ｊ＋１）１１　　（２ｊ
＋１）Ｔｏ　（２ｊ＋１）を正確に得られる。たまにエ
ラーがある場合には、Ｈｒがフィードバックフリーであ
るから、それらによって破局的なエラー伝播が引き起さ
れることはない。

再び第２６図に戻って、残りの情報ピントは逆光ピント
変換器２８６およびＴ２’　（２ｊ）１１’（２ｊ）＝
ＩＤ２’　　（２ｊ）ＩＤＩ’　　（２ｊ）ｏ４ｒＤ２
’　　（２ｊ−２）ｒＤ１’　　（２ｊ−２）の閏係に
従って動作するコーデヘング差動デコーダ２８８によっ
て再生される。但し、θ４はモジュロム減算である。第
２５図において、■ビットは次にデスクランブラ２８５
によってデスランプルされて、ＤＴＨに送られる。

のための　　コー−゛　ング 通信路が、ｋ＝１．２または３の９０に皮相回転を取り
入れたものと仮定する。エラー点の第１象限への変換は
、点Ｃ八、　’／ｌ＞の周わりを同量回転することにな
る。Ｗｅｉコードは９０に度の相回転に対して透明であ
るから送信器において用いられたマツピングはＺビット
が正確に回復され得ることを保証している。残念ながら
、このことは象限ラベル５ＱＩＳＱＯには当てはまらな
い。

この事態を改善するために、ラベル列５ＱＩＳＱＯを、
第２８図に示した位相不変ラベリングにしたがって生成
するこができる。５ＱＩＳＱＯ＝ＳＩＳＯ＠□ＢＩＢＯ
の関係が依然としてし成り立つことを保証するために、
差動符号化演算が必要である。これは以下のように行わ
れる。第２９図において、第１象限のマツピング２５８
により得られる信号点のそれぞれについて、そのサブク
アドラントラベル５ＱＩＳＱＯを第３０図にしたがって
サブクアドラント抽出器を用いて抽出する。整形差動エ
ンコーダ３０８およびオフセット３１０へのマツプは、
その第１象限の点を２つの新たな点ｒＯ（ｉ）とｒｌ（
＋）とにオフセットするように、ビット５ＱＩＳＱＯお
よび５ＩＳＯを利用する。但し、１＝２ｊまたは１−２
ｊ＋１であって、それらは７、ｔの同じ剰余系の中に残
る。このマツピングは以下の２つのテーブルによって説
明される。

ＤｉＯＤｉｌ　　　　　　　Δ１ ０　　　　　０　　　　　０、Ｏ＋ｊ０．００　　　　
　１　　　　　０．０−ｊｌ、０１　　　　　０　　　
　−１．０＋ｊ０．０１　　　　　１　　　　　−１．
０−ｊｌ、０Ｖｉｔｅｒｂｉアルゴリズムにおいて、点
ｒ　Ｏ（ｉ）は、剰余系ＡおよびＢに対応する分岐に用
いられ、方でｒ　１　（ｉ）は、剰余系ＣおよびＤに対
応する分岐に用いられる。５ＱＩＳＱＯが受信点のサブ
クアドラントラベルである場合に、５ＱＩＳＱＯ−３Ｉ
ＳＯ＠ｚ　ＢＩＢＯであることを示すことができる。し
たがって、（回転に対して不変の）サブクアドラントラ
ベルをシンドローム形成器Ｈ丁を通過させることによっ
て、９０に度の位相オフセットがある場合にも、ビット
１０　（２ｊ＋１）１１　（２ｊ＋１）および１２　（
２ｊ＋１）を再生することができる。

Ｗ　ｅ　ｉ　　　　のコー−゛　ングイン符号化コード
の正規化リダンダンシーは、ｒ（ｃｃ）＝’八であり、
したがってコーディング配列拡大比はＣＥＲｃ　（Ｃｃ
）＝２’／”−１，４１４である。整形コードの正規化
情報伝達力は、ｋ（Ｃ，）＝１八であり、したがって、
整形配列域拡大比はＣＥ　Ｒｓ（Ｃｓ　）＝　２　’／
ｚ　＝１．４１４である。前に述べたように、シュミレ
ーションが示すところでは、このコードの整形ゲインは
、整形のデャーディングの遅延Ｍが大きくなると、１．
０ｄＢを超える。

コーディングと整形を組合わせての効果はＣＥＲｓ（旦
、）＊ＣＥＲｃ（旦。）＝２の総配列域拡大比をもたら
す、このコードの名目コーディングゲインは２’／ｚ　
　（４，５２ｄＢ）であり、その正規化エラー係数が１
２であるから、その実効コーディングゲインは約４．２
ｄＢである。したがって、コードおよび配列域に由来す
る総合コーディングゲインは約５．２ｄＢである。

レ　　ス　　　　　の　　　　°インの前述したように
、トレリスコード−Ｃ（Δ／八へＣ）に基づくトレリス
配列の最終配列Ｃｆ１ｎの成分２次配列Ｃ２は、以下の
制約条件を満たす。

（但し、Ｚｔはへの成分２次元束であり、μを分割Δ／
Ａ’の深さとした場合に、ＲｕＺ”がΔ′の成分２次元
従属束であると仮定する。）１、Ｃ，（７）点は、Ｚ”
（７）従属束Ｒ−”−ｐＺ”１７）移項から導かれる ２、　　Ｒ””−ｐＺ”における２１の２１〃剰余系の
それぞれは、等しい確立２−１１−ｐを有しており、即
ち、結合してこれら剰余系の一つをつくるところのＲ＃
Ｚ！の２μ剰余系における各点の確立の合計は等しい。

３、Ｃ１の各点は、ＲｌＩＺｔのＶｏｒｏｎｏｉｗｆ域
内（領域２μの平方）に限られる。

第１６図は、最大整形ゲインＹ、（ｄＢ）をμｍ１．２
．３，４、および無限大のμ（μｍｏｏ）について、正
規化された情報伝達力にの関数として示すものである。

ＣＥＲ，＝２’であるから、この曲線は又、多様なＩに
ついて、トレリス配列域の、整形ゲイン対整形配列拡大
比の限界を示すものである。これら曲線は総てμｍ（１
）の曲線に沿って（に＝０から）始まるが、Ｖｏｒｏｎ
ｏｉ制約条件が影響するに従って分かれる。しかし、μ
ｍ２においてさえ、１．４４ｄＢ程度大きさの整形ゲイ
ンが基本的には得られる。（これら曲線は、１６　Ｘ　
１６の最終２次元配列域を用いたシュミージョンから得
たものであり、各値は概算で、曲線の上端は境界効果に
よって切り捨てになっている。） ｋ＝２次元当たり０．５ビツトとして、整形配列域拡大
比がＣＥ　Ｒｓ　＝　２　’／”　＝１．４の場合に最
大到達整形ゲインは、究極限界の０．２ｄＢ以内の１．
３５ｄＢであり、これは２の深さμで達成される。

に＝２次元当たり０．２５ビツトとして、配列域拡大比
が２１八−１，２の場合に、最大到達整形ゲインは１．
１２ｄＢであり、これもμｍ２によって得られるもので
ある。

これらの曲線は、線状のつまりｄｅｐｔｈ−２のトレリ
スコードのみを整形の対象にすることが重大な制約では
ないことを示唆している。これらは更に、正規化された
情報伝達力としての例えば双対Ｗｅｉ４Ｄコードでのに
＝＋八へ度の小さな値が、パフォーマンスにそれ程影ツ
しないかもしれないことを示唆している。実際、１６状
態双対Ｗｅｉ４Ｄコードを用いて、１．１０ｄＢの整形
ゲインが漸次的に得られ、これは、このｋについての整
形ゲインの上限から０．２５ｄＢ以内のものである。こ
の限界は、より小さなｋつまり配列域拡大比２にさえも
用いることができることを示唆しており、に＝１７４に
おいてさえ、ＩｄＢ程度の整形ゲインを達成できるかも
しれない。

トレリスコードへの 前節は線形（ｓｏｄ−２）　）レリスコードが可能な整
形ゲインの大部分を達成できることを示すものであるが
、次に、本明細の方法が如何に非線形トレリスコード旦
に拡張されるかを簡単に説明する。

既知の実用非線形トレリスコードにおいては、エンコー
ダの任意の状態ｓ１について、可能な次の信号点の集合
が、Ｃのタイムゼロ束Ａ。の剰余系Δ。＋ａ（Ｓｊ）で
あるようなタイムゼロ束がある。

旦の単純基本領域はしたがってまた、旦のタイムゼロ束
へ。の任意の基本領域Ｒ６に基づ＜Ｃ−のだめのハード
判断デコーダによって特定され得る。

時間ｊおよびＲＮの任意のｒ、におけるＳ４を条件とし
て、このデコーダはｅ、が−Ｂ−０の要素である場合に
、ｒｊ　””Ｃｊ　＋　ｅＪ　となるような特異コード
記号Ｃ１をΔ。＋ａ（ｓｊ）の中に発見する。

次の状１１ｓ７＋ｌはしたがってＣ５によって決定され
る。このようにして、このハード判断デコーダは、Ｃが
旦にあり且つｅが（ｆｌ。＞”にある場合に、列空間（
Ｒ’　）ａ′における任意の列ｒを「−ｃ＋ｅに分解す
る。

したがって、（ｆｌ。）″はコード−Ｃ−の単純基本領
域であるといわれる０列空間（Ｒ）”’の全体は重なり
合わない移項式（且。）＋Ｃによっておおわれており、
Ｃは旦における総てのコード列を通じての範囲である。

結果として、ｅが単純基本領域（且。）″における任意
の列である場合に、合同類（ｅ）を上記デコーダによっ
てｅにマツプさた列空間（Ｒ’　）″における総てのｒ
の集合として定義することができる。

旦が非線形の場合、合同類は一般には代数的群を形成し
ないが、これは、線形トレリスコートｑの剰余系またせ
移項式旦＋ｅの概念の妥当な一般化である。

トレリス整形システムの総合的実行は、第３図およびそ
れに引き続いて示したところである。データ列はまず、
単純基本領域（ｆｌ。）′に存在する初期列ｉ（第３図
のｒ）にマツプされる。旦のデコーダは次に、差の列ｚ
＝ｉ−ｃ（第３図のｅ）が初期列ｉのものより小さいか
または等しい基数を有するような旦におけるコード列Ｃ
を発見する。

この差の列は送信される。なお、Ｘは合同類（ｉ）にあ
る、したがって、初期列ｌを、前述の−ｇ−のタイ−み
−ゼロ束の基本領域且。に基づく旦のためのハード判断
デコーダを用いて、送信列Ｘから再生することができる
。

一般に、トレリスコート艷の基本領域を、（且・）′″
）の各ｅについて、各合同［（ｅ）からの唯一の列を含
む任意の領域として定義することができる。前節の実施
に際して、可能な送信列Ｘの集合は旦のこのような基本
領域に存在しており、これは、旦のデコーダが（Ｒｏ　
）”における列であるところの）初期列ｉを、合同ＩＮ
）の送信列Ｘにツブするからである。旦の最小距離デコ
ーダは、ｉを合同ｆｆ（ｉ）の最小平均累乗の列Ｘにマ
ツプすることになる。

（ＲＱ　）”における総てのｉについてのこのような列
の集合を、コード旦のＶｏｒｏｎｏｉＳＪｒ域として定
義することができる。

六五ｌ旦ｙ死 もし整形トレリスコードを、成分２Ｄ束や従属束Δ２お
よびＡｚ’が六角２Ｄ束のＡ２′の様式であるところの
いわゆる３進または４進束の分割Δ／Δ′に基づいたも
のとした場合には、最終配列Ｇ　ｆ　ｉ　＊は平方では
なく六角であるところの領域Ｒｖ（Ａ！’　）内に限定
される。このような配列域は、より球面に近いという効
果がある。

他の実施例は、前記の特許請求の範囲にある。

【図面の簡単な説明】

第１図は、トレリス符号のための符号器のブロック図で
ある。 第２図は、トレリス符号の基本領域の一つから他の基本
領域への写像を示すためのブロック図である。 第３図は、単純基本領域からボロノイ領域への写像及び
ボロノイ領域から単純基本領域への写像を示すブロック
図である。 第４図は、ｂビットワードから送信シーケンスｅへの写
像及び送信シーケンスからｂビットワードへの写像を示
すブロック図である。 第５図は、ウンガーベック４状態２Ｄ符号を用いる写像
を示すブロック図である。 第５Ａ図は、第５図の写像のラティス分割を示す図であ
る。 第５Ｂ図は、第５図に対応するトレリスダイヤグラムを
示す図である。 第６図は、ウンガーベック符号の変形に基づく符号化動
作と結合されたウンガーベック４状態２Ｄ写像符号を示
す図である。 第７図は、第６図の系列ｅのための受信機を示すブロッ
ク図である。 第８図は、符号化と整形とを組合わせた変調システムを
示すブロック図である。 第９図は、ウンガーベック４状態２Ｄ）レリスを用いた
符号のための符号器、シンドローム・フォーマ及び右逆
関数を示す図である。 第１０図は、霞ｏｄ−２）レリス符号に基づくトレリス
配置の発生を示すブロック図である。 第１１図は、第１０図の配置のための受像機を示す図で
ある。 第１２図は、符号化及び整形を伴う変調システムの一般
的構成を示すブロック図である。 第１３図は、第１２図のウェイ符号の実施例を示す図で
ある。 第１４図及び第１５図は、それぞれ８状態及び１６状態
４Ｄウ工イ符号に関連したマトリックスを示す図である
。 第１６図は、トレリス配置の整形利得対正規化情報度を
示すグラフである。 第１７図は、モデム送信機回路を示すブロック図である
。 第１８図は、第１７図の回路の二進符号器を示すブロッ
ク図である。 第１９図は、第１８図の１６状態二進ウェイ畳込み符号
器を示すブロック図である。 第２０図は、第１８図のシンドローム・フォーマを示す
図である。 第２１図は、第１８図に対する配置を示す図である。 第２２図は、第１８図に対する２Ｄ配置を示す図である
。 第２３図は、整形符号に対する符号器の動作を示すブロ
ック図である。 第２４図は、８状態二重ウェイ符号に対するトレリスダ
イヤグラムを示す図である。 第２５図は、モデム受信機回路を示すブロック図である
。 第２６図は、第２５回の二進復号器を示すブロック図で
ある。 第２７図は、第２６図のシンドローム・フォーマを示す
ブロック図である。 第２８図は、象限分割を示す図である。 第２９図は、第１８図の配置形成器を示すブロック図で
ある。 第３０図は、象限ラベリング手法を示す図である。 図面の浄！（内容に変更なし） （外４名） ＦＩＧ。２ ＦＩＧ、　４ ｏ　Ｏｏ　。 ｏｏ　　　　ｏ。 ゛・・°・Ｑ！Ｔ、２ ｏｏ　　　　ｏ。 ＦＩＧ、　５Ｂ ＦＩＧ、　９ ＦＩＧ、　１０ ロ　　８　− ＦＩＧ、　１３ −Ｅ現４１Ｌ＃ｌ＠潰 ２ｍ倫号δ、誰 ＦＩＧ、２２ ノ 施 ＦＩＧ、　１９ 升 ＦＩＧ、２８

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、デジタルデータ列をデータ伝送のために信号点系列
   へ写像するための方法において、 前記デジタルデータ列に基づいて、全ての可能な信号点
   系列のサブセットから前記信号点系列を選択し、前記サ
   ブセットにおける全ての前記可能な信号点系列がトレリ
   ス符号の基本領域に存在し、前記基本領域が有限次元領
   域の単純デカルト積以外のものである方法。 ２、前記可能な信号点系列が、トレリス型又はラティス
   型の第２の符号のトランスレートからの符号系列である
   請求項１記載の方法。 ３、前記基本領域が前記トレリス符号のボロノイ領域を
   ほゞ含む請求項１記載の方法。 ４、前記基本領域が、トレリス符号用復号器によって前
   記トレリス符号のゼロ系列へ複号される前記可能な信号
   点系列のセットを含む請求項１記載の方法。 ５、前記基本領域が、トレリス符号用の最少距離複号器
   との近似によって前記トレリス符号のゼロ系列へ複号さ
   れる前記可能な信号点系列のセットを含む請求項４記載
   の方法。 ６、前記基本領域が、遅延Ｍ（ただし、Ｍは１に等しい
   か大きい）を伴う最小距離複号器によって前記トレリス
   符号のゼロ系列へ複号される前記可能な信号点系列のセ
   ットを含む請求項５記載の方法。 ７、前記基本領域が、前記トレリス符号用のフェアな消
   耗形複号器によって共通誤り領域へ複号される前記可能
   な信号点系列のセットを含む請求項４記載の方法。 ８、前記の選択することが、 前記デジタルデータ列をし、前記トレリス符号の一致ク
   ラスに所属し且つ該一致クラスを表わす初期信号点系列
   へ写像する段階と、 前記一致クラスに所属し且つ前記初期信号点系列を上回
   らない平均電力を持つ信号点系列を選択する段階と を含む請求項１記載の方法。 ９、前記の写像する段階が、前記デジタルデータ列を、
   前記トレリス符号の時間ゼロ・ラティスの基本領域内に
   存在する点を含む初期配置に所属する一連の信号点へ写
   像する段階を含む請求項８記載の方法。 １０、前記の写像する段階が、前記デジタルデータ列の
   要素の一部を、コセット代表系列を表わす多数のデジタ
   ル要素を形成するためのコセット代表発生器に適用する
   段階を含む請求項８記載の方法。 １１、前記コセット代表発生器が、前記デジタルデータ
   列の要素の一部と前記符号に対するシンドローム形成器
   マトリクスＨ＾Ｔの逆であるコセット代表発生器マトリ
   クス（Ｈ＾−＾１）＾Ｔとの乗算を含む請求項８記載の
   方法。 １２、前記デジタルデータ列を前記信号点系列の雑音汚
   染されることのある変形から再生する段階と、前記信号
   系列を評価されたデジタル要素の系列へ複号する段階と
   、フィードバックフリーのシンドローム形成器Ｈ＾Ｔを
   用いて前記の評価されたデジタル要素の一部に基づいて
   一層少数のデジタル要素のシンドロームを形成する段階
   とを更らに含む請求項１１記載の方法。 １３、デジタルデータ列を送出されるべき信号点の系列
   へ写像する方法において、 時間ｊまでに前記デジタルデータ列に現われるデジタル
   データに基づいて、送出されるべき前記系列が選択され
   る可能な系列のクラスを決定する段階と、 時間ｊ後に前記系列に現われるデジタルデータに基づい
   て、送出されるべき前記系列を前記可能な系列のクラス
   から各時間ｊ毎に選択する段階と を備える方法。 １４、前記デジタルデータ列が一連のデータ要素を含み
   、前記可能な系列のクラスを決定する段階が、それぞれ
   の要素を初期配置における点へ写像する段階を含む請求
   項１３記載の方法。 １５、前記一連のデータ要素が写像される前記初期配置
   における前記点の系列が、前記可能な系列のクラスの代
   表系列を含む請求項１４記載の方法。 １６、各要素の写像操作が任意の他の要素の写像操作と
   は独立になされる請求項１４記載の方法。 １７、各要素が２進値であり、前記初期配置が２＾ｂ個
   の点（但し、ｂは前記系列の各要素のビット数である）
   を含む請求項１４記載の方法。 １８、前記初期配置がラティス又はそのトランスレート
   の一部を含む請求項１４記載の方法。 １９、前記一部が前記ラティスのサブラティスの基本領
   域を含む請求項１８記載の方法。 ２０、前記部分束がトレリス符号の時間ゼロラティスで
   ある請求項１９記載の方法。 ２１、送出されるべき系列を選択する前記段階が、トレ
   リス符号用復号器によって前記初期配置における点の前
   記系列の複号処理を含む請求項１４記載の方法。 ２２、前記基本領域が前記復号器の共通誤り領域を含み
   、前記の復号処理が前記初期配置の前記点の系列を前記
   共通誤り領域内の誤り系列へ復号することを含む請求項
   ２１記載の方法。 ２３、前記共通誤り領域内の前記系列が、前記初期配置
   よりも多い点を持つ最終配置を含む信号点を含む請求項
   ２２記載の方法。 ２４、前記代表点が前記符号用の最小距離復号器によっ
   て復号される請求項２１記載の方法。 ２５、前記最小距離復号器が遅延Ｍ（≧１）を復号する
   請求項２４記載の方法。 ２６、送出されるべく選択された信号点の系列からなる
   受信系列から、請求項２又は１４記載の方法に従って、
   デジタルデータ列を再生する方法であって、 送信される信号点の系列を復号して、初期配置の点の系
   列を再生する段階と、 初期配置の点の系列を逆写像して、前記デジタルデータ
   列を再生する段階と を含む方法。 ２７、送出される信号点の系列を復号する前記段階が、
   時間ｊまでのみの前記信号点に基づいて時間ｊに行われ
   る請求項２６記載の方法。 ２８、前記トレリス符号が線形トレリス符号である請求
   項１、２０又は２１記載の方法。 ２９、前記トレリス符号が非線形トレリス符号である請
   求項１、２０又は２１記載の方法。 ３０、前記線形トレリス符号が４状態ウンガーベック符
   号である請求項２８記載の方法。 ３１、前記線形トレリス符号が二重ウェイ符号である請
   求項２８記載の方法。 ３２、前記トレリス符号が二進ラティスの分割に基づい
   ている請求項１、２０又は２１記載の方法。 ３３、前記トレリス符号が三進又は四進ラティスの分割
   に基づいている請求項１、２０又は２１記載の方法。 ３４、初期配置の点へのデータ要素の写像操作が線形で
   ある又は距離不変性である請求項８又は１４記載の方法
   。 ３５、送出されるべき信号点の系列へデジタルデータ列
   を写像する方法において、 前記デジタルデータによって特定される可能な系列のク
   ラスから、送出されるべき信号点の系列を選択し、該選
   択が前記クラスの異なる可能な系列の平均電力に基づい
   ており、前記選択が前記デジタルデータの有限ブロック
   のみには基づかない方法。 ３６、データ伝送のためにデジタルデータ列を信号点系
   列へ写像するための装置において、 前記デジタルデータ列に基づいて、全ての可能な信号点
   系列のサブセットから前記信号点系列を選択する系列選
   択器を具備し、前記サブセットにおける全ての前記可能
   な信号点系列がトレリス符号の基本領域に存在し、前記
   基本領域が有限次元領域の単純デカルト積以外のもので
   ある装置。 ３７、送出されるべき信号点系列へデジタルデータ列を
   写像するための装置において、 時間ｊまでに前記デジタルデータ列に現われるデジタル
   データに基づいて、送出されるべき前記系列を選択する
   可能な系列のクラスを決定するための写像器と、 時間ｊ後に前記系列に現われるデジタルデータに基づい
   て、送出されるべき前記系列を各時間ｊ毎に前記可能な
   系列のクラスから選択するための系列選択器と を具備する装置。 ３８、前記信号点系列を選択する前記段階が、前記信号
   点系列のピーク電力を減少するように更らに制限され、
   該ピーク電力が次元数Ｎの前記信号点系列の最大エネル
   ギを表わす請求項１、１３又は３５記載の方法。 ３９、Ｎ＝２である請求項３８記載の方法。 ４０、Ｎ＝４である請求項３８記載の方法。 ４１、前記系列における信号点が２Ｄ配置に属し、前記
   信号点系列を選択する前記段階が、前記系列の信号点が
   前記２Ｄ配置の原点の半径Ｒｃ内に通常存在するように
   規制される請求項１記載の方法。 ４２、前記一致クラスに所属する信号点系列を選択する
   前記段階が、前記信号点系列のピーク電力を減らすよう
   に更らに規制され、該ピーク電力が次元数Ｎの前記信号
   点系列の最大エネルギを表す請求項８記載の方法。 ４３、Ｎ＝２である請求項４２記載の方法。 ４４、Ｎ＝４である請求項４２記載の方法。 ４５、前記一致クラスに所属する信号点系列を選択する
   前記段階が、２Ｄ配置に属する信号点を含む最終信号点
   系列へ前記初期信号点系列を復号する段階を含み、該復
   号する段階が、前記配置の原点から所定の半径Ｒｃを上
   回らない大きさを信号点が通常有する最終信号点系列の
   みが用いられるように規制される請求項８記載の方法。 ４６、前記一致クラスに所属する信号点系列を選択する
   前記段階が、 ビテルビアルゴリズムを用いて前記初期信号点系列を符
   号系列へ復号する段階と、 前記符号系列が前記第２の符号における許容される系列
   であることを確かめる操作をビテルビアルゴリズムの反
   復毎に行う段階と を含む請求項２記載の方法。 ４７、前記操作が、前記ビテルビアルゴリズムのトレリ
   スにおける選択された履歴径路の距離を、該選択された
   径路がビテルビアルゴリズムの次の反復における最も起
   りうる径路とならないように調節する段階を含む請求項
   ４６記載の方法。 ４８、前記履歴径路が、ビテルビアルゴリズムのトレリ
   スにおける特定の場所での特定の状態遷移を含むかどう
   かに基づいて選択される請求項４７記載の方法。 ４９、前記操作が、大きな距離を前記トレリスの選択さ
   れた履歴径路に割当てる段階を含む請求項４７記載の方
   法。 ５０、前記デジタルデータ列を前記信号点系列へ写像す
   る段階が、所定の位相回転の一つを受けた前記信号点系
   列のチャンネルで影響された変形から前記デジタルデー
   タ列を再生することを保証するようになされている請求
   項１、１３又は３５記載の方法。 ５１、初期配置に所属する信号点の系列へ前記デジタル
   列を写像する前記段階が、該初期配置から信号点を選択
   するために前記データ列の前記データ要素をビット群へ
   変換する段階を含み、該ビット群が、９０度の１倍、２
   倍または３倍の位相回転を受けた前記の送出される系列
   のチャンネルで影響された変形から再生されることを保
   証するようになされている請求項９記載の方法。 ５２、チャンネルを介してデジタルデータ列を送受信す
   るためのモデムにおいて、 送出されるべき信号点の系列へ前記デジタルデータ列を
   写像するための手段であって、前記デジタルデータ列に
   基づいて全ての可能な信号点系列のサブセットから前記
   信号点系列を選択するための系列選択器を含み、前記サ
   ブセットにおける全ての前記可能な信号点系列がトレリ
   ス符号の基本領域に存在し、前記基本領域が有限次元領
   域の単純デカルト積以外のものである手段と、 前記チャンネルを介して前記系列の前記信号点を送出す
   るための変調器と、 前記チャンネルから前記信号点系列のチャンネルで影響
   を受けた可能性のある変形を受信するための復調器と、 前記信号点系列のチャンネルで影響を受けた可能性のあ
   る変形からデジタルデータ列を再生するための手段と を具備するモデム。