JPH04123136A - ファジィ情報処理装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ［産業上の利用分野］ 本発明は、ファジィ理論に基づく情報処理（ファジィ情
報処理）装置に関する。

［従来の技術］ 従来のファジィ情報処理に用いられているメンバシップ
間数Ｍ　（ｘｌ　は、１つの入力変数Ｘとファジィ集合
に対する適合度（所属度）ｔを座標軸とする２次元子面
内に表現される。それ故、２以上の入力変数Ｘ　１．　
Ｘ　２．・・・・・に対してファジィ情報処理を行なう
場合には、各入力変数に対してそれぞれ定義されたメン
バシップ関数（以下、従来型メンバシップ関数という）
を用いて適合度１＋。

ｊｚ、・・・・・を求め、それらの合成演算により、全
ての入力変数を評価した適合度を求めるようにしている
。

例えば２つの入力変数ｘ、ｙの場合は、第２３図及び第
２４図に示すように、変数Ｘに対する従来型メンバシッ
プ関数Ｍ、と、変数ｙに対する従来型メンバシップ関数
Ｍ、がそれぞれ定義され、各入力変数毎に適合度ｔが与
えられる。ここではメンバシップ関数の例として、ファ
ジィ制御で多く用いられる二等辺三角形を挙げである。

そしてファジィ推論法によれば、各入力変数ｘ、ｙの値
に対する”ｉｆ　−ｔｈｅｎ”形式のファジィルールの
前件部のメンバシップ関数Ｍ、、Ｍ、により適合度１、
．１．を求め、それらの合成演算（通常、■ｉｎ演算）
を行なって入力変数ｘ、ｙの両者を評価した適合度を求
める。

ここで、２以上の入力変数と適合度を座標軸とする空間
を考えると、上記の合成演算によって結果的に得られる
Ｍ、、、に相当するメンバシップ関数は、上記空間内に
各入力変数に対する従来型メンバシップ関数を合成して
形成される図形（図の例の場合、四角錐）になる、そし
て、このＭ、。

に相当するメンバシップ関数をある１つの適合度でカッ
トした場合の断面形状（等適合度線形状）は、Ｍ、１．
によって与えられるファジィ集合（或いはファジィ領域
）の境界の形状として解釈される。ところが、従来の方
法では、このファジィ領域の境界形状は、合成演算に依
存して、ある特定の形状に限定される０図示の例の場合
、２つの入力変数で規定される入力変数空間（２次元子
面）で、境界は常に長方形で表わされる。

［発明が解決しようとする課題］ しかしながら、上記の境界形状が常に一定であるという
ことは、入力変数空間におけるファジィ集合の形状が限
定されていることであり、その結果として、ファジィ情
報処理を行なう多入力系は特定の境界形状のファジィ集
合のみを取り扱ったものに限定される。

一方、種々の制御分野において、２つの変数の間の相関
関係は、各変数を横軸と縦軸にとり、各変数の入力値を
座標にプロットした分布図の形式で表わされることが多
いが、その分布の傾向（直線性や傾斜の方向）を判断亥
ることは、従来の統計的手法では非常に困難であるのに
対し、人間は容易に傾向を判定できる。これは矩形のよ
うな直線形状ではなく、楕円のような曲線形状を手掛か
りにして行なわれる故であると考えられており、このよ
うな判断を機械で実現するためにも、ファジィ理論が用
いられる。

それ故、２以上の入力変数で規定される入力変数空間内
に任意の形状（例えば楕円）の境界な有するファジィ集
合を設定可能にすることが望まれる。これを従来の手法
で実現しようとすると、各入力変数毎に上記の一定形状
の境界で形成される領域を細かく分割して各領域に従来
型メンバシップ関数を与え、更に”１ｆ−ｔｈｅｎ”形
式のルールの後件部に適当な値を与えることにより、近
似的に設定することになる。

ところが、このような領域分割の手法では、次のような
問題点が生じる。

■多くのメンバシップ関数とファジィルールを必要とす
る。

■分割された領域の形状が把握し難い。

■あ（までも近似に過ぎない。

■任意形状の領域が２つ以上あって重なる部分が生じる
と、処理が極めて複雑になる。

これらの理由により、従来のファジィ情報処理では、特
定の境界形状に限定されないファジィ集合を設定するこ
とはできなかった。

従って、本発明の目的は、上記のような特定の境界形状
に限定されないファジィ集合の設定を実現するファジィ
情報処理装置を提供することである。

〔課題を解決するための手段Ｊ 本発明は、上記目的を達成するため、複数個の入力変数
に対して楕円、放物線、又はひし形のような矩形の境界
形状のメンバシップ関数を多次元空間内に設定するよう
にしたものである。

本発明の一つの態様は、ファジィ集合を規定するメンバ
シップ関数に基づいて情報処理を行なう装置において、
複数個の入力変数とファジィ集合に対する適合度とを座
標軸とする多次元空間内の任意の位置に、楕円形の等適
合度面又は等適合度線によって形成される楕円型メンバ
シップ関数を設定し、複数個の入力変数に対する値が入
力されたとき、前記入力変数から成る多次元空間内に設
定されたメンバシップ関数により適合度を演算する演算
装置を備えたことを特徴とする。

本発明のもう一つの態様は、複数個の入力変数とファジ
ィ集合に対する適合度とを座標軸とする多次元空間内の
任意の位置に、放物線形状の等適合度面又は等適合度線
によって形成される放物線型メンバシップ関数を設定し
、複数個の入力変数に対する値が入力されたとき、前記
入力変数から成る多次元空間内に設定されたメンバシッ
プ関数により適合度を演算する演算装置を備えることを
特徴とする。

本発明の更にもう一つの態様は、複数個の入力変数とフ
ァジィ集合に対する適合度とを座標軸とする多次元空間
内の任意の位置に、任意の矩形状の等適合度面又は等適
合度線によって形成される矩形型メンバシップ関数を設
定し、複数個の入力変数に対する値が入力されたとき、
前記入力変数から成る多次元空間内に設定されたメンバ
シップ関数により適合度を演算する演算装置を備えるこ
とを特徴とする。

［作用］ 本発明によれば、複数個の入力変数とファジィ集合に対
する適合度とを座標軸とする多次元空間において、楕円
、放物線又は矩形の等適合度面又は等適合度線によって
形成されるメンバシップ関数を設定することにより、複
数個の入力変数に対する値が入力されたとき、上記の多
次元空間内に設定されたメンバシップ関数により適合度
を演算し、出力することができる。

このように、複数個の入力変数に対して任意に選択した
１つのメンバシップ関数を用いることにより、２以上の
入力変数から成る入力変数空間内に、選択した形状の境
界を有するファジィ集合を設定することができると共に
、その移動も選択したメンバシップ関数のパラメータを
適宜変更するだけで容易に行なうことができる。

［実施例］ ■、初めに５多次元楕円メンバシップ関数について説明
する。

（ｌ・１）つり鏡型メンバシップ関数 ｘ−ｙ直交座標および適合度から成る３次元空間内に、
第１図に示すような楕円形の等適合度線を有するメンバ
シップ関数を考える。ここで図中の記号を以下のように
定義する。

なお、簡単のため、原点を基準点（３次元メンバシップ
関数を記述するための中心点）とする。

Ｆ（Ｘ、ｙ、ｒｘ、ｒｙｌ”０　　’等連合度線の楕円
形状を与える関数 ｔ、・ｆ　（ｘｌ ：　ｘ−ｒｘ面におけるつり鐘型 メンバシップ関数 ｔ、＝ｇ（ｙ） ：　Ｖ−ｒｙ面におけるつり鐘型 メンバシップ関数 ：適合度ｌの楕円形の等連 合度線のＸ軸方向の半径 ：適合度ｌの楕円形の等連 合度線のｙ軸方向の半径 ：Ｘについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ：ｙについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ｒｘ：任意の点（ｘ、ｙ）を含む等 適合度線と適合度ｌの等適合度線との、　ｘ−ｔ、断面
上での距離 ｒｙ：任意の点ｆｘ、ｙ）を含む等 適合度線と適合度１の等適合度線との、’ｊ−ｔｙ断面
上での距離 ｔ　　　　　　　°３次元メンバシップ関数によって与
えられる点（ｘ、ｙｌの適合度なお、説明の便宜上、適
合度ｔをｔ８．１．に分けて記述するが、１．１＋＋、
１．は事実上同一の座標軸である。

このとき、任意の点（ｘ、ｙｌ　を含む等適合度線は次
のようになる。

また、１．、１．についてのメンバシップ関数はと表わ
される。ここで、複号の−はｘ、ｙが正側の部分、＋は
ｘ、ｙが負側の部分を表わす。

ｘ−Ｌ断面上およびｙ−ｊｙ断画面上は、着目する等適
合度線と基準点の距離は、それぞれＲｘ　”　ｒ　１１
Ｒ，＋ｒ、になるので、 ＝ａｘＪ＝■「τ ・・　ｒｙ ＝ａｙＪＴｎｒ「 従って、 これらより ＝　０ このとき、第１項と第２項の分母の０内が同じ形でない
と、ｔについての陽関数には変形できない、そこで、 ｗｉｎ（Ｒｘ／ａｘ、Ｒｙ／ａｙｌ　＝３゜を求め、０
＜ｓ＜ｓ、の範囲から適当なＳの値を選び、ａ糞　　　
　　　−ａｙ となるｄ、、　ｄ、を求める。

すなわち ｄ、＝　Ｒｘ−ａｘＳ ｄｙ”Ｒｙ　　ａ、Ｓ を求め、 等適合度線の関数を次式のように変形する。

（ｆＲ，−ｄ、）／ａ、＋　Ｉτ■−［）”＝　０ ここで、 複号の−はＸ。

ｙが正側の部分、 ＋は Ｘ　。

ｙが負側の部分を表わす。

この式の幾何学的な意味は、 第２図に示すよう に、 本来の楕円形に対し直線部分を付は加えて近似した形状
であることを表している。

この式より ’、’　ｓ　＋　ｆτ丘−「〉０ 但し、 〈ｄｌｌのとき ｘ＝ｄ、。

＜ｄ、のとき ｙ＝ｄｙとして計算する。また、第１図のように、着目
する等適合度線が適合度ｌの楕円の外側にある場合、（
）内は正の値になる。

同様にして、着目する等適合度線が適合度ｌの楕円の内
側にある場合にも、全く同じ式が得られる。但し、この
場合、任意の点ｆｘ、ｙ）が近似した等適合度線の直線
部分に存在するときは、ＩＸｌ＜ｄ。

且つｌｙｌ＜ｄｙとなって（）内は正の値になり、槽内
部分にあるときは（）内は負の値になる。

適合度１の楕円の内側（あるいは外側）が−様に適合度
１の領域になる場合は、上記の条件によって判断し、値
を与える。

一方、上記の３次元楕円メンバシップ関数を用いる代わ
りに、従来型メンバシップ関数を楕円形の等適合度線で
合成することによっても、上記の３次元楕円メンバシッ
プ関数を用いた場合と同様の効果が得られる。以下、そ
のための合成演算について説明する。

まず、適合度ｌの楕円の外側においてｘ、ｙの適合度は ａｍ ｓ＋ｆマ廊］τ＝ Ｘ ａｙ ここで、復号の−はｘ、ｙが正側の部分、＋はｘ、ｙが
負側の部分を表わす。

同様に、適合度１の楕円の内側については、Ｂ−ｒ■て
＝゛−６・ Ｘ ・−ｒ正π＝’−” ａｙ 従って、これらより次式のような合成演算式が得られる
。

ｔ８◇ｔｙ＝ｅＸｐ（−（（Ｓ土７１−：７丁ｆｆ１−
コニ、Ｘ）　２＋　（ｓ土Ｊ−＝丁π−Ｔ；）２ｓ）２
］ 復号は、ｔ８を与えるＸがＩｘｌ≧８１のとき十を選び
、　ｌｘｌ＜Ｒ，のとき−を選ぶ、ｙについても同様で
ある。

但し、ｌｘｌ＜ｄ、のときＬ＝（ｔｘｌｘ−ａｍ　、　
　ｌｙｌ＜ｄ、のとき１．・ｆｔｙｌ　ｙ−ａｙとして
計算する。着目する合成位置が適合度１の楕円の外側に
ある場合、（）内は正の値になる。また、着目する合成
位置が適合度ｌの楕円の内側にある場合、等適合度線の
直線部分で合成されるときはｌｘＩ＜ｄ、かつｌｙｌ＜
ｄ、となり（）内は正の値になり、槽内部分で合成され
るときは（）内は負の値になる。

ｘｌ＜Ｒｘ−ｌｙｌ＜Ｒｙ　（又は　ｌｘｌ＞Ｒ，、ｌ
ｙｌ＞Ｒ，）において、１．、１．が−様に適合度１に
なる場合は、上記の条件によって判断し、値を与える。

すなわち適合度ｌの範囲においても、上記のメンバシッ
プ関数が存在するものと仮定して、それぞれの適合度を
求め、合成を行なう。

上記の合成演算式により、従来型メンバシップ関数を楕
円形の等適合度線で合成することができ前述の３次元楕
円メンバシップ関数を用いた場合と同様の効果が得られ
る。すなわち、この合成演算法により、従来型メンバシ
ップ関数を演算する演算装置を用いて、従来できなかっ
た楕円形の境界形状を有するファジィ集合の設定が可能
となった。

次に、上記の３次元楕円メンバシップ関数及び従来型メ
ンバシップ関数の楕円合成を　（ｎ＋１）次元に拡張し
た場合を説明する。

これは楕円面による等適合度面の形成であり、上記の３
次元を拡張して、以下のような　ｆｎ＋１１次元の楕円
メンバシップ関数及びｉｎ＋１）次元の楕円合成演算式
が得られる。

但し、０＜ｓ＜ｓｉ＋　、　Ｓｋ＝ｍ１ｎｆＲ＋／ａ＋
）ｄ　＝　Ｒ１−ａＩｓ ＜ｄ、のときｘｌ・ｄｌとして計算する。

内が正のとき入力点外側 （）内が負のとき及び全てのｌｘ、　ｌａｄ、のとき入
力点内側 Ｏｔ＋　＝　ｅｘｐ［（１〒ｌ”−ｓｌ”ｌ復号は前述
の通りである。

但し、Ｏ＜ｓ＜ｓｍ、　３に＝　ｗｉｎ（Ｒ，／ａ、）
＋ｌ　＝　Ｒ：　−ａｔｓ ｘ、ｌ　＜　ｄ、のときｔ、ｌｔ、１．、．６＋　とし
て計算する。

（）内が正のとき合成位置外側 （）内が負のとき及び全ての１ｘ、１〈ｄ、のとき合成
位置内側 また、更に複雑な形状の楕円メンバシップ関数を必要と
する場合、３次元において極座標形式の角度を楕円合成
すると、次式のようになる。極座標系における角度の楕
円合成については後述する。

但し、 ｔｔｌ。

＝ｅｘｐ［−１０−ψ）　”／ａｔｈ”］更に、楕円の
中心の位置がｆＡ、Ｂｌ軸の角度がφのときは、前述の
３次元メンバシップ関数の移動により、次式が得られる
。

但し、 Ｘ　＝　（ｘ−Ａｔ　ｃｏｓφ＋（ｙ−Ｂ）　ｓｉｎφ
Ｙ　＝−（ｘ−Ａｌｓｉｎφ＋　（ｙ−Ｂ）ｃｏｓφψ
′＝ψ−φ 最も単純な形状として、　Ｒ，ｌ　＝Ｒｙ＝　Ｏ，ｓ　
＝０゜φ”　０．　ｔｔｈ　＝　１の場合について求め
ると、ｔ　＝　ｅｘｐ［（（ｘ／ａｘ）　２＋（ｙ／ａ
ｙ）　２）］となる。

この式によって表わされる３次元つり鏡型メンバシップ
関数の形状を第３図（Ａ）に示す。また、Ｓ≠０の場合
は第３図ｆＢ）のようになる。これらのメンバシップ関
数は、水平に切ったときの断面の輪郭が楕円形になる。

また、合成演算式は ｔ、ｏｔ、＝ｔ、−ｔ。

同様に、ｉｎ＋１１　次元において最も単純な形状を求
めると、楕円メンバシップ関数及び合成演算式は、それ
ぞれ次のようになる。

ｔ＝ｅｘｐ［−Σｆｘ、／ａ１１２］ ◇ｔ、＝ｎｔ （ｌ・２）三角形メンバシップ関数 ｘ−ｙ直交座標および適合度から成る３次元空間内に、
第１図に示すような楕円形の等適合度線を有するメンバ
シップ関数を考える。ここで図中の２号を以下のように
定義する。

なお、簡単のため、原点を基準点（３次元メンバシップ
関数を記述するための中心点）とする。

与える関数 ｔ、＝Ｈｘ） ：　ｘ−ｔ、面における三角形メ ンバシップ関数 ｊｙ：ｇ　ｆｙｌ ：　ｙ−ｔつ面における三角形メ ンバシップ関数 二適合度１の楕円形の等適 合度線のＸ軸方向の半径 、適合度１の楕円形の等適 合度線のｙ軸方向の半径 Ｘについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ：ｙについてのファジィ。

エントロピーに比例する パラメータ ｒｘ：任意の点（ｘ、ｙｌ 適合度線と適合度ｌの等適合度線との、上での距離 を含む等 ｘ−ｔｘ断面 ｒｙ：任意の点ｆｘ、ｙ） 適合度線と適合度ｌの等適合度線との、上での距離 を含む等 ｙ−ｊｙ断面 ｔ　　　　　　　　：３次元メンバシップ関数によって
与えられる点ｆｘ、ｙ）の適合度このとき、任意の点ｆ
ｘ、ｙ）を含む等適合度線は次のようになる。

また、 １、。

ｔ、についてのメンバシップ関数は ａν 上式で、復号の−はｘ、ｙが正側の部分を表わし、＋は
ｘ、ｙが負側の部分を表わす。また、■はその両辺の大
きい方をとるｏ＋ａｘ演算を示す。

ｘ−ｔｘ断画面上よびｙ−ｊｙ断画面上は、着目する等
適合度線と基準点の距離は、それぞれＲｘ＋ｒ＊。

Ｒｙ”ｒｙになるので、 ａｘ　　　　　　　　　　　　　　ａｚ、’、ｒ、＝　
ａｘ（１−ｔ） ａν ａν ・・　ｒｙ ＝　ａ、　（１−ｔ） 従って、 これらより このとき、 第１項と第２項の分母の ）内が同 じ形でないと、 ｔについての陽関数には変形でき ない。

そこで、 ｗｉｎ　（Ｒｗ／ａｘ、　Ｒｙ／ａｙ）　＝　Ｓｋを求
め。

０＜ｓ＜ｓｍ の範囲から適当なＳの値を選び、 Ｘ ａν となる屯 ｄ、を求める。

すなわら ｄｘ”Ｒｘ　　ａｘＳ ｄｙ”Ｒｙ　　ａ、Ｓ を求め、 等適合度線の関数を次式のように変形する。

（（Ｒ８ 屯１／ａｘ＋　（ｉ ｔ））２ ＝　０ この式の幾何学的な意味は、第２図に示すように、本来
の楕円形に対し直線部分を付は加えて近似した形状であ
ることを表している。この式より’、’　ｓ　＋　（１
−ｔ）　　＞　０但し、　ｌｘｌ＜ｄ、のときｘ＝ｄ−
１ｙｌ＜ｄｙのときｙ＝ｄｙとして計算する。また、第
１図のように、着目する等適合度線が適合度ｌの楕円の
外側にある場合、（）内は正の値になる。

同様にして、着目する等適合度線が適合度ｌの楕円の内
側にある場合には、次式が得られる。

但し、　ｌｘｌ＜ｄ、のときｘ”　ｄｏ、Ｉｙｌ＜ｄｙ
のとき’Ｊ　”　ｄｙとして計算する。また、この場合
は、任意の点ｆｘ、ｙｌが近似した等適合度線の直線部
分に存在するときは、ｌｘｌ＜ｄ、且っｌｙｌ＜ｄｙと
なって　（）内は正の値になり、槽内部分にあるときは
（）内は負の値になる。

従って、外側の場合と内側の場合を１つの式で表わすと
、次のようになる。

適合度１の楕円の内側（あるいは外側）が−様に適合度
ｌの領域になる場合は、上記の条件によって判断し、値
を与える。

次に、前記（１）と同様に従来型メンバシップ関数を楕
円形の等適合度線で合成する場合の合成演算について説
明する。

まず、適合度１の楕円の外側においてｘ、ｙの適合度は ａｍ ａ翼 ａν ａν ｄｙ Ｉｙｌ−ｄ。

、　ｓ　＋　（１−ｔ、）　＝ ａν 同様に、適合度ｌの楕円の内側については、・−（ｔ−
ｔ、）　＝　１ｘｌ−ｄ″ ａ翼 ８−（１−１，）＝１ｙ１−ｄ・ ａν 従って、これらより次のような合成演算式が得られる。

ｔｘｏｔｙ＝　ｌ−Ｉ　　Ｓ＋　１−ｔＸ　　”÷（ｓ
＋（１−ｔｙ））”−ｓ復号の意味は前述の通りである
。

但し、ｌｘｌ＜ｄ、のとき　ｔ−・ｌｔ−）ｘ−ａｍ、
　　ｌｙｌ＜ｄｙのとき１．・（ｔｙｌｙ−１として計
算する。

また、第４図に示すように、ｔ、、　ｔｙの値が０にな
る領域においても、三角形メンバシップ関数が負の適合
度を与えるものとみなして計算する。これは、本来１．
、１．の値を求める際に０とのｗａｘ演算を行なうべき
ところを、１．、１．を合成した後に０との■ａＸ演算
を行なうということである。

このとき、着目する合成位置が適合度ｌの楕円の外側に
あれば、絶対値記号内は正の値になる。

また、着目する合成位置が適合度ｌの楕円の内側にある
場合、等適合度線の直線部分で合成されるときは１ｘ　
ｌ　＜ｄ、且つｌｙｌ＜ｄｙとなって絶対値記号内は正
の値になり、槽内部分で合成されるときは絶対値記号内
は負の値になる。

ｘｌ＜ｄ、　、　ｌｙｌ＜ｄｙ　（又はｌｘｌ＞ｄ、　
、　ｌｙｌ＞ｄ、）において、１．、１．が−様に適合
度ｌになる場合は、上記の条件によって判断し、値を与
える。すなわち、適合度１の範囲においても上記のメン
バシップ関数が存在するものと仮定して、それぞれの適
合度を求め、合成を行なう。

次に、上記の３次元メンバシップ関数及び従来型メンバ
シップ関数の合成を　（ｎｉｌ）次元に拡張した場合を
説明する。

これは楕円面による等適合度面の形成であり、以下のよ
うな　ｉｎ＋ｌ１次元の楕円メンバシップ関数及び　ｉ
ｎ＋１）次元の楕円合成演算式が得られる。

０＜ｓ＜ｓｉｔ、　　Ｓｉ＋＝　ｗｉｎ（Ｒ１／ａ、）
ｄ、＝　　Ｒ，−ａｔｓ ｘｉｌ　＜　ｄ、のときＸ、・ｄ、として計算する。

絶対値記号内が正のとき入力点外側 絶対値記号内が負のとき及び全ての１ｘ、　ｌ＜ｄ；の
とき入力点内側 ◇ｔ、　＝　１−　ｌ　　Σ（ｓ＋ｆｌ−Ｌ１２−ｓｌ
　　Ｖ　Ｏ復号の＋は外側、−は内側となる。

０＜ｓ＜ｓｉｔ、　　Ｓ、ｌ＝　ｓ＋１ｎ（Ｒ，／ａ、
）ｄ＝　　Ｒ，−ａ、ｓ Ｘｌ　＜　ｄ＋のときｔ、ｌｔ、）、、、、、、とじて
計算但し、 する。

絶対値記号内が正のとき合成位置外側 絶対値記号内が負のとき及び全ての１ｘ、Ｉ＜ｄのとき
合成位置内側 また、３次元において極座標形式の角度を楕円合成する
と次式のようになる。なお、極座標系における角度の楕
円合成については後述する。

更に、楕円の中心の位置がｆＡ、Ｂｌ軸の角度がφのと
きは、前述の３次元メンバシップ関数の移動により、次
式が得られる。

但し、 Ｘ　＝（ｘ−Ａ）ｃｏｓφ＋　（ｙ−Ｂ）ｓｉｎφＹ　
ニー　（ｘ−Ａ）ｓｉｎｅ　＋　ｆｙ−Ｂ）ｃｏｓφψ
ｒ・ψ−φ 最も単純な形状として、ＲＸ　＝Ｒ，＝Ｑ、ｓ＝　ｏ　
。

φ＝０．ｔｔｈ＝１の場合について求めるとｔ＝１−　
　ｘａｘ　　＋ｙ／ａｙ）”となる。

この式で表わされる三角形メンバシップ関数の形状を第
５図ｆＡｌ　に示す、また、Ｓ≠０の場合は第５図ｆＢ
）のようになる、これらのメンバシップ関数も、水平に
切ったときの断面の輪郭が楕円形になる。また、合成演
算式は ｔｘＱｔｙ＝１−１−ｔ−＋　ｔ−ｔｙ　２同様に、（
ｎｉｌ）次元において最も単純な形状を求めると、楕円
メンバシップ関数（三角形）及び合成演算式は、それぞ
れ次のようになる。

ｔ”ｌ　−Ｘ、　Ｘ、　ａｉ　” ◇ｊ、＝　ｌ　−ｆＴｌ−ｔｊ２ ＩＩ　、極座標系における角度の楕円合成これは、メン
バシップ関数について更に複雑な形状を必要とする場合
に行われる。

（２・１）つり鐘型メンバシップ関数による合成ｒ−θ
極座標および適合度から成る３次元空間内に、第６図に
示すような原点を中心とする円形の等適合度線を有する
メンバシップ関数を考える。

ここで、図中の記号を以下の様に定義する。

Ｒ：適合度ｌの円形の等適合 度線の半径 ｔｒ＝ｆ（ｒ）二円の半径方向のつり鐘型メンバシップ
関数 ｒ 二ｒについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ３次元メンバシップ関数 によって与えられる点 ｆｒ、　　θ）の適合度 このとき、ｔｒについてのメンバシップ関数は次式で与
えられ、これは３次元円形メンバシップ関数の極座標に
よる表現を意味する。

次に、第７図に示すように、上述の３次元円形メンバシ
ップ関数が更に特定の角度ψを中心（適合度ｌ）として
円弧方向にもあいまいさを持つようなメンバシップ関数
を考える。ここで１図中の記号を以下のように定義する
。

Ｒ二適合度１の円形の等適合 度線の半径 ｔｒ　：Ｎｒ）　　　　　：円の角度ψにおける半径方
向のつり鏡型メンバシ ツブ関数 ｔい・ｇ（θ）　　　：円の半径ｒにおける円弧方向の
つり鏡型メンバシ ツブ関数 、ｒについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ａｔｒ＋ ：θについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ：３次元メンバシップ関数 によって与えられる点 （ｒ、　θ）の適合度 このとき、 ｔｈ についてのメンバシップ関 数は （ｒ−Ｒ１” ｔ、＝Ｎｒ）＝ｅｘｐ［−−］ ａ　、　２ ここで、第７図のメンバシ・ツブ関数を１つの式で表わ
すためには、ｔｒ、　ｔｔｌｌを一定の形状で合成しな
ければならない、すなわち、等適合度線の形状を定義し
なければならない、しかしながら、これをｒ−θ極座標
上で定義するのは複雑になりすぎるので、第８図に示す
ようにｒ−θ直交座標系において等適合度線の形状を定
義する。ここでは−例として楕円形の等適合度線を用い
る。この場合、中心点が（Ｒ，ψ）で、この点のみが適
合度ｌの３次元楕円メンバシップ関数として考えて、次
式のような結果を得る。

これをｒ−θ極座標系で与えれば、第７図に示すような
３次元メンバシップ関数になる。

以上が極座標による３次元メンバシップ関数であるが、
更にこれをｘ−ｙ直交座標系で表現すると、ｒ　＝ｆ７
５）０ θ＝　ｊａｎ”　’　ｆｙ／ｘｌ の関係により、次式のようになる。

ここで、前述の３次元楕円メ 対応させて ａ　ｘ　＝ａ　ｙ　”　ａ　ｒ Ｒ／ａ、＝　ｓ とすると ンバシップ関数に となり、３次元楕円メンバシップ関数に極座標形式の角
度を楕円合成した式として解釈できる。

この式で表わされる３次元楕円メンバシップ関数の形状
は、例えば第９図に示すようになる。

（２・２）三角形メンバシップ関数による合成ｒ−θ極
座標および適合度から成る３次元空間内に、第６図に示
すような原点を中心とする円形の等適合度線を有するメ
ンバシップ関数を考える。

ここで、図中の記号を以下のように定義する。

Ｒ：適合度ｌの円形の等適合 度線の半径 ｔ、＝ｆ（ｒ）　　　　　　’円の半径方向の三角形メ
ンバシップ関数 ｒ ：ｒについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ：３次元メンバシップ関数 によって与えられる点 （ｒ、　θ）の適合度 このとき、ｔ、についてのメンバシップ関数は次式で与
えられ、これは３次元円形メンバシップ関数の極座標に
よる表現を意味する。

ｒ 次に、第７図に示すように、上述の３次元円形メンバシ
ップ関数が更に特定の角度ψを中心（適合度ｌ）として
円弧方向にもあいまいさを持つようなメンバシップ関数
を考える。ここで、図中の記号を以下のように定義する
。

：適合度ｌの円形の等適合 度線の半径 ｔ、＝ｆ（ｒｌ 二円の角度ψにおける半径 方向の三角形メンバシラ プ関数 ブ関数 ：ｒについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ｔｈ ：θについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ：３次元メンバシップ関数 によって与えられる点 （ｒ、　θ）の適合度 このとき、 ｅｈ についてのメンバシップ間 数は ここで、第７図のメンバシップ関数を１つの式で表わす
ためには、ｔｒ、　ｔｔｈを一定の形状で合成しなけれ
ばならない、すなわち等適合度線の形状を定義しなけれ
ばならない、しかし、これをｒ−θ極座標上で定義する
のは複雑になりすぎるので、第８図に示すように、ｒ−
θ直交座標系において等適合度線の形状を定義する。こ
こでは−例として楕円形の等適合度線を用いる。この場
合、中心点が（Ｒ，ψ）で、この点のみが適合度ｌの３
次元楕円メンバシップ関数として考えて、次式のような
結果を得る。

これをｒ−θ極座標系で与えれば、第７図に示すような
３次元メンバシップ関数になる。

以上が極座標による３次元メンバシップ関数であるが、
更にこれをｘ−ｙ直交座標系で表現するとｒ＝ｒνＦ箇 θ＝　ｊａｎ−’　（ｙ／に） の関係により、 次式のようになる。

ここで、前述の３次元楕円メ 対応させて ａ翼＝ａ　ｙ　”　ａ　ｒ Ｒ／ａｒ＝　ｓ とすると ンパシップ関数に となり、３次元楕円メンバシップ関数に極座標形式の角
度を楕円合成した式として解釈できる。

ＩＩＩ　、次に、多次元放物線メンシップ関数について
説明する。

（３・ｌ）つり鏡型メンバシップ関数 ｘ−ｙ直交座標および適合度から成る３次元空間内に、
第１Ｏ図に示すような放物線の等適合度線を有するメン
バシップ関数を考える。ここで、図中の記号を以下のよ
うに定義する。

なお、 簡単のため、 原点を基準点 （３次元メン バシップ関数を記述するための中心点）とする。

Ｆ（Ｘ、ｙ、ｒｍ、ｒｙｌ＝０ ：等連合度線の放物線形状 を与える関数 ｔｌｌ：ｆ（ｘ） ：　ｘ−ｊｙ面におけるつり鏡型 メンバシップ関数 ｊｙ：ｇ　Ｉｙ） ：　ｙ−ｊｙ面におけるつり鏡型 メンバシップ関数 ：適合度１の放物線形の等 適合度線のＸ軸方向の距離 二適合度ｌの放物線形の等 適合度線のｙ軸方向の距離 ：Ｘについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ：ｙについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ：任意の点（ｘ、ｙ）を含む等 適合度線と適合度ｌの等 適合度線とのｘ−Ｌ断面上 での距離 ：任意の点（ｘ、ｙｌを含む等 適合度線と適合度ｌの等 適合度線との３’−ｊｙ断画面 上の距離 ＝３次元メンバシップ関数 （ｘ、ｙｌ の適合度 このとき、 任意の点（ｘ、ｙｌ を含む等適合度線は また、 １＋＋。

ｔ、についてのメンバシップ関数は 復号の−はＸが正側の部分、 ＋はＸが負側の部 分を表わす。

ｘ−ｔｘ断画面上よびｙ−ｊｙ断画面上は、着目する 等適合度線と基準点の距離は、 それぞれ Ｒｘ”ｒ＋＋。

Ｒ，＋ｒ。

になるので、 ＝Ｂ、ｆ３ｎ箇［ ・°・　ｒ、＝ａ、Ｊ７■「τ 従って、これらより このとき、第１項と第２項の分母の（）内が同じ形でな
いと、ｔについての陽関数には変形できない、そこで、 ｍ１ｎ（Ｒ１ｌ／ａｘ、　Ｒｙ／ａｙｌ　＝　８＋＋を
求め、０＜ｓ＜ｓ＋＋の範囲がら適当なＳの値を選びａ
工　　　　　　ａｙ となるｄ、、　ｄ、を求める。すなわちｄｘ　”　Ｒｍ
　−ａｌｌｓ ｄ、＝Ｒ，−ａ、ｓ を求め、等適合度線の関数を次式のように変形する。

（（Ｒｏ−屯）／ａｘ＋Ｊ了ｎ璽［）２＝０ この式の幾何学的な意味を第１１図に示す０本来の放物
線に対し、直線部分を付は加えて近似した形状であるこ
とを表わしている。

’、’　ｓ　＋　ＪτＬ「「＞　。

−Ｓ）　”１ 但し、ｌｘｌ＜　ｄ、のときｘ＝ｄｘ　−１ｙｌ＜　ｄ
ｙのとき’ｊ　：ｄｙとして計算する。また、第１Ｏ図
のように、着目する等適合度線が適合度ｌの放物線の外
側にある場合、（）内は正の値になる。

同様にして、着目する等適合度線が適合度ｌの放物線の
内側にある場合にも、全く同じ式が得られる、但し、こ
の場合、任意の点（ｘ、ｙ）が近似した等適合度線の直
線部分に存在するときはｌｘＩ＜ｄ。

かつｌｙｌ＜ｄｙで、（）内は正の値になり、放物線部
分にあるときは（）内は負の値になる。

適合度１の放物線の内側（又は外側）が−様に適合度１
の領域になる場合は、上記の条件によって判断し、値を
与える。

一方、上記の３次元放物線メンバシップ関数を用いる代
わりに、従来型メンバシップ関数を放物線形の等適合度
線で合成することによっても、上記の３次元放物線メン
バシップ関数を用いた場合と同様の効果が得られる。以
下、そのための合成演算について説明する。

まず、適合度１の放物線の外側においてｘ、　ｙの適合
度は １ｘｌ−ｄ。

・ｅｘｐ　［−Ｉｓ　−−１月 Ｘ 、°、　ｓ　＋　、「］１］τニ ーｄ。

ａＩ＋ ｙ”ｄｙ ｅｘｐｆ−（ｓ　−−１”］ ａν 、８．ｓ＋　Ｆ■石＝−”・ ｄｙ 同様に、適合度１の放物線の内側についてはｓ−ｒ■て
、−４・ ｄｙ 従って、 これらより次式のような合成演算式が 得られる。

（ｉｌ先端側１ｙ＜口）の場合 ｔ８◇ｔｙ＝　ｅｘｐ［（１１／２） ・（４（ｓｆｊ−：Ｔπ−Ｔ；ｌ　２＋　（ｓ土７ｌ−
＝１丁ｎｔ、ｌ’＋（ｓ±！ゴ’　ｔｙ））　　５）２
Ｊ（ｉｉｌ逆側（ｙ＞０１の場合 ｔ、◇ｔｙ＝　ｅｘｐ［−（（１／２１−（４（ｓ土Ｊ
−０Ｔ石−１；）”＋（ｓｔ７ｒ−：＝ｒ７「−ｊ７；
）２−ｉｓ±Ｆゴｎ　ｔｙ））　　ｓ）”　］複号の意
味は前述の通りである。

但し、ｌｘ　Ｉ　＜ｄｗのときｔｗ：（ｔｗ）−ａｘ　
−１ｙｌ＜ｄ、のとき１、・Ｉｔｙ）　ｙ−ｄｙとして
計算する。着目する合成位置が適合度１の放物線の外側
にある場合、（）内は正の値になる。また、着目する合
成位置が適合度ｌの放物線の内側にある場合、等適合度
線の直線部分で合成されるときは、ｌｘｌ＜ｄ、かつＩ
ｙｌ＜ｄｙで、（）内は正の値になり、放物線部分で合
成されるときは（）内は負の値になる。

ｙ＞−Ｒｙ　、　ｌｘｌ＜Ｒ＊　（又はｙ＜−Ｒ，、ｌ
ｘｌ＞Ｒ，）において１．、１．が−様に適合度ｌにな
る場合は、上記の条件によって判断し、値を与える。す
なわち、適合度１の範囲においても、上記のメンバシッ
プ関数が存在するものと仮定して、それぞれの適合度を
求め、合成を行なう。

上記の合成演算式により、従来型メンバシップ関数を放
物線形の等適合度線で合成することができ、前述の３次
元放物線メンバシップ関数を用いた場合と同様の効果が
得られる。すなわち、この合成演算法により、従来型メ
ンバシップ関数を演算する演算装置を用いて、従来でき
なかった放物線形の境界形状を有するファジィ集合の設
定が可能となった。

次に、上記の３次元放物線メンバシップ関数及び従来型
メンバシップ関数の　（ｎ＋１）次元に拡張した場合に
ついて説明する。

これは、第１２図のような楕円的放物面による等適合度
面の形成であり、以下のような　（ｎ＋１）次元楕円メ
ンバシップ関数および１ｎｕｌ１次元楕円合ａ。

但し、 ０＜ｓ＜ｓｉ＋ 、　　Ｓｋ　＝　ｍ１ｎｆＲ，／ａｔ）ｄ、＝Ｒ −ａ、Ｓ ｘ、ｌ　＜　ｄ、のときＸ、・ｄ、として計算する。

（）内が正のとき、入力点外側 （）内が負のとき及び全てのｌｘ、ｌ　＜　ｄ、のとき
、入力点内側 ｆｉ）先端側（ｘ、＜０）の場合 ◇ｔ、　＝　ｅｘｐ［（ｆｌ／２） （Σ４（ｓ±９ｒ−７７１１７−７［−）”＋ｆｓ土−
ｒ−：＝Ｉ）〒−ｔ、）２＋（３＋ｒゴｎ　ｔ、１ｌ−
ｓ）２］ （ｉｉ）逆側ｆｘ、＞０）の場合 ◇ｔ　＋　＝　ｅｘｐ　［−（ｆｌ／２１・（Σ４　（
ｓｉ７Ｆ−：＝［五−一丁−１２＋　（ｓ土ｆ”＝Ｉｎ
　　ｔｎｌ”（ｓ＋ｒゴｎ　ｔ、１ｌ−８）”］ 複号の意味は前述の通りである。

０＜ｓ＜ｓｍ　　、　　Ｓｋ　　二　ａ＋１ｎ（Ｒ：／
ａ、）ｄ　：Ｒ−ａｓ ｘ、ｌ＜ｄ、のときｔ＋１ｔｔｌ−、＝ｄ＋として計算
する。

（ｌ内が正のとき合成位置外側 （）内が負のとき及び全てのｌｘ、ｌ＜ｄ、のとき合成
位置内側 前記１１のように、３次元において極座標形式の角度を
楕円合成すると、次式のようになる。

更に、放物線の中心の位置がＦＡ、　Ｂ）、軸の角度が
φのときは、前述の３次元メンバシップ関数の移動によ
り次式が得られる。

Ｘ　＝　　（ｘ−Ａ）ｃｏｓφ　＋（ｙ−Ｂ）ｓｉｎφ
Ｙ　　＝−（ｘ−Ａ）ｓｉｎφ　＋（ｙ−Ｂ）ｃｏｓφ
ψ゛：ψ−φ 最も単純な形状として、　Ｒ，＝Ｒ，＝　０φ＝０．　
ｊｔｌ、＝　１の場合について求めると、＝０゜ ｔ　＝ｅｘｐ［−（１１／２１１　４　ｘ　ａ、　”＋
ｆｙ／ａｙｌ”−（ｙ／ａ、）））’］ この式で表わされるつり鏝型メンバシップ関数の形状を
第１３図（Ａ）に示す、また、Ｓ≠０の場合は第１３図
ＩＢ）のようになる。

また、合成演算式は ｔ１◇ｔｙ＝ｅｘｐ［−ｆｆｌ／２）ｉ　　−ｎ　ｔｘ
　　ｉｎ　ｔｙ±Ｆゴ「て］）月 復号は、ｙが正側のとき−を選び、ｙが負側（先端側）
のとき十を選ぶ。

同様に　（ｎ＋ｌ１次元において最も単純な形状を求め
ると、以下のようになる。

ｔ　＝　ｅｘｐ［（（１／２１　・（Σ４　ｘ＋／ａ＋
）”＋ｆｘｎ／ａｎ）”−（ｘｎ／ａｎ）　ｌ　）”］ ◇ｔ＋＝　ｅｘｐ　［（（１／２１ｆ　　−Σ４　Ｉｎ
　ｔ＋　−Ｉｎ　ｔｎ±ｆ］Ｔ１７）ｌ”］ 復号は、ｘ、、が正側のとき−を選び、ｘ、、が負側（
先端側）のとき十を選ぶ。

（３・２）三角形メンバシップ関数 ｘ−ｙ直交座標および適合度から成る３次元空間内に、
第１Ｏ図に示すような放物線の等適合度線を有するメン
バシップ関数を考える。ここで図中の記号を以下のよう
に定義する。

なお、簡単のため、原点を基準点（３次元メンバシップ
関数を２述するための中心点）とする。

Ｆｉｘ、ｙ、ｒｘ、ｒｙｌ□０　　：等適合度線の放物
線形状ヲ与える関数 ｔｍ；ｆ　（ｘ）　　　　　　：　ｘ−ｔ＋＋面におけ
る三角形メンバシップ関数 ｔ、・ｇｆｙ）　　　　　　：　ｙ−ｔｙ面における三
角形メンバシップ関数 ｘ 二適合度ｌの放物線形の等連 合度線のＸ軸方向の半径 Ｒ。

：適合度ｌの放物線形の等連 合度線のｙ軸方向の半径 Ｘ °Ｘについてのファジィ・エ ントロピーに比例するパラ メータ ａν ｙについてのファジィ・エ ントロピーに比例するパラ メータ 直線とのｘ−Ｌ断面上での距 離 直線との’！−ｔｙ断面上での距 離 の適合度 このとき、 任意の点（ｘ、ｙ） を含む等適合度線は 次のようになる。

また、 ｔ、。

１、についてのメンバシップ関数は 上式で復号の−はＸが正側の部分、 ＋はＸが負 側の部分を示す。

また、 Ｖはその両辺の大きい方 をとる ■ａｘ演算を示す。

ｘ　−ｔ　ｘ断面上及びｙ−ｊｙ断画面上は、着目する
等適合度線と基準点との間の距離は、それぞれＲｘ　”
　ｒ　ｚ　。

Ｒｙ”ｒｙになるので、 ｒ翼 ａ、（１ ｔ） ・・　ｒｙ ＝　ａ、　ｆｌ−ｔｌ 従って、 これらより このとき、第１項と第２項の分母の（）内が同じ形でな
いと、ｔについての陽関数には変形できない、そこで、 ｓｉｎ　（Ｒｘ／ａｘ、　Ｒｙ／ａｙｌ　＝　Ｓｉ＋を
求め、Ｑ＜ｓ＜Ｓ＋＋の範囲から適当なＳの値を選び、
ａ、　　　　　　　　　　ａ。

となるｄ８゜ ｄ、を求める。

すなわち ｄ、Ｉ＝Ｒ１１−ａ、ｓ ｄｙ”Ｒｙ　　ａ、Ｓ を求め、 等適合度線の関数を次式のように変形する。

二　〇 この式の幾何学的な意味は、 第１１図に示すよ うに本来の放物線に対し直線部分を付は加えて近似した
形状であることを表している。

この式より ’、’　ｓ　＋　（１−ｔ） 〉 ｓｌ 但し、　ｌｘｌ＜ｄ、ｌのときＸ　；ｄ−、ｌｙｌ＜ｄ
ｙのとき’／　＝ｄｙとして計算する。また、第１Ｏ図
のように、着目する等適合度線が適合度１の楕円の外側
にある場合、［ｌ内は正の値になる。

同様にして、着目する等適合度線が適合度１の放物線の
内側にある場合には、次式が得られる。

−ｓｌ　　ＶＯ 但し、　ｌｘｌ＜ｄ、のときｘ　＝ｄ、、　Ｉｙｌ〈ｄ
ｙのときｙ　＝　ｄ、として計算する。また、この場合
は、任意の点（ｘ、ｙ）が近似した等適合度線の直線部
分に存在するときは、１ｘ１〈６且っｌｙｌ〈ｄｙとな
って［Ｊ内は正の値になり、放物線部分にあるときは［
］内は負のイ直になる。

従って、外側の場合と内側の場合を１つの式で表わすと
、次のようになる。

適合度１の放物線の内側（あるいは外側）が−様に適合
度１の領域になる場合は、上記の条件によって判断し、
値を与える。

次に、前記（１）の場合と同様に、従来型メンバシップ
関数を放物線形の等適合度線で合成する場合の合成演算
について説明する。

まず、適合度ｌの放物線の外側においてｘ、　ｙの適合
度は ｍ ｘ ｆｆｉ 複合の−はＸが正側の部分、 分を示す。

＋はＸが負側の部 ａｙ ａｙ ｙ＋ｄｙ ＝ｌ＋ｓ＋ ａｙ ａｙ 同様に、 適合度１の放物線の内側については、 ａｙ 従って、これらより次のような合成演算式が得られる。

１ｉ１先端側（ｙ＜０）の場合 １、◇ｔｙ＝　１−ｌ　（１／２）　・［４ｓｔ　１−
ｔ−１）”÷（ｓｔｆｌ−ｔｙｌ　）”＋（３土（１−
ｔ、ｌ　）］　−５ｌ （ｉｉｌ逆側（ｙ＞０）の場合 ｔ８◇ｊ、＝　　１−１［１／２）４　　４　　ｓｔ　
１−ｔ、ｌ　　”＋（ｓ土ｆｌ−ｔｙ））”−（ｓ＋１
ｌ−ｔｙｌ　）］　−ｓ 複号のの意味は前述の通りである。

但し、ｌｘｌ＜ｄ、のとき　ｔｘ＝（ｔ、１．、ａ、、
　　ｌｙｌ＜ｄ、のとき１．・（ｊｙ）　ｙ−ａｙとし
て計算する。

また、第４図に示すように、１．、１．の値が０になる
領域においても、三角形メンバシップ関数が負の適合度
を与えるものとみなして計算する。これは、本来ｔ、、
　ｔｙの値を求める際に０との■ａｘ演算を行なうべき
ところを、１．、１．を合成した後に０との−ａｘ演算
を行なうということである。

このとき、着目する合成位置が適合度ｌの放物線の外側
にあれば絶対値記号内は正の値になる。

また、着目する合成位置が適合度ｌの放物線の内側にあ
る場合、等適合度線の直線部分で合成されるときは、　
ｌｘｌ＜ｄ、且つｌｙｌ＜ｄ、となって絶対値記号内は
正の値になり、槽内部分で合成されるときは絶対値記号
内は負の値になる。

ｙ＞−Ｒ，、ｌｘｌ＜Ｒ，（又はｙ＜−Ｒｙ、ｌｘｌ＞
Ｒ，）において１、、１．が−様に適合度ｌになる場合
は、上記の条件によって判断し、値を与える。すなわち
、適合度ｌの範囲においても上記のメンバシップ関数が
存在するものと仮定して、それぞれの適合度を求め、合
成を行なう。

次に、上記の３次元メンバシップ関数及び従来型メンバ
シップ関数の合成を　（ｎｕｌ１次元に拡張した場合を
説明する。

これは、第１２図のような楕円的放物面による等適合度
面の形成であり、以下のような　（ｎｕｌ１次元の楕円
メンバシップ関数及び（ｎ＋１）次元の楕円合成演算式
が得られる。

但し、 ０＜ｓ＜ｓｍ　　、　　Ｓｋ　＝　ｍ１ｎｉＲ＋／ａ＋
）ｄ＋＝Ｒ＋−ａ＋８ Ｉｘｌ　＜　ｃＬのときｘ、＝ｄ、として計算する。

絶対値記号内が正のとき、入力点外側 絶対値記号内が負のとき及び全ての ｌｘ＋ｌ　＜　ｃＬのとき、入力点内側（ｉ）先端側（
ｘ、＜０）の場合 ◇ｔ、＝　１−１　ｆｌ／２） ・［Σ４ｓ±１−ｔ、）” ＋（ｓｔ（ｔ−ｔｎｌ　）］　−ｓ ＋（ｓｔ＋１−ｔ、ｌ）” （１１）逆側（ｘ、＞０）の場合 ◇ｔ、＝　１−１　ｆｌ／２１ ・［Σ　４ｓ±　ｌ−ｔ、　　”　＋　　ｓ±１１−ｔ
、１１２−（ｓ±＋１−ｔ、）　）］　−Ｓ 複号は十が外側、−が内側となる。

０＜ｓ＜ｓｉ＋　、　３１．ｌ＝　ｗｉｎ（Ｒ＋／ａ、
）ｄ、＝Ｒ＋−ａ＋ｓ ｌｘ、ｌ＜ｄ＋のときｔ、１ｔｔ）、ｔ、、、とじて計
算する。

絶対値記号内が正のとき合成位置外側 絶対値記号内が負のとき及び全ての ｘ、ｌ＜ｄ、のとき合成位置内側 前記Ｈのように、３次元において極座標形式の角度を楕
円合成すると、次式のようになる。

ｔｔｈ　　＝　１−（１θ−ψｌ／ａｔｈ”）更に、放
物線の中心の位置がｆＡ、　Ｂｌ、軸の角度がφのとき
は、前述の３次元メンバシップ関数の移動により次式が
得られる。

Ｘ　＝　（ｘ−Ａｌｃｏｓφ＋ｆｙ−Ｂｌ　ｓｉｎφＹ
　＝−（ｘ−Ａｌｓｉｎφ＋　（ｙ−Ｂｌｃｏｓφψ′
＝ψ−φ 最も単純な形状として、Ｒ１１＝：Ｒ，＝　０．　ｓ　
＝０゜φ＝０．　ｔ、ｈ＝　１の場合について求めると
、ｔ　＝　１−（１／２１１　４　ｘ／ａｘ”　ｙ／ａ
ｙ１２−（ｙ／ａｙｌ）この式で表わされるつり鐘型メ
ンバシップ関数の形状を第１４図ｆＡ）に示す、また、
Ｓ≠０の場合は第１４図ｆＢ）のようになる。

また、合成演算式は ｔ８◇ｊ、＝　１−［／２１・（−４１−ｔ、１２−（
１−ｔ、ｌ”±ｆｌ−ｔ、ｌ　ｌ 復号は、ｙが正側のとき−を選び、ｙが負側（先端側）
のとき十を選ぶ。

同様に　（ｎａｉ１次元において最も単純な形状を求め
ると、以下のようになる。

ｔ　”　１−ｆｌ／２１１　　４　ｘ、／ａ、　”＋（
ｘｎ／ａ、）”−１ｘｎ／ａ−）　） ◇ｊ、＝　１−（１／２）・（−Σ４１−ｔ、　”　−
（１−ｔｌｌｌ”±ＣＩ−ｔ、）） 復号は、Ｘわが正側のとき−を選び、Ｘわが負側（先端
側）のとき十を選ぶ。

■、多次元矩形メンバシップ関数について（４・ｌ）つ
り鏡型メンバシップ関数 ｘ−ｙ直交座標および適合度から成る３次元空間内に、
第１５図に示すような「ひし形」の等適合度線を有する
メンバシップ関数を考える。ここで図中の記号を以下の
ように定義する。

なお、簡単のため、原点を基準点（３次元メンバシップ
関数を記述するための中心点）とする。

Ｆ（ｘ、ｙ、ｒ＋＋、ｒｙ）・０　：等適合度線の「ひ
し形」形状を与える関数 ｔ、・ｆ　（ｘ） ｔｙ：ｇ　１ｙ） ｘ−ｔｘ面におけるつり鐘型 メンバシップ関数 ｙ（ｙ面におけるつり鐘型 メンバシップ関数 二適合度ｌのひし形の等速 合度線のＸ軸方向の半径 二適合度１のひし形の等速 合度線のｙ軸方向の半径 ：Ｘについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ：ｙについてのファジィ・ エントロピーに比例する パラメータ ：任意の点ｆｘ、ｙｌ　を含む等適 合度線と適合度ｌの等適合 原線とのｘ−ｔｘ断画面上の距 離 ：任意の点（ｘ、ｙ）を含む等速 合度線と適合度１の等適合 原線との’１−Ｌｙ断面上での距 離 ：３次元メンバシップ関数に よって与えられる点ｆｘ、ｙ） の適合度 このとき、任意の点（ｘ、ｙ） を含む等適合度線は 次のようになる。

また、 ｔｘ。

ｔｙについてのメンバシップ関数は と表わされる。上式で、復号の−はｘ、ｙについて正側
の部分を表わし、＋はｘ、ｙについて負側の部分を表わ
す。

ｘ−Ｌｘ断面上およびｆｆ−ｊｙ断画面上は、着目する
等適合度線と基準点の距離は、それぞれＲ８÷ｒ　Ｘ　
。

Ｒｙ”ｒｙになるので。

ｒ、・３．ｆＴｉ−［ ｄｙ ａ、１７石「Ｔ 従って、 これらより このとき、 第１項と第２項の分母の（ ）内が同 じ形でないと、 ｔについての陽関数には変形でき ない。

そこで、 ＋ｏｎ　（Ｒｘ／ａｘ、　Ｒｙ／ａｙｌ　＝　Ｓｋを求
め、 Ｑ＜Ｓ＜Ｓｉ＋ の範囲から適当なＳの値を選び、 Ｘ ｄｙ となるｄ８゜ ｄ、を求める。

すなわち ｄ。

Ｒ。

ｘＳ ｄ。

Ｒ２ −ａアＳ を求め、 等適合度線の関数を次式のように変形する。

ｆＲ。

ｄ、）／ａｘ＋　Ｊτ■「丁 ＝　０ この式の幾何学的な意味は、第１６図に示すように本来
のひし形に対し直線部分を付は加えて近似した形状であ
ることを表している。この式より８ｍ ｄｙ ’、’　ｓ　＋　Ｊ：■璽ｒ〉 但し、　ｌｘＩ＜ｄ、のときｘ＝ｄ−ｌｙｌ＜ｄ、のと
き’ｌ　＝ｄｙとして計算する。また、第１５図のよう
に、着目する等適合度線が適合度１のひし形の外側にあ
る場合、（）内は正の値になる。

同様にして、着目する等適合度線が適合度１のひし形の
内側にある場合にも、全く同じ式が得られる。但し５こ
の場合、任意の点（ｘ、ｙ）が近似した等適合度線の直
線部分に存在するときは、１ｘ１〈ｄ８且つＩｙｌ〈ｄ
ｙとなって（）内は正の値になり、ひし形部分にあると
きは（）内は負の値になる。

適合度ｌのひし形の内側（あるいは外側）が−様に適合
度ｌの領域になる場合は、上記の条件によって判断し、
値を与える。

また、第１７図に示すような■字形の等適合度線を有す
るメンバシップ関数の場合、次式のようになる。

ａ　ｍ　　　　　　　　ａ　ｙ ここで、第１８図に示すような長方形の等適合度線を有
するメンバシップ関数の場合、次式のように通常の表記
法になる。

ｔ　＝ｅｘｐ［１ｌｘｌ−Ｒｘ）２／ａ、２１（ｌ１ｙ
ｌ−ｄｙｌ／ａｙ　＜　ｌ１ｘｌ−ｄ、Ｉ／ａ、　１ｔ
　＝ｅｘｐ［−（ｌｙｌ−Ｒｙ）”／ａｙ″１（１ｌｙ
ｌ−ｄｙｌ／ａｙ　＞　　１ｌｘｌ−ｄ、ｌ／ａ、　）
同様に、第１９図に示すような箱形の等適合度線を有す
るメンバシップ関数の場合も、次式のように通常の表記
法になる。

ｔ　＝　ｅｘｐ［（ｌｘｌ−Ｒ，）”／ａ、”ｌ（１ｌ
ｙｌ−ｄｙｌ／ａｙ　＜　　ＩＩＸＩ−ｄ、ｌ／ａＸ又
はｙ〉０）ｔ　＝　ｅｘｐ［−（ｙ＋Ｒｙ）”／ａｙ’
ｌ（ｌ１ｙｌ−ｄｙｌ／ａｙ　＞　　１ｌｘｌ−ｄｘｌ
／ａｍ及びｙ〈０）一方、上記の３次元ひし形メンバシ
ップ関数を用いる代わりに、従来型メンバシップ関数を
ひし形の等適合度線で合成することによっても、上記の
３次元ひし形メンバシップ関数を用いた場合と同様の効
果が得られる。以下、そのための合成演算について説明
する。

まず、適合度１のひし形の外側においてｘ、　ｙの適合
度は １ｘｌ−ｄ。

・ｅｘｐ［−（ｓ　−−）　”］ Ｘ 、°、　ｓ　十ｆ”’ｒ石−１；エ ｄＮ ８ｍ Ｉｙｌ−ｄｙ ・ｅｘｐ［−（ｓ−−１２］ ｙ 、０．　ｓ　＋　ｆ”πＩ８″１−６・ｙ 同様に、適合度１の楕円の内側については、ｓ　−２＝
　’　”トロ・ ８ｍ ｓ−ｒ■℃＝”’−’・ ａν 従って、これらより次式のような合成演算式が得られる
。

ｔ８◇ｔｙ＝ｅｘｐ［−１１ｓ±、ｒ］１７０巨１ｓ±
Ｆ丁［口１−ｓ）　”］ 復号の士意味は前述と同様である。

但し、ｌｘｌ＜ｄ、のときｔｘ＝（ｔｘ）ｘ、ａ、　、
　　ＩｙＢｄｙのときｔ、・（ｊｙｌ　ｙ−ｍｙとして
計算する０着目する合成位置が適合度１のひし形の外側
にある場合、（）内は正の値になる。また、着目する合
成位置が適合度ｌのひし形の内側にある場合、等適合度
線の直線部分で合成されるときは１ｘｌ（ｄ、かつＩｙ
ｌ　（ｄｙとなり（）内は正の値になり、ひし形部分で
合成されるときは（）内は負の値になる。

ｌｘｌ＜Ｒ，、Ｉｙｌ＜Ｒｙ　（又はＩｘｌ＞Ｒ，、Ｉ
ｙｌ＞Ｒ，）において、ｔｘ、　ｔｙが一様に適合度１
になる場合は、上記の条件によって判断し、値を与える
。すなわち適合度ｌの範囲においても、上記のメンバシ
ップ関数が存在するものと仮定して、それぞれの適合度
を求め、合成を行なう。

上記の合成演算式により、従来型メンバシップ関数をひ
し形の等適合度線で合成することができ、前述の３次元
ひし形メンバシップ関数を用いた場合と同様の効果が得
られる。すなわち、この合成演算法により、従来型メン
バシップ関数を演算する演算装置を用いて、従来できな
かったひし形の境界形状を有するファジィ集合の設定が
可能となった。

また、従来型メンバシップ関数をＶ字形の等適合度線で
合成する場合の合成演算式は、次のようになる。

（ｉｌ先端側（ｙ＜Ｏ）の場合 ｔ、◇ｔｙ＝　ｅｘｐ［−（Ｉｓ±Ｆゴｎ　ｔ、ｌ＋（
ｓ±ｆゴｎ　ｔｙ）−ｓ）　”１ （ｉｉ）逆側（ｙ＞Ｏ）の場合 ｔ、◇ｔｙ＝　ｅｘｐｌ−（Ｉｓ±ｆ”ＴＴ［１−（ｓ
±７Ｆ］１］フ）−ｓ）”１ 復号の意味は前述と同様である。

更に、従来型メンバシップ関数を長方形の等適合度線で
合成する場合の合成演算式、及び箱形の等適合度線で合
成する場合の合成演算式は、最も一般的な膳ｉｎ合成に
より次のように表わされる。

１、＜）１．＝■１ｎ（ｔｚ、　ｔｙ）次に、上記の３
次元矩形メンバシップ関数及び従来型メンバシップ関数
の合成を　（ｎ＋１）次元に拡張した場合を説明する。

これは矩形面による等適合度面の形成であり、以下のよ
うな　ｉｎ＋１１次元矩形メンバシップ関数及びｆｎ＋
ｌ）次元矩形合成演算式が得られる。

■（ｎ＋１）次元ひし形メンバシップ関数および合成演
算式 ％式％ ｘｔｌ　＜　ｃＬのときＸ、・ｄ、とじて計算する。

（）内が正のとき入力点外側 （）内が負のとき及び全てのｌｘ、ｌａｄ、のとき入力
点内側 ◇ｔ＋＝ｅｘｐ［−（Σ１ｓ±Ｆゴｎ　ｔ、ｌ　−ｓ）
”］但し、０＜Ｓ＜Ｓｖ、　Ｓ＋＋”　Ｗｉｎ（Ｒｉ／
ａｌｌｄ＋　＝　Ｒ＋　−ａｉＳ ｘ、１＜　ｄ、のときｔ＋ｌｔ＋）ｘｔ−ａｔ　として
計算する。

（）内が正のとき合成位置外側 （）内が負のとき及び全てのｌｘ、ｌａｄ、のとき合成
位置内側 ■ｉｎ＋１１次元Ｖ字形メンバシップ関数および合成演
算式 ％式％） ｘ、ｌ　＜　ｄ、のときＸ、・ｄ、として計算する。

（）内が正のとき入力点外側 （）内が負のとき及び全てのｌｘ、ｌ＜ｄｔのとき入力
点内側 （ｉ）先端側（ｘ、＜０１の場合 ｔ、＝ｅｘｐ［−（Σ１ｓ±Ｆゴｎ　ｔ　ｒ　Ｉ　＋　
（ｓ　＋　Ｆ■「口）−８）　”］ （ｉｉ）逆側１ｘ、＞０１の場合 但し、 ｔ＋　＝　ｅｘｐ［−（ΣＩＳ±ｆ丁藷１τ１−（ｓ±
ＪＴ丘−Ｇ）−８）　”］ 但し、０＜ｓ＜ｓｍ、　Ｓｍ＝１ｉｎ（Ｒ，／ａ、）＝
　Ｒ ＩＳ ｘ、ｌ　＜　ｄ、のとき ｊ、＝（ｊｉｌ＋＋、ａ。

として計算 する。

（）内が正のとき合成位置外側 （）内が負のとき及び全てのｌｘ、ｌａｄ、のとき合成
位置内側 ■ｆｎ＋ｌ）次元長方形メンバシップ関数および合成演
算式 ％式％］ ■（ｎ＋１）次元箱形メンバシップ関数および合成演算
式 ％式％ また、３次元において極座標形式の角度を楕円合成する
と、次式のようになる。なお、以下ではひし形メンバシ
ップ関数についてのみ示す。

ａＸ ａν ｔ＊ｈ　＝ｅｘｐ［−（θ−ψ）”／ａ、ｌ、”ｌ更に
、ひし形の中心の位置が（Ａ、Ｂ）で、軸の角度がφの
ときは、前述の３次元メンバシップ関数の移動により、
次式が得られる。

ａＸ　　　　　　　　　＆Ｖ 但し、Ｘ　＝　（ｘ−Ａ）ｃｏｓφ＋ｆｙ−Ｂｌ　ｓｉ
ｎ　ｐＹ　＝　−ｆｘ−Ａ）ｓｉｎφ＋（ｙ−Ｂｌ　ｃ
ｏｓ　＊ψ　＝ψ−φ 最も単純な形状として、Ｒ，＝Ｒ，＝Ｏ１Ｓ＝０゜φ＝
０．ｔｔｈ＝１の場合について求めるとｔ　＝　ｅｘｐ
［−ｆｆ１ｘｌ／ａ、ｌ＋（ｌｙｌ／ａ、））２］この
式で表わされるつり鏡型メンバシップ関数の形状を第２
０図ｆＡ）に示す、また、Ｓ≠０の場合は第２０図ＩＢ
Ｉのようになる。

合成演算式は ｔ８◇ｊ、＝　ｅＸｐ　［−（ｒ丁ｐ　（、＋　１１「
Ｃ１２Ｊ同様に、（ｎ＋Ｉ］次元において最も単純な形
状を求めると、以下のようになる。

ｔ＝ｅｘｐ［−（Σｆｌｘ、ｌ／ａ、））月◇ｔ、＝ｅ
ｘｐ［−（ΣＦゴｎ　ｔ、）”］（４２）三角形メンバ
シップ関数 ｘ−ｙ直交座標および適合度から成る３次元空間内に、
第１５図に示すような「ひし形」の等適合度線を有する
メンバシップ関数を考える。ここで図中の記号を以下の
ように定義する。

なお、簡単のため、原点を基準点（３次元メンバシップ
関数を記述するための中心点）とする。

バシップ関数 ｊｙ：ｇ　（ｙ） ：　ｙ−ｊｙ面における三角形メン バシップ関数 Ｒ。

二適合度ｌのひし形の等適合 度線のＸ軸方向の半径 ントロビーに比例するパラ メータ ａｙ ：ｙについてのファジィ・エ ントロピーに比例するパラ メータ ｆｘ ：任意の点ｆｘ、ｙ）を含む等速 合原線と適合度ｌの等適合 度線とのｘ−ｔｘ断画面上の距 離 ａｙ ：任意の点ｆｘ、ｙ） を含む等速 合原線と適合度ｌの等適合 度線とのｙ−ｊｙ断画面上の距 離 の適合度 このとき、任意の点（ｘ、ｙｌ　を含む等適合度線は次
のようになる。

また、 ｔ、についてのメンバシップ関数は ａｙ 上式で、復号の−はｘ、ｙについて正側部分、＋は負側
部分を示す、また、■はその両辺の大きい方をとる■ａ
ｘ演算を示す。

ｘ−ｔ、断面上及びｙ−ｊｙ断画面上は、着目する等適
合度線と基準点との間の距離は、それぞれＲｘ＋ｒｘ。

Ｒ，＋ｒ、になるので、 ８ｍ Ｘ ｒＩ！ ＝ａ、（１ ｔ） ａｙ ａｙ 、’、ｒ、＝　ａｙ（１−Ｌｌ 従って、 これらより このとき、第１項と第２項の分母の（）内が同じ形でな
いと、ｔについての陽関数には変形できない、そこで、 ｍｘｎ　（Ｒｘ／ａｘ、　Ｒｙ／ａｙｌ　＝　Ｓｌｌを
求め、０ａｓｉｓ、の範囲がら適当なＳの値を選び、ａ
　ｘ　　　　　　　　ａ　ｙ となるｄ、、　ｄ、を求める。すなわちｄｘ　　：Ｒｗ
　　　ａ＋＋ｓ ｄ、　＝　Ｒ，−ａ、ｓ を求め、 等適合度線の関数を次式のように変形する。

ｆＲ。

ｄ、）／ａ、＋　ｆｌ ｔ） ＝　０ この式の幾何学的な意味は、第１６図に示すように本来
のひし形に対し直線部分を付は加えて近似した形状であ
ることを表している。この式よりａ、ｌ　　　　　　　
　　　　ａν ａｘ　　　　　　　　　　　ａν 但し、　１ｘ１〈ｄｘのときｘ　＝ｄ、、　ｌｙｌ＜ｄ
、のとき’／　＝ｄｙとして計算する。また、第１５図
のように、着目する等適合度線が適合度１のひし形の外
側にある場合、（）内は正の値になる。

同様にして、着目する等適合度線が適合度ｌのひし形の
内側にある場合には、次式が得られる。

ａ　ｍ　　　　　　　　　　　　ａ　ｙ但し、この場合
は、任意の点ｆｘ、ｙ）が近似した等適合度線の直線部
分に存在するとき、ｌｘｌ＜ｄ、且つ　ｌｙｌ＜ｄ、と
なって（）内は正の値になり、ひし形部分にあるときは
（）内は負の値になる。

従って、外側の場合と内側の場合を１つの式で表わすと
、次のようになる。

適合度１のひし形の内側（あるいは外側）が−様に適合
度１の領域になる場合は、上記の条件によって判断し、
値を与える。

また、第１７図に示すようなＶ字形の等適合度線を有す
るメンバシップ関数の場合、次式のようになる。

ここで、第１８図に示すような長方形の等適合度線を有
するメンバシップ関数の場合、次式のように通常の表記
法になる。

ｔ　□　］−１ｘｌ−Ｒ，ｌ／ａ。

（１ｌｙｌ−ｄ、ｌ／ａ、　＜　　ｌ１ｘｌ−ｄ、ｌ／
ａ、　１ｔ”　１１１ｆｆｌ−Ｒｙｌ／ａｙ １１１ｙｌ−ｄｙｌ／ａｙ　＞　　ｌ１ｘｌ−ｄ、ｌ／
ａ、　）同様に、第１９図に示すような箱形の等適合度
線を有するメンバシップ関数の場合も、次式のように通
常の表記法になる。

ｔ　＝ｌ−Ｘ　−ＲＸ　／ａ。

（１ｌｙ１−ｄｙｌ／ａｙ　＜　　１ｘｌ−ｄ、ｌ／ａ
、又はｙ〉０）ｔ−１’／＋Ｒｙ　／ａｙ （１ｌｙｌ−ｄｙｌ／ａｙ　＞　　１ｌｘｌ−ｄ、ｌ／
ａ、及びｙ〈０）次に、前記（１）の場合と同様に、従
来型メンバシップ関数をひし形の等適合度綿で合成する
場合の合成演算について説明する。

まず、適合度１のひし形の外側においてｘ、　ｙの適合
度は ８ｍ ８ｍ ｙ ａν ｙ 同様に、 適合度１のひし形の内側については、 ａツ 従って、 これらより次のような合成演算式が得 られる。

ｔつ◇ｔ、＝１−１ Ｓ士は−ｔｘ） Ｓ士（ｌ ｔｙ） ｓｌ 復号の意味は前述と同様である。

但し、ｌｘｌ＜ｄ、のときｊ、＝　（ｔ、ｌ　、、。、
　　Ｉｙｌ＜ｄ、のときｔｙ・ｆｔｙ）ｙ−ａｙとして
計算する０着目する合成位置が適合度ｌのひし形の外側
にある場合、絶対値記号内は正の値になる。また、着目
する合成位置が適合度１のひし形の内側にある場合、等
適合度線の直線部分で合成されるときは、　ｌｘｌ＜ｄ
、かつｙｌ〈ｄｙとなり絶対値記号内は正の値になり、
ひし形部分で合成されるときは、絶対値記号内は負の値
になる。

ｌｘｌ＜Ｒｘ、　ｌｙｌ＜Ｒ，（又はｌｘｌ＞Ｒ，−１
ｙｌ＞Ｒ，）において、１．、１．が−様に適合度１に
なる場合は、上記の条件によって判断し、値を与える。

すなわち適合度ｌの範囲においても、上記のメンバシッ
プ関数が存在するものと仮定して、それぞれの適合度を
求め、合成を行なう。

上記の合成演算式により、従来型メンバシップ関数をひ
し形の等適合度線で合成することができ、前述の３次元
ひし形メンバシップ関数を用いた場合と同様の効果が得
られる。すなわち、この合成演算法により、従来型メン
バシップ関数を演算する演算装置を用いて、従来できな
かったひし形の境界形状を有するファジィ集合の設定が
可能となった。

また、従来型メンバシップ関数をＶ字形の等適合度線で
合成する場合の合成演算式は、次のようになる。

ｆｉｔ先端側ｆｙ＜０１の場合 ｔ８◇ｔｙ＝　ｌ−１ｌｓ±（１−ｔＪ　Ｄｌｓ±ｆｌ
−ｔ、）　ｌ　−５（ｉｉ）逆側ｆｙ＞０１の場合 ｔ８◇ｔ、＝　１−１１ｓ±１ｔ−ｔ＋ｔｌ　ｌ−１ｓ
±（１−ｔ、ｌ　Ｉ　−ｓ復号の意味は前述と同様であ
る。

更に、従来型メンバシップ関数を長方形の等適合度線で
合成する場合の合成演算式、及び箱形の等適合度線で合
成する場合の合成演算式は、最も一般的なｓｉｎ合成に
より次のように表わされる。

ＬＯｔｙ＝　ｍｔｎ　（ｔｘ−ｔｙ） 次に、上記の３次元矩形メンバシップ関数及び従来型メ
ンバシップ関数の合成を　ｆｎ＋ｌ）次元に拡張した場
合を説明する。

これは矩形面による等適合度面の形成であり、以下のよ
うな　（ｎ＋１）次元矩形メンバシップ関数と１ｎｕｌ
１次元矩形合成演算式が得られる。

■ｉｎ＋ｌ）次元ひし形メンバシップ関数及び合成演算
式 ％式％） ｌｘｌ　＜　ｄｉのとき）ｈ　”　ｄ、として計算する
。

絶対値記号内が正のとき入力点外側 絶対値記号内が負のとき及び全てのｌｘｌ＜ｄのとき入
力点内側 ◇ｔ、＝　１−　ｌｘ１ｓ±（１−ｔ＋ｌ　ｌ　　　ｓ
但し、０＜ｓ＜８ｍ、Ｓ＋＋＝ｌｌｌｎ（Ｊ／ａｉｌｄ
ｒ”Ｒｔ−ａ＋ｓ Ｘｉ　ｌ　（ｃｌ＋のときｔ＋・（ｔ＋）−＋−ａｔと
して計算する。

絶対値記号内が正のとき合成位置外側 絶対値記号内が負のとき及び全てのｌｘ、ｌａｄのとき
合成位置内側 ■（ｎｕｌ１次元Ｖ字形メンバシップ関数及び合成演算
式 ％式％） ｘ、ｌ　＜　ｄ、のときＸｉ　：　ｄｉとして計算する
。

絶対値記号内が正のとき入力点外側 絶対値記号内が負のとき及び全てのｌｘｔ　ｌａｄ。

のとき入力点内側 （ｉ）先端側（ｘｎ＜０）の場合 ◇ｔ＋＝　１−１Σｉｓ±（１−ｔ、）　ｌ＋（ｓ±（
１−ｔ、）　）　−５（ｉｉ）逆側１ｘ、＞Ｏ）の場合 ◇ｔ、＝　１−１Σ１ｓ±１ｌ−ｔ、）　１−（ｓ±（
１−ｔ、、））　−ｓ復号の意味は前述と同様である。

但し、０＜ｓ＜ｓｍ、　３に＝　ｗｉｎ（Ｒｔ／ａｔ）
ｄｌ＝Ｒ＋　−ａｓｓ ｘ；１＜　ｄ、のときｔ、□（ｔ、ｌｘ、−ａｌ　とし
て計算する。

絶対値記号内が正のとき合成位置外側 絶対値記号内が負のとき及び全てのｌｘ：ｌ＜ｄのとき
合成位置内側 ■ｌｎ＋ｌ）次元長方形メンバシップ関数及び合成演算
式 ％式％ ■（ｎ＋１）次元箱形メンバシップ関数及び合成演算式 ％式％ また、３次元において極座標形式の角度を楕円合成する
と、次式のようになる。なお、以下ではひし形メンバシ
ップ関数についてのみ示す。

ｔｔｈ”１−伺θ−ψｌ／ａｔｈ） 更に、ひし形の中心の位置が（Ａ、Ｂｌ　で、軸の角度
がφのときは、前述の３次元メンバシップ関数の移動に
より、次式が得られる。

但し、Ｘ　＝　（ｘ−Ａｌｃｏｓ＄　＋　（ｙ−Ｂｌｓ
ｉｎφＹ　＝　−（ｘ−Ａ）ｓｉｒ＋φ＋　（ｙ−Ｂ）
ｃｏｓφψ゛：ψ−φ 最も単純な形状として、Ｒ，＝Ｒ，＝０．ｓ＝０゜φ＝
Ｏ，ｔ、、＝１の場合について求めるとｔ　＝　１−１
　（ＩＸＩ／ａ、ｌ÷（ｌｙｌ／ａ、１この式で表わさ
れるつり鏡型メンバシップ関数の形状を第２１図ｆＡ）
に示す、また、Ｓ≠０の場合は第２１図ｆＢｌのように
なる。

合成演算式は ｔ８◇ｊ、＝　１−　ｌ　ｆｌ−ｔ、）　＋　（１−ｔ
、）　１同様に、ｉｎ＋１）次元において最も単純な形
状を求めると、以下のようになる。

ｔ＝１−１Σｌｌｘ、Ｉ／ａ、） ◇ｉ、＝：　ｌ　−１Σ（１−ｔ、１ 以上のようなメンバシップ関数に基づいてファジィ情報
処理を行う装置としては、例えば第２２図に示すように
、ＣＰＬＩＩＩにメモリ１２及びＣＲＴ等のデイスプレ
ィ１３を接続し、ＣＰＵＩＩの入力側及び出力側にはそ
れぞれ入力インタフェース１４及び出力インタフェース
１５を接続して構成されるコンピュータが使用される。

この場合、ＣＰＵＩＩが本発明における演算手段を構成
する。すなわち、ＣＰＵＩＩは、複数個の入力変数（Ｘ
Ｈ１Ｘ２１・・、ｘｎ）とファジィ集合に対する適合度
ｔとを座標軸とする　（ｎ＋ｌ１次元空間内の任意の位
置に、上述した楕円、放物線又は矩形などの形状の等適
合度面又は等適合度線によって形成されるメンバシップ
関数を設定し、複数個の入力変数（Ｘ　＋　＋　Ｘ　ｔ
−・・・、ｘｎ）に対する値が入力されたとき、前記メ
ンバシップ関数により適合度を演算するようにプログラ
ムされる。このとき、メモリ１２には、上記の演算に必
要なデータが格納される。

［発明の効果］ 以上のように、本発明によれば、複数個の入力変数に対
して任意に選択したメンバシップ関数を用いて、２以上
の入力変数から成る入力変数空間内に、選択した境界形
状を有するファジィ集合を設定することができると共に
、その移動もメンバシップ関数のパラメータを適宜変更
するだけで容易に行なわれる。従って、ファジィ情報処
理の対象を従来より格段に拡張できるという効果が得ら
れる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明で用いられる３次元楕円メンバシップ関
数の例を示す図、 第２図は楕円形に直線部分を付加した形状となる場合の
説明図、 第３図ｆＡ）　ＣＢ＋はつり鏡型の３次元楕円メンバシ
ップ関数の形状を示す図、 第４図は三角形メンバシップ関数の楕円合成の例を示す
図、 第５図（Ａ）　ｆＢｌは楕円形の等適合度線を有する三
角形メンバシップ関数の形状を示す図、第６図は円形の
等適合度線を有するメンバシップ関数を示す図、 第７図は第６図の円形メンバシップ関数が円弧方向にも
あいまいさを持つ場合を示す図、第８図は極座標系にお
いて楕円形の等適合度線を有する３次元メンバシップ関
数を示す図、第９図は極座標系において角度の楕円合成
を行なった３次元楕円メンバシップ関数の形状を示す図
、 第１Ｏ図は本発明で用いられる３次元放物線メンバシッ
プ関数の例を示す図、 第１１図は放物線に直線部分を付加した形状となる場合
の説明図、 第１２図は多次元メンバシップ関数の等適合度面を形成
する楕円的放物面を示す図、 第１３図ｆＡｌ　ＣＢ＋はつり鏡型の３次元放物線メン
バシップ関数の形状を示す図、 第１４図ｆＡ）　（Ｂｌは放物線形の等適合度線を有す
る三角形メンバシップ関数の形状を示す図、第１５〆は
本発明で用いられる３次元ひし形メンバシップ関数の例
を示す図、 第１６図はひし形に直線部分を付加した形状となる場合
の説明図、 第１７図はＶ字形の等適合度線を有するメンバシップ関
数を示す図、 第１８図は長方形の等適合度線を有するメンバシップ関
数を示す図、 第１９図は箱形の等適合度線を有するメンバシップ関数
を示す図、 第２０図（Ａｌ　（８１はつり鏡型の３次元ひし形メン
バシップ関数の形状を示す図、 第２１図（Ａ）　（Ｂｌはひし形の等適合度線を有する
三角形メンバシップ関数の形状を示す図、第２２図は本
発明の実施に用いられる演算装置の構成を示すブロック
図、 第２３図及び第２４図は従来のメンバシップ関数の説明
図である。 １１・・・・ＣＰＵ、　　　　１２・・・・メモリ、１
３・・・・デイスプレィ、 １４．１５・・・・インターフェース。

Claims (3)

【特許請求の範囲】
1. （１）ファジィ集合を規定するメンバシップ関数に基づ
   いて情報処理を行なう装置において、複数個の入力変数
   とファジィ集合に対する適合度とを座標軸とする多次元
   空間内の任意の位置に、楕円形の等適合度面又は等適合
   度線によって形成される楕円型メンバシップ関数を設定
   し、複数個の入力変数に対する値が入力されたとき、前
   記入力変数から成る多次元空間内に設定されたメンバシ
   ップ関数により適合度を演算する演算装置を備えたこと
   を特徴とするファジィ情報処理装置。
2. （２）ファジィ集合を規定するメンバシップ関数に基づ
   いて情報処理を行なう装置において、複数個の入力変数
   とファジィ集合に対する適合度とを座標軸とする多次元
   空間内の任意の位置に、放物線形状の等適合度面又は等
   適合度線によって形成される放物線型メンバシップ関数
   を設定し、複数個の入力変数に対する値が入力されたと
   き、前記入力変数から成る多次元空間内に設定されたメ
   ンバシップ関数により適合度を演算する演算装置を備え
   たことを特徴とするファジィ情報処理装置。
3. （３）ファジィ集合を規定するメンバシップ関数に基づ
   いて情報処理を行なう装置において、複数個の入力変数
   とファジィ集合に対する適合度とを座標軸とする多次元
   空間内の任意の位置に、任意の矩形状の等適合度面又は
   等適合度線によって形成される矩形型メンバシップ関数
   を設定し、複数個の入力変数に対する値が入力されたと
   き、前記入力変数から成る多次元空間内に設定されたメ
   ンバシップ関数により適合度を演算する演算装置を備え
   たことを特徴とするファジィ情報処理装置。