JPH0644300B2 - 実時間フ−リエ変換方法および装置 - Google Patents
実時間フ−リエ変換方法および装置Info
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- JPH0644300B2 JPH0644300B2 JP62118618A JP11861887A JPH0644300B2 JP H0644300 B2 JPH0644300 B2 JP H0644300B2 JP 62118618 A JP62118618 A JP 62118618A JP 11861887 A JP11861887 A JP 11861887A JP H0644300 B2 JPH0644300 B2 JP H0644300B2
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- 238000012935 Averaging Methods 0.000 description 3
- 230000003111 delayed effect Effects 0.000 description 2
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- 230000000694 effects Effects 0.000 description 1
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Description
【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明はフーリエ変換方法および装置、特に信号を入力
しながらこの信号をフーリエ変換した結果を連続して出
力することのできる実時間フーリエ変換方法に関する。
しながらこの信号をフーリエ変換した結果を連続して出
力することのできる実時間フーリエ変換方法に関する。
周期的な関数の分析に、フーリエ変換は極めて有効な手
法であり、種々の計測値の分析に用いられている。一般
に、フーリエ変換では、時間ｔに関して周期的な基本周
波数をもった信号Ｆ（ｔ）を、この基本周波数の整
数倍の周期をもった複数の周期関数の和によって表現す
ることになる。すなわち、入力信号Ｆ（ｔ）は、 なる関数Ｇ（ｔ）で近似される。ここで、ｉ＝１，２，
…，Ｎであって、Ｎを大きくとればとる程フーリエ変換
の精度は向上し、Ｇ（ｔ）はＦ（ｔ）に忠実になる。な
お、Ｃｉは各周期関数の振幅を表し、ψｉは位相を表
す。
法であり、種々の計測値の分析に用いられている。一般
に、フーリエ変換では、時間ｔに関して周期的な基本周
波数をもった信号Ｆ（ｔ）を、この基本周波数の整
数倍の周期をもった複数の周期関数の和によって表現す
ることになる。すなわち、入力信号Ｆ（ｔ）は、 なる関数Ｇ（ｔ）で近似される。ここで、ｉ＝１，２，
…，Ｎであって、Ｎを大きくとればとる程フーリエ変換
の精度は向上し、Ｇ（ｔ）はＦ（ｔ）に忠実になる。な
お、Ｃｉは各周期関数の振幅を表し、ψｉは位相を表
す。
従来のフーリエ変換方法は、入力信号Ｆ（ｔ）を所定の
期間だけ所定の周期でサンプリングし、このサンプリン
グによって得られたサンプリング値に基づいて、各周期
関数を決定している。したがって、信号Ｆ（ｔ）が入力
されても、所定のサンプリング期間および演算期間が経
過しないうちは、フーリエ変換の結果を得ることができ
ないという問題点があった。
期間だけ所定の周期でサンプリングし、このサンプリン
グによって得られたサンプリング値に基づいて、各周期
関数を決定している。したがって、信号Ｆ（ｔ）が入力
されても、所定のサンプリング期間および演算期間が経
過しないうちは、フーリエ変換の結果を得ることができ
ないという問題点があった。
そこで本発明は、信号を入力しながら連続的にフーリエ
変換結果を出力することができる実時間フーリエ変換方
法を提供することを目的とする。
変換結果を出力することができる実時間フーリエ変換方
法を提供することを目的とする。
本発明は、時間ｔに関して変化する信号Ｆ（ｔ）を、基
本周波数の整数倍の周波数をもったＮ個の周期関数の
和として、 （但し、Ｃｉは振幅、ψｉは位相） なる式で定義される関数Ｇ（ｔ）で表現できるように変
換するフーリエ変換方法および装置において、 信号Ｆ（ｔ）を入力し、 基準周波数の逆数として与えられる基本周期Ｔの期間
をｋ分割し、入力した信号Ｆ（ｔ）の分割した各時点に
おける値を標本値としてそれぞれ求め、この標本値の平
均値をｋ分割平均値Ｆｋ（ｔ）として求める手順を、ｋ
＝１，２，…，Ｎのそれぞれについて行い、Ｎ個の分割
平均値Ｆ１（ｔ）、Ｆ２（ｔ），…，ＦＮ（ｔ）を求
め、 Ｎ個の周期関数と前記Ｎ個の分割平均値との関係から得
られるＮ元連立一次方程式を解いて、Ｎ個の周期関数の
時間ｔにおける瞬時値を連続的に求めるようにしたもの
である。
本周波数の整数倍の周波数をもったＮ個の周期関数の
和として、 （但し、Ｃｉは振幅、ψｉは位相） なる式で定義される関数Ｇ（ｔ）で表現できるように変
換するフーリエ変換方法および装置において、 信号Ｆ（ｔ）を入力し、 基準周波数の逆数として与えられる基本周期Ｔの期間
をｋ分割し、入力した信号Ｆ（ｔ）の分割した各時点に
おける値を標本値としてそれぞれ求め、この標本値の平
均値をｋ分割平均値Ｆｋ（ｔ）として求める手順を、ｋ
＝１，２，…，Ｎのそれぞれについて行い、Ｎ個の分割
平均値Ｆ１（ｔ）、Ｆ２（ｔ），…，ＦＮ（ｔ）を求
め、 Ｎ個の周期関数と前記Ｎ個の分割平均値との関係から得
られるＮ元連立一次方程式を解いて、Ｎ個の周期関数の
時間ｔにおける瞬時値を連続的に求めるようにしたもの
である。
まず、変換すべき信号をＦ（ｔ）とし、この信号が基本
周波数をもった周期的な信号であるとする。そして、
この信号Ｆ（ｔ）を、基本周波数の整数倍の周波数を
もったＮ個の周期関数の和として、(1)式のような形の
関数Ｇ（ｔ）で表現するものとする。
周波数をもった周期的な信号であるとする。そして、
この信号Ｆ（ｔ）を、基本周波数の整数倍の周波数を
もったＮ個の周期関数の和として、(1)式のような形の
関数Ｇ（ｔ）で表現するものとする。
ここで、Ｃｉは振幅、ψｉは位相である。
いま、信号Ｆ（ｔ）が第２図に示すような関数であり、
その基本周期Ｔ（Ｔ＝１／）が図のような期間である
とする。この基本周期Ｔを１分割、２分割、３分割した
場合の図をそれぞれ同図(a)、(b)、(c)に示す。ここ
で、分割した各時点における値をその分割における標本
値と呼べば、１分割した場合の標本値はＸ11、２分割し
た場合の標本値はＸ21およびＸ22、３分割した場合の標
本値はＸ31、Ｘ32、およびＸ33となる。この標本値の平
均値を求め、一般にｋ分割した場合の標本値の平均値を
ｋ分割平均値Ｆ（ｔ）で表せば、 Ｆ１（ｔ）＝Ｘ11 (2) Ｆ２（ｔ）＝（Ｘ21＋Ｘ22）／２ (3) Ｆ３（ｔ）＝（Ｘ31＋Ｘ32＋Ｘ33）／３ (4) である。
その基本周期Ｔ（Ｔ＝１／）が図のような期間である
とする。この基本周期Ｔを１分割、２分割、３分割した
場合の図をそれぞれ同図(a)、(b)、(c)に示す。ここ
で、分割した各時点における値をその分割における標本
値と呼べば、１分割した場合の標本値はＸ11、２分割し
た場合の標本値はＸ21およびＸ22、３分割した場合の標
本値はＸ31、Ｘ32、およびＸ33となる。この標本値の平
均値を求め、一般にｋ分割した場合の標本値の平均値を
ｋ分割平均値Ｆ（ｔ）で表せば、 Ｆ１（ｔ）＝Ｘ11 (2) Ｆ２（ｔ）＝（Ｘ21＋Ｘ22）／２ (3) Ｆ３（ｔ）＝（Ｘ31＋Ｘ32＋Ｘ33）／３ (4) である。
本発明の基本原理は、Ｇ（ｔ）＝Ｆ（ｔ）であれば、こ
のｋ分割平均値Ｆｋ（ｔ）が次式で表現できるという数
学的法則を見出だしたことに基く。
のｋ分割平均値Ｆｋ（ｔ）が次式で表現できるという数
学的法則を見出だしたことに基く。
但し、ｉ＝ｋｎ、ｍはＮ／ｋの整数部である。なお、こ
の(5)式が成立する数学的証明は後にまわすことにす
る。
の(5)式が成立する数学的証明は後にまわすことにす
る。
本発明では、入力した信号Ｆ（ｔ）をｋ分割（ｋ＝１，
２，…，Ｎ）し、Ｎ個の分割平均値Ｆ１（ｔ），Ｆ２
（ｔ），…，ＦＮ（ｔ）を時刻ｔにおいて実測して求め
ることになる。いま、行列Ａ，Ｓ，Ｆを次のように定義
すれば、 (5)式から(9)式が得られる。
２，…，Ｎ）し、Ｎ個の分割平均値Ｆ１（ｔ），Ｆ２
（ｔ），…，ＦＮ（ｔ）を時刻ｔにおいて実測して求め
ることになる。いま、行列Ａ，Ｓ，Ｆを次のように定義
すれば、 (5)式から(9)式が得られる。
ＡＳ＝Ｆ (9) したがって、Ｆ１（ｔ）〜ＦＮ（ｔ）が求まっていれ
ば、Ａの逆行列Ａ-1を用いて次式によってＳが求まる。
ば、Ａの逆行列Ａ-1を用いて次式によってＳが求まる。
Ｓ＝Ａ-1Ｆ (10) ここでＳは(7)式に示すように、求めるべきＮ個の周期
関数を要素とした行列であるから、結局時刻ｔにおける
Ｎ個のフーリエ展開関数の瞬時値が得られることにな
る。以上の操作を時間的に連続して行えば、信号を入力
しながら連続してフーリエ変換結果を出力することがで
きるようになる。
関数を要素とした行列であるから、結局時刻ｔにおける
Ｎ個のフーリエ展開関数の瞬時値が得られることにな
る。以上の操作を時間的に連続して行えば、信号を入力
しながら連続してフーリエ変換結果を出力することがで
きるようになる。
以下、本発明を実施例に基づいて説明する。第１図は本
発明に係る実時間フーリエ変換方法の変換手順を示す流
れ図である。まず、ステップＳ１において、変換対象と
なる信号Ｆ（ｔ）の入力を行う。本発明に係る方法は、
実時間でフーリエ変換を行うことが可能であるから、時
刻ｔにおける入力信号Ｆ（ｔ）の瞬時値が与えられる
と、これに対応した何らかのフーリエ変換出力が得られ
ることになるが、実際にはこの出力は少なくとも、基本
周期Ｔの期間だけ遅延して出力されることになる。
発明に係る実時間フーリエ変換方法の変換手順を示す流
れ図である。まず、ステップＳ１において、変換対象と
なる信号Ｆ（ｔ）の入力を行う。本発明に係る方法は、
実時間でフーリエ変換を行うことが可能であるから、時
刻ｔにおける入力信号Ｆ（ｔ）の瞬時値が与えられる
と、これに対応した何らかのフーリエ変換出力が得られ
ることになるが、実際にはこの出力は少なくとも、基本
周期Ｔの期間だけ遅延して出力されることになる。
ステップＳ２においてこの信号Ｆ（ｔ）に基づいて、基
準周波数が求められる。これは、予め入力信号Ｆ
（ｔ）の基準周波数がわかっているのであればその値を
用いればよいし、わかっていない場合には適当な周波数
測定手段を用いて測定した値を用いればよい。
準周波数が求められる。これは、予め入力信号Ｆ
（ｔ）の基準周波数がわかっているのであればその値を
用いればよいし、わかっていない場合には適当な周波数
測定手段を用いて測定した値を用いればよい。
次に、ステップＳ３においてパラメータｋを初期値１に
セットする。このパラメータｋは基本周期Ｔの分割数に
相当するものであり、後のステップＳ７，Ｓ８に示すよ
うに、ｋ＝１，２，…，Ｎと１〜Ｎまで１ずつ増加して
分割処理が繰返される。
セットする。このパラメータｋは基本周期Ｔの分割数に
相当するものであり、後のステップＳ７，Ｓ８に示すよ
うに、ｋ＝１，２，…，Ｎと１〜Ｎまで１ずつ増加して
分割処理が繰返される。
パラメータｋの値がセットされたら、ステップＳ４にお
いて入力した信号Ｆ（ｔ）を、基本周期Ｔの期間におい
てｋ分割する。ｋ＝１，２，３の場合は、それぞれ第２
図(a)，(b)，(c)のようになる。
いて入力した信号Ｆ（ｔ）を、基本周期Ｔの期間におい
てｋ分割する。ｋ＝１，２，３の場合は、それぞれ第２
図(a)，(b)，(c)のようになる。
ステップＳ５では、この分割した各時点における標本値
が求められる。たとえば、ｋ＝３の場合は、３つの標本
値Ｘ31，Ｘ32，Ｘ33が求まる。
が求められる。たとえば、ｋ＝３の場合は、３つの標本
値Ｘ31，Ｘ32，Ｘ33が求まる。
ステップＳ６では、求められた標本値を合計し、これを
平均することにより、分割平均値Ｆｋ（ｔ）を求める。
たとえば、ｋ＝３の場合は、Ｆ３（ｔ）＝（Ｘ31＋Ｘ32
＋Ｘ33）／３である。
平均することにより、分割平均値Ｆｋ（ｔ）を求める。
たとえば、ｋ＝３の場合は、Ｆ３（ｔ）＝（Ｘ31＋Ｘ32
＋Ｘ33）／３である。
こうした処理をステップＳ７，Ｓ８に示すように、ｋ＝
１〜Ｎについて繰返し行う。ここで、Ｎは入力信号Ｆ
（ｔ）をいくつの周期関数の和として表現するかを示す
パラメータで、数が多いほど精度の高いフーリエ変換を
行うことができる。以上の結果、Ｎ個の分割平均値Ｆ１
（ｔ）〜ＦＮ（ｔ）が求められたことになる。
１〜Ｎについて繰返し行う。ここで、Ｎは入力信号Ｆ
（ｔ）をいくつの周期関数の和として表現するかを示す
パラメータで、数が多いほど精度の高いフーリエ変換を
行うことができる。以上の結果、Ｎ個の分割平均値Ｆ１
（ｔ）〜ＦＮ（ｔ）が求められたことになる。
ここで、ステップＳ９において、このＮ個の値に基づい
てＮ元連立一次方程式が解かれる。すなわち、前述した
ように逆行列Ａ-1を用いて行列Ｓを求めることにより、
ステップＳ１０に示すようにＮ個の周期関数の時刻ｔに
おける瞬時値が抽出されることになる。
てＮ元連立一次方程式が解かれる。すなわち、前述した
ように逆行列Ａ-1を用いて行列Ｓを求めることにより、
ステップＳ１０に示すようにＮ個の周期関数の時刻ｔに
おける瞬時値が抽出されることになる。
ステップＳ１１，Ｓ１２に示すように、以上の手順を時
間的に継続することにより、信号Ｆ（ｔ）を入力しなが
ら、逐次そのフーリエ変換結果、すなわち、Ｎ個の周期
関数の瞬時値を出力することができる。
間的に継続することにより、信号Ｆ（ｔ）を入力しなが
ら、逐次そのフーリエ変換結果、すなわち、Ｎ個の周期
関数の瞬時値を出力することができる。
第３図は、本発明に係る実時間フーリエ変換方法を実行
するための実時間フーリエ変換回路の一例を示す回路図
である。この回路では、Ｎ＝９、すなわち入力信号Ｆ
（ｔ）は、(11)式のように９つの周期関数の和にフーリ
エ変換される。
するための実時間フーリエ変換回路の一例を示す回路図
である。この回路では、Ｎ＝９、すなわち入力信号Ｆ
（ｔ）は、(11)式のように９つの周期関数の和にフーリ
エ変換される。
第３図の回路図で、Ａと記されたブロックは反転加算演
算素子、Ｂと記されたブロックは遅延素子、Ｃと記され
たブロックは反転素子を示す。反転加算演算素子Ａや反
転素子Ｃは、たとえば演算増幅器で構成することがで
き、遅延素子Ｂは、たとえばＢＢＤ(Bucket Brigate De
vice)素子で構成することができる。この回路を用いれ
ば、図の左端にある入力端子に入力信号Ｆ（ｔ）を与え
ると、図の右端にある９つの出力端子から、９つの周期
関数（関数Ｇ（ｔ）を構成する）の瞬時値が出力され
る。
算素子、Ｂと記されたブロックは遅延素子、Ｃと記され
たブロックは反転素子を示す。反転加算演算素子Ａや反
転素子Ｃは、たとえば演算増幅器で構成することがで
き、遅延素子Ｂは、たとえばＢＢＤ(Bucket Brigate De
vice)素子で構成することができる。この回路を用いれ
ば、図の左端にある入力端子に入力信号Ｆ（ｔ）を与え
ると、図の右端にある９つの出力端子から、９つの周期
関数（関数Ｇ（ｔ）を構成する）の瞬時値が出力され
る。
この回路の前段、すなわち図の左半分には、５つの遅延
素子列Ｂ９，Ｂ６，Ｂ５，Ｂ８，Ｂ７が形成されてい
る。遅延素子列Ｂ９は、ノードｎ90〜ｎ98の間にカスケ
ード接続された８つの遅延素子、遅延素子列Ｂ６は、ノ
ードｎ60〜ｎ63の間にカスケード接続された３つの遅延
素子、遅延素子列Ｂ５は、ノードｎ50〜ｎ54の間にカス
ケード接続された４つの遅延素子、遅延素子列Ｂ８は、
ノードｎ80〜ｎ87の間にカスケード接続された７つの遅
延素子、遅延素子列Ｂ７は、ノードｎ70〜ｎ76の間にカ
スケード接続された６つの遅延素子からそれぞれ形成さ
れている。各遅延素子Ｂの遅延時間は、入力信号Ｆ
（ｔ）に基づいて、第４図に示すように設定される。た
とえば、遅延素子列Ｂ９の遅延素子は、それぞれが入力
信号Ｆ（ｔ）の基本周期Ｔを９分割した時間Ｔ／９だけ
の遅延時間を有し、遅延素子列Ｂ７の遅延素子は、同様
にＴ／７だけの遅延時間を有する。例えば、ノードｎ91
の出力はノードｎ90の出力に比べて時間Ｔ／９だけ遅延
する。このように設定することによって、基本周期Ｔを
ｋ（ｋ＝１〜９）分割したすべての場合について、各時
点における信号Ｆ（ｔ）の標本値を次の各ノードの電圧
を測定することによって同時に求めることができる。
素子列Ｂ９，Ｂ６，Ｂ５，Ｂ８，Ｂ７が形成されてい
る。遅延素子列Ｂ９は、ノードｎ90〜ｎ98の間にカスケ
ード接続された８つの遅延素子、遅延素子列Ｂ６は、ノ
ードｎ60〜ｎ63の間にカスケード接続された３つの遅延
素子、遅延素子列Ｂ５は、ノードｎ50〜ｎ54の間にカス
ケード接続された４つの遅延素子、遅延素子列Ｂ８は、
ノードｎ80〜ｎ87の間にカスケード接続された７つの遅
延素子、遅延素子列Ｂ７は、ノードｎ70〜ｎ76の間にカ
スケード接続された６つの遅延素子からそれぞれ形成さ
れている。各遅延素子Ｂの遅延時間は、入力信号Ｆ
（ｔ）に基づいて、第４図に示すように設定される。た
とえば、遅延素子列Ｂ９の遅延素子は、それぞれが入力
信号Ｆ（ｔ）の基本周期Ｔを９分割した時間Ｔ／９だけ
の遅延時間を有し、遅延素子列Ｂ７の遅延素子は、同様
にＴ／７だけの遅延時間を有する。例えば、ノードｎ91
の出力はノードｎ90の出力に比べて時間Ｔ／９だけ遅延
する。このように設定することによって、基本周期Ｔを
ｋ（ｋ＝１〜９）分割したすべての場合について、各時
点における信号Ｆ（ｔ）の標本値を次の各ノードの電圧
を測定することによって同時に求めることができる。
(1)ｋ＝１：たとえばノードｎ90 (2)ｋ＝２：ノードｎ80，ｎ84 (3)ｋ＝３：ノードｎ90，ｎ93，ｎ96 (4)ｋ＝４：ノードｎ80，ｎ82，ｎ84，ｎ86 (5)ｋ＝５：ノードｎ50〜ｎ54 (6)ｋ＝６：ノードｎ60，ｎ61，ｎ93，ｎ62， ｎ96，ｎ63 (7)ｋ＝７：ノードｎ70〜ｎ76 (8)ｋ＝８：ノードｎ80〜ｎ87 (9)ｋ＝９：ノードｎ90〜ｎ98 したがって、ｋ分割したそれぞれの場合の分割平均値Ｆ
ｋ（ｔ）は、上述の各ノードの電圧値を平均することに
よって求まる。この平均演算は、反転加算演算素子Ａ２
〜Ａ９によってなされる。また、Ｆ１（ｔ）は、たとえ
ばノードｎ90の電圧値をそのまま用いればよい。かくし
て、Ｆ１（ｔ）〜Ｆ９（ｔ）が求まる。この後、逆行列
Ａ-1を用いた演算により、Ｃｉｓｉｎ（２πｔ＋
ψｉ）の時刻ｔにおける瞬時値（ｉ＝１〜９）が図の右
端から出力される。反転演算素子Ａ２〜Ａ９の後段に設
けられた反転素子Ｃ１〜Ｃ４および演算素子Ａ10〜Ａ13
は、この逆行列を用いた演算を行う回路である。
ｋ（ｔ）は、上述の各ノードの電圧値を平均することに
よって求まる。この平均演算は、反転加算演算素子Ａ２
〜Ａ９によってなされる。また、Ｆ１（ｔ）は、たとえ
ばノードｎ90の電圧値をそのまま用いればよい。かくし
て、Ｆ１（ｔ）〜Ｆ９（ｔ）が求まる。この後、逆行列
Ａ-1を用いた演算により、Ｃｉｓｉｎ（２πｔ＋
ψｉ）の時刻ｔにおける瞬時値（ｉ＝１〜９）が図の右
端から出力される。反転演算素子Ａ２〜Ａ９の後段に設
けられた反転素子Ｃ１〜Ｃ４および演算素子Ａ10〜Ａ13
は、この逆行列を用いた演算を行う回路である。
Ｎ＝９とした場合の行列Ａは、 であり、その逆行列Ａ-1は、 となる。したがってたとえば、 (10)式から、行列Ｓの３番目の要素である Ｃ３ｓｉｎ（２π３ｔ＋ψ３）は次のように表され
る。
る。
Ｃ３ｓｉｎ（２π３ｔ＋ψ３） ＝Ｆ３（ｔ）−Ｆ６（ｔ）−Ｆ９（ｔ） (12) そこで、第３図の右端の出力端子のうち３番目の端子に
は、演算素子Ａ11から −Ｃ３ｓｉｎ（２π３ｔ＋ψ３）なる値が出力され
る。すなわち、演算素子Ａ11は、 −Ｆ３（ｔ）＋Ｆ６（ｔ）＋Ｆ９（ｔ）なる演算を行っ
ているとになる。なお、本実施例では演算回路の構成
上、出力値にはマイナス符号がついて得られる。
は、演算素子Ａ11から −Ｃ３ｓｉｎ（２π３ｔ＋ψ３）なる値が出力され
る。すなわち、演算素子Ａ11は、 −Ｆ３（ｔ）＋Ｆ６（ｔ）＋Ｆ９（ｔ）なる演算を行っ
ているとになる。なお、本実施例では演算回路の構成
上、出力値にはマイナス符号がついて得られる。
以上のように本回路では、左端の入力端子に信号Ｆ
（ｔ）を与えると、右端の９つの出力端子から、この入
力信号Ｆ（ｔ）をフーリエ展開した９つの周期関数Ｃｉ
ｓｉｎ（２πｔ＋ψｉ）の瞬時値が出力され、実時間
のフーリエ変換が可能になる。第５図には、この回路を
用いて実際に実時間フーリエ変換を行った結果を示す。
ここで、同図(a)は入力した信号Ｆ（ｔ）の波形、同図
(b)はフーリエ変換によって得られた９つの周期関数を
示す。
（ｔ）を与えると、右端の９つの出力端子から、この入
力信号Ｆ（ｔ）をフーリエ展開した９つの周期関数Ｃｉ
ｓｉｎ（２πｔ＋ψｉ）の瞬時値が出力され、実時間
のフーリエ変換が可能になる。第５図には、この回路を
用いて実際に実時間フーリエ変換を行った結果を示す。
ここで、同図(a)は入力した信号Ｆ（ｔ）の波形、同図
(b)はフーリエ変換によって得られた９つの周期関数を
示す。
最後に、(5)式の数学的証明をここに簡単に示す。
いま、関数Ｆ（ｔ）をＮ個の成分波にフーリエ展開した
場合の基本周波数ｆのｉ倍の周波数をもつ成分波 Ｃｉｓｉｎ（２πｉｔ＋ψｉ） (14) について考える。この関数について、基本周期Ｔをｋ分
割した分割点のうち第ｌ番目の分割点（ｌ＝０，１，
…，ｋ−１）は、基本周期Ｔの始点から だけ時間遅れをもつ。したがって、第ｌ番目の分割点の
関数値は、 である。Ｔ＝１／の関係より、 を得る。
場合の基本周波数ｆのｉ倍の周波数をもつ成分波 Ｃｉｓｉｎ（２πｉｔ＋ψｉ） (14) について考える。この関数について、基本周期Ｔをｋ分
割した分割点のうち第ｌ番目の分割点（ｌ＝０，１，
…，ｋ−１）は、基本周期Ｔの始点から だけ時間遅れをもつ。したがって、第ｌ番目の分割点の
関数値は、 である。Ｔ＝１／の関係より、 を得る。
従って、このｉの周波数をもつ成分波に関してのｋ分
割平均値Ｆｉｋ（ｔ）は、 となる。式を加法定理を用いてまとめると、 となる。ここで、 とおけば、三角関数の合成定理を用いて、 Ｆｉｋ（ｔ）＝Ｃｉｃikｓｉｎ（２πｉｔ＋ψｉ＋θ
ik） (23) を得る。
割平均値Ｆｉｋ（ｔ）は、 となる。式を加法定理を用いてまとめると、 となる。ここで、 とおけば、三角関数の合成定理を用いて、 Ｆｉｋ（ｔ）＝Ｃｉｃikｓｉｎ（２πｉｔ＋ψｉ＋θ
ik） (23) を得る。
ところで、いま方程式ｘｋ＝１の解について考える。こ
のｌ番目の解（ｌ＝０，１，…，ｋ−１）をωｌとする
と、 が成立つことが知られている（但し、 ここで、方程式ｘｋ＝１と同値である(26)式を考える。
のｌ番目の解（ｌ＝０，１，…，ｋ−１）をωｌとする
と、 が成立つことが知られている（但し、 ここで、方程式ｘｋ＝１と同値である(26)式を考える。
この(26)式で、ｘ≠０の場合は、 である。これは方程式ｘｋ＝１の０以外の解は(27)式を
満足することを示す。そこで、(27)式に１番目の解ω１
を代入すると、 を得る。(25)式から更に、 すなわち、方程式ｘｋ＝１のｋ個の解の和は０になるこ
とがわかる。この方程式の解を複素平面上で考えると、
単位円に内接する正ｋ角形の頂点の座標となっている。
満足することを示す。そこで、(27)式に１番目の解ω１
を代入すると、 を得る。(25)式から更に、 すなわち、方程式ｘｋ＝１のｋ個の解の和は０になるこ
とがわかる。この方程式の解を複素平面上で考えると、
単位円に内接する正ｋ角形の頂点の座標となっている。
いま、この正ｋ角形のｌ番目の頂点の座標値を、 で表現してみる。すると、正ｋ角形の幾何学的対称性か
ら、 が成立つ。したがって(29)式および(30)式から、 も成立つことになる。
ら、 が成立つ。したがって(29)式および(30)式から、 も成立つことになる。
それでは、(30)式、(31)式において、ｌのかわりにｉｌ
（ｉは整数）を入れた場合を考えると、 が得られる。すなわちｉ＝ｋｌの場合は、 は常に１となるため、 になるが、それ以外の場合は正多角形の頂点座標を形成
するために、総和は０になるのである。一方、正弦に関
しては、幾何学的対称性から常に(32)式が成立つ。
（ｉは整数）を入れた場合を考えると、 が得られる。すなわちｉ＝ｋｌの場合は、 は常に１となるため、 になるが、それ以外の場合は正多角形の頂点座標を形成
するために、総和は０になるのである。一方、正弦に関
しては、幾何学的対称性から常に(32)式が成立つ。
ここで、再び(23)式に話をもどす。(23)式は複素平面上
のの座標値を与えるものであるが、(19)は式、(20)式で
表わされる係数ａik、ｂikは(32)式、(33)式から となる。したがって、(23)式において、任意の正の整数
ｋ，ｉについてθik＝０が成立し、また、ｉがｋの整数
倍の場合にはｃik＝ｋ、それ以外の場合にはｃik＝０が
成立する。
のの座標値を与えるものであるが、(19)は式、(20)式で
表わされる係数ａik、ｂikは(32)式、(33)式から となる。したがって、(23)式において、任意の正の整数
ｋ，ｉについてθik＝０が成立し、また、ｉがｋの整数
倍の場合にはｃik＝ｋ、それ以外の場合にはｃik＝０が
成立する。
いま、 （但し、ｉ＝ｋｎ、ｍはＮ／ｋの整数部）を得る。
以上のとおり、本発明によれば入力した信号Ｆ（ｔ）か
らＮ個の分割平均値を求め、この分割平均値に基づいて
Ｎ個の周期関数の瞬時値を求めるようにしたため、信号
を入力しながら連続してフーリエ変換結果を出力する実
時間フーリエ変換を行うことができるようになる。
らＮ個の分割平均値を求め、この分割平均値に基づいて
Ｎ個の周期関数の瞬時値を求めるようにしたため、信号
を入力しながら連続してフーリエ変換結果を出力する実
時間フーリエ変換を行うことができるようになる。
第１図は本発明に係る実時間フーリエ変換方法の手順を
示す流れ図、第２図は本発明に係る方法における基本周
期の分割方法の説明図、第３図は本発明に係る実時間フ
ーリエ変換装置を実現するための演算回路の一例の回路
図、第４図は第３図に示す回路の構成を説明するための
概念図、第５図は第３図に示す回路によって実時間フー
リエ変換を行った結果を示すグラフである。 Ｓ１〜Ｓ１２……流れ図の各ステップ、Ａ２〜Ａ13……
反転加算演算素子、Ｂ……遅延素子、Ｂ９，Ｂ６，Ｂ
５，Ｂ８，Ｂ７……遅延素子列、Ｃ１〜Ｃ４……反転素
子、ｎ……ノード。
示す流れ図、第２図は本発明に係る方法における基本周
期の分割方法の説明図、第３図は本発明に係る実時間フ
ーリエ変換装置を実現するための演算回路の一例の回路
図、第４図は第３図に示す回路の構成を説明するための
概念図、第５図は第３図に示す回路によって実時間フー
リエ変換を行った結果を示すグラフである。 Ｓ１〜Ｓ１２……流れ図の各ステップ、Ａ２〜Ａ13……
反転加算演算素子、Ｂ……遅延素子、Ｂ９，Ｂ６，Ｂ
５，Ｂ８，Ｂ７……遅延素子列、Ｃ１〜Ｃ４……反転素
子、ｎ……ノード。
Claims (6)
- 【請求項１】時間ｔに関して変化する信号Ｆ（ｔ）を、
基本周波数の整数倍の周波数をもったＮ個の周期関数
の和として、 （但し、Ｃｉは振幅、ψｉは位相） なる式で定義される関数Ｇ（ｔ）で表現できるように変
換するフーリエ変換方法であって、 信号Ｆ（ｔ）を入力する段階と、 前記基準周波数の逆数として与えられる基本周期Ｔの
期間をｋ分割し、入力した前記信号Ｆ（ｔ）の分割した
各時点における値を標本値としてそれぞれ求め、この標
本値の平均値をｋ分割平均値Ｆｋ（ｔ）として求める手
順を、ｋ＝１，２，…，Ｎのそれぞれについて行い、Ｎ
個の分割平均値Ｆ１（ｔ）、Ｆ２（ｔ），…，ＦＮ
（ｔ）を求める段階と、 前記Ｎ個の周期関数と前記Ｎ個の分割平均値との関係か
ら得られるＮ元連立一次方程式を解いて、前記Ｎ個の周
期関数の時間ｔにおける瞬時値を連続的に求める段階
と、 を備えることを特徴とする実時間フーリエ変換方法。 - 【請求項２】入力した信号Ｆ（ｔ）を複数段の遅延回路
に与え、この遅延回路の各段の出力に基づいて各分割時
点の標本値を求めることを特徴とする特許請求の範囲第
１項記載の実時間フーリエ変換方法。 - 【請求項３】遅延回路としてＢＢＤ素子を用いることを
特徴とする特許請求の範囲第２項記載の実時間フーリエ
変換方法。 - 【請求項４】時間ｔに関して変化する信号Ｆ（ｔ）を、
基本周波数の整数倍の周波数をもったＮ個の周期関数
の和として、 （但し、Ｃｉは振幅、ψｉは位相） なる式で定義される関数Ｇ（ｔ）で表現できるように変
換するフーリエ変換装置であって、 信号Ｆ（ｔ）を入力する入力手段と、 前記基準周波数の逆数として与えられる基本周期Ｔの
期間をｋ分割し、入力した前記信号Ｆ（ｔ）の分割した
各時点における値を標本値としてそれぞれ求め、この標
本値の平均値をｋ分割平均値Ｆｋ（ｔ）として求める手
順を、ｋ＝１，２，…，Ｎのそれぞれについて行い、Ｎ
個の分割平均値Ｆ１（ｔ）、Ｆ２（ｔ），…，ＦＮ
（ｔ）を求める分割標本手段と、 前記Ｎ個の周期関数と前記Ｎ個の分割平均値との関係か
ら得られるＮ元連立一次方程式を解いて、前記Ｎ個の周
期関数の時間ｔにおける瞬時値を連続的に求める演算手
段と、 を備えることを特徴とする実時間フーリエ変換装置。 - 【請求項５】分割標本手段が、入力した信号Ｆ（ｔ）を
遅延させるための複数段の遅延回路を有し、この遅延回
路の各段の出力に基づいて各分割時点の標本値を求める
ことを特徴とする特許請求の範囲第４項記載の実時間フ
ーリエ変換装置。 - 【請求項６】遅延回路としてＢＢＤ素子を用いることを
特徴とする特許請求の範囲第５項記載の実時間フーリエ
変換装置。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP62118618A JPH0644300B2 (ja) | 1987-05-15 | 1987-05-15 | 実時間フ−リエ変換方法および装置 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP62118618A JPH0644300B2 (ja) | 1987-05-15 | 1987-05-15 | 実時間フ−リエ変換方法および装置 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPS63282881A JPS63282881A (ja) | 1988-11-18 |
| JPH0644300B2 true JPH0644300B2 (ja) | 1994-06-08 |
Family
ID=14741003
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP62118618A Expired - Lifetime JPH0644300B2 (ja) | 1987-05-15 | 1987-05-15 | 実時間フ−リエ変換方法および装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH0644300B2 (ja) |
Families Citing this family (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US5790413A (en) * | 1993-03-22 | 1998-08-04 | Exxon Chemical Patents Inc. | Plant parameter detection by monitoring of power spectral densities |
-
1987
- 1987-05-15 JP JP62118618A patent/JPH0644300B2/ja not_active Expired - Lifetime
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JPS63282881A (ja) | 1988-11-18 |
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| EXPY | Cancellation because of completion of term |