JPH0833311B2 - ラージ・ダイナミックシステムにおける高速カルマン・フィルター法 - Google Patents

ラージ・ダイナミックシステムにおける高速カルマン・フィルター法

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JPH0833311B2 JP5518974A JP51897493A JPH0833311B2 JP H0833311 B2 JPH0833311 B2 JP H0833311B2 JP 5518974 A JP5518974 A JP 5518974A JP 51897493 A JP51897493 A JP 51897493A JP H0833311 B2 JPH0833311 B2 JP H0833311B2
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Description

【発明の詳細な説明】 技術分野 この発明は、一般にはカルマン・フィルターの使用さ
れている全ての分野、特に高速、かつ安定した計算と精
度の高い結果を必要とするラージ・ダイナミックシステ
ムに関するものである。
従来の技術 発明の説明に先立ち、まずセンサーシステム較正のた
めのカルマン・フィルター（KF）と、高速カルマン・フ
ィルター（FKFTM）のこれまでの技術（WO 90/1394）を
理解しておいたほうがよい。基礎となるマルコフ過程
は、（１）〜（３）の方程式で表される。最初の方程式
では、測定ベクトルytと、時間ｔ（ｔ＝0,1,2…）にお
ける状態ベクトルstの関係が示されている。これが、一
次測定（または観測）方程式である。
yt＝Htst＋et （１） 設計マトリックスHtは、普通、現測定方程式の偏微分
係数から成っている。方程式（２）は、気象観測気球を
飛行のような時間変動を表す、システム（または状態）
方程式である。
st＝st-1＋ut-1＋at （２） （または、より一般的な式として st＝Ast-1＋But-1＋
at） この方程式では、観測気球の位置が、ｔより前の時間
（ｔ−１）での位置st-1および増分ut-1、atで表されて
いる。この２つの増分は、普通、それぞれ既知の等速運
動と、未知の不規則な加速運動から成っている。
測定誤差、加速時間および時間（ｔ−１）での位置
は、それぞれ相関関係になく、次の共分散マトリックス
により、簡単に表される。
及び カルマン順再帰公式では、現在の状態の最もよい一次
の不偏推定値、 と共分散マトリックス Pt＝Cov（ｔ）＝Pt-1−Kt▲Ｈ′ ｔ▼Pt-1 （５） が得られる。
ここにカルマン・ゲイン・マトリックスKtは、次のよ
うに定義される。
今、推定状態ベクトルｔとその共分散マトリックス
Ptを、次のように分割しよう。
但し、ｔ は気球の推定位置、ｔ は推定較正パラメーターである。
他の数量の分割も以下のとおりである。
（４）〜（６）の再帰関数式からフィルター後（更新
された較正パラメーターに基づいた）の位置ベクトル と、更新された較正パラメーター・ベクトル を得る。カルマン・ゲイン・マトリックスはそれぞれ となる。
次に、一般状態方程式を少し変えたものを紹介する。
Ａt-1＋But-1＝Ist＋Ａ（t-1−st-1）−at （12） 但し、は状態ベクトルｓの推定値を表す。これを測
定方程式（１）と合わせると、いわゆる拡大モデルを得
る。
状態パラメーターは、回帰解析問題の有名な解を使っ
て計算できる。ここでは、更新するのに使う。
結果は、代数的にはカルマン再帰法と等価であるが、
数値は等価でない。較正レベルが減水し非常に多くのセ
ンサーを扱う気球追跡問題では、方程式（６）または
（11）で反転するマトリックスは、公式（14）のより大
きい。
気球追跡センサーの較正問題を解くためのラージ高速
カルマンフィルター（FKFTM）の初期化は、ランゲの高
周波除外フィルター（high−pass filter）によりおこ
なわれる。次のいわゆる標準ブロック・アンギュラー・
マトリックス構造の回帰モデルの解には、解析的な共分
散マトリックス反転公式を利用する。（Lange,1988） これは、風測定相互比較実験全体、または１個の気球
飛行の測定方程式のマトリックス表示である。ベクトル
b1,b2,…,bkは、一般に気象観測気球の連続位置座標を
表すが、かなりの量の時間または空間変数を持つ較正パ
ラメーターも入っていることがある。ベクトルｃは、資
料のサンプリング期間中、一定であるその他の較正パラ
メーターである。
特別に較正ドリフトを含む状態パラメーターの更新に
使う高速カルマン・フィルター（FKFTM）の回帰解析ア
プローチは、方程式（15）にあるように、同じブロック
・アンギュラーのマトリックス構造に基づいている。
b1,b2,…,bkおよびｃの最適推定値（＾）は、各時間t,t
＝1,2,…に関して、公式（15）に次の論理挿入をするこ
とにより得られる。
これらを挿入にして、高層大気流の追跡システムを較
正する高速カルマンフィルター（FKFTM）のアルゴリズ
ムの仕様を終える。
もう一つの応用としては、世界気象監視の全世界的な
観測システムであろう。ここでベクトルYKには、ラジオ
ゾンデ・システムｋ、またはある国のラジオゾンデ局の
同種の（均一の）クラスターｋからの気象レポート（例
えば、およそゼロになる昼と夜の気圧差平均）の系統誤
差が含まれる（Lane 1988a/b）。較正ドリフトベクトル
bkは、どこが間違っているか、その程度はどれくらいか
を表している。較正ドリフトベクトルｃは、全世界的に
共通する誤差や、およそ全ての観測システム（例えば、
衛星の光度やその地球に対し垂直方向の重力関数または
ある大気の流れの効果などの偏り）を表す。
これら全てのラージ複式センサーシステムには、設計
マトリックスＨは、典型的に希薄（sparse）である。普
通、次のような種類の分割をすることができる。
分割： 但し、 ct:通常、時間ｔにおける較正パラメーターを表す。
bt,k:時間及びまたは空間／距離を単位とする他の全て
の状態パラメーター。
A:時間ｃにおける遷移マトリックス（bock−diagona
l）。
B:時間ｔにおける状態独立効果utのマトリックス（bock
−diagonal）。
故に、２つ（または３つ）のタイプの巨大な回帰解析
問題 は、次のモデルに直面した。
空間容量の場合の拡大モデル：例えば、連続した気球
の位置Ｋについての全気流追跡実験のデーターについて
は、方程式（15）、（16）も参照のこと。
移動時間の拡大モデル（例えば、長さＬの動くサンプ
ル上に残る観測された“innovations"の一連の残差がホ
ワイトニング（whitening）するような場合） マトリックス公式が、「入れ子状の」ブロック・アン
ギュラー構造をとることを見ていただきたい。これの全
て３つの場合について、次の式に基づいた高速半解析解
は、PCT/FI90/00122（Lange,1990）、WIPO、スイス、ジ
ュネーブに発表された。
更新： 任意の時間ｔにおける再帰ステップのための高速カル
マン・フィルター公式は次のようであった。
ここで、ｌ＝0,1,2,…,L−１に対し、 となり、またｌ＝Ｌの時 となる。
1988年に始められた大Ｒ＆Ｄプロジェクトは、ECMWF
とMeteo−Franceとが協力して動的大気モデル、最適補
間、変動データー同化作用？）とカルマン・フィルター
（FK）をすべて同じ枠内にはめ込んでコード化しようと
するに至った。そのプロジェクトは総合予測システム、
IFS（Integrated Forecasting System）と呼ばれてい
る。Jean−Noel Thepaut,Philippe Courtier（1991）：
“Four−diemnsional variational data assimilation
using the adjoint of a multilevel primitive−equat
ion model",Quarterly Journal of the Royal Meteorol
ogical Society,Volume 117,PP.1225−1254. 同じようなカルマン・フィルター（FK）の研究も最近
Roger Daleyにより報告されている。（1992）：“The L
agged Innovation Covariance:A Performance Diagnost
ic for Atmospheric Data Assimilation",Monthly Weat
her Review ofthe American Meteorological Society,V
ol.120,pp.178−196,及びStephen E.CohnとDavid F.Par
rish（1991）：“The Behavior of Forecast Error Cov
ariances for a Kalman Filter in Two Dimensions",Mo
nthly Weather Review of the American Meteorologica
l Society,Vol.119,pp.1757−1785。
残念なことに上記に述べた理想的なカルマン・フィル
ターシステムは、現在手の出せない状態である。米国、
オクラホマ大学、気象学部のT.Gal−Chen博士は1988年
に、「大並列スーパー・コンピューター（例えば、1000
個のデスクトップCRAYを縦に並べて動かす）を開発する
なら最適化にかなり近いアルゴリズムを得るだろう」と
報告している。“Report of the Critical Review Pane
l−Lower Tropospheric Profiling Symposium:Needs an
d Technologies",Bulletin of the American Meteorolo
gical Society,Vol.71,No.5,May1990,page 684を参照。
ほかのカルマン・フィルター方法より同等または計算
速度、信頼性、正確さ、コストの面で優れた広範囲の技
術分野（狭義の「較正」という意味においての単なるセ
ンサー・システム較正より広義）に応用できる高速カル
マン・フィルター法（FKFTM）の理論を開発する必要性
が生じる。
発明の概要 この仕様で述べたように、リアルタイムもしくはリア
ルタイムに近い状態で、動的システムのセンサーやいろ
いろなモデル・パラメーターを較正し、調節するために
汎用化された高速カルマン・フィルター（FKFTM）は、
実質これらの必要に応じている。この方法をを使うこと
により、計算結果には、警告、意志決定、管理目的に必
ず必要な予測誤差共分散は出力される。
発明を実施するための最適モード 発明の説明に入る前に、現在実験的におこなっている
数値気象予測（NWP）システムにおいて開発された従来
の技術、カルマン・フィルター理論をまず理解した方が
よい。前述のとおり、方程式（１）を使っている。
測定方程式:yt＝Htst＋et ……（線形回帰） ここで、状態ベクトルstは時間ｔにおける大気の状態
を表す。さて、stは一般に大気の変数の全ての網目点を
表している、すなわち多数の異なった気圧のジオポテン
シャル高さである。
大気の力学はよく知れた変微分方程式（「原始」方程
式）により表される。いわゆるモデルの随伴演算子を利
用すれば、次の方程式（２）の一次式により、各時間に
おける大気の時間変動が得られる。： ４次元データーの同化作用により得られた（ｔ）と
NWP予測（ｔ）が、カルマン・フィルターから、それ
ぞれ次のように得られる。ｔ ＝ｔ＋Kt（yt−Ht ｔ）ｔ ＝Ａt-1＋But-1 （21） ここに Pt＝Cov（ｔ）＝A Cov（t-1）Ａ′＋Qt……（予測
精度） Qt＝Cov（at）＝Eat▲ａ′ ｔ▼……（システム・ノイ
ズ） Rt＝Cov（et）＝Eet▲ｅ′ ｔ▼……（測定ノイズ） 及び、極めて重要な更新の計算は次のカルマン再帰に
基づいている。
Cov（ｔ）＝Pt−KtHtPt……（推定値精度） ここでカルマン・ゲイン・マトリックスの計算に必要
なマトリックスの逆変換は、データー同化作用システム
が一度に数万のデーター要素を処理できなければならな
いために、いかなる実際的なNWPシステムにとってもは
るかに難しい。
さて、発明の方法を説明するが、方程式（13）の拡大
モデルから始める。
つまり、zt＝Ztst＋εｔ ４次元データー同化作用に対して、次の２つの方程式
が更新のために得られる。
または、＝ｔ＋Kt（yt−Ht ｔ）……（代用とし
て） および、 ここで、前述のようにｔ ＝Ａt-1＋But-1 ……（NWP「予測」） Pt＝Cov（ｔ）＝A Cov（t-1）Ａ′＋Qt ……（24） となるが、 の代わりに、 Kt＝Cov（ｔ）▲Ｈ′ ｔ▼Rt -1 （25） と置く。
拡大モデルアプローチは入力データーytのラージ・ベ
クトルのためのカルマン再帰公式を使うより優れてい
る。なぜなら、Cov（ｔ）が未知数の時、カルマン・
ゲイン・マトリックスKtの計算は巨大マトリックス逆変
換を必要としたからである。両方の方法とも代数的にま
た統計的に等価であるが、数値的には明らかに等価では
ない。
残念ながら、上式の拡大モデルの公式は、まだなお状
態パラメーターの数がかなり大きい場合、数値的に取り
扱うには難しすぎる。このことは、実際、第１に状態ベ
クトルstが大気の実態を表すのに十分な網目点データー
から成っていれば、起こるわけである。状態パラメータ
ーの数を減らす目的で、スペクトル分解（または、実験
的直角関数）をここに行ってもよいだろう。第２に、実
際的なNWPシステムのためには、状態ベクトルに含まれ
ていなければならない多くの状態パラメーターが他にあ
る。これらは、まず、いわゆる小規模大気プロセスの物
理的パラメーター図式のみならず、観測システムのシス
テム上（較正）の誤差に関係している。
幸いにも、これらの問題全ては、一般高速カルマン・
フィルター（FKFTM）法の開発による分割状態の方法を
利用することにより、解決できる。大気のさらに大きい
観測システムには、その設計マトリックスＨは一般的に
は希薄である。かようにして、次の分割を行うことがで
きる。
ここに、 ct:通常、時間ｔにおける「較正」パラメーターを表
す。
ｂt,k：網目点（ｋ＝1,…,K）における大気パラメータ
ーの値。
A:時間ｔ（従属マトリックスA1,…,AK,Ac）におけるス
テート・トランジションマトリックス。
B:状態−独立効果（従属マトリックスB1,…,BK,Bc） 故に、次の巨大回帰解析問題に直面する： 任意の時間ｔにおける回帰ステップの高速カルマン・
フィルター（FKFTM）公式は次のようになる。
ここで、ｋ＝1,2,…,K,に対し すなわち、ｋ＝０に対し データー同化作用の精度は方程式（23）から、次のよ
うになる。
ここで、 以上の半解析法を通して方程式（27）の巨大回帰解析
モデルのような解には、逆変換すべきマトリックス全て
が、適度に小さく保たれており、特に、オペレーショナ
ル数値気象予測（NWP）モデル、及び、ここではかなり
大きすぎて特定化できない４次元データー同化作用シス
テムのためには、この発明を望ましい形にするよう、適
度に小さくされている。明らかに、予測のエラー分散と
共分散、およびデーターの同化作用の結果は、それぞれ
方程式（24）（29）により導かれる。
方程式（28）（29）で与えられる汎用化された高速カ
ルマン・フィルター（FKFTM）公式は、発明された方法
によっている。
この技術分野の専門家なら、発明の精神から逸脱せず
に、上記の発明に関し多くの異なった方法が、実用化で
きることを高く評価するであろう。それ故に、発明の範
囲は、要求の中で特に制限をもうけている場合は別にし
て、これまで述べた発明の、特定の具体例だけにとどま
らないことを理解していただきたい。
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ication Published under the Patent Cooperation Tre
aty（PCT）,World Intellectual Property Organizatio
n,International Bureau,WO 90/13794,PCT/F190/00122,
15 Novemver 1990.

Claims (1)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】最適または部分最適カルマン・フィルター
    （FKF）の方法、特に多重センサーシステムのデーター
    較正方法。測定および状態方程式は、次のように一次式
    で表される。 yt＝Htst＋et （１） st＝Ast-1＋But-1＋at （２） ここで、時間ｔにおいて、 yt＝観測された角度、距離などの測定ベクトル Ht＝観測ゲイン、または設計マトリックス st＝状態ベクトル、較正パラメーターを含む et＝測定誤差ベクトル Rt＝Cov（et）＝Eete′ｔ＝上記誤差の共分散マトリッ
    クス ut＝外力または制御ベクトル at＝システム・ノイズ・ベクトル Qt＝Cov（at）＝Eata′ｔ＝上記システム・ノイズの分
    散マトリックス Ａ＝時間ｔに典型的に依存するステート・トランジショ
    ンマトリックス Ｂ＝外力または制御のゲイン・マトリックス である。また、上述のベクトルとマトリックスは、その
    要素間の物理的または構造的関係により、次のように分
    割することができる。 ここに、 ct＝時間／空間量の（典型的）較正パラメーター ｂt,k＝上記の量の他の全ての状態パラメーター である。 また、 ここで、改善された部分には、前述のステート・トラン
    ジション・マトリックスＡ、および／または前述の外力
    または前述の制御のゲイン・マトリックスＢが含まれ、 また、再起ステップのための高速カルマン。フィルター
    （FKF）公式は、 但しｋ＝1,2,…,Kで また、ｋ＝０では、 この場合、t,kとt,kは、前述の状態パラメーターst
    の最適または、部分最適推定値（＾）であり、 改善には、次の式からそれらの誤差分散と共分散を計算
    する可能性が含まれている。 ここで、 また、前述の状態パラメータstの最適または部分最適予
    測t,kとｔは、予測およびプロセス制御の目的のた
    めに、次の式から得られるｔ ＝Ａt-1＋But-1 （21） ここで、その誤差分散と共分散Ptが計算される： Pt＝Cov（ｔ）＝A Cov（t-1）Ａ′＋Qt （24） この場合、「〜」記号は、既述の予測（観測データーは
    得られない）ステップが（t,t−１）の時間内に起こる
    ことを表している。
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