JPH1074268A - ポリゴン画像再生方法および装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 （修正有） 【課題】 ゲーム機においてポリゴンで表現された対象
物の変形動作を行う際に、リアルタイム処理が可能で、
スムーズな変形動作を可能とする。 【解決手段】 各キーフレームのポリゴンの頂点の座標
を時間軸上に並べた時間軸上の補間の対象となる点群に
たいして、補間対象となる注目点Ｐ０，Ｐ１，…の前後
の点に対する傾きの平均である注目点の接線の理想的な
傾きを求め、接線の交点が注目点の間に来ないときは、
中点を設定して注目点の理想の傾きの接線の平均に対し
て注目点を結ぶ直線軸に大略対称の向きの線分を前記中
点の理想的な傾きの接線とし、接線の交点が前記注目点
の間に存在するときは、注目点の接線の傾きが理想的な
傾きになるような２次補間曲線を求め、注目点の間に中
点を設定した場合、注目点と中点での接線の傾きが理想
的な傾きになるような２次補間曲線を求め、中間画像を
補間生成する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、テレビジョンやパ
ソコンディスプレイ等の表示装置を有する家庭用テレビ
ゲーム機、またはそれに付随する変形動作の手法に関す
る。

【０００２】

【従来の技術】家庭用ゲーム機でソフトウェアを作成す
る場合には、メモリの有効利用と処理スピードの高速化
は不可欠な要素となっている。しかしその一方、これか
らのゲームはバーチャルリアリティを実現するために、
２次元画像から３次元画像へと変わりつつある。

【０００３】３次元の画像を実現するために、３次元物
体は多面体として表現する。多面体はポリゴン面の集ま
りとして表現され、また各ポリゴン面は順序づけられた
頂点の集まりとして表現される。ポリゴン面は一般に
“ポリゴン”と略されるので、以下では単にポリゴンと
表現する。図１は立方体の例である。立方体は六つのポ
リゴンと１から８と順序づけられた８個の頂点からなっ
ている。図１の例は簡単なものだが、球でもさらに複雑
な人間の顔でも、ポリゴンで表現することができる。

【０００４】従来のアニメーション形式で絵を用意する
と多くの絵（コマ）が必要となり、大量のメモリを消費
することになる。そこでコマ数を減らすために、数学的
に途中の絵を作成する方法が採られている。

【０００５】たとえば、図２は四角形を円に変形させる
場合の例である。図にあるように、変形前の四角と変形
後の円に対して対応点を決めておき、この対応点を時間
軸上で変化させていく。いま、ある点のＴ₀時刻の座標
点Ｘ₀とし、変形完了時Ｔ_n時刻の座標点Ｘ_nとするとす
ると、任意の時刻Ｔ_k時のＸ_kの座標は Ｘ_k＝｛（Ｘ_n−Ｘ₀）／（Ｔ_n−Ｔ₀）｝×（Ｔ_k−Ｔ₀）
＋Ｘ₀ で表される。時刻Ｔ₀時の各点を上式で求め、各点をつ
ないでいけば、その時刻での変形図形が求まる。これ
は、ポリゴンで表された立体図形に対しても同じ処理が
できる。

【０００６】四角から円へ変形させる際に、その中間の
図形を用意していくと、より細かな変形動作を行える
が、家庭用ゲーム機ではメモリ的に制限があるので、途
中の情報は数学的な計算によって求めることになる。こ
の計算方法としては、通常、直線補間方法か３次曲線補
間方法が用いられる。

【０００７】直線補間方法は、図２の例のように単純に
直線の傾きから変形途中のポリゴン点を求め、変形途中
の画像情報を作成していくものである。変形前と変形後
の２点を直線で結び、中間の情報を計算することから、
スカラー値（座標値）の連続性は保証される。しかし接
線方向の傾きの連続性はまったく考慮されていないか
ら、接続点における傾きが非常に大きくなる。

【０００８】たとえば、図３の例を見てもらうとそのこ
とがわかる。図でＡ₁、Ａ₂、……、Ａ₃、Ａ₄を含むフレ
ームが変形途中のポリゴンであり、あらかじめ変形情報
として保持しているポリゴン情報である。変形途中の補
間で求めたフレーム（ポリゴン）はＡ₁とＡ₂、Ａ₂とＡ₃
では連続性があるが、Ａ₁からＡ₃までを連続して見る
と、Ａ₂で鋭角な動きになり、不自然な動きとして映
る。

【０００９】このような不自然さを解消する方法して、
３次曲線で結ぶ補間方法がある。用いられる３次曲線は
いくつかあるが、もっともよく使用されているのが３次
スプライン曲線である。３次スプライン曲線の特徴は、
求めた３次曲線が必ず指定した点を通ることである。し
たがって、多くの工業設計の分野で使用される。以下、
簡単に説明を加えておく。

【００１０】一般に数学でいうスプラインとは、セグメ
ントの接続点で（ｋ−１）次の微係数の連続性を有する
区分的なｋ次の多項式である。したがって、３次式スプ
ラインは接続点で２次の微係数の連続性をもっている。
点列を補間する曲線を得るには、通常、比較的に低次の
区分スプラインが用いられる。低次の多項式は、計算量
が少なく、また高次の多項式で生じる数値の不安定さが
生じにくい、という利点がある。

【００１１】図４に点列Ｐ₁，Ｐ₂，…，Ｐ_k，…，Ｐ_nを
示す。この点列に対して３次のスプラインを求めるため
に、パラメータｔを導入して、 Ｐ（ｔ）＝ａｔ³＋ｂｔ²＋ｃｔ＋ｄ ………（１） と表す。ここで Ｐ（ｔ）＝［ｘ（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ）］ ………（２） なるベクトルである。パラメータｔは任意の値を選択す
ることができるが、スプラインの場合、必ず指定点を通
らねばならないから、点Ｐ_kは Ｐ（ｔ_k）＝Ｐ_k を満たす。

【００１２】ｔに対する１次、２次の導関数は Ｐ_k′＝３ａｔ_k ²＋２ｂｔ_k＋ｃ Ｐ_k″＝６ａｔ_k＋２ｂ で表せる。

【００１３】一般に ０≦ｔ≦１ とし、各スパンの接続点Ｐ_kで２次の導関数Ｐ_k″が等し
いとすると、１次の導関数は以下の数１で求まり、
（１）式の係数ａ、ｂ、ｃ、ｄが以下の数２のように求
まる。ただし、数１中のＰ₁′とＰ_n′は境界条件として
初期値を与える必要がある。

【００１４】

【数１】

【００１５】

【数２】

【００１６】パラメータｔを各スパン（区間）に対して
ｔ＝０〜１の範囲で適当に値（通常は等間隔）を与えて
れば、そのスパンでの補間点が求まる。図５は、指定さ
れた点１〜８に対して、数１、数２および（１）式から
スプラインを求めて図示したものである。図は２次元的
に描いたものであるから、Ｔとｘの関係、あるいはｘと
ｙの関係図として見ることができる。いずれにしろ、適
当な時間間隔ｄＴで（ｘ，ｙ，ｚ）を求め、ポリゴンを
描いていけば、スプライン曲線で補間された滑らかな変
形動作が表現できる。

【００１７】

【発明が解決しようとする課題】上記の直線補間法の利
点は計算量が少なく、計算処理が速いことである。しか
しその反面、接続点で変化量が大きく、ロボット的な動
きになってしまう。そのため、人間のような滑らかな動
作を必要とする場合には、直線補間方法は不向きであ
る。もし直線補間方法で滑らかな動作を行う場合には、
途中のコマ数（キーフレーム）を増やさなければなら
ず、ゲーム機で表現するにはメモリ的に大きな負担とな
る。

【００１８】一方、スプライン曲線で補間する方法は、
接続点における接線の傾きの連続性が保証されているか
ら、接続点でも滑らかな曲線を描くことができ、少ない
キーフレームでスムーズな動作を表現することができ
る。しかし計算量が多くなるために、リアルタイムな高
速画像処理を要するゲーム機では実用性に乏しい。

【００１９】本発明の課題としては、ゲーム機において
ポリゴンで表現された対象物の変形動作を行う際に、計
算量の少ない、リアルタイム処理が可能で、なおかつス
ムーズな変形動作を可能とする補間方法を開発すること
である。

【００２０】

【課題を解決するための手段】上記の課題を解決するた
めには、以下の条件を満たすことが必要となる。すなわ
ち、 ・補間曲線がキーフレームのポリゴンの頂点を通るこ
と。 ・接続点で滑らかなこと。 ・計算量が少なく、高速計算が処理が可能なこと。 が必要条件となる。

【００２１】そこで本発明では、２次曲線補間方法を採
用する。ポリゴンで表現されたモデルの時間的に変形動
作を行う際、前後のキーフレーム情報から中間画像を補
間生成するポリゴン画像再生方法において、(1)各キー
フレームのポリゴンの頂点の座標を時間軸上に並べた時
間軸上の補間の対象となる点群にたいして、補間対象と
なる注目点の前後の点にたいする傾きの平均である注目
点の接線の理想的な傾きを求め、(2)前記注目点の理想
的な傾きの接線の交点が前記注目点の間に存在しないと
き、前記注目点の間に中点を設定し、前記注目点の理想
の傾きの接線の平均に対して前記注目点を結ぶ直線軸に
大略対象の向きの線分を前記中点の理想的な傾きの接線
とし、(3)前記注目点の理想的な傾きの接線の交点が前
記注目点の間に存在するとき、前記注目点の接線の傾き
が理想的な傾きになるような２次補間曲線を求め、(4)
前記注目点の間に中点を設定した場合、前記注目点と前
記中点での接線の傾きが理想的な傾きになるような２次
補間曲線を求め、(5)前記補間曲線を用いて中間画像を
補間生成することで滑らかなポリゴン画像再生を実現す
る。

【００２２】本発明は、２次曲線補間方法を採用してお
り、曲率の符号は２次曲線では固定であるから、補間し
たい２点間で曲線の曲率の符号を変化させたほうが滑ら
かになる場合は、その中点で曲率を変化させるように、
中央に一つだけ点を取る。中点を設定するかどうかは、
補間したい２点間に注目点の理想の接線同士が交点をも
つかどうかで判断する。

【００２３】本発明は２次曲線補間方法であるために、
３次曲線補間方法と違って必ずしも接続点での接線の傾
きが数学的に連続しているとは限らない。すなわち、従
来例で見てきたような３次スプライン曲線のように接続
点での２次導関数が等しいとは限らない。しかし、見た
目には十分滑らかに見える。しかも２次曲線による補間
であるから、３次曲線より計算量が少なく、従って高速
で処理できる。

【００２４】

【発明の実施の形態】本発明の実施の形態を具体的な式
を用いて説明する。まずキーフレームの数がｎ個からな
るモデルを考える。従来技術で見てきたようにベクトル
として扱うこともできるが、空間座標のベクトル要素は
独立しているから、話を簡単にするためにも、ある要素
（ここではスカラー値Ｘ座標とＴ座標の関係）のみにつ
いて考える。

【００２５】時刻Ｔ_kにおけるＸ座標の値をＸ_kと表現す
るとき、（Ｔ_i，Ｘ_i）と（Ｔ_i+1，Ｘ_i+1）間の曲線補間
は以下のように行う。なお添え字ｋやｉは１〜ｎの間の
整数値をとる。図６に時間に対する座標Ｘの変化の様子
を示す。ここで時刻Ｔに関しては ｉ＜ｊのとき、Ｔ_i＜Ｔ_j の関係が成り立つものとする。また、その点の前後の傾
きの平均を「接線の理想の傾き」と呼ぶ。さらに Ｘ₀ ＝Ｘ_i Ｘ_n+1＝Ｘ_n ΔＸ_i＝Ｘ_i+1−Ｘ_i ΔＴ_i＝Ｔ_i+1−Ｔ_i Ｂ_i ＝｛（Ｔ_i，Ｘ_i）における理想の接線の傾き｝ とする。

【００２６】なおプログラムの実行時に再計算を防ぐた
め、必要に応じて１回のみ計算する。ｋ点における接線
の理想の傾きＢ_kは、 Ｂ_k＝（ΔＸ_k-1／ΔＴ_k-1＋ΔＸ_k／ΔＴ_k）／２ と計算できる。

【００２７】曲率の符号は２次曲線では固定であるか
ら、補間したい２点間で曲線の曲率の符号を変化させた
ほうが滑らかになる場合は、その中点で曲率を変化させ
るように、中央に一つだけ点を取る。その判断は、指定
点の理想の接線同士がＴ_iとＴ_i+1の間に交点をもつかど
うかで行う。点（Ｘ_i，Ｔ_i）と（Ｘ_i+1，Ｔ_i+1）での直
線の式は ｘ＝Ｂ_iｔ＋Ｘ_i ｘ＝Ｂ_i+iｔ＋Ｘ_i+1 であるから、ｘとｔの連立方程式として、ｔについて解
き、その実数解をＴＤとすると、 ＴＤ＝｛（Ｂ_i+1Ｔ_i+1−Ｂ_iＴ_i）−ΔＸ_i｝／（Ｂ_i+1−Ｂ_i） ………（３ ） と求まる。ただし、Ｂ_i+1＝Ｂ_iのときは分母が０となる
から、実数解は計算できない。

【００２８】ここで実数解ＴＤが存在し、なおかつ Ｔ_i≦ＴＤ≦Ｔ_i+1 ………（４） が成り立てば、図７の（ａ）に示すように、交点が２点
の時刻の間に存在するので一つの２次曲線でよく、中点
を取る必要はなく、すぐにパラメータ算出処理に移る。
図７の（ｂ）のように、逆にＴＤが求まらないか、上式
の不等式が成り立たない場合には、以下で説明する方法
に従って中点を算出する。

【００２９】中点が必要となった場合に、以下のように
中点を算出する。中点の時刻を単純にＴ_iとＴ_i+1の真ん
中とすると、 Ｔ_c＝（Ｔ_i＋Ｔ_i-1）／２ と求まる。なお時刻Ｔ_cをフレーム数とした場合には、
Ｔ_cは整数値のみであるから、上式の右辺の計算結果は
四捨五入あるいは少数点以下の端数切り捨てなどを行
う。中点を（Ｘ_i，Ｔ_i）と（Ｘ_i+1，Ｔ_i+1）を結ぶ直線
直線上に置くもとのとすれば、Ｔ_cに対応したＸ_cは Ｘ_c＝（Ｘ_i+1＋Ｘ_i）・（Ｔ_c−Ｔ_i）／ΔＴ_i と求まる。

【００３０】次に中点（Ｘ_c，Ｔ_c）での理想の傾きは、
「（Ｘ_i，Ｔ_i）および（Ｘ_i+1，Ｔ_i+1）（Ｘ_i，Ｔ_i）で
の理想の傾きの平均値が、（Ｘ_i，Ｔ_i）と（Ｘ_i+1，Ｔ
_i+1）を結ぶ直線（軸）に対して線対象である」ことが
好ましい。図８にこの関係を示す。ただし実際上は厳密
に解釈する必要はなく、最低、「中点での理想の傾きと
２点での理想の傾きの平均化された傾きが、軸に対して
相対する方向にある」こととしても問題はない。したが
って、中点での傾きＢ_cは Ｂ_c＝（２ΔＸ_i／ΔＴ_i）−（Ｂ_i+1＋Ｂ_i）・（Ｔ_c−Ｔ_i）／ΔＴ_i と求まる。図９に示すように、この中点での傾きＢ
_cは、厳密には線対象になっていないが、ある時刻ｔに
対するｘが、中点を境に軸に対して対象の位置（逆位
置）にあることを意味している。

【００３１】いま注目する２点のうち、開始点を
（Ｔ_s，Ｘ_s，Ｂ_s）とし、終了点を（Ｔ_e，Ｘ_e，Ｂ_e）と
する。以下、開始点と終了点を用いて曲線を求める。

【００３２】(1)中点がある場合 ｉから中点まで（Ｔ_iからＴ_cまで）のとき Ｔ_s＝Ｔ_i，Ｘ_s＝Ｘ_i，Ｂ_s＝Ｂ_i Ｔ_e＝Ｔ_c，Ｘ_e＝Ｘ_c，Ｂ_e＝Ｂ_c ・中点からＩ＋１まで（Ｔ_cからＴ_i+1まで）のとき Ｔ_s＝Ｔ_c，Ｘ_s＝Ｘ_c，Ｂ_s＝Ｂ_c Ｔ_e＝Ｔ_i+1，Ｘ_e＝Ｘ_i+1，Ｂ_e＝Ｂ_i+1

【００３３】(2)中点がない場合 Ｔ_s＝Ｔ_i，Ｘ_s＝Ｘ_i，Ｂ_s＝Ｂ_i Ｔ_e＝Ｔ_i+1，Ｘ_e＝Ｘ_i+1，Ｂ_e＝Ｂ_i+1 求める曲線は点（Ｔ_s，Ｘ_s）と点（Ｔ_e，Ｘ_e）を通り、
且つこの２点の接線の傾きとＢ_sおよびＢ_eとの差が最小
になるようにする。

【００３４】ここで、計算に先立って、 ΔＴ＝Ｔ_e−Ｔ_s ΔＸ＝Ｘ_e−Ｘ_s ΔＢ＝Ｂ_e−Ｂ_s と定義しておく。時刻ｔを用いて曲線の式を Δｔ＝ｔ−Ｔ_s ｘ ＝ｂΔｔ²＋ｃΔｔ＋ｄ ………（５） とおくと、曲線は開始点と終了点を通ることから、 Ｘ_s＝ｄ Ｘ_e＝ｂ（Ｔ_e−Ｔ_s）²＋ｃ（Ｔ_e−Ｔ_s）＋ｄ が成り立つ。

【００３５】また接線の傾きの差が最小になることか
ら、ｘをｔで微分してＴ_s、Ｔ_eにおける接線の傾きを算
出してからＢ_s、Ｂ_eとの差の自乗和を取り、その値が最
小になるようにする。すなわち、自乗和Ｆは Ｆ＝｛Ｂ_s−ｘ′（Ｔ_s）｝²＋｛Ｂ_e−ｘ′（Ｔ_e）｝² であるから、Ｆが最小になるように（５）式のｂ、ｃ、
ｄを求めればよいことになる。

【００３６】すなわち、最初の２式からｄとｃを消去し
てＦに代入し、そのあとでＦをｂの関数として見なして
微分し、その値が０になるようにｂを求めればよいこと
になる。以上の計算をすると、 ｂ＝ΔＢ／（２ΔＴ） ｃ＝ΔＸ／ΔＴ−ΔＢ／２ ｄ＝Ｘ_s となり、（５）式の曲線が決定できる。

【００３７】

【実施例】本発明の実施例をキーフレームが五つの場合
について、具体的な数値を挙げて見ていく。発明の実施
の形態と同様に（Ｔ，Ｘ）の関係だけで見ていくことに
する。図１０の（ａ）のようにＰ０〜Ｐ４が与えられた
とき、まず曲線Ｐ１Ｐ２および曲線Ｐ３Ｐ４を考える。
なお、Ｐ０〜Ｐ４の座標値は Ｐ０：（ ０，３０） Ｐ１：（ １，２０） Ｐ２：（ ５，１２） Ｐ３：（２０，７２） Ｐ４：（２１，７２） とする。以下の計算では、直感で理解しやすいように小
数点第二位以下を四捨五入する。

【００３８】実施の形態で求めてきた式にあてはめて、
曲線の式を計算する。なお、式中では、Ｃ言語を意識し
た表現法に直してあるために、 Ｂ_k → Ｂ ［ｋ］ Ｘ_k → Ｘ ［ｋ］ ΔＸ_k → Ｘｄ［ｋ］ Ｔ_k → Ｔ ［ｋ］ ΔＴ_k → Ｔｄ［ｋ］ としてある。また、“＊”は演算子で、乗算を表す。

【００３９】上記のＸｄ、Ｔｄは、 Xd[0] = -10 , Xd[1] = -8 , Xd[2] = 60 , Xd[3] = 0 Td[0] = 1 , Td[1] = 4 , Td[2] = 15 , Td[3] = 1 と求まるので、接線の理想の傾きは、 B[1] = (-10 + (-2)) / 2 = -6.0 B[2] = ((-2) + 4) / 2 = 1.0 B[3] = (4 + 0) / 2 = 2.0 である。

【００４０】（３）式のＴＤに対応した、区間Ｐ１〜Ｐ
２および区間Ｐ３〜Ｐ４のそれぞれの実数解（接線の交
点）は TD(1,2) = ((B[2]*T[2] - B[1]*T[1]) - Xd[1]) / (B[2] - B[1]) = ((1.0 * 5 - (-6.0) * 1) - (-8)) / (1.0 - (-6.0)) = 19.0 / 7.0 = 2.71 TD(2,3) = ((2.0 * 20 - 1.0 * 5) - 60) / (2.0 - 1.0)) = (-45) / (-0.5) = 90 と求まる。（４）式の判定式により、1 ≦ 2.71 ≦ 5
は真、5 ≦ 90 ≦ 20 は偽である。よって、Ｐ１Ｐ２間
には中点が必要なく、Ｐ２Ｐ３は図１０（ｂ）の様に中
点分割する必要がある。

【００４１】中点（Ｔｃ，Ｘｃ）とその理想の傾きＢｃ
は、 Tc = (20 + 5) / 2 <切り捨て> = 12 Xc = (72 + 12) * ((12 - 5) / 15) = 39.2 Bc = (2 * 60 / 15) - (2.0 + 1.0) * ((12 - 5) / 15)
= 8 - 1.4= 6.6 と求まる。曲線の式のパラメータは、 (1,2) Td = 5 - 1 = 4 Xd = 12 - 20 = -8 Bd = 1.0 - (-6.0) = 7.0 b = Bd / (2 * Td) = 0.875 c = Xd / Td - Bd / 2 = (-2.0) - 3.5 = -5.5 d = Xs = 20 (2,c) Td = 12 - 5 = 7 Xd = 39.2 - 12 = 27.2 Bd = 6.6 - 1.0 = 5.6 b = 5.6 / (2 * 7) = 0.4 c = 27.2 / 7 - 5.6 / 2 = 1.09 d = 12 (c,3) Td = 20 - 12 = 8 Xd = 72 - 39.2 = 32.8 Bd = 2.0 - 6.6 = -4.6 b = (-4.6) / (2 * 8) = -0.2875 c = 32.8 / 8 - (-4.6) / 2 = 6.4 d = 39.2 と求まる。

【００４２】曲線は（５）式で、 ｘ＝（ｂ＊（ｔ−Ｔ_s）＋ｃ）＊（ｔ−Ｔ_s）＋ｄ と表せるから、上述の計算結果をあてはめて各フレーム
のＸを求めると、表１の補間値が求まる。この値をもと
に補間点を図示したのが図１０の（ｃ）である。数学的
には導関数すなわち接線の傾きはＰ１、Ｐ２、Ｐｃで不
連続になっているが、人間の見た目には不連続性は感じ
られず、ゲームにおけるアニメーション用のフレーム表
示には十分滑らかである。

【００４３】

【表１】

【００４４】

【発明の効果】ポリゴンで表現されるモデルを、少ない
キーフレームにたいして直線あるいは曲線で補間して中
間のフレームを作成することは、メモリの有効利用とい
う点において重要になる。従来技術で見てきたように直
線式による補間は計算量が少なく、高速処理が可能であ
る。しかしその反面、接続点で不連続性が生じ、モデル
の動きが不自然になる。その点、３次曲線による補間は
接続点での連続性を保つことができ、自然な動きを表現
できる。しかしその反面、計算量が多くなり、処理速度
が遅いという点は否めない。とくに家庭用テレビゲーム
機の場合にはメモリとＣＰＵ速度に限界があるため、３
次曲線による補間は速度という点で実用性が低い。

【００４５】アニメーションでは処理速度は重要なファ
クターであるために、処理速度の点で３次曲線補間処理
より効果は大きい。ではどれだけ効果があるか、計算コ
ストという面で３次曲線補間方法を用いた場合と比較を
してみよう。本発明の２次曲線補間方法は（５）式よ
り、 ｘ＝（ｂ＊（ｔ−Ｔ_s）＋ｃ）＊（ｔ−Ｔ_s）＋ｄ と書ける。

【００４６】プログラムの実行ではベキ乗（たとえばＸ
＾２＜＝Ｘ²＞）は対数計算（関数の呼び出し）になる
ために、四則演算式で表現したほうが計算コストは少な
くてすむ。また通常、加算を１ＣＰＵサイクルとすると
減算は３ＣＰＵサイクル、乗算は５ＣＰＵサイクル、除
算は１３〜１５ＣＰＵサイクルを要するという。したが
って、プログラム上は上式のように記述したほうが
（５）式をそのままプログラム化するよりも速度は速
い。上式のｘを計算するためには、パラメータｂ、ｃ、
ｄや、それを計算するための接線の傾き等を計算しなけ
ればならない。これらのことをすべて考慮すると、プロ
グラム実行で掛かるコストは以下の表２のようになる。

【００４７】

【表２】

【００４８】次に３次曲線補間方法による計算コストを
求める。ここではそのなかでも代表的な補間方法として
３次スプライン曲線を取り上げる。

【００４９】３次スプライン曲線式を x = a * t^3 + b * t^2 + c * t + d とおき、両辺を微分すると dx/dt = 3 * a * t^2 + 2 * b * t + c となる。 (T[i], X[i], B[i]) = (Ts, Xs, Bs) (T[i+2], X[i+1], B[i+1]) = (Te, Xe, Be) Xd = Xe - Xs Td = Te - Ts とおいてから、上の２式に２点をそれぞれ代入して解く
と、 a = 2 * (-Xd) / Te^3 + Bs / Te^2 + Be / Te^2 b = 3 * Xd / Te^2 - 2 * Bs / Te - Be / Te c = Bs d = Xs となる。

【００５０】上記曲線の式において、接続点の前後にお
ける式を算出し、そこにおける２式の曲率を等しいとし
て前後の接続点を代入して等式を作りまとめると、 R[i] = T[i+1] * B[i-1] + 2 * (T[i+1] + T[i] * B[i] + T[i] * B[i+1] = (3/(T[i] * T[i+1])) * ((X[i+1] - X[i]) * T[i]^2 + (X[i] - X[i-1]) * T[i+1]^2 ) となる。これと、終端条件 B[1] および B[n] を決めて
おくことにより求めることができるが、これではフレー
ム数が多くなるほど計算が複雑になることになる。

【００５１】そこで精度を落として自分の前後のみ合計
４点でみるようにすると、 (B[i-1],B[i],B[i+1],B[i+2]) ・ M = (R[i-1],R[i],R[i
+1],R[i+2]) という関係の４＊４の行列Ｍが作れ、これは正方行列で
あり逆行列をもつので、 (B[i-1],B[i],B[i+1],B[i+2]) = (R[i-1],R[i],R[i+1],
R[i+2]) ・ M^(-1) により B[i] を求めることができる。これを用いて傾き
を求めるためには結局４＊４の行列の逆行列を求めれば
よいことになる。この逆行列の１成分を計算するには積
が１３回、和が５回必要となる。また３次スプライン曲
線式を ｘ＝（（ａ＊ｔ＋ｂ）＊ｔ＋ｃ）＊ｔ＋ｄ として計算コストを算出すると、表３のようになる。

【００５２】

【表３】

【００５３】ポリゴンの１要素のみを見た表が表１と表
２であるが、キーフレーム数と補間するフレームの割合
にもよるが通常２倍から４倍は本発明の方が速い。これ
を３次元空間上で変形アニメーションを行うと、１頂点
でｘ、ｙ、ｚの３要素を計算しなければならない。さら
に頂点が５００個からなるポリゴンモデルだと、１フレ
ームの補間に１５００回の計算が必要となる。また、３
次スプライン補間は滑らかだといっても、処理時間が掛
かるために、家庭用テレビゲーム機では補間フレームを
減らさなければならず、結局はぎこちないモデルの動作
になってしまう。したがって、家庭用テレビゲーム機で
応用するには実用性が低い。

【００５４】その点、本発明は高速に処理できるために
補間フレームを増やすことができ、全体の変形動作を滑
らかに表現できる。本発明の２次曲線補間は、３次曲線
補間と違って接続点での接線の傾きが不連続ではある
が、人間の見た目には十分滑らかに見えるために、直線
補間のような不自然さは感じられない。逆に高速処理が
可能なことから、処理速度の観点で３次曲線補間では限
られたフレームしか補間挿入することができないのに対
し、本発明を用いれば多くの補間フレームを挿入できる
ために、アニメーションで応用するには３次曲線補間よ
りも自然な表現が可能となる。

【図面の簡単な説明】

【図１】従来技術におけるポリゴンと頂点を説明するた
めの図である。

【図２】従来技術におけるポリゴンの変形を説明するた
めの図である。

【図３】従来技術におけるモデルの変形を直線補間で行
う場合の説明図である。

【図４】従来技術における３次スプライン曲線補間を説
明するための図である。

【図５】従来技術における３次スプライン曲線補間で求
めた曲線である。

【図６】本発明の実施の形態における接線の理想の傾き
を説明するための図である。

【図７】本発明の実施の形態において、注目の２点間に
中点が必要かどうかの判定を説明するための図である。

【図８】本発明の実施の形態において、中点の接線の理
想の傾きを説明するための図である。

【図９】本発明の実施の形態において、中点の接線の理
想の傾きと注目している２点の接線の傾きと関係を説明
するための図である。

【図１０】本発明の実施例において、補間フレームを求
める過程を説明するための図である。

Claims (3)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ポリゴンで表現されたモデルの時間的に
   変形動作を行う際、前後のキーフレーム情報から中間画
   像を補間生成するポリゴン画像再生方法において、(1)
   各キーフレームのポリゴンの頂点の座標やボーン組みさ
   れたモデルの関節の回転角等の独立したスカラ情報を時
   間軸上に並べた時間軸上の補間の対象となる点群にたい
   して、補間対象となる注目点の前後の点にたいする傾き
   の平均である注目点の接線の理想的な傾きを求め、(2)
   前記注目点の理想的な傾きの接線の交点が前記注目点の
   間に存在しないとき、前記注目点の間に中点を設定し、
   前記注目点の理想の傾きの接線の平均に対して前記注目
   点を結ぶ直線軸に大略対象の向きの線分を前記中点の理
   想的な傾きの接線とし、(3)前記注目点の理想的な傾き
   の接線の交点が前記注目点の間に存在するとき、前記注
   目点の接線の傾きが理想的な傾きになるような２次補間
   曲線を求め、(4)前記注目点の間に中点を設定した場
   合、前記注目点と前記中点での接線の傾きが理想的な傾
   きになるような２次補間曲線を求め、(5)前記２次補間
   曲線を用いて中間画像を補間生成することを特徴とする
   ポリゴン画像再生方法。
2. 【請求項２】 ポリゴンで表現されたモデルの時間的に
   変形動作を行う際、前後のキーフレーム情報から中間画
   像を補間生成するポリゴン画像再生装置において、(1)
   各キーフレームのポリゴンの頂点の座標やボーン組みさ
   れたモデルの関節の回転角等の独立したスカラ情報を時
   間軸上に並べた時間軸上の補間の対象となる点群にたい
   して、補間対象となる注目点の前後の点にたいする傾き
   の平均である注目点の接線の理想的な傾きを求める手
   段、(2)前記注目点の理想的な傾きの接線の交点が前記
   注目点の間に存在しないとき、前記注目点の間に中点を
   設定し、前記注目点の理想の傾きの接線の平均に対して
   前記注目点を結ぶ直線軸に大略対象の向きの線分を前記
   中点の理想的な傾きの接線とする手段、(3)前記注目点
   の理想的な傾きの接線の交点が前記注目点の間に存在す
   るとき、前記注目点の接線の傾きが理想的な傾きになる
   ような２次補間曲線を求める手段、(4)前記注目点の間
   に中点を設定した場合、前記注目点と前記中点での接線
   の傾きが理想的な傾きになるような２次補間曲線を求め
   る手段、(5)前記２次補間曲線を用いて中間画像を補間
   生成する手段を備えたことを特徴とするポリゴン画像再
   生装置。
3. 【請求項３】 コンピュータに対して、ポリゴンで表現
   されたモデルの時間的に変形動作を行う際、前後のキー
   フレーム情報から中間画像を補間生成するポリゴン画像
   再生において、(1)各キーフレームのポリゴンの頂点の
   座標やボーン組みされたモデルの関節の回転角等の独立
   したスカラ情報を時間軸上に並べた時間軸上の補間の対
   象となる点群にたいして、補間対象となる注目点の前後
   の点にたいする傾きの平均である注目点の接線の理想的
   な傾きを求める手順、(2)前記注目点の理想的な傾きの
   接線の交点が前記注目点の間に存在しないとき、前記注
   目点の間に中点を設定し、前記注目点の理想の傾きの接
   線の平均に対して前記注目点を結ぶ直線軸に大略対象の
   向きの線分を前記中点の理想的な傾きの接線とする手
   順、(3)前記注目点の理想的な傾きの接線の交点が前記
   注目点の間に存在するとき、前記注目点の接線の傾きが
   理想的な傾きになるような２次補間曲線を求める手順、
   (4)前記注目点の間に中点を設定した場合、前記注目点
   と前記中点での接線の傾きが理想的な傾きになるような
   ２次補間曲線を求める手順、(5)前記２次補間曲線を用
   いて中間画像を補間生成する手順を実行させるためのプ
   ログラムを記録した媒体。