JPS61143879A - 画素値を計算する方法と装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 この発明は全般的にディジタル像の表示に関する。更に
具体的に云えば、この発明は確定した画素の位置及び値
を持つ像から、新しい画素位置に対する新しい画素値を
設定する改良された方法と手段に関する。新しい画素位
置は、例えば元の像を拡大、縮小、並進又は歪める様に
選ぶことが出来る。

例えばビデオ・スクリーン或いは写真フィルムにディジ
タル像を表示することは、画素の値を貯蔵するメモリに
よって制御される。ビデオ表示装置では、表示スクリー
ンの発光体で被覆された面を電子ビームで走査し、電子
ビームの電流を貯蔵されている値に従って制御して、電
子ビームが発光体材料に入射する時の各々の画素の光強
度を制御する。この代りに、レーザ・ビームでフィルム
を走査し、貯蔵されている画素値に従ってレーザ・ビー
ムの強度を変調することにより、ディジタル像を写真フ
ィルムに転写することが出来る。

上に述べた像処理のどんなタスクでも、元の画素位置と
は異なる位置にある画素の値を求めなければならない。

それを行なう最も簡単な方法は、各々の出力画素に対し
、それに一番近い入力画素の値を使うことである。この
後、画素を選択的に削除することにより、縮小が行なわ
れ、拡大する　。

には、成る画素又は全ての画素の値を繰返す。この結果
得られる像の品質は満足出来ないものである場合が多い
。両方向の１次補間を使うことにより、新しい画素位置
に対する値を求めることが出来る。然し、この方法を用
いて拡大された像はぼやけており、構造的な雑音が目に
つくことがある。

新しい画素値の補間が高次多項式補間であれば、改善さ
れた忠実度及び鮮明度を実現することが出来る。例えば
、これから説明する新しいマトリクス内の画素値の３次
補間では、前のマトリクス内の隣接する１６個の画素の
値を使う。一般的に、使う多項式の次数が高ければ高い
程、新しい像の忠実度及び鮮明度が一層良くなる。然し
、多項式補間の次数が高くなるにつれて、新しい画素値
を決定するのにより多くの計算が必要である。

従って、この発明の目的は、前のマトリクスの画素値を
用いて、新しいマトリクス内の画素値の多項式補間を実
施する効率のよい方法と装置を提供することである。

この発明の特徴は、入力画素の加重した組合せによって
、多項式補間を実施することである。

別の特徴は、前のマトリクス内の画素からの１次元（例
えばＸ又はｙ）の増分的な間隔に基づく新しいマトリク
ス内の画素値の多項式補間用の係数の表を使うことであ
る。

簡単に云うと、新しい画素マトリクス内の画素を前の画
素マトリクスに写像して、前の画素からのＸ及びｙオフ
セットを求める。１次元（例えばＸ次元）の各々の新し
い画素に対するオフセットを決定し、この１次元で各々
の新しい画素に隣接する複数個の前の画素の値を用いて
、中間画素に対する値を補間し又は求める。その後、こ
うして計算された中間画素の値を用いて、他方の次元（
例えばｙ次元）の多項式補間により、最終的な画素値を
求める。

重要なことは、１次元福間の加重係数を所定の増分値に
対して予め計算しておくことである。この為、新しい画
素値を計算する時、多項式係数を計算して多項式を評価
するという時間の力いるタスクを必要としない。

この発明並びにその目的及び特徴は、以下図面について
詳しく説明する所から明らかになろう。

次に図面について説明する。第１図に、マトリクスの水
平の１行にある画素１１，１２．１３゜１４の様な既知
の値を持つ画素のマトリクス１０の一部分が示されてい
る。画素の新しいマトリクスを前のマトリクス１０の上
に写像し、新しい画素１６が新しいマトリクス内にある
と仮定する。

図示の場合、画素１６は画素１２から水平距離ΔＸ、及
び垂直距離Δｙだけオフセットがある。

一般的に、新しい画素１６の値を求めるには、画素１６
の近辺にある像の領域を成る関数ｆ（ｘ、ｙ）として扱
う。この関数の詳細は、隣合う画素の値に関係する。こ
の時、画素１６に割当てられる値は、画素１６の位置に
於ける関数ｆ（ｘ、ｙ）の値である。この過程を全ての
出力画素に対して繰返して、補間した像を求める。この
発明に関連して用いる多項式補間では、関数ｆ（ｘ、ｙ
＞がＸ及びｙの多項式関数である。この時、出力画素値
を計算する過程は、出力画素に隣合う入力画素を用いて
多項式の係数を計算し、その後多項式を評価することを
含む。弗型的には、使われる入力画素の数は決定しなけ
ればならないｆ（ｘ、ｙ）の多項式係数の数と等しい。

例えば、モデルとして、次の多項式を使いたい場合を考
える。

＋ａ□”　”　　　　　　　　（１） （ｘ、９　）にある画素に対する値を計算する場合を考
える。（ｘ、ｙ　）を取巻く９個の入力画素の値とｆ（
ｘ、ｙ）がぴったりと合う様な係数（ａＯｌａｌ・・・
ａｓ　）を計算する。

式（１）のモデルでは、これを行なう為に、９個の未知
数（係数）を持つ９個の方程式（各々の入力画素に対し
て１つずつ）から成る系を解く。

この後、係数を使って、次の出力画素値を計算する。

ｆ　（Ｑ、０）−ａ６　＋ａＩＸ＋ａ２　Ｘ２＋ａ３　
ｙ＋ａ４Ｖ２△八　　　Δ　△　　　△△ ＋　ａ　ｓ　　Ｘ　Ｖ＋　ａｓ　　Ｘ　２　Ｖ＋　ａア
　ｘ　ｙ２＋ａ＄Ｘ２ｙ２（２＞ ２次元多項式モデルが、ｎを任意の整数として、何れの
変数も０次までの全ての項を含んでいる場合、２次元補
間過程は１次元補間に分解することが出来る。例えば、
第１の工程はＸ方向の補間をして、画素（Ｘ、　’／ｅ
　）の中間画素値を求める。こ１でＶｅは所望の出力画
素に隣合う行のｙの値を持つ。その後、中間画素値を入
力として用いて、ｙの補間を行ない、（Ｘ、Ｖ　）にあ
る所望の画素に対する出力画素値を計算する。何れの座
標でも０次までの項を含む多項式では、２次元補間は２
つの１次元補間工程に単純化することが出来ることを証
明する。こ）で使う多項式モデルは 所望の出力位置（Ｘ、’Ｖ　＞を取巻く画素の（ｎ＋１
）方形配列では、Ｘは（Ｘ□、Ｘ＋・・・Ｘ、　）の値
をとり、■は（Ｖｏ、Ｖｌ・・・Ｖｎ　）の値をとる。

Ｖ（Ｘｋ、ｙｅ）を（Ｘｋ、ｙｅ）にめる画素の値とす
る。（ｘ、ｙ　）にある新しい画素の値を求めるのが目
的である。これを行なう古典的な方法は、次の様な一組
の係数（ａｉｊ）を発生することである。

が、（ｘ、ｙ　）を取囲む方形領域内の（ｒｌ＋１）２
個の全ての画素に対して成立する様な係数である。

その後、それを使って所望の出力を計算する。即ち （Ｘ、　Ｖｅ　）の中間画素位置を考える。ｂｉｏを次
の式によって定義する。

係数（ｂ　ｉｅ）がｙ座標Ｖｅに関係するが、Ｘに無関
係であることに注意されたい。この時式（４）％式％ 式（７）及び（８）は、（Ｘ、　ｙｅ　）にある中間画
素の値を求める為の、ｙ−Ｖｅの行に沿ったＸ方向のｎ
次１次元多項式補間を表わしている。然し、１次元補間
によってこの中間画素に対して得られる値が、２次元過
程によって得られる値と全く同じでおることは明らかで
ある。これは、前のマトリクスの行に沿った全ての画素
位置について云えることである。これは、ｙの任意の一
定の値に対し、式（３）が１次元モデルとして、Ｘのｎ
次多項式であり、その行に沿った（ｎ＋１）個の点で両
者が一致すれば、それらがこの行の何処でも一致するこ
とを考えれば、直観的に理解することが出来よう。

関心のある画素を取囲む（ｎ＋１）個の行に対する中間
画素（Ｘ、　Ｖｅ　）の値がｎ次多項式補間によって計
算されたと仮定する。この時も、中間画素値が、完全な
２次元方法によってこれらの位置で得られた値と一致す
る。定義として を用いる。組（Ｃｊ　）は、全ての中間画素に対しが成
立する様な係数をみつけることによって、計算すること
が出来る。この時式（５）は次の様に式（１０）及び（
１１）は、中間画素によって限定されていて、出力画素
（Ｘ、Ｖ　）をも含む列に沿ったｙ方向の１次元ｎ次多
項式補間を表わす。

この場合も、式（５）及び（１１）の両方がｎ次多項式
であり、それらが（ｎ＋１）個の点（中間画素）で一致
するから、（ｘ、ｙ　）でも同じ値になる筈である。こ
の為、一層簡単な１次元補間工程を用いて、２次元補間
を実施することが出来る。

更に、当業者であれば、像を拡大、縮小並びに並進させ
る屡々使われる工程では、１つの画素値を計算するのに
必要な多くの中間画素値を貯蔵しておいて、別の画素値
を計算するのに使うことが出来ることが理解されよう。

次に１次元補間に限って説明する。補間による出力値を
入力画素値の線形の組合せとして計算することか出来る
ことを証明する。組合せ係数が入力点に対する出力点の
相対位置に関係する。

モデルとして を用いる。更に、（Ｘｋ　）及び（寵）が夫々人力画素
位置及び値として、 が出力位置を取囲む（ｎ＋１）個の画素に対して強制的
に成立する様にすることにより、係数ａ１を求める。式
（１３）と似た（ｎ＋１）個の方程式があり、これをマ
トリクスの形で書き表わすことが出来る。

Ａ−Ｘ＝Ｖ　　　　　　　　　　　　（１４）Ａは多項
式係数を含む行ベクトルでおり、Ｘは適当なべき数のＸ
値を含む正方マトリクスであり、■は画素値を含む行ベ
クトルである。Ａについて解けば によって所望の出力画素値をみつける。式（１５）これ
は、出力値が周囲の入力画素の値の線形組合せであるこ
とを示している。組合せ係数が（Ｘ−’Ｘ）によって与
えられ、これは入力配列内の出力画素の相対位置に関係
するが、特定の画素値には無関係である。一旦組合せ係
数が判れば、補間には（ｎ＋１）回の乗算及び１回の加
算を必要とする。

入力画素が等間隔であれば、組合せ係数は、その左にあ
る画素からの出力画素の正規化距離にのみ関係する。こ
の正規化距離を次の式で定義する。

Δｐは画素の間の間隔である。

多項式の次数ｎに奇数を使うことの１つの利点は、各々
の出力点に対して使われる入力点の数（ｎ＋’ｌ）が偶
数になることである。この為、入力点を出力の周りに対
称的に配置することが出来る。この後、３火桶間（ｎ＝
３＞に対する組合せ係数を導き出す。

この３火桶間のモデルは次の通りである。

Ｘ、がＸの直ぐ左の画素位置であるから、使われる４つ
の画素は、値Ｖｋ−１，Ｖｋ、ｖｋ＋１及びＶ　ｋ＋２
の値を持ち、その夫々のΔＸの値は夫々−１，０，１及
び２である。式（１９）により、多項式係数ａ１　を計
算するのに使われる４つの方程式は次の通りである。

ａｏ　−ａｔ　＋ａｚ　−ａｘ　−Ｖｋ−１（２０ａ）
ａｏ　＝Ｖｈ　　　　　　　　　　　　　　（２０ｔ）
）ａｏ　＋ａ＋　＋ａ２＋ａ３−Ｖ、、　　　　　　　
（２０ｃ）ａｏ　＋２ａｌ　＋４ａ２＋９ａ３　”ｖｋ
＋２　　　　（２０ｄ）式（２０ｂ）からａｏが判る。

式（２０ａ＞及び＜２０ｃ　）が加算すると、 ＱＢ６＋２Ｅ１ｘ−“・−パゞ・−・　　　（２１）式
（２０ｂ　）を代入してまとめると、ａ２の式が得られ
る。

２ａ１＋２ａ３″″Ｖｋ＋１−Ｖｋ−１（２３）式（２
０ｂ　）及び（２２）を式（２０ｄ　）に代入して整理
すると、 ２ａ＋　＋８ａｚ　−−２Ｖ　　＋３Ｖｋ−２Ｖｋ＋１
＋Ｖ、＋２に−１ 式（２３）及び（２４）をａｌ及びａ３について解くと ａｔ　−−１／３　Ｖ　　−１／２　Ｖ　　＋Ｖ　　−
１／６　Ｖｋ＋２に−１ｋ　　　　　　ｋ＋１ ａ３−−１／６　Ｖ　　＋１／２　Ｖｋ−１／２　Ｖｋ
＋１＋１／６　Ｖｋ＋２に−１ 式（２０ｂ）、（２２）、（２５）及び（２６）を式（
１９）に代入して、同じ様な項を組合せると、 ｆ　（Ｘ）　−Ｚａ　Ｖ　　＋Ｚ２　Ｖ　　＋　ｚ３Ｖ
ｋ＋１　＋　Ｚａ　Ｖｋ＋２に−１ｋ こ１で Ｚａ　−−１／３　（ΔＸ）　＋１／２　（ΔＸ）２−
１／６　（ΔＸ）　”Ｚ３＝（ΔＸ）＋１／２（ΔＸ）
２−１／２（ΔＸ）３２４　＝−１／６　（ΔＸ）　＋
１／１３　（ΔＸ）　３この為、入力画素が等間隔であ
る時に３火桶間を行なうには、多項式係数の方程式の系
を解き、その後所望の場所の３次多項式を評価すること
は必要ではない。その代りに、出力位置を取囲む４点の
組合せ係数を式（１８）及び（２８）を用いて計算し、
その模式（２４）に用いて出力値を計算することが出来
る。

この方法でも、所定の（ΔＸ）に対する組合せ係数を発
生するのに多くの演算が必要であるから、補間には多数
の演算が必要である。然し、後に述べた計算の負担（係
数を発生するのに要する演算）は省くことが出来る。そ
の為には、−組のΔＸの値に対する係数を予め計算して
おいて、これらの値を表に貯蔵しておく。ΔＸの特定の
値に対する係数を必要とする時、表の内の一番近い項目
に対する係数を使う。この代りに、表の項目の間の１火
桶間を用いてもよい。

特定の用途に対し、６４組の予め計算した組合せ係数を
用いた３火桶間が非常によく働くことが判った。ΔＸの
等間隔の６４個の値の所に於ける３火桶間の組合せ係数
の表を下に示す。

この補間方法では、所望の出力画素位置Ｘに対し、左の
最初の画素飄を同定し、式（１８）を用いてΔＸを計算
しく画素の間隔ｐが普通は１に正規化されているので、
割算は必要でないことに注意されたい）、計算された値
に最も近いＸの値共に、これらの係数を用いて、出力値
を計算する。

第１図に戻って説明すると、ΔＸ及び隣合う４つの前の
画素１１，１２，１３，１４　（３火桶間の場合）の値
を用いて、最初に中間画素１５の値を計算する。同様に
、中間画素１７．’１８．１９に対する値を計算する。

画素１６に対する最終画素値は、画素１７乃至１９の値
及びオフセットΔｙを用いて、ｙ軸に沿った多項式補間
から求められる。

この手順が第２図の計算機システムに例示されている。

第１図の新しい画素１６が、第１図のマトリクス１０を
用いて、マトリクス・マツプ２０内に位置ぎめされる。

Ｘオフセット（ΔＸ）が２２にあり、ｙオフセット（Δ
ｙ）が２４にある。

この時、ＸオフセットΔｘ１係数の表２８からの係数、
及び隣合う４つの画素の値を用いて、中間画素値が２６
で決定される。画素１５の最終画素値が、２６からの中
間画素値、■オフセットΔｙ及び表２８からの係数を用
いて、３０で求められる。

第３図はこの発明を用いて１次元補間を行なう場合のフ
ローチャートである。入力配列内の最初の出力画素の位
置ｘｏ、出力点の間の増分ΔＸ、希望する出力の数Ｎ１
及び出力画素値（Ｖｋ）が４０で入力として用意される
。４２で初期設定がある画素の指数ｋを４４で計算する
。こ１で１ＦＩＸ（Ｘ）はＸより小ざいか又はそれに等
しい最大の整数である。出力画素の、その左側に隣合う
ものからの距離ΔＸも４４で計算する。係数表４６から
の係数を４７で検索して、４８で示す様に、隣合う４つ
の入力画素の値を用いた多項式に用い、新しい画素値０
ＵＴｊを求める。５０で、ｊをＮと比較する。ｊがＮに
等しければ、タスクが完了する。等しくなければ、出力
画素指数ｊ及び位置Ｘを５２で増数する。

ゼネラル・エレクトリック社のＣＴ９８００計算機式断
層写真走査装置に用いられる様なデータ・ゼネラル社の
３１４０計算機で実施し得るプログラムを用いることが
出来る。このプログラムを参考資料として別途提出する
。

第４図は上に述べた様に作用するこの発明の装置の１実
施例の回路図である。この実施例では、前の画素値の補
間に基づいて、前のマトリクスの画素行に沿って、新し
いマトリクスの各列に対する中間画素値を導き出す。次
に、各列にある画素の最終値が、中間値の補間に基づい
て取出される。

装置は、中間画素値及び最終画素値を計算する時、列毎
に作用する。

後で説明するが、中間画素値及び最終画素値の両方を計
算するのに多くの同じ画素が用いられる。

最初に、（入力画素配列で見て）上側の一番左の出力画
素のＸ及びｙ座標を夫々次の列レジスタ９３及び最初の
ｙレジスタ９４に装入する。同様に、Ｘ及びｙ方向の出
力画素の間の距離を夫々Ｄ、レジスタ６１及びＤｙレジ
スタ６２に装入する。

最初の列に対する中間画素を計算する為、スイッチ９１
，９２．９５．８９，７９．８３を■位置にする。スイ
ッチ９０をＩＮＴ位置に設定して、次の列レジスタの内
容を入力アドレス・レジスタ６０に装入し、その後１位
置に切換える。ｙレジスタ７３を破算する。この時、入
力ア゛ドレス・レジスタは最初の出力列のＸ座標を持っ
ており、これが６４でＤオに加算され、次の出力列に備
えて次の列レジスタに貯蔵される。入力アドレス・レジ
スタは、前のマトリクスの２つの列の間にあることがあ
るので、整数部分及び端数部分で構成される。

Ｘ入力の端数部分がレジスタ６６を介して印加され、係
数メモリ６８をアドレスする。４つの値の補間を仮定す
ると、後で説明する様に、係数近隣アドレス６９を値０
，１，２，３にクロックで進める時、４つの係数がメモ
リから読取られる。

Ｘ入力の整数部分をレジスタ７０を介して印加し、７２
で、７４からの近隣アドレス（例えば−１，０，１，２
＞と順次組合せ、その和をｙレジスタ７３だけで用いて
、補間する為の４つの入力画素値を求める為に入力像メ
モリ７６をアドレスする。

近隣アドレス７４及び近隣係数６９をクロックで進め、
掛算器７８に対して、４対の係数及び画素値を送る様に
同期される。４つの積を８０で加算し、８２で累算する
。その結果得られた中間画素値をｙレジスタ７３をアド
レスとして使って、中間画素メモリ８４で貯蔵する。累
算器８２を破算し、ｙアドレス７３を増致し、次の中間
画素を計算する。

この列に対する全ての中間画素が計算されて、８４で貯
蔵されるまで、この過程を繰返す。次に、この列に対す
る最終画素値を計算する。スイッチ９’ｌ、９２，９５
，８９，７９．８３を０位置に設定する。スイッチ９０
をＩＮＴ位置に設定し、最初のｙレジスタ９４の内容を
入力アドレス・レジスタ６０に装入する。次にスイッチ
９０を０位置に設定する。入力像メモリ７６及びｙレジ
スタ７３はこの工程では使わない。最初の出力画素値を
計算する為に、累算器８２を破算する。

レジスタ６０の値はやはり整数部分及び端数部分に分れ
ている。端数部分を使って、表６８から係数を選択し、
整数部分を近隣アドレスに加算し、その和を使って中間
画素メモリをアドレスする。

アドレス及び係数近隣レジスタを夫々その値（−１，０
，１，２＞及び（０，１，２，３）にクロック動作で進
め、中間画素値及び係数の対の積を加算することにより
、最終画素値が８２で発生され、出力像メモリ８６に貯
蔵される。その後、累算器８２を破算し、入力アドレス
６０を加算器６４によってＤＹだけ増数し、次の出力画
素を計算する。この列に対する全ての出力画素が計算さ
れるまで、この過程を続ける。

次に、次の列の中間画素値及び最終画素値を計算する過
程を行なう。スイッチ９１，９２，９５゜８９．７９．
８３を１位置に設定する。スイッチ９０を使ってレジス
タ６０にこの列のＸ座標を装入し、ｙレジスタ７３を破
算し、次の列のＸ座標を６４で計算して９３で貯蔵する
。その後の工程は当業者に明らかである。

上に述べた第４図の装置は、デカルト座標の１つの方向
で像を拡大、縮小又は引伸すのに最もよく適している。

当業者であれば、これを変更して、空間的な特性を更に
一般的に変えることが出来る。

第２図の装置は上に述べた任意のタスクに使うことが出
来る。

この発明を特定の実施例について説明したが、この説明
はこの発明を例示するものであって、この発明を制約す
るものと解してはならない。当業者であれば、特許請求
の範囲によって定められたこの発明の範囲内で、種々の
変更及び使い方が考えられよう。

【図面の簡単な説明】

第１図は既知の画素値のマトリクス並びにその値を計算
しようとする画素のマトリクスの一部分の図、第２図は
この発明に従って新しい画素値を決定する為の計算機装
置の機能的なブロック図、第３図はこの発明の１実施例
に従って新しい画素値を計算するプログラムのフローチ
ャート、第４図はこの発明の１実施例の回路図である。 主な符号の説明 １０：前のマトリクス １１．１２，１３，１４：前の画素 １５．１７，１８，１９：中間画素 １６：新しい画素 ２２：Ｘオフセット ２４：Ｙオフセット ２６：中間画素値の計算 ２８：係数の表 ３０：最終画素値の計算

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １）像の空間的な特性が変化した時、像の前の画素値に
   基づいて新しい画素値を計算する方法に於て、新しい画
   素に隣合う複数個の前の画素の値に基づいて、新しい画
   素の値の多項式補間を行なう方程式を設定し、該方程式
   、並びに前の画素に対する新しい画素の相対位置に基づ
   いて、前の画素に対する加重係数を予め計算し、前の画
   素に対する各々の新しい画素の相対位置に基づいて、各
   々の新しい画素に対して、隣合う前の画素の値に加重係
   数を適用する工程を含む方法。 ２）特許請求の範囲１）に記載した方法に於て、前記多
   項式補間を行なう方程式が何れの座標でもｎ次までの全
   ての項を含んでいる方法。 ３）特許請求の範囲１）に記載した方法に於て、前記補
   間が逐次１次元多項式補間工程によって行なわれる方法
   。 ４）特許請求の範囲３）に記載した方法に於て、前記１
   次元多項式補間がｎ次であり、各々の出力値を計算する
   為に（ｎ＋１）個の入力値が使われる方法。 ５）特許請求の範囲３）に記載した方法に於て、Ｚ＿ｉ
   を隣合うｉ番目の入力値に対する加重係数、Ｖ＿ｉを隣
   合うｉ番目の入力値とし、値｛Ｚ＿ｉ｝が入力点に対す
   る出力点の相対位置に関係する様にして、前記１次元補
   間が次の式 ｆ（Ｘ）＝Ｚ＿１Ｖ＿１＋Ｚ＿２Ｖ＿２＋Ｚ＿３Ｖ＿３
   ＋Ｚ＿４Ｖ＿４によって行なわれる方法。 ６）像の空間的な特性が変化した時、像の前のマトリク
   ス中の画素値に基づいて新しいマトリクス中の画素値を
   計算する装置に於て、前記新しいマトリクスの画素を前
   記前のマトリクスに写像する手段と、前のマトリクス内
   の画素からの、新しいマトリクス内の各々の画素のオフ
   セットを決定する手段と、前記前のマトリクス内の隣接
   する画素からの当該中間画素のオフセットに基づいて、
   前のマトリクス内の画素値に加重する係数の表を持って
   いて、前記前のマトリクス中の画素値を用いて、１つの
   軸に沿った多項式補間により、中間画素に対する値を設
   定する手段と、前記中間値を用いて、別の軸に沿った多
   項式補間により、前記新しいマトリクスの各々の画素の
   最終的な値を設定する手段とを有する装置。 ７）特許請求の範囲６）に記載した装置に於て、前記中
   間値を設定する手段及び最終値を設定する手段がプログ
   ラムされた計算機で構成されている装置。 ８）特許請求の範囲６）に記載した装置に於て、前記多
   項式補間がｎ次であり、中間値を求める時に前記前のマ
   トリクスの（ｎ＋１）個の画素値に前記係数を加重し、
   各々の最終値を求める時に（ｎ＋１）個の中間値に加重
   する装置。