JPS62602B2 - - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 本発明は階段形擬似正弦波発生方法に係り、特
に階段レベルを量子化したときの量子化誤差によ
り発生する高調波ひずみのうち任意の高調波を除
去できる階段形擬似正弦波発生方法に関する。

正弦波１周期の時間軸をある自然数で等分し、
その各区間をある一定レベルで置き換えた階段波
で正弦波を模擬できることは周知である。しかし
ながら、従来技術においては、階段レベルの所望
値と実際の値とは誤差（量子化誤差）を生ずるた
め、高周波を生じ、そのため高性能のフイルタを
使用せねばならない欠点があつた。または量子化
誤差を実質的に小さくするために量子化装置のコ
ストが高くなる欠点があつた。

本発明の目的は、量子化誤差があつても、それ
によつて高調波が発生せず、それにより高性能の
フイルタがなくても低ひずみの正弦波を提供でき
る階段形擬似正弦波発生方法を提供することであ
る。

本発明の一実施例によれば、時間軸区分数を高
調波成分を零にしたい高調波の次数の素数の倍数
とすることにより、該高調波成分が零にされる。
以下本発明を詳説する。まず本発明の理解を容易
にするために数式を用いて本発明を説明する。な
お本発明の原理および下記の数式については、例
えば電気検定所技報、1974年、Vo19、No.4、
P164〜172に“高調波の影響を受けない同期整流
について”と題して述べられている。第１図は階
段形擬似正弦波を示した特性図である。図におい
て、ｉ番目の区間の中心の位相角をθｉ、正弦波
をサンプルする位相角をαπ／Ｍ（−１α
１）とすると、階段レベルEiおよび位相角θｉ
は次式で表わされる。

Ei＝sin（θｉ−απ／Ｍ） (1) θｉ＝（２ｉ−１）π／Ｍ＝２π／Ｍ（ｉ−１）＋π／
Ｍ(2) 但し、Ｍは１周期の区分数である。

α＝０のとき階段波は奇関数となり計算が簡単
になるのでα＝０として考える。α≠０のときは
位相が変わるだけで高調波含有率は変わらない。
１周期の時間軸がＭ等分されている階段形擬似正
弦波のフーリエ級数は次式で表わされる。

ここでｉ番目の区間の階段レベルをEiとする
と、第ｎ次のフーリエ係数は ここで、Ei＝sin θｉ（α＝０）のとき、 そして、 Σcos｛（ｎ±１）θｉ｝＝cos｛π／Ｍ（ｎ±１）＋（Ｍ−１）（ｎ±１）π／Ｍ｝・sin（ｎ±１）π／sin^{（ｎ±
１）} _Ｍπ したがつて、ｎ±１≠RM（但し、Ｒは自然
数）のとき Σcos｛（ｎ±１）θｉ｝＝０ (5) ｎ±１＝RMのとき、 Σcos｛（ｎ±１）θｉ｝＝Σcos｛2Rπ（ｉ−１）＋Ｒπ｝＝（−１）^RＭ (6) (5)、(6)式を(4)式に代入し、その結果をさらに(3)式
に代入すると次式が得られる。

ｎ≠RM±１とき An＝bn＝０ (7) ｎ＝RM±１とき An＝bnＭ／ｎπsinπ／Ｍ (8) 上記(7)、(8)式より明らかなように、量子化誤差
が存在しないとすれば高調波はｎ＝RM±１のと
き、即ち（RM±１）次のみとなる。したがつ
て、ひずみ率は となり、分割数に逆比例する。したがつて、分割
数を大にすればこの高調波を除去できることがわ
かる。この（RM±１）次の高調波は理論上から
いつても完全に除去できるものではない。第７Ａ
図は、Ｒ＝１としＭ＝12であるから、ｎ＝11、13
の高調波が現われていることを示している。

しかしながら、上記議論は量子化誤差のない理
想状態を仮定したものであつて、階段レベルを量
子化した場合には量子化誤差が生ずる。ここでい
う量子化誤差とは(1)式で与えられるレベルを真値
としたものである。このように量子化誤差が存在
すると、（RM±１）次以外の高調波が発生す
る。第７Ｂ図は、理論値ａ、ｂ、ｃ（このような
理論値を実回路において実際に設定することはき
わめて困難である。）に対して量子化誤差がある
ため、11、13次高調波以外に３、５、７次高調波
が発生しているのを示している。

そこで次に前記量子化誤差より生ずる高調波お
よび本発明によるその除去方法について考察す
る。一般に階段波の発生は通常０゜から90゜間の
みの階段レベルを設定できるようにし、これを折
返えしと極性反転によつて全周期の波形を作る方
式で行なわれる。したがつて第２図に示すような
位相関係の誤差が最も生じ易い。第２図は量子化
誤差を示した特性図である。ここで、ｉ番目の区
間に絶対値でεｉの誤差があるとする。すなわ
ち、(1)式のEiは次式で表わされる。

Ei＝sin（θｉ−απ／Ｍ）＋εｉ (9) ここで、Σｉによる高調波は振幅εｉの方形波
による高調波に等しく全高調波を含む。εｉによ
つて基本波の振幅も変化するが、εｉが小さいと
きその変化は小さいのでεｉによる高調波を考え
ればよい。高調波は偶数高調波は相殺され、奇数
調波のみとなり(3)式より次式で表わされる。（但
し、α＝０）。

但し、INT（Ｍ／４）はＭ／４の整数部のみを
表わす。

また、Diを量子化後のレベル（第７Ｂ図参
照）とすれば(3)式より 量子化は、振幅を１とし（正規化）、これをＬ分
割して、Ｌ個の量子化階段を仮想設定し、Eiを
適当な量子化階段にまるめる。量子化階段を下か
ら数えて１、２、………ｊ………Ｌ番とする。区
間ｉの量子化階段の番号（レベル）ｊはｉの関数
となり、 Di＝ｊ(i)／Ｌ ゆえに、 (10)から(12)式を巨視的にみれば量子化階段の数Ｌを
増し、量子化誤差を小さくすれば、Anは減少す
る。しかしＬの大きさに伴つて単調には減少しな
い。Ｍについても同様なことがいえる。したがつ
てｎθｉに注目する。今ｎは奇数であるからｎθ
ｉをｈ番目の区間の中心位相角θｈに等しくなる
ようにすればAnを零にできることが推察でき
る。

したがつて、ｎθｉをθｈに集中させる方法に
ついて考察する。既ち、ｎθｉを特定の角度θｈ
で代表できること、例えば第３図（Ｍ＝12）にお
いてｎ＝３の場合、ｎθｉ＝３θ_１、３θ_２、…
……３θ_８等がある特定の角度で代表されること
について考察する。

ｎθｉ＝θｈとすると、 ｎθｉ＝（２ｉ−１）ｎπ／Ｍ＝θｈ＝（２ｈ−１）π
／Ｍ ゆえに、 ｈ＝ni−ｎ−１／２ ｈ＞Ｍのとき位相角の周期性よりｈをh′に置換し
てもよい。

よつて h′＝ni−ｎ−１／２−Ｍ＝ｎ（ｉ−Ｍ／ｎ）−ｎ−１
／２ ＝ni′−ｎ−１／２ （13） したがつて、h′が（13）式を満たすi′をもてば、
ｎθｉは特定のθｈに集中する。すなわち、 i′＝ｉ−Ｍ／ｎからＭ／ｎが整数であれば、ｉ＝１ 〜Ｍに対してsin ｎθｉは特定のsin θｈに集
中する。既ち、Ｍ／ｎが整数であると、ｉが整数
であるから、i′はi′＜ｉの整数となり、ｎθｉは
特定のθｈに集中する。このように、Ｍ／ｎが整
数でなければｉ＝１〜Ｍに対しｎθｉはｈ＝１〜
Ｍの全区間に分布してしまうが、Ｍ／ｎが整数だ
とｎθｉは特定のθｈ（複数）に集中する。ここ
でθｈは複数であるが、三角関数の特性からこれ
らのθｈを０゜から90゜までの区間の位相角に置
換できる。ゆえに、Ｍ／ｎが整数であればという
この性質を利用して、時間軸の区分数Ｍを３、
５、７、………などの素数の倍数（素数を乗じた
数）に選べば、これらの素数およびその倍数の高
調波を取り除き易い。

次に上記方法を用いて実際に任意の高調波を零
にする場合の具体例を示す。

(イ) 第３高調波を零にする。

Ｍは３またはその倍数であればよいが、前述
したように通常階段波は０゜から90゜間のみの
階段レベルを設定できるようにし、折返えしと
極性反転により全周期の波形を作る方式で行う
から、１周期を４分割できるＭ＝12の場合を示
す。第３図はＭ＝12とした場合のｎθｉの関係
を示した特性図である。θｉ＝（2i−１）π／
Ｍ＝（2i−１）π／12より、θ_１＝15゜、θ_２
＝45゜、θ_５＝135゜、θ_８＝225゜、θ₁₂＝
345゜である。よつて３θ_１＝θ_２、３θ_２＝
θ_５＝π−θ_２、３θ_３＝θ_８＝π＋θ_２とな
る。第３図はｎθｉの関係を示した特性図であ
る。したがつて(12)式より、 すなわち、３θｉはθ_２に集中する。即ち、
３θ〓はθ_２で代表できる。したがつて、 ｊ(1)＋ｊ(2)−ｊ(3)＝０ （14） が満たされれば、第３高調波は零となる。α＝
０とし、Diを最も近い量子化階段に機械的に
まるめた場合の結果を第４図に示す。また第５
図および第７Ｃ図は第４図のＭ＝12、Ｌ＝１の
ときの量子化信号を示した図である。第４図よ
り明らかなように、Ｌ＝１という極端な場合で
も（14）式が満たされればA₃＝０となる。第
４図および第７Ｂ図に示すＭ＝12、Ｌ＝15のと
きで機械的に量子化した場合には（第７Ａ，７
Ｂ図に示す理論値ａ、ｂ、ｃに最も近い量子化
レベルに機械的に振当ること）満たされていな
いので、量子化誤差のために第３高調波が生じ
てしまつている。このとき（14）式を満たすよ
うに量子化を変更するのは容易で、例えばｊ(2)
を10とするか、ｊ(3)を15にすればよい。しかし
このような操作をしても第５、７高調波は消す
ことができない。

(ロ) 第３、第５高調波を零にする。

１周期をＭ＝３×５＝15に分割する場合を例
として考える。θｉ＝（2i−１）π／15より、
θ_１＝12゜、θ_２＝36゜、θ_３＝60゜、………
θ₁₄＝324゜、θ₁₅＝348゜となる。第８図は区
分数Ｍ＝15、分割数Ｌ＝15とした場合のsin3θ
ｉ、sin5θｉ、ｊ(i)の各区間における値を示し
た特性図である。

まず第３高調波について考えるに、sin3θｉ
はsinθ_２、sinθ_５、sinθ_８（＝０）で代表
できる。しがつて第(12)式においてｉ＝１〜15と
し、A₃＝０となるためには ｊ(1)−ｊ(5)＋ｊ(6)＝０ （15） ｊ(2)−ｊ(4)＋ｊ(7)＝０ （16） 同様に第５高調波ついて考えるに、sin5θｉ
はsinθ_３、sinθ_８＝（＝０）で代表できる。
したがつて第(12)式より、A₅＝０となるために
は ｊ(1)−ｊ(3)＋ｊ(4)−ｊ(6)＋ｊ(7)＝０ （17） したがつて上記（15）、（16）、（17）式が満足
されれば第３、５高調波を含まない。Ｌ＝15と
し、第８図に示すように量子化レベルｊ(i)を定
める。既ち、量子化レベルを機械的に振当てた
後、ｊ(4)、ｊ(12)が15になるように修正すればよ
い。これにより上記（15）、（16）、（17）式が満
足し、第３、５高調波が零になる。なお、Ｍ＝
２×３×５＝30としてもよいことは勿論であ
る。

第６図は上述した本発明による方法を使用しう
る具体的装置のブロツク図である。１はデジタル
量子化記憶装置であり、正弦波の時間軸をＭ等分
した各区分に対する正弦波振幅値に相当するデジ
タル量を記憶している。この記憶値は前述したよ
うに通常正弦波の０゜から90゜の区間の値であ
る。この記憶値は制御回路９の制御信号により予
め定められた順序でデジタルアナログ（Ｄ／Ａ）
変換器３に印加され、アナログ値に変換される。
Ｄ／Ａ変換器の出力アナログ信号は、極性切換回
路５により、制御回路９の制御信号により適切に
折返し極性反転されてフイルタ７に印加される。
したがつて１周期分を表わす階段形信号がフイル
タ７に印加され、そして階段形信号はフイルタ７
により滑らかにされて正弦波出力信号が送出され
る。ここで、本発明による方法によれば、デジタ
ル量子化記憶装置１内での時間軸の区分数は、高
調波成分を零にしたい高調波の次数の素因数を乗
じた数または該数の倍数となるように選択され、
その選択数（区分数）に応じてデジタル量が記憶
される。例えば、第２、３、４、５、７、８、
９、10高調波及びその倍調波の成分を零にしたい
ときは、これらの素数は２、３、５、７であるか
らその倍数２×３×５×７＝210又は210の倍数を
区分数とする。このとき記憶装置の精度（語長）
を大きくしなくても所要の高調波成分は零にな
る。

以上説明したことより明らかなように本発明に
よる方法を使用すれば階段形擬似正弦波を発生さ
せる際に、量子化誤差より生ずるであろう任意の
高調波成分を除去することができる。特に区分数
が小さく且つ量子化精度が悪くてもよいので、記
憶装置の語数と語長が共に少なくてもよいので経
済的である。

【図面の簡単な説明】

第１図は階段形擬似正弦波を示した特性図、第
２図は階段形擬似正弦波を発生させる場合の量子
化誤差を示した特性図、第３図は時間軸区分数Ｍ
＝12の場合のｎθｉの特性図、第４図は時間軸区
分数Ｍ＝12で、第３高調波を除去するために量子
化した場合の各高調波含有率を示した図、第５図
は第４図におけるＬ＝１の場合の量子化信号を示
した図、第６図は本発明による階段形擬似正弦波
発生方法を適用しうる装置の具体例を示したブロ
ツク図、第７Ａ図は理想的階段波の特性図、第７
Ｂ図および第７Ｃ図は本発明により発生される量
子化階段波の特性図、第７Ｄ、第７Ｅおよび第７
Ｆ図は第７Ａから第７Ｃ図の場合にそれぞれ発生
する高調波を示した図、第８図は時間軸区分数Ｍ
＝12、分割数Ｌ＝15の場合のsin3θｉ、sin5θ
ｉ、ｊ(i)の値を示す図である。 １：デジタル量子化記憶装置、３：デジタル・
アナログ変換器、５：極性切換器、７：フイルタ
９：制御回路。

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. １ 正弦波１周期の時間軸をある自然数で等分し
   て区分数を定め、各区間をある量子化レベルで置
   き換えた階段信号で正弦波を擬似する階段形擬似
   正弦波発生方法において、零にしたい任意の複数
   個の高調波成分の次数に対する素数を乗じた数ま
   たは該数の倍数に前記区分数を定めると共に、前
   記区間のうち特定の複数個の区間における階段信
   号の量子化レベルの組合せを特定の値に設定し、
   且つその総和を零に設定するようにした階段形擬
   似正弦波発生方法。