JPH04177461A - 高速技術計算方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 、１：（７）発明は、コンピュータによる技術計算の高
速化に関するものである。

〔従来の技術〕

第５図（ａ）、（ｂ）は、ＣＱ出版の［Ｃによる科学技
術計算」小池慎−著の２０９ページ〜２１１ページに掲
載されていたＣ言語による複素数演算プログラムである
。

（１）は複素数を表現する形式ｃｏｍｐｌｅｘを定義し
ており、複素数の実数部を倍精度浮動小数点（以降ｄｏ
ｕｂｌｅと略す）のｒｅであられし、虚部をｄｏｕｂｌ
ｅの１ｍであられしている。（２）は（１）で定義した
ｃｏｍｐｌｅｘ型の加算用の関数ｃａｄｄであり、（３
）はｃｏｍｐｌｅｘ型の減算用の関数ｃｓｕｌ、（４）
はｃｏｍｐｌｅｘ型の乗算用の関数ｃｍｕｌであり、（
５）はｃｏｍｐｌｅｘ型の除算用の関数ｃｄｉｖである
。（６）はｃｏｍｐｌｅｘ型の数の絶対値を求める関数
ｃａｂｓであり、　（７）はｄｏｕｂｌｅ型の数２つを
各成分とするｃｏｍｐｌｅｘ型の数を求める関数ｔｏ−
ｃｏｍｐｌｅｘである。

第６図は同じ＜　ｒｃによる科学技術計算」の２１８ペ
ージに掲載されていた複素数演算を用いたＦＦＴプログ
ラムである。（１０）はサブルーチン名ｃｆｆｔの宣言
部、（１１）はピットリバーサル操作部の先頭、（１２
）はバタフライ棟部の先頭を示している。

第７図（ａ）、（ｂ）は第６図を元にして図６のプログ
ラムで省略されていたＦＦＴ演算後の割り翼部を付加し
た実用的な複素数ＦＦＴプログラムである。（１０）〜
（１２）は第６図と同じものであり、（１３）はＦＦＴ
演算後の配列Ｚの要素をｎで割る割り翼部を示している
。第８図は、ピットリバーサル部のフローチャート、第
９図はバタフライ稜部のフローチャート、第１０図は割
り翼部のフローチャートである。

次に動作について説明する。

第５図の（２）の関数ｃａｄｄは複素数の変数ａ。

ｂを引き数として受は取り、その和である複素数Ｚを返
すもので、 Ｚ、ｒｅ（Ｚの実部）＝　ａ　、ｒｅ（ａの実部）＋　
ｂ　、　ｒｅ（ｂの実部）Ｚ、ｉｍ（Ｚの虚部）＝　ａ
　、ｉｍ（ａの虚部）＋　ｂ　、　ｉｍ（ｂの虚部）を
計算している。

第５図の（３）の関数ｃｓｕｂは同様に複素数の差を返
すもので、Ｘ、ｒｅ＝ａ、ｒｅ−ｂ、ｒｅ、　Ｘ、ｉｍ
＝ａ、ｉｍ−ｂ、ｉｍを計算している。

第５図の（４）の関数ｃｍｕｌは同様に複素数の積を返
すもので、 Ｘ、ｒｅ＝ａ、ｒｅＸ　ｂ、ｒｅ　−ａ、ｉｍＸ　ｂ、
ｉｍＸ、ｉｍ＝ａ、ｒｅＸ　ｂ、１ｍ　−ａ、ｉｍＸ　
ｂ、ｒｅを計算している。

第５図の（５）の関数ｃｄｉｖは同様に複素数の商を返
すもので、 を計算している。又、分母がＯの時はエラー表示をする
ようになっている。

第５図の（６）の関数ｃａｂｓはａの絶対値をｄｏｕｂ
ｌｅで返す関数でｌ　ａ　ｌ　＝　（ａ、ｒｅ）　”十
（ａ、ｉｍ）　　を計算している。

第５図の（７）の関数ｔｏｃｏｌＩｌｐｌｅｘはｄｏｕ
ｂｌｅの変数Ｘとｙを引き数として受は取り、これを複
素数Ｚに変換して返す関数でＺ、ｒｅ＝ｘ、Ｚ、ｉｍ＝
ｙを実行している。

第６図、第７図は複素数演算を用いたＦＦＴのプログラ
ムの例である。

第８図は前記のプログラムのピットリバーサル部のフロ
ーチャートであり、第７図の（１１）の部分を説明して
いる。

第９図は前記プログラムのバタフライ演算部のフローチ
ャートであり、第７図の（１２）の部分を説明している
。

第１０図は第７図の（１３）（第６図では省略されてい
る）の割り翼部のフローチャートである。

第７図のＦＦＴプログラムｃｆｆｔに複素数データの配
列Ｚ、ＦＦＴの次数を表わす整数１．ＦＦＴとＲＦＴを
選択する整数の変数ｆ　（ｆ＝１ならＲＦＴ、ｆ−−１
ならＦＦＴが実行される）を引数として与えて実行させ
ると、ｆ−１なら配列Ｚのデータをフーリエ逆変換した
データが配列Ｚに求められる。ｆ＝−１なら、配列Ｚの
データをフーリエ変換したデータが配列Ｚに求められる
。

ＦＦＴプログラムは、離数フーリエ変換を高速で行なう
プログラムで時間的に変化する離数データｇ　（ｋ）の
周波数スペクトルＧ　（ｎ）を、という関係を用いて求
めるプログラムである。但し、Ｎはデータ数で通常Ｚの
ベキ乗で表わされる数（２，４，８，・・・、１２８，
２５６，５１２，１０２４．・・・）とし、ＷＮは６−
ＪＭで表わされる数である。

ＦＦＴプログラムは主に電気信号や機械的信号などがど
のような周波数成分を持つかを求めるのに使われており
、古くは大型コンピュータでしか使われていなかったが
、近年ではパソコン上や測定器上でも使われるようにな
っている。

第５図の（２）〜（７）の複素数演算を使用して複素数
ＦＦＴを記述すると、第７図のように短いプログラムと
なる。

第７図のプログラムをパソコンＰＣ９８０１ＲＸ２上で
ボーランド社のＣコンパイラＴｕｒｂｏ−Ｃを用いて実
行させると、データ数Ｎ　＝　１０２４の時、数値演算
プロセッサがない場合で約１３秒必要であった。

数値演算プロセッサ１８０２８７−１０を付けると、同
じ演算が約３秒で実行できる。但し１８０２８７−１０
は現状では４万円から６万円程度と高価である。

〔発明が解決しようとする課題〕

従来の技術計算方法は、以上のようにＣ言語でサポート
されている倍精度浮動小数点演算で行なわれていた。倍
精度浮動小数点演算では各データを６４ビツトの指数方
式で表現している為、１０進数では１５桁もの高精度が
得られるが、その反面、加減乗除等の基本的な演算でも
整数演算の１００〜１０００倍の時間を要し１データで
８バイトのメモリを要する。この為、従来の技術計算プ
ログラムでは長時間を要しかつ多くのメモリを必要とし
た。浮動小数点演算を高速化する為、数値演算プロセッ
サが存在するが、かなり高価である為、汎用のパーソナ
ルコンピュータ等では実装されていないものが多い。

この発明は、上記のような問題点を解消するためになさ
れたもので、高価な数値演算プロセッサを使わずに、短
時間で結果を求めることができ、かつ必要なメモリの容
量も少ない高速技術計算プログラムを得ることを目的と
する。

〔課題を解決するための手段〕

この発明に係る高速技術計算方法は、データを固定小数
点またはブロック浮動小数点で表わし、整数演算を利用
した固定小数点演算もしくは、ブロック浮動小数点で計
算を行なうものである。

〔作用〕

この発明における高速技術計算方法は、必要以上に高精
度であり多くのメモリを必要とし、演算に長い時間を要
する倍精度浮動小数点演算のかわりに整数演算を利用し
た固定小数点演算又は、データを全データ共通の指数部
又は係数部と各データごとの固定小数点で表わしたブロ
ック浮動小数点で表わし、整数演算を利用したブロック
の浮動小数点演算で行なうことで技術計算を高速化しか
つデータを格納するのに必要なメモリー容量を削減して
いる。

〔実施例〕

以下この発明の一実施例を説明する。

本実施例では、固定小数点を整数を使って表現している
。整数はコンピュータによって表現が異なるが、例えば
パーソナルコンピュータＰＣ：９８０１シリーズ用のＣ
コンパイラＴｕｒｂｏ−Ｃｖｅｒ２．０　（ボーランド
社）では、整数は１６ビツトの符号付き整数型（以降ｉ
ｎｔと略す）を標準としている。１６ビツトの符号付き
整数では２１″通りの数が表現でき最小−３２７６８〜
最大３２７６７が表現できる。

本実施例ではこの整数の１３ビツト目に小数点があるも
のと仮定して整数の８１９２＝　２１３が固定小数点の
１．０１に相当するものと設定した。この固定小数点フ
ォーマットでは、最小−４，０〜最大約３．９９９９が
表現できる。表現できるＯに最も近い数は約０、０００
１２２であり１．０付近の数なら１０進で約４桁分の精
度がある。

この固定小数点での演算は、加減算なら整数と全く同じ
演算で実行できるが、乗算では１．ＯＸｌ、０＝１．０
となる様に調整する必要がある。又、１６ビツトの整数
の積は、最大約１０億となり１６ビツト符号付整数では
表現できなくなる。そこで乗算では、各整数を３２ビッ
ト符号付整数型（以降ｌｏｎｇ　ｉｎｔと略す）に直し
て計算する必要がある。

３２ビット符号付整数では最小約−２億〜最大約２１億
までの数が表現できる。ｌｏｎｇ　ｉｎｔで乗算後８１
９２で割り、ｉｎｔ型に戻してやれば乗算ができる。例
えば、固定小数点数ａ　＝２．０．　ｂ　＝０．５の積
を固定小数点のＣに代入する演算をＣ言語で表記すると
、 ｔｎｔ　　ａ、ｂ、ｃ； ａ＝（ｆｎｔ）　（２，０ｍ８１９２．０）　；ｂ＝（
ｆｎｔ）（０，５１８１９２，０）；ｃ＝（ｉｎｔ）（
（ｌｏｎｇ　　ｉｎｔ）ａｓ（ｌｏｎｇ　　１ｎｔ）ｂ
／８１９２）；となる。但しく１ｎｔ）はｉｎｔへの型
変換を指示するキャスト演算子である。又（ｌｏｎｇ　
１ｎｔ）はｌｏｎｇ　ｉｎｔへの型変換を指示するキャ
スト演算子である。固定小数点の割り算も同様にｌｏｎ
ｇ　ｉｎｔで計算する必要がある９例えばａ　＝１．０
．　　ｂ　＝２．０で８割るｂをＣに代入するには ｉｎｔ　ａ、ｂ、ｃ； ａ＝（ｉｎｔ）（１，Ｏ＊８１９２．Ｏ）；ｂ＝（ｉｎ
ｔ）（２，０零８１９２．Ｏ）；ｃ＝（ｉｎｔ）（（ｌ
ｏｎｇ　　１ｎｔ）ａ本８１９２／（ｌｏｎｇ　　１ｎ
ｔ）ｂ）ＨとＣ言語で記述できる。

このように固定小数点の演算を整数演算の組み合わせで
実行することが可能である。

さらに複素数を２つの固定小数点数で表現することも可
能である。つまり複素数の実部を１つの固定小数点数で
、虚部をもう１つの固定小数点数で表現することができ
る。これをＣ言語でｂｃｏｔｎｐ型と定義すると以下の
ようになる。

ｔｙｐｅｄｅｆ　５ｔｒｕｃｔ（ｉｎｔ　ｘ；　ｉｎｔ
　ｙ；）ｂｃｏｍｐＨｂｃｏｍｐ　Ｚｌ、Ｚ２．Ｚ３； この場合複素数Ｚ１の実部がＺｌ、ｘに、虚部がｚｉ、
ｙに対応する。Ｚ１冨０，７＋Ｊ０．７．　Ｚ２＝０．
５＋Ｊ　Ｏ，８の和をＺ３に代入するには上の定義式に
て宣言した後 Ｚｌ、　ｘ＝（ｉｎｔ）　（０，７零８１９２．０）　
；ｚｌ、ｙ＝（ｉｎｔ）（０，７本８１９２．０）；Ｚ
２．ｘ＝（ｉｎｔ）（０，５零８１９２，０）ｉＺ２．
ｙ＝（ｉｎｔ）（０，８本８１９２．０）：Ｚ３．　ｘ
＝Ｚ１．ｘ＋Ｚ２．　ｘ； Ｚ３．　ｙ＝Ｚ１．　ｙ＋Ｚ２．　ｙ；と書けば良い。

ここで、わかるように浮動小数点型数から固定小数点数
を利用した複素数への変換や、複素数の計算をそのまま
記述すると大変見にくくかつ書くのも大変であるので、
Ｃ言語の関数としてやることが好ましい。

第１図（ａ）、（ｂ）はＣ言語で固定小数点を利用した
複素数計算用のプログラムである。最初の宣言部は上記
説明のものと全く同じである。

（２）の関数ｂｃａｄｄは加算用の関数であり、従来の
実施例の関数ｃａｄｄのｃｏｍｐｌｅｘの部分をｂｃｏ
ｍｐに変えたものである。

（３）の関数ｂｃｓｕｂは減算用の関数であり、これも
従来の実施例の関数ｃｓ　ｕｂのｃｏｍｐｌｅｘの部分
をｂｃｏｍｐに変えたものである。

（４）の関数ｂｃｍｕｌは積を求める関数であり、従来
の実施例の関数ｃｍｕｌのｃｏｍｐｌｅｘの部分をｂｃ
ｏｍｐに変え、さらに実部、虚部各部の乗算を求める左
辺で整数の型をｉｎｔからｌｏｎｇ　ｉｎｔに変換して
から乗算を行ない固定小数点に戻す為、８１９２で割っ
てから型をｉｎｔ型に戻すように書き変えている。

（５）の関数ｂｃｄｉｖは商を求める関数であり、従来
の実施例の関数ｃｄｉｖのｃｏｏ＋ｐｌｅｘをｂｃｏｍ
ｐに変え、整数の型変換を行なっている。固定小数点の
商であるので被除数へ８１９２を乗じてから、除数で割
れば良いのであるが、分子は２つの固定小数点数の積の
和であり、例えば（２，Ｏ＋Ｊ０．０）／　（２，０＋
Ｊ　Ｏ。

０）を計算する場合分子の実部は整数で書けば（１６３
８４）　２＋０＝２６８４３５４５６であり、これに８
１９２を乗すると約２．２Ｘ１０”となりｌｏｎｇ　ｉ
ｎｔでは表現できなくなる。ｌｏｎｇ　１ｎｔの最大値
は約２Ｘ１０”であり、先の例の２６８４３５４５６の
８倍であるので商の計算ではたとえば、被除数及び除数
の絶対値が２以下という条件付きで、分子は８倍までが
可能である。そこで、分子８倍して分母は８１９２÷８
−１０２４で割ってから割り算を実行し、その後ｌｏｎ
ｇ　１ｎｔからｉｎｔ型へ戻すように変更した。この為
、除数の絶対値が整数でｆｉ＝３２固定小数点で０．０
０４より小さいとエラーとなる。この時は、エラー表示
をするようにした。

除算をさらに高速化するには、分子への積をやめて分母
を８１９２で割れば良いが、この場合は除数の絶対値が
整数でｆｉ＃９０固定小数点で０．０１より小さいとエ
ラーとなる。

除算の精度を上げるには、たとえば被除数及び除数の絶
対値を１以下という条件にしてやり、２３１÷（８１９
２）　”＝３２の余裕にして分子を３２倍し、分母を２
５６で割ってから割り算を行なえば良い。

この場合、除数の絶対値が整数で４ｒ２５６＝１６．固
定小数点で０．００２より小さい時エラーとなる。

第１図において（６）は、複素数の絶対値を求める関数
ｂｃａｂｓである。従来の実施例のｃａｂｓのＣ０ｌＤ
−ｐｌｅｘの部分をｂｃｏｍｐにおき変えたものである
。

第２図において（７）は、絶対値が２以下のｄｏｕｂｌ
ｅの数２つをそれぞれ実部、虚部とするｂｃｏｍｐの数
を求める関数ｔａｂｃｏａ＋ｐであり、従来の実施例の
ｔｏｃｏｍｐｌｅｘとほぼ同じであるが、固定小数点フ
ォーマットに直す為に８１９２を掛けている。

（８）は複素数ｂｃｏｍｐＯ数の配列Ｚ［）のｎ個の要
素を２で割るサブルーチンｂｃｎｏｒｍであり、後で述
べるＦＦＴプログラムで使用している。

（９）は同じ（ｂｃｏｍｐの配列Ｚ（）のｎ個１要素を
その各成分（実部、虚部）の絶対値の最大が１以下にな
るように調整するサブルーチンｂｃｎｏｒｍ２である。

Ｍ対価の最大値を１以下にする為にＺ（）の全要素を変
数ｃｏｎ８ｔで割り、配列Ｚ［］の共通の指数部に相当
する変数ａｍｐをｃａｎｓｔ倍している。このサブルー
チンでは、Ｚとａｍｐよりなるブロック浮動小数点フォ
ーマットをサポートシている。

（１０）は、上で述べた複素演算を利用した複素ＦＦＴ
プログラムである。従来の実施例とほぼ同じアルゴリズ
ムであるが、従来の実施例ではデータ数Ｎでの割り算を
プログラムの最後でまとめて行なっていたが、本プログ
ラムではバタフライ積演算を１組行なう度にデータをサ
ブルーチンｂｃｎｏｒｍを使って２で割ることにより、
Ｎでの割り算を実行している。　ＦＦＴプログラムでは
、バタフライ積を１組行なう度にデータの最大値が約２
倍に増える性質があるので固定小数点が途中でオーバー
フローすることがないように毎回２で割ることにより、
Ｎでの割り算を実行させている。

この複素ＦＦＴプログラムのアルゴリズムの異なる部分
を説明しているフローチャートを第１１図、第１２図に
示す。第１１図において（１３）は追加されたｂｃｎｏ
ｒｍサブルーチンの実行位置を示している。第９図の従
来のプログラムで■で示すＮでの割り算プログラムへ移
行するかわりに、第１１図ではサブルーチンを終了して
メインプログラムへ戻っている。

図１２はｂｃｎｏｒｍサブルーチンのアルゴリズムを示
すフローチャートで、配列Ｚの各要素を２で割っている
。この様に固点小数点フォーマットの複素数ｂｃｍｐを
使って加減乗除算や、複素数ＦＦＴが実現できる。

第４図は、上記の複素数ＦＦＴプログラムをテストする
為に作られたＣ言語のメインプログラムであり、１０２
４個のデータの実部がサインカーブを描くよう設定し、
虚部は全て０になるよう設定し、複素数ＦＦＴプログラ
ムを実行している。

つまり、時間軸で正弦振動をしているようなデータを入
力した時の周波数スペクトラムを求めいている。

ｐｒＪｉｍｅというサブルーチンは時刻を表示するプロ
グラムで二〇ＦＦＴプログラムで消費した時間を求めさ
せている。

このメインプログラムを実行させて時間を測った結果１
０２４点のＦＦＴが約２秒で完了した。

従来の実施例に比べて約６倍の高速化が実現できた。数
値演算プロセッサを使用したものよりも少し速い、但し
精度は２桁〜３桁程度である。例えば、８ビツトのＡ／
Ｄコンバータ等で入力されたデータの処理用としてはこ
の精度は充分な値であると思われる。又結果を画面（４
００ドツト×６４０ドツト）にグラフィック表示するよ
うなアプリケーションプログラムでも、これだけの精度
があれば十分である。

なお、上記実施例ではＣ言語上でプログラムを記述した
がＰＡＳＣＡＬ等の他の構造化した高級言語でも同様の
プログラムが作成できる。

又、上記実施例ではＦＦＴを実行するプログラムを記述
したが、同じような複数個のデータを処理する技術計算
プログラムなら同様の手法で高速化が可能である。

又、上記実施例ではＦＦＴを複素数演算を用いて計算し
ているが、複素数の実数部と虚数部のデータを分けてそ
れぞれ別の配列にして、通常の実数演算を用いて計算す
ることも可能である。

又、上記実施例で使用したデータの複素数表現、複素数
演算を用いて各種の技術計算を行なうことも可能である
が、技術計算の種類によっては固定小数点の精度が１０
進数で約４桁である為、演算中に大きな誤差を生じる場
合があるので注意が必要である。

〔発明の効果〕

以上のようにこの発明によれば、数値演算を整数演算を
利用してブロック浮動小数点フォーマットで行なったの
で、高価な数値演算プロセッサを使うことなく、高速で
技術計算を行なうことができ、かつ必要とするメモリ容
量も削減することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図はこの発明の一実施例による複素数の加減乗除と
絶対値を求める関数の方法を示す図、第２図はこの発明
の一実施例による複素数の処理方法を示す図、第３図は
この発明の一実施例による複素ＦＦＴを示す図、第４図
はこの発明の一実施例による図、第５図は従来の複素数
演算用関数の図、第６図は従来の複素数演算を用いたＦ
ＦＴ図、第７図は従来の実用的な複素数ＦＦＴ図、第８
図は従来及びこの発明の一実施例共通の複素数ＦＦＴプ
ログラムのピットリバーサル部のフローチャート、第９
図は従来の複素数ＦＦＴプログラムのバタフライ種部の
フローチャート、第１０図は従来の複素数ＦＦＴプログ
ラムの割り算部のフローチャート、第１１図はこの発明
の一実施例による複素数ＦＦＴプログラムのバタフライ
種部のフローチャート、第１２図はこの発明の一実施例
による複素数ＦＦＴプログラムのサブルーチンＢＣＮＯ
ＲＨのフローチャートである。 （１）は複素数の構造体宣言、（２）は複素数の加算用
関数、（３）は複素数の減算用関数、（４）は複素数の
乗算用関数、（５）は複素数の除算用関数、（６）は複
素数の絶対値を求める関数、　（７）は実数２つから複
素数を作る関数、（８）は複素数の配列のｎ個の要素を
２で割るサブルーチン、（９）は複素数の配列の要素の
各成分の最大値を１より小さくするサブルーチン、（１
０）は複素数ＦＦＴサブルーチン、（１１）はピットリ
バーサル部、（１２）はバタフライ種部、（１３）は割
り算部を示す。 なお、図中、同一符号は同一もしくは相当部分を示す。

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. 構造化された汎用の高級言語上で、複数個のデータを処
   理する技術計算において、整数演算を利用したブロック
   化浮動小数点演算もしくは固定小数点演算を用いたこと
   を特徴とする、高速技術計算方法。