JPH04223577A - ３次ベジェ曲線の描画方法 - Google Patents
３次ベジェ曲線の描画方法Info
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- JPH04223577A JPH04223577A JP40634390A JP40634390A JPH04223577A JP H04223577 A JPH04223577 A JP H04223577A JP 40634390 A JP40634390 A JP 40634390A JP 40634390 A JP40634390 A JP 40634390A JP H04223577 A JPH04223577 A JP H04223577A
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- 238000010586 diagram Methods 0.000 description 8
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- 230000000694 effects Effects 0.000 description 1
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Abstract
(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。
め要約のデータは記録されません。
Description
【０００１】
【産業上の利用分野】この発明は、始点、終点、および
２つの制御点の４点で定義される３次ベジェ曲線を再帰
分割し、分割後の各セグメントが予め設定された許容値
より平坦であると判断された時点で分割を止めてこれを
始点と終点を結ぶ直線で近似して描画する３次ベジェ曲
線の描画方法に関し、特に上記平坦の判断の基準に関す
る。
２つの制御点の４点で定義される３次ベジェ曲線を再帰
分割し、分割後の各セグメントが予め設定された許容値
より平坦であると判断された時点で分割を止めてこれを
始点と終点を結ぶ直線で近似して描画する３次ベジェ曲
線の描画方法に関し、特に上記平坦の判断の基準に関す
る。
【０００２】
【従来の技術】一般に、始点、終点、および２つの制御
点の４点で定義される３次ベジェ曲線は、形状を変える
ことなく２つの３次ベジェ曲線に分割できることが知ら
れている。特に、３次ベジェ曲線をＰ（ｔ） （０≦ｔ
≦１）なるパラメトリック曲線で表現した際のＰ（０．
５） なる点において２つの３次ベジェ曲線に分割する
方法は、手続も容易でありよく用いられている。
点の４点で定義される３次ベジェ曲線は、形状を変える
ことなく２つの３次ベジェ曲線に分割できることが知ら
れている。特に、３次ベジェ曲線をＰ（ｔ） （０≦ｔ
≦１）なるパラメトリック曲線で表現した際のＰ（０．
５） なる点において２つの３次ベジェ曲線に分割する
方法は、手続も容易でありよく用いられている。
【０００３】例えば、図５に示す４点Ｐ０ ，Ｐ１ ，
Ｐ２ ，Ｐ３ で定義される３次ベジェ曲線は形状を変
えることなく２つの３次ベジェ曲線、すなわち４点Ｐ０
，Ｑ０１，Ｒ１ ，Ｒ２ で定義される３次ベジェ曲
線および４点Ｒ２ ，Ｒ３ ，Ｑ２３，Ｐ３ で定義さ
れる３次ベジェ曲線に分割できる。ここで、 Ｑ０１＝（Ｐ０ ＋Ｐ１ ）／２ Ｒ１ ＝（Ｐ０ ＋２Ｐ１ ＋Ｐ２ ）／４Ｒ２ ＝｛
Ｐ０ ＋３（Ｐ１ ＋Ｐ２ ）＋Ｐ３ ｝／４Ｒ３ ＝
（Ｐ１ ＋２Ｐ２ ＋Ｐ３ ）／４Ｑ２３＝（Ｐ２ ＋
Ｐ３ ）／２ である。
Ｐ２ ，Ｐ３ で定義される３次ベジェ曲線は形状を変
えることなく２つの３次ベジェ曲線、すなわち４点Ｐ０
，Ｑ０１，Ｒ１ ，Ｒ２ で定義される３次ベジェ曲
線および４点Ｒ２ ，Ｒ３ ，Ｑ２３，Ｐ３ で定義さ
れる３次ベジェ曲線に分割できる。ここで、 Ｑ０１＝（Ｐ０ ＋Ｐ１ ）／２ Ｒ１ ＝（Ｐ０ ＋２Ｐ１ ＋Ｐ２ ）／４Ｒ２ ＝｛
Ｐ０ ＋３（Ｐ１ ＋Ｐ２ ）＋Ｐ３ ｝／４Ｒ３ ＝
（Ｐ１ ＋２Ｐ２ ＋Ｐ３ ）／４Ｑ２３＝（Ｐ２ ＋
Ｐ３ ）／２ である。
【０００４】このように、３次ベジェ曲線は分割を繰り
返し再帰的に適用することで、際限なく細分することが
できる。この３次ベジェ曲線の性質は３次ベジェ曲線を
描画する際に利用される。つまり、描画しようとする３
次ベジェ曲線を再帰分割し、分割後の各セグメントが予
め設定しておいた許容値より平坦であると判断された時
点でこの分割を止め、このときの各セグメントを始点と
終点を結ぶ直線で近似して描画することにより、近似的
な３次ベジェ曲線を描くことができる。この平坦を判断
する許容値は一般にフラットネスと呼ばれ、このフラッ
トネスの値が小さくなるほど滑らかな３次ベジェ曲線を
得ることができる。
返し再帰的に適用することで、際限なく細分することが
できる。この３次ベジェ曲線の性質は３次ベジェ曲線を
描画する際に利用される。つまり、描画しようとする３
次ベジェ曲線を再帰分割し、分割後の各セグメントが予
め設定しておいた許容値より平坦であると判断された時
点でこの分割を止め、このときの各セグメントを始点と
終点を結ぶ直線で近似して描画することにより、近似的
な３次ベジェ曲線を描くことができる。この平坦を判断
する許容値は一般にフラットネスと呼ばれ、このフラッ
トネスの値が小さくなるほど滑らかな３次ベジェ曲線を
得ることができる。
【０００５】この３次ベジェ曲線を直線に近似して描く
方法は各セグメントを平坦と判断する基準が重要になる
。この３次ベジェ曲線の各セグメントが平坦と判断する
基準は、従来、以下に示すような方法がとられていた。 なお、以下の説明において４点Ｐ０ ，Ｐ１ ，Ｐ２
，Ｐ３ で定義される３次ベジェ曲線は曲線Ｐ（ｔ）
（０≦ｔ≦１）で表わされるものとする。
方法は各セグメントを平坦と判断する基準が重要になる
。この３次ベジェ曲線の各セグメントが平坦と判断する
基準は、従来、以下に示すような方法がとられていた。 なお、以下の説明において４点Ｐ０ ，Ｐ１ ，Ｐ２
，Ｐ３ で定義される３次ベジェ曲線は曲線Ｐ（ｔ）
（０≦ｔ≦１）で表わされるものとする。
【０００６】従来用いられていた３次ベジェ曲線を平坦
と判断する第１の方法は、図６に示すように曲線Ｐ（ｔ
） 上の点Ｐ（０．５） と直線Ｐ０Ｐ３ の中点Ｑと
の距離ｄを求め、この距離ｄと予め設定されていた許容
値ｄＭＡＸ との間に ｄ＜ｄＭＡＸ が成立すると、この３次ベジェ曲線は平坦であると判断
する。
と判断する第１の方法は、図６に示すように曲線Ｐ（ｔ
） 上の点Ｐ（０．５） と直線Ｐ０Ｐ３ の中点Ｑと
の距離ｄを求め、この距離ｄと予め設定されていた許容
値ｄＭＡＸ との間に ｄ＜ｄＭＡＸ が成立すると、この３次ベジェ曲線は平坦であると判断
する。
【０００７】また、第２の方法は、図７に示すように、
３次ベジェ曲線を定義する４点Ｐ０ ，Ｐ１ ，Ｐ２
，Ｐ３ のバウンディングボックス（ｘ１１，ｙ１１）
−（ｘｕｒ，ｙｕｒ）を（ｘｕｒ，ｙｕｒ）を形成する
はバウンディングボックスの右上隅の座標を示す。この
とき ｘｕｒ−ｘ１１＜ｄＭＡＸ または ｙｕｒ−ｙ１１＜ｄＭＡＸ であれば、この３次ベジェ曲線は平坦であると判断する
。
３次ベジェ曲線を定義する４点Ｐ０ ，Ｐ１ ，Ｐ２
，Ｐ３ のバウンディングボックス（ｘ１１，ｙ１１）
−（ｘｕｒ，ｙｕｒ）を（ｘｕｒ，ｙｕｒ）を形成する
はバウンディングボックスの右上隅の座標を示す。この
とき ｘｕｒ−ｘ１１＜ｄＭＡＸ または ｙｕｒ−ｙ１１＜ｄＭＡＸ であれば、この３次ベジェ曲線は平坦であると判断する
。
【０００８】
【発明が解決しようとする課題】しかし、このような従
来の方法は以下に示すような欠点がある。
来の方法は以下に示すような欠点がある。
【０００９】すなわち、上記第１の方法は、図８（ａ）
に示すように３次ベジェ曲線Ｐ（ｔ） が、かまぼこ型
の場合はよいが、図８（ｂ）に示すように３次ベジェ曲
線Ｐ（ｔ） が、直線Ｐ０ Ｐ３と交わるような場合は
、曲線Ｐ（ｔ） 上の点Ｐ（０．５） と直線Ｐ０ Ｐ
３ の中点Ｑとの距離ｄは非常に小さくなり、曲線Ｐ（
ｔ） が平坦でないのにもかかわらず、関係ｄ＜ｄＭＡ
Ｘ が成立し、曲線Ｐ（ｔ） を平坦であると判断して
しまう。この場合は、３次ベジェ曲線の分割が十分では
ないにもかかわらず、分割を止めてしまうことになり、
結局所望の滑らかな近似３次ベジェ曲線を得ることがで
きない。
に示すように３次ベジェ曲線Ｐ（ｔ） が、かまぼこ型
の場合はよいが、図８（ｂ）に示すように３次ベジェ曲
線Ｐ（ｔ） が、直線Ｐ０ Ｐ３と交わるような場合は
、曲線Ｐ（ｔ） 上の点Ｐ（０．５） と直線Ｐ０ Ｐ
３ の中点Ｑとの距離ｄは非常に小さくなり、曲線Ｐ（
ｔ） が平坦でないのにもかかわらず、関係ｄ＜ｄＭＡ
Ｘ が成立し、曲線Ｐ（ｔ） を平坦であると判断して
しまう。この場合は、３次ベジェ曲線の分割が十分では
ないにもかかわらず、分割を止めてしまうことになり、
結局所望の滑らかな近似３次ベジェ曲線を得ることがで
きない。
【００１０】また、第２の方法は、直線Ｐ０ Ｐ３の方
向が図７（ａ）に示すように、水平または垂直に近い場
合はよいが、直線Ｐ０ Ｐ３の方向が図７（ｂ）に示す
ようにバウンディングボックスの対角線の方向に向かっ
ていると、実際は曲線Ｐ（ｔ） が平坦になっても、こ
れを平坦と判断しない。この場合は、必要以上に分割が
行われることになり近似３次ベジェ曲線を描画するため
の処理量が増大してしまう。
向が図７（ａ）に示すように、水平または垂直に近い場
合はよいが、直線Ｐ０ Ｐ３の方向が図７（ｂ）に示す
ようにバウンディングボックスの対角線の方向に向かっ
ていると、実際は曲線Ｐ（ｔ） が平坦になっても、こ
れを平坦と判断しない。この場合は、必要以上に分割が
行われることになり近似３次ベジェ曲線を描画するため
の処理量が増大してしまう。
【００１１】そこで、この発明は３次ベジェ曲線の各セ
グメントを適格に平坦と判断することができ、必要以上
に処理量が増大せず、かつ確実に滑らかな近似３次ベジ
ェ曲線を得ることができる３次ベジェ曲線の描画方法を
提供することを目的とする。
グメントを適格に平坦と判断することができ、必要以上
に処理量が増大せず、かつ確実に滑らかな近似３次ベジ
ェ曲線を得ることができる３次ベジェ曲線の描画方法を
提供することを目的とする。
【００１２】
【課題を解決するための手段】上記目的を達成するため
、この発明によれば、３次ベジェ曲線の各セグメントを
平坦であると判断する基準を、始点Ｐ０ と終点Ｐ３
とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ と、制御点Ｐ１ 、制御点Ｐ
２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ２ のいずれもが予め設
定された許容値ｄＭＡＸ より小さくなるとすることを
特徴とする。
、この発明によれば、３次ベジェ曲線の各セグメントを
平坦であると判断する基準を、始点Ｐ０ と終点Ｐ３
とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ と、制御点Ｐ１ 、制御点Ｐ
２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ２ のいずれもが予め設
定された許容値ｄＭＡＸ より小さくなるとすることを
特徴とする。
【００１３】また、この発明によれば、３次ベジェ曲線
の各セグメントを平坦であると判断する基準を、始点Ｐ
０ と終点Ｐ３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ の中点Ｑと
、制御点Ｐ１ 、制御点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、
ｄ２ のいずれもが予め設定された許容値ｄＭＡＸ よ
り小さくなるとすることを特徴とする。
の各セグメントを平坦であると判断する基準を、始点Ｐ
０ と終点Ｐ３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ の中点Ｑと
、制御点Ｐ１ 、制御点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、
ｄ２ のいずれもが予め設定された許容値ｄＭＡＸ よ
り小さくなるとすることを特徴とする。
【００１４】
【作用】始点Ｐ０ と終点Ｐ３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ
３ と、制御点Ｐ１ 、制御点Ｐ２ との２つの距離ｄ
１ 、ｄ２ のいずれもが予め設定された許容値ｄＭＡ
Ｘ より小さくなった場合、または始点Ｐ０ と終点Ｐ
３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ の中点Ｑと、制御点Ｐ１
、制御点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ２ のいず
れもが予め設定された許容値ｄＭＡＸ より小さくなっ
た場合、またはその両者が成立した場合は、再帰的に分
割した３次ベジェ曲線の各セグメントを平坦であると判
断し、この分割を止め、それぞれのセグメントを直線で
近似して３次ベジェ曲線を描画する。
３ と、制御点Ｐ１ 、制御点Ｐ２ との２つの距離ｄ
１ 、ｄ２ のいずれもが予め設定された許容値ｄＭＡ
Ｘ より小さくなった場合、または始点Ｐ０ と終点Ｐ
３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ の中点Ｑと、制御点Ｐ１
、制御点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ２ のいず
れもが予め設定された許容値ｄＭＡＸ より小さくなっ
た場合、またはその両者が成立した場合は、再帰的に分
割した３次ベジェ曲線の各セグメントを平坦であると判
断し、この分割を止め、それぞれのセグメントを直線で
近似して３次ベジェ曲線を描画する。
【００１５】
【実施例】まず、この発明の３次ベジェ曲線の描画方法
の一実施例における３次ベジェ曲線の描画原理について
説明する。この発明における３次ベジェ曲線の描画方法
は、３次ベジェ曲線の再帰分割の方法とフラットネスの
概念を利用することにより、描画しようとする３次ベジ
ェ曲線を複数の直線で近似して描画する。すなわち、ま
ず、描画しようとする３次ベジェ曲線を再帰的に分割し
、それぞれ３次ベジェ曲線からなる複数のセグメントを
求める。そして各分割の操作毎に分割したセグメントの
フラットネスを判断する。このフラットネスの判断にお
いて、分割したセグメントが一定のフラットネスの条件
を満足していないと更に３次ベジェ曲線の再帰的分割を
進め、分割したセグメントが一定のフラットネスの条件
を満足するとこの３次ベジェ曲線の再帰的分割を止め、
分割した各セグメントを構成する３次ベジェ曲線をそれ
ぞれ直線で近似し、これによって描画しようとする３次
ベジェ曲線の描画を行う。
の一実施例における３次ベジェ曲線の描画原理について
説明する。この発明における３次ベジェ曲線の描画方法
は、３次ベジェ曲線の再帰分割の方法とフラットネスの
概念を利用することにより、描画しようとする３次ベジ
ェ曲線を複数の直線で近似して描画する。すなわち、ま
ず、描画しようとする３次ベジェ曲線を再帰的に分割し
、それぞれ３次ベジェ曲線からなる複数のセグメントを
求める。そして各分割の操作毎に分割したセグメントの
フラットネスを判断する。このフラットネスの判断にお
いて、分割したセグメントが一定のフラットネスの条件
を満足していないと更に３次ベジェ曲線の再帰的分割を
進め、分割したセグメントが一定のフラットネスの条件
を満足するとこの３次ベジェ曲線の再帰的分割を止め、
分割した各セグメントを構成する３次ベジェ曲線をそれ
ぞれ直線で近似し、これによって描画しようとする３次
ベジェ曲線の描画を行う。
【００１６】この実施例においては上記フラットネスの
判断を以下のようにして行う。
判断を以下のようにして行う。
【００１７】すなわち、分割した各セグメントを構成す
る３次ベジェ曲線が、図１に示すように、始点Ｐ０ 、
終点Ｐ３ 、および２つの制御点Ｐ１、Ｐ２ の４点で
定義される３次ベジェ曲線となったとする。この３次ベ
ジェ曲線は、四辺形Ｐ０ Ｐ１ Ｐ２ Ｐ３ または四
辺形Ｐ０ Ｐ２ Ｐ１ Ｐ３ に包含されることが知ら
れている。
る３次ベジェ曲線が、図１に示すように、始点Ｐ０ 、
終点Ｐ３ 、および２つの制御点Ｐ１、Ｐ２ の４点で
定義される３次ベジェ曲線となったとする。この３次ベ
ジェ曲線は、四辺形Ｐ０ Ｐ１ Ｐ２ Ｐ３ または四
辺形Ｐ０ Ｐ２ Ｐ１ Ｐ３ に包含されることが知ら
れている。
【００１８】そこで、この３次ベジェ曲線のフラットネ
スｄを３次ベジェ曲線と直線Ｐ０ Ｐ３ との距離の最
大値と定義すると、次の関係が成り立つ。
スｄを３次ベジェ曲線と直線Ｐ０ Ｐ３ との距離の最
大値と定義すると、次の関係が成り立つ。
【００１９】ｄ１ ≧ｄ
または
ｄ２ ≧ｄ
ここで、ｄ１ 、ｄ２ はそれぞれ制御点Ｐ１ 、Ｐ２
と直線Ｐ０ Ｐ３ との距離である。
と直線Ｐ０ Ｐ３ との距離である。
【００２０】そこで、この実施例においてはフラットネ
スの閾値をｄＭＡＸ としたとき、 ｄ１ ＜ｄＭＡＸ と ｄ２ ＜ｄＭＡＸ の２つの条件がともに満足したとき、この３次ベジェ曲
線を平坦と判断し、この時点で３次ベジェ曲線の再帰的
分割を止め、分割した各セグメントを構成する３次ベジ
ェ曲線をそれぞれ直線Ｐ０ Ｐ３ で近似して３次ベジ
ェ曲線を描画する。
スの閾値をｄＭＡＸ としたとき、 ｄ１ ＜ｄＭＡＸ と ｄ２ ＜ｄＭＡＸ の２つの条件がともに満足したとき、この３次ベジェ曲
線を平坦と判断し、この時点で３次ベジェ曲線の再帰的
分割を止め、分割した各セグメントを構成する３次ベジ
ェ曲線をそれぞれ直線Ｐ０ Ｐ３ で近似して３次ベジ
ェ曲線を描画する。
【００２１】このような構成によると、従来の方法にお
いては平坦の判断を誤ってしまう図８（ｂ）に示すよう
な場合にも正しく平坦の判断を行うことができる。また
、図７（ｂ）に示したような場合でも必要以上に細かく
再帰的分割をすすめてしまう不都合も生じない。
いては平坦の判断を誤ってしまう図８（ｂ）に示すよう
な場合にも正しく平坦の判断を行うことができる。また
、図７（ｂ）に示したような場合でも必要以上に細かく
再帰的分割をすすめてしまう不都合も生じない。
【００２２】図２は、上述した原理にもとづき構成した
グラフィック描画装置を示したものである。このグラフ
ィック描画装置においては３次ベジェ曲線と直線からな
るグラフィックデータを描画する。
グラフィック描画装置を示したものである。このグラフ
ィック描画装置においては３次ベジェ曲線と直線からな
るグラフィックデータを描画する。
【００２３】描画を指示する描画コマンド１０は、まず
、描画コマンド選択部１１に取り込まれる。ここで、描
画コマンド１０が直線の描画を指示するものであると、
描画コマンド選択部１１はこの直線の始点Ｐ０ と終点
Ｐ１ を示すデータを直線描画部１４に送る。直線描画
部１４はこれにより始点Ｐ０ と終点Ｐ１ を結ぶ点列
を発生しこれを画像メモリー部１５に書き込む。これに
より始点Ｐ０ 、と終点Ｐ１ とする直線が描画される
。
、描画コマンド選択部１１に取り込まれる。ここで、描
画コマンド１０が直線の描画を指示するものであると、
描画コマンド選択部１１はこの直線の始点Ｐ０ と終点
Ｐ１ を示すデータを直線描画部１４に送る。直線描画
部１４はこれにより始点Ｐ０ と終点Ｐ１ を結ぶ点列
を発生しこれを画像メモリー部１５に書き込む。これに
より始点Ｐ０ 、と終点Ｐ１ とする直線が描画される
。
【００２４】次に、描画コマンド１０が３次ベジェ曲線
の描画を指示するものであると、この３次ベジェ曲線を
定義する始点Ｐ０ 、終点Ｐ３ 、および２つの制御点
Ｐ１ 、Ｐ２ の４点Ｐ０ 、Ｐ１ 、Ｐ２、Ｐ３ を
示すデータは平坦処理部１２に送られ、この３次ベジェ
曲線が平坦であるかの判断がなされる。ここで平坦でな
いと判断されると、この３次ベジェ曲線を定義する４点
Ｐ０ 、Ｐ１ 、Ｐ２ 、Ｐ３ のデータはベジェ曲線
分割部１３に送られ、この４点Ｐ０ 、Ｐ１ 、Ｐ２
、Ｐ３ で定義される３次ベジェ曲線は２つの３次ベジ
ェ曲線に分割される。この分割された３次ベジェ曲線を
定義する４点のデータは再び平坦処理部１２に送られ、
この３次ベジェ曲線が平坦であるかの判断がなされる。 この動作を平坦処理部１２で平坦と判断されるまで再帰
的に繰り返す。
の描画を指示するものであると、この３次ベジェ曲線を
定義する始点Ｐ０ 、終点Ｐ３ 、および２つの制御点
Ｐ１ 、Ｐ２ の４点Ｐ０ 、Ｐ１ 、Ｐ２、Ｐ３ を
示すデータは平坦処理部１２に送られ、この３次ベジェ
曲線が平坦であるかの判断がなされる。ここで平坦でな
いと判断されると、この３次ベジェ曲線を定義する４点
Ｐ０ 、Ｐ１ 、Ｐ２ 、Ｐ３ のデータはベジェ曲線
分割部１３に送られ、この４点Ｐ０ 、Ｐ１ 、Ｐ２
、Ｐ３ で定義される３次ベジェ曲線は２つの３次ベジ
ェ曲線に分割される。この分割された３次ベジェ曲線を
定義する４点のデータは再び平坦処理部１２に送られ、
この３次ベジェ曲線が平坦であるかの判断がなされる。 この動作を平坦処理部１２で平坦と判断されるまで再帰
的に繰り返す。
【００２５】平坦処理部１２で３次ベジェ曲線、すなわ
ち分割されたセグメントが平坦であると判断されると、
この３次ベジェ曲線の始点Ｐ０ と終点Ｐ３ を示すデ
ータを直線描画部１４に送出する。これにより、直線描
画部１４は始点Ｐ０ と終点Ｐ３ を結ぶ点列を発生し
これを画像メモリー部１５に書き込み、始点Ｐ０ 、と
終点Ｐ３ とする直線Ｐ０ Ｐ３が描画される。このよ
うにして再帰分割された全ての３次ベジェ曲線に対応す
る直線Ｐ０ Ｐ３ が描画されると、直線により近似さ
れた３次ベジェ曲線の描画が完了する。
ち分割されたセグメントが平坦であると判断されると、
この３次ベジェ曲線の始点Ｐ０ と終点Ｐ３ を示すデ
ータを直線描画部１４に送出する。これにより、直線描
画部１４は始点Ｐ０ と終点Ｐ３ を結ぶ点列を発生し
これを画像メモリー部１５に書き込み、始点Ｐ０ 、と
終点Ｐ３ とする直線Ｐ０ Ｐ３が描画される。このよ
うにして再帰分割された全ての３次ベジェ曲線に対応す
る直線Ｐ０ Ｐ３ が描画されると、直線により近似さ
れた３次ベジェ曲線の描画が完了する。
【００２６】ところで、この実施例において、平坦処理
部１２では図１で説明した方法により３次ベジェ曲線の
平坦を判断する。
部１２では図１で説明した方法により３次ベジェ曲線の
平坦を判断する。
【００２７】すなわち、直線Ｐ０ Ｐ３ と制御点Ｐ１
、Ｐ２とのそれぞれの距離ｄ１ 、ｄ２ を次式ｄ１
＝｜Ｐ０ｘ（Ｐ３ｙ−Ｐ１ｙ）＋Ｐ１ｘ（Ｐ０ｙ−Ｐ
３ｙ）＋Ｐ３ｘ（Ｐ１ｙ−Ｐ０ｙ）｜／［２｛ （Ｐ０
ｘ−Ｐ３ｘ）２ ＋（Ｐ０ｙ−Ｐ３ｙ）２ ｝ １／２
］ｄ２＝｜Ｐ０ｘ（Ｐ３ｙ−Ｐ２ｙ）＋Ｐ２ｘ（Ｐ０
ｙ−Ｐ３ｙ）＋Ｐ３ｘ（Ｐ２ｙ−Ｐ０ｙ）｜／［２｛
（Ｐ０ｘ−Ｐ３ｘ）２ ＋（Ｐ０ｙ−Ｐ３ｙ）２ ｝
１／２ ］（ここで、点Ｐ０ 、Ｐ１ 、Ｐ２ 、Ｐ３
の座標をそれぞれＰ０（Ｐ０ｘ，Ｐ０ｙ）、Ｐ１（Ｐ
１ｘ，Ｐ１ｙ）、Ｐ２（Ｐ２ｘ，Ｐ２ｙ）、Ｐ３（Ｐ３
ｘ，Ｐ３ｙ）とする）で求め、これら距離ｄ１ 、ｄ２
を予め設定してある閾値ｄＭＡＸ と比較し、 ｄ１ ＜ｄＭＡＸ かつ ｄ２ ＜ｄＭＡＸ のとき、始点Ｐ０ 、終点Ｐ３ 、および２つの制御点
Ｐ１ 、Ｐ２ で定義される３次ベジェ曲線を平坦と判
断する。
、Ｐ２とのそれぞれの距離ｄ１ 、ｄ２ を次式ｄ１
＝｜Ｐ０ｘ（Ｐ３ｙ−Ｐ１ｙ）＋Ｐ１ｘ（Ｐ０ｙ−Ｐ
３ｙ）＋Ｐ３ｘ（Ｐ１ｙ−Ｐ０ｙ）｜／［２｛ （Ｐ０
ｘ−Ｐ３ｘ）２ ＋（Ｐ０ｙ−Ｐ３ｙ）２ ｝ １／２
］ｄ２＝｜Ｐ０ｘ（Ｐ３ｙ−Ｐ２ｙ）＋Ｐ２ｘ（Ｐ０
ｙ−Ｐ３ｙ）＋Ｐ３ｘ（Ｐ２ｙ−Ｐ０ｙ）｜／［２｛
（Ｐ０ｘ−Ｐ３ｘ）２ ＋（Ｐ０ｙ−Ｐ３ｙ）２ ｝
１／２ ］（ここで、点Ｐ０ 、Ｐ１ 、Ｐ２ 、Ｐ３
の座標をそれぞれＰ０（Ｐ０ｘ，Ｐ０ｙ）、Ｐ１（Ｐ
１ｘ，Ｐ１ｙ）、Ｐ２（Ｐ２ｘ，Ｐ２ｙ）、Ｐ３（Ｐ３
ｘ，Ｐ３ｙ）とする）で求め、これら距離ｄ１ 、ｄ２
を予め設定してある閾値ｄＭＡＸ と比較し、 ｄ１ ＜ｄＭＡＸ かつ ｄ２ ＜ｄＭＡＸ のとき、始点Ｐ０ 、終点Ｐ３ 、および２つの制御点
Ｐ１ 、Ｐ２ で定義される３次ベジェ曲線を平坦と判
断する。
【００２８】なお、
ｄ１ ＜ｄＭＡＸ
かつ
ｄ２ ＜ｄＭＡＸ
の判断は、各式の両辺に
２｛ （Ｐ０ｘ−Ｐ３ｘ）２ ＋（Ｐ０ｙ−Ｐ３ｙ）２
｝ １／２ をかけ、更に２乗することで、一般に低
速な割算、平方根の各演算を避けることができる。
｝ １／２ をかけ、更に２乗することで、一般に低
速な割算、平方根の各演算を避けることができる。
【００２９】ところで、上記実施例の方法によると、図
３に２つの制御点Ｐ１、Ｐ２ が始点Ｐ０ 、終点Ｐ３
の外側にあり、かつ制御点Ｐ１ 、Ｐ２ および始点
Ｐ０ 、終点Ｐ３ がほぼ一直線上に配列してしまった
ような場合は、始点Ｐ０ 、終点Ｐ３ 、および２つの
制御点Ｐ１ 、Ｐ２ で定義される３次ベジェ曲線が十
分平坦になっていないにもかかわらず、直線Ｐ０ Ｐ３
と制御点Ｐ１ 、Ｐ２ とのそれぞれの距離ｄ１ 、
ｄ２ は小さくなり、ｄ１ ＜ｄＭＡＸ かつ ｄ２ ＜ｄＭＡＸ の条件が成立してしまうことがある。
３に２つの制御点Ｐ１、Ｐ２ が始点Ｐ０ 、終点Ｐ３
の外側にあり、かつ制御点Ｐ１ 、Ｐ２ および始点
Ｐ０ 、終点Ｐ３ がほぼ一直線上に配列してしまった
ような場合は、始点Ｐ０ 、終点Ｐ３ 、および２つの
制御点Ｐ１ 、Ｐ２ で定義される３次ベジェ曲線が十
分平坦になっていないにもかかわらず、直線Ｐ０ Ｐ３
と制御点Ｐ１ 、Ｐ２ とのそれぞれの距離ｄ１ 、
ｄ２ は小さくなり、ｄ１ ＜ｄＭＡＸ かつ ｄ２ ＜ｄＭＡＸ の条件が成立してしまうことがある。
【００３０】そこで、このような事態にも対応できるこ
の発明の他の実施例について次に説明する。
の発明の他の実施例について次に説明する。
【００３１】この実施例も基本動作は上述した第１の実
施例と同様であるが、３次ベジェ曲線のフラットネスの
判断の方法が上述した第１の実施例と異なる。
施例と同様であるが、３次ベジェ曲線のフラットネスの
判断の方法が上述した第１の実施例と異なる。
【００３２】この実施例においては上記３次ベジェ曲線
のフラットネスの判断を以下のようにして行う。
のフラットネスの判断を以下のようにして行う。
【００３３】すなわち、この実施例では、第４図に示す
ように、制御点Ｐ１ 、Ｐ２ と直線Ｐ０ Ｐ３ の中
点Ｑとの距離をそれぞれｄ１、ｄ２ とするとき、ｄ１
＜ｄＭＡＸ と ｄ２ ＜ｄＭＡＸ の２つの条件がともに満足したとき、この３次ベジェ曲
線を平坦と判断する。ここで、ｄＭＡＸ はフラットネ
スの閾値である。この時点で３次ベジェ曲線の再帰的分
割を止め、分割した各セグメントを構成する３次ベジェ
曲線をそれぞれ直線Ｐ０ Ｐ３ で近似して３次ベジェ
曲線を描画する。
ように、制御点Ｐ１ 、Ｐ２ と直線Ｐ０ Ｐ３ の中
点Ｑとの距離をそれぞれｄ１、ｄ２ とするとき、ｄ１
＜ｄＭＡＸ と ｄ２ ＜ｄＭＡＸ の２つの条件がともに満足したとき、この３次ベジェ曲
線を平坦と判断する。ここで、ｄＭＡＸ はフラットネ
スの閾値である。この時点で３次ベジェ曲線の再帰的分
割を止め、分割した各セグメントを構成する３次ベジェ
曲線をそれぞれ直線Ｐ０ Ｐ３ で近似して３次ベジェ
曲線を描画する。
【００３４】このような構成によると、第１の実施例の
方法においては平坦の判断を誤ってしまう第３図に示す
ような場合にも正しく平坦の判断を行うことができる。
方法においては平坦の判断を誤ってしまう第３図に示す
ような場合にも正しく平坦の判断を行うことができる。
【００３５】この実施例を図２に示したグラフィック描
画装置に適用する場合を考えると、平坦処理部１２にお
ける３次ベジェ曲線の平坦の判断を、上記図４で説明し
た方法により行うように構成すればよい。他の構成は図
２に示したものと同様である。
画装置に適用する場合を考えると、平坦処理部１２にお
ける３次ベジェ曲線の平坦の判断を、上記図４で説明し
た方法により行うように構成すればよい。他の構成は図
２に示したものと同様である。
【００３６】すなわち、この場合、直線Ｐ０ Ｐ３ の
中点Ｑと制御点Ｐ１ 、Ｐ２ とのそれぞれの距離ｄ１
、ｄ２ を次式 （ここで、点Ｐ０ 、Ｐ１ 、Ｐ２ 、Ｐ３ の座標を
それぞれＰ０（Ｐ０ｘ，Ｐ０ｙ）、Ｐ１（Ｐ１ｘ，Ｐ１
ｙ）、Ｐ２（Ｐ２ｘ，Ｐ２ｙ）、Ｐ３（Ｐ３ｘ，Ｐ３ｙ
）とする）で求め、これら距離ｄ１ 、ｄ２ を予め設
定してある閾値ｄＭＡＸ と比較し、 ｄ１ ＜ｄＭＡＸ かつ ｄ２ ＜ｄＭＡＸ のとき、始点Ｐ０ 、終点Ｐ３ 、および２つの制御点
Ｐ１ 、Ｐ２ で定義される３次ベジェ曲線を平坦と判
断する。
中点Ｑと制御点Ｐ１ 、Ｐ２ とのそれぞれの距離ｄ１
、ｄ２ を次式 （ここで、点Ｐ０ 、Ｐ１ 、Ｐ２ 、Ｐ３ の座標を
それぞれＰ０（Ｐ０ｘ，Ｐ０ｙ）、Ｐ１（Ｐ１ｘ，Ｐ１
ｙ）、Ｐ２（Ｐ２ｘ，Ｐ２ｙ）、Ｐ３（Ｐ３ｘ，Ｐ３ｙ
）とする）で求め、これら距離ｄ１ 、ｄ２ を予め設
定してある閾値ｄＭＡＸ と比較し、 ｄ１ ＜ｄＭＡＸ かつ ｄ２ ＜ｄＭＡＸ のとき、始点Ｐ０ 、終点Ｐ３ 、および２つの制御点
Ｐ１ 、Ｐ２ で定義される３次ベジェ曲線を平坦と判
断する。
【００３７】なお、
ｄ１ ＜ｄＭＡＸ
かつ
ｄ２ ＜ｄＭＡＸ
の判断は、各式を２乗することで、一般に低速な平方根
の演算を避けることができる。
の演算を避けることができる。
【００３８】なお、上述した第１の実施例においては、
制御点Ｐ１ 、Ｐ２ と直線Ｐ０ Ｐ３ の距離ｄ１
、ｄ２ を閾値ｄＭＡＸ と比較することより３次ベジ
ェ曲線の平坦を判断し、第２の実施例においては、制御
点Ｐ１ 、Ｐ２ と直線Ｐ０ Ｐ３ の中点Ｑの距離ｄ
１ 、ｄ２ を閾値ｄＭＡＸ とを比較することより３
次ベジェ曲線の平坦を判断したが、第１の実施例の条件
と第２の実施例の条件の両者が満足したとき、３次ベジ
ェ曲線を平坦と判断するように構成してもよい。
制御点Ｐ１ 、Ｐ２ と直線Ｐ０ Ｐ３ の距離ｄ１
、ｄ２ を閾値ｄＭＡＸ と比較することより３次ベジ
ェ曲線の平坦を判断し、第２の実施例においては、制御
点Ｐ１ 、Ｐ２ と直線Ｐ０ Ｐ３ の中点Ｑの距離ｄ
１ 、ｄ２ を閾値ｄＭＡＸ とを比較することより３
次ベジェ曲線の平坦を判断したが、第１の実施例の条件
と第２の実施例の条件の両者が満足したとき、３次ベジ
ェ曲線を平坦と判断するように構成してもよい。
【００３９】
【発明の効果】以上説明したようにこの発明によれば、
始点Ｐ０ と終点Ｐ３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ と、
制御点Ｐ１ 、制御点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ
２ のいずれもが予め設定された許容値ｄＭＡＸ より
小さくなった場合、または始点Ｐ０ と終点Ｐ３ とを
結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ の中点Ｑと、制御点Ｐ１ 、制御
点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ２ のいずれもが予
め設定された許容値ｄＭＡＸ より小さくなった場合、
またはその両者が成立した場合は、再帰的に分割した３
次ベジェ曲線の各セグメントを平坦であると判断し、こ
の分割を止め、それぞれのセグメントを直線で近似して
３次ベジェ曲線を描画するように構成したので、３次ベ
ジェ曲線の各セグメントを適格に平坦と判断することが
でき、必要以上に処理量が増大せず、かつ確実に滑らか
な近似３次ベジェ曲線を得ることができる。
始点Ｐ０ と終点Ｐ３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ と、
制御点Ｐ１ 、制御点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ
２ のいずれもが予め設定された許容値ｄＭＡＸ より
小さくなった場合、または始点Ｐ０ と終点Ｐ３ とを
結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ の中点Ｑと、制御点Ｐ１ 、制御
点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ２ のいずれもが予
め設定された許容値ｄＭＡＸ より小さくなった場合、
またはその両者が成立した場合は、再帰的に分割した３
次ベジェ曲線の各セグメントを平坦であると判断し、こ
の分割を止め、それぞれのセグメントを直線で近似して
３次ベジェ曲線を描画するように構成したので、３次ベ
ジェ曲線の各セグメントを適格に平坦と判断することが
でき、必要以上に処理量が増大せず、かつ確実に滑らか
な近似３次ベジェ曲線を得ることができる。
【図１】この発明の第１の実施例の動作原理を説明する
図。
図。
【図２】第１の実施例を適用して構成したグラフィック
描画装置の一実施例を示すブロック図。
描画装置の一実施例を示すブロック図。
【図３】第１の実施例の問題点を説明する図。
【図４】この発明の第２の実施例の動作原理を説明する
図。
図。
【図５】３次ベジェ曲線の分割を説明する図。
【図６】従来のフラットネスの判定方法を説明する図。
【図７】従来の方法の問題点を説明する図。
【図８】従来の方法の問題点を説明する図。
１０ 描画コマンド
１１ 描画コマンド選択部
１２ 平坦判断部
１３ ベジェ曲線分割部
１４ 直線描画部
１５ 画像メモリー部
Claims (3)
- 【請求項１】始点、終点、および２つの制御点の４点で
定義される３次ベジェ曲線を再帰分割し、分割後の各セ
グメントが予め設定された許容値より平坦であると判断
された時点で分割を止めてこれを始点と終点を結ぶ直線
で近似して描画する３次ベジェ曲線の描画方法において
、前記平坦であると判断する基準を、始点Ｐ０ と終点
Ｐ３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ と、制御点Ｐ１ 、制
御点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ２ のいずれもが
予め設定された許容値ｄＭＡＸ より小さくなるとする
ことを特徴とする３次ベジェ曲線の描画方法。 - 【請求項２】始点、終点、および２つの制御点の４点で
定義される３次ベジェ曲線を再帰分割し、分割後の各セ
グメントが予め設定された許容値より平坦であると判断
された時点で分割を止めてこれを始点と終点を結ぶ直線
で近似して描画する３次ベジェ曲線の描画方法において
、前記平坦であると判断する基準を、始点Ｐ０ と終点
Ｐ３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ と、制御点Ｐ１ 、制
御点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ２ のいずれもが
予め設定された許容値ｄＭＡＸ より小さくなり、かつ
始点Ｐ０ と終点Ｐ３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ の中
点Ｑと、制御点Ｐ１ 、制御点Ｐ２ との２つの距離ｄ
３ 、ｄ４ のいずれもが予め設定された許容値ＤＭＡ
Ｘ より小さくなるとすることを特徴とする３次ベジェ
曲線の描画方法。 - 【請求項３】始点、終点、および２つの制御点の４点で
定義される３次ベジェ曲線を再帰分割し、分割後の各セ
グメントが予め設定された許容値より平坦であると判断
された時点で分割を止めてこれを始点と終点を結ぶ直線
で近似して描画する３次ベジェ曲線の描画方法において
、前記平坦であると判断する基準を、始点Ｐ０ と終点
Ｐ３ とを結ぶ直線Ｐ０ Ｐ３ の中点Ｑと、制御点Ｐ
１ 、制御点Ｐ２ との２つの距離ｄ１ 、ｄ２ のい
ずれもが予め設定された許容値ｄＭＡＸ より小さくな
るとすることを特徴とする３次ベジェ曲線の描画方法。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP40634390A JP2841870B2 (ja) | 1990-12-26 | 1990-12-26 | ３次ベジェ曲線の描画方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP40634390A JP2841870B2 (ja) | 1990-12-26 | 1990-12-26 | ３次ベジェ曲線の描画方法 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH04223577A true JPH04223577A (ja) | 1992-08-13 |
| JP2841870B2 JP2841870B2 (ja) | 1998-12-24 |
Family
ID=18515953
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP40634390A Expired - Fee Related JP2841870B2 (ja) | 1990-12-26 | 1990-12-26 | ３次ベジェ曲線の描画方法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP2841870B2 (ja) |
Cited By (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP2012116477A (ja) * | 2010-12-02 | 2012-06-21 | Agustawestland Ltd | 翼 |
| CN103390283A (zh) * | 2012-05-09 | 2013-11-13 | 腾讯科技（深圳）有限公司 | 绘制平行曲线的方法和设备 |
| CN115673566A (zh) * | 2021-07-29 | 2023-02-03 | 大族激光科技产业集团股份有限公司 | 一种激光加工方法、装置、设备及存储介质 |
-
1990
- 1990-12-26 JP JP40634390A patent/JP2841870B2/ja not_active Expired - Fee Related
Cited By (4)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP2012116477A (ja) * | 2010-12-02 | 2012-06-21 | Agustawestland Ltd | 翼 |
| JP2017024717A (ja) * | 2010-12-02 | 2017-02-02 | アグスタウエストランド リミテッド | 翼 |
| CN103390283A (zh) * | 2012-05-09 | 2013-11-13 | 腾讯科技（深圳）有限公司 | 绘制平行曲线的方法和设备 |
| CN115673566A (zh) * | 2021-07-29 | 2023-02-03 | 大族激光科技产业集团股份有限公司 | 一种激光加工方法、装置、设备及存储介质 |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JP2841870B2 (ja) | 1998-12-24 |
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| LAPS | Cancellation because of no payment of annual fees |