JPH0554081B2 - - Google Patents
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- JPH0554081B2 JPH0554081B2 JP60258368A JP25836885A JPH0554081B2 JP H0554081 B2 JPH0554081 B2 JP H0554081B2 JP 60258368 A JP60258368 A JP 60258368A JP 25836885 A JP25836885 A JP 25836885A JP H0554081 B2 JPH0554081 B2 JP H0554081B2
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- Japan
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- optical
- zone
- wedge
- optical axis
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Description
【発明の詳細な説明】
「技術分野」
本発明は、平行入射光を焦点に結像させるフレ
ネル状レンズに関する。
ネル状レンズに関する。
「従来技術およびその問題点」
例えばカメラのフアインダ光学系などに用いら
れるフレネルレンズは、同心の複数の光学輪帯群
によつてレンズ作用を行なわせるレンズで、従
来、各光学輪帯は、その入射面を楔面に加工し、
出射面を平面に加工されている。このフレネルレ
ンズの一すの光学輪帯の断面を第7図に示した。
一つの光学輪帯1の入射面2は斜面(楔面)であ
り、出射面3は光軸Oに垂直な平面である。
れるフレネルレンズは、同心の複数の光学輪帯群
によつてレンズ作用を行なわせるレンズで、従
来、各光学輪帯は、その入射面を楔面に加工し、
出射面を平面に加工されている。このフレネルレ
ンズの一すの光学輪帯の断面を第7図に示した。
一つの光学輪帯1の入射面2は斜面(楔面)であ
り、出射面3は光軸Oに垂直な平面である。
この入射面2の楔角αは、これの中央に入射す
る平行光4が、光軸O上の焦点Fに結像するよう
に定められている。しかしこの平行光4の上と下
に入射する平行光5,6は、それぞれ光軸O上の
点F1,F2に到達して焦点Fに一致することは
ない。なぜなら光学輪帯1の断面はプリズムであ
るから、このプリズムに平行に入射した光線群の
出射光もまた平行光線群になるからである。
る平行光4が、光軸O上の焦点Fに結像するよう
に定められている。しかしこの平行光4の上と下
に入射する平行光5,6は、それぞれ光軸O上の
点F1,F2に到達して焦点Fに一致することは
ない。なぜなら光学輪帯1の断面はプリズムであ
るから、このプリズムに平行に入射した光線群の
出射光もまた平行光線群になるからである。
第8図はフレネルレンズ10の全体による結像
光線を示す図である。フレネルレンズ10に入射
する平行光束7は、焦点Fの近傍の点E1,E2
などに結像するから、幅E1,E2のぼけ像とな
る。従来のフレネルレンズ10においては、この
ぼけ像を極力小さくするために、各光学輪帯の幅
を例えば50〜100μm程度と微小にし、輪帯数を
多くしている。輪帯のピツチが粗いと、被写帯像
の上に輪帯の境界エツジがすじ状に重畳して像観
察の妨げになるという問題もある。
光線を示す図である。フレネルレンズ10に入射
する平行光束7は、焦点Fの近傍の点E1,E2
などに結像するから、幅E1,E2のぼけ像とな
る。従来のフレネルレンズ10においては、この
ぼけ像を極力小さくするために、各光学輪帯の幅
を例えば50〜100μm程度と微小にし、輪帯数を
多くしている。輪帯のピツチが粗いと、被写帯像
の上に輪帯の境界エツジがすじ状に重畳して像観
察の妨げになるという問題もある。
ところが輪帯ピツチを微細にするには、自ずと
限界があり、フレネルレンズの金型および射出成
形加工には超精密加工技術が要求される。しかも
各輪帯の楔面の山や谷部分を鋭角状に加工するこ
とは困難で、丸味を帯びてしまう。このため、従
来のフレネルレンズの結像特性は、通常のレンズ
に比して劣り、しかも精密加工を要するが故に製
品コストが高いという問題がある。なおフレネル
レンズは、被写体の結像用の他に、太陽光などの
コレクタレンズとしての集光用途がある。このよ
うな集光レンズとしては、Fナンバの小さい大口
径レンズが必要であり、従来のフレネルレンズで
は、良好な結像特性を得ることは困難であつた。
限界があり、フレネルレンズの金型および射出成
形加工には超精密加工技術が要求される。しかも
各輪帯の楔面の山や谷部分を鋭角状に加工するこ
とは困難で、丸味を帯びてしまう。このため、従
来のフレネルレンズの結像特性は、通常のレンズ
に比して劣り、しかも精密加工を要するが故に製
品コストが高いという問題がある。なおフレネル
レンズは、被写体の結像用の他に、太陽光などの
コレクタレンズとしての集光用途がある。このよ
うな集光レンズとしては、Fナンバの小さい大口
径レンズが必要であり、従来のフレネルレンズで
は、良好な結像特性を得ることは困難であつた。
「発明の目的」
本発明は、同心の複数の光学輪帯群からなり、
薄いというフレネルレンズの特徴を生かしなが
ら、その結像(集光)性能を向上させるととも
に、光学輪帯の数を従来のフレネルレンズに比し
て大幅に減少させることができるフレネル状レン
ズを得ることをを目的とする。
薄いというフレネルレンズの特徴を生かしなが
ら、その結像(集光)性能を向上させるととも
に、光学輪帯の数を従来のフレネルレンズに比し
て大幅に減少させることができるフレネル状レン
ズを得ることをを目的とする。
「発明の概要」
本発明は、各光学輪帯の入射面が楔面で、出射
面が光軸に直角な平面であるという従来のフレネ
ルレンズの常識を破り、これを各光学輪帯の入射
面が各光学輪帯の中心の光軸上に曲率中心を持つ
球面で、出射面が楔面をなすように構成し、この
球面の半径と楔面の楔角を、各光学輪帯に入射す
る平行光がいずれも可及的に同一の焦点に結像す
るように定めたことを特徴としている。
面が光軸に直角な平面であるという従来のフレネ
ルレンズの常識を破り、これを各光学輪帯の入射
面が各光学輪帯の中心の光軸上に曲率中心を持つ
球面で、出射面が楔面をなすように構成し、この
球面の半径と楔面の楔角を、各光学輪帯に入射す
る平行光がいずれも可及的に同一の焦点に結像す
るように定めたことを特徴としている。
「発明の実施例」
以下図示実施例について本発明を説明する。第
1図は本発明によるフレネル状レンズを断面図で
示したものである。本発明のフレネル状レンズ
は、この例では、10個の光学輪帯R1ないしR1
0に分けられており、各光学輪帯R1〜R10の
入射面は、光軸O上に曲率中心を持つ半径r1〜
r10の球面11に、出射面は楔角B1〜B10
の楔面12となつている。そしてこれらの光学輪
帯R1ないしR10は、入射側の第一の光学部材
群1L〜10Lと、出射側の第二の光学部材Rと
を接合して構成されている。すなわち光学部材
1L〜10Lは、それぞれ輪帯毎に異なる半径r
1〜r10の球面11と、光軸Oに直光する平面
13を有する11個の環状光学部材からなり、隣り
合う環状光学部材間は、円筒面14で接着されて
いる。これに対し、第二の光学部材Rは、その入
射面を光軸に直交する平面15とし、出射面を各
光学輪帯R1〜R10毎に楔角をB1〜B10と
異ならせた楔面12としている。そしてこの第二
の光学部材Rの平面15と、第一の光学部材群1
L〜10Lの平面13とが接着されて、本発明の
フレネル状レンズを構成している。球面11およ
び楔面12は、従来周知の研磨加工により形成す
ることができる。
1図は本発明によるフレネル状レンズを断面図で
示したものである。本発明のフレネル状レンズ
は、この例では、10個の光学輪帯R1ないしR1
0に分けられており、各光学輪帯R1〜R10の
入射面は、光軸O上に曲率中心を持つ半径r1〜
r10の球面11に、出射面は楔角B1〜B10
の楔面12となつている。そしてこれらの光学輪
帯R1ないしR10は、入射側の第一の光学部材
群1L〜10Lと、出射側の第二の光学部材Rと
を接合して構成されている。すなわち光学部材
1L〜10Lは、それぞれ輪帯毎に異なる半径r
1〜r10の球面11と、光軸Oに直光する平面
13を有する11個の環状光学部材からなり、隣り
合う環状光学部材間は、円筒面14で接着されて
いる。これに対し、第二の光学部材Rは、その入
射面を光軸に直交する平面15とし、出射面を各
光学輪帯R1〜R10毎に楔角をB1〜B10と
異ならせた楔面12としている。そしてこの第二
の光学部材Rの平面15と、第一の光学部材群1
L〜10Lの平面13とが接着されて、本発明の
フレネル状レンズを構成している。球面11およ
び楔面12は、従来周知の研磨加工により形成す
ることができる。
またこのようなフレネル状レンズは、以上のよ
うに光学部材を接合して形成したレンズを原型に
して雌型の金型を作成し、この金型内に射出成形
することによつても製造することができる。
うに光学部材を接合して形成したレンズを原型に
して雌型の金型を作成し、この金型内に射出成形
することによつても製造することができる。
以上の光学輪帯R1〜R10の各球面11の光
軸O上に曲率中心を持つ半径r1〜r10と、楔
面12の楔角B1〜B10は、入射面(球面)1
1側に入射する平行光線が、可及的に同一の焦点
Fに結像するように定められる。第3図は、10番
目の輪帯R10に平行光が入射した場合の光線追
跡図であり、いずれの光線も焦点Fに集光してい
る状態を示している。また第4図は第1図のフレ
ネル状レンズに平行光線束16を入射させた場合
の光線追跡図で、どの光線も焦点Fに集光してい
る状態を示している。
軸O上に曲率中心を持つ半径r1〜r10と、楔
面12の楔角B1〜B10は、入射面(球面)1
1側に入射する平行光線が、可及的に同一の焦点
Fに結像するように定められる。第3図は、10番
目の輪帯R10に平行光が入射した場合の光線追
跡図であり、いずれの光線も焦点Fに集光してい
る状態を示している。また第4図は第1図のフレ
ネル状レンズに平行光線束16を入射させた場合
の光線追跡図で、どの光線も焦点Fに集光してい
る状態を示している。
第2図は、本フレネル状レンズの光学部材の屈
折率nを1.5、焦点距離fを100mmとしたとき、以
上のような集光特性を得るための上記各光学輪帯
R1〜R10の球面11の半径r1〜r10と、
楔面12の楔角B1〜B10の数値例を表にして
示したものである。角A1〜A10は、各輪帯R
1〜R10の球面11の中央における傾角であ
る。
折率nを1.5、焦点距離fを100mmとしたとき、以
上のような集光特性を得るための上記各光学輪帯
R1〜R10の球面11の半径r1〜r10と、
楔面12の楔角B1〜B10の数値例を表にして
示したものである。角A1〜A10は、各輪帯R
1〜R10の球面11の中央における傾角であ
る。
本発明は、これらの半径および楔角を計算する
手段や手順を問うものではないが、次に第5図お
よび第6図に基づいて、その計算手順の一例を説
明する。第5図はその計算器を示すもので、基本
的に次の演算手段を備えている。すなわち任意の
球面半径と楔角における平行入射光の結像点と所
望の焦点との横座標の大小に応じて楔角の値を増
減する計算手段と;この結像点の縦座標の正負に
応じて球面半径の値を増減する手段と;結像点の
座標も計算する手段と;結像点座標と所定の焦点
座標との距離の判定手段と;この距離が所定の微
小値より大なる場合には楔角および球面半径の増
分を逐次半減せしめながら結像点座標の計算を続
行する制御手段とを備えた計算器である。
手段や手順を問うものではないが、次に第5図お
よび第6図に基づいて、その計算手順の一例を説
明する。第5図はその計算器を示すもので、基本
的に次の演算手段を備えている。すなわち任意の
球面半径と楔角における平行入射光の結像点と所
望の焦点との横座標の大小に応じて楔角の値を増
減する計算手段と;この結像点の縦座標の正負に
応じて球面半径の値を増減する手段と;結像点の
座標も計算する手段と;結像点座標と所定の焦点
座標との距離の判定手段と;この距離が所定の微
小値より大なる場合には楔角および球面半径の増
分を逐次半減せしめながら結像点座標の計算を続
行する制御手段とを備えた計算器である。
以下具体的に説明する。第6図は本発明のフレ
ネル状レンズの一つの光学輪帯についての光線追
跡図で、輪帯の球面11の最上部の点A2、最下
部の点B2に入射する平行光A1A2,B1B2
は、図のように屈折しながら楔面12を経て結像
点A4(xx、yy)に集光する。この点A4が焦
点F(f、0)に合致する迄、光軸O上に中心を
持つ半径rおよび楔角Bを増減して結像点座標の
計算を繰返せば、この半径rおよび楔角Bが求ま
る。もし楔角Bが0であれば、像点A4が光軸O
の上部(yy)>0)に位置し、光軸Oと交わらな
い。そこで楔角Bを加減して像点A4を焦点Fに
近づける計算操作をする。なお像点の座標(xx、
yy)は、半径r、楔角B、光学部材の層折率n、
および焦点距離fの関数であり、簡単な幾何学的
計算により求められるので、これら関数の型の記
述は省略する。
ネル状レンズの一つの光学輪帯についての光線追
跡図で、輪帯の球面11の最上部の点A2、最下
部の点B2に入射する平行光A1A2,B1B2
は、図のように屈折しながら楔面12を経て結像
点A4(xx、yy)に集光する。この点A4が焦
点F(f、0)に合致する迄、光軸O上に中心を
持つ半径rおよび楔角Bを増減して結像点座標の
計算を繰返せば、この半径rおよび楔角Bが求ま
る。もし楔角Bが0であれば、像点A4が光軸O
の上部(yy)>0)に位置し、光軸Oと交わらな
い。そこで楔角Bを加減して像点A4を焦点Fに
近づける計算操作をする。なお像点の座標(xx、
yy)は、半径r、楔角B、光学部材の層折率n、
および焦点距離fの関数であり、簡単な幾何学的
計算により求められるので、これら関数の型の記
述は省略する。
第5図に示す計算器は、以上は計算を行なうた
めのもので、初期値メモリ20には、半径r、楔
角Bの初期値、屈折率n、焦点距離fの値が記憶
されている。計算の第一ステツプでは、ライン4
0を介し、結像点座標計算器29で像点座標
(xx、yy)が計算される。ついで像点y座標判定
器30において|yy|が所定の微小値ε(例えば
ε=10-4)と比較される。初回の計算では、|yy
|>εであるから、ライン41を経て半径増分器
25において増分drが半減される(dr=dr/2)。
像点y座標比較器26において、yyの正負が比
較され、その正負に応じて半径rの値が半径加算
器27および減算器28によりそれぞれr+dr、
r−drに置換され、再び結像点座標計算器29に
おいて像点(xx、yy)が計算される。
めのもので、初期値メモリ20には、半径r、楔
角Bの初期値、屈折率n、焦点距離fの値が記憶
されている。計算の第一ステツプでは、ライン4
0を介し、結像点座標計算器29で像点座標
(xx、yy)が計算される。ついで像点y座標判定
器30において|yy|が所定の微小値ε(例えば
ε=10-4)と比較される。初回の計算では、|yy
|>εであるから、ライン41を経て半径増分器
25において増分drが半減される(dr=dr/2)。
像点y座標比較器26において、yyの正負が比
較され、その正負に応じて半径rの値が半径加算
器27および減算器28によりそれぞれr+dr、
r−drに置換され、再び結像点座標計算器29に
おいて像点(xx、yy)が計算される。
ライン41で連結される第一計算ループは、像
点y座標判定器30において|yy|<εが達成
される迄繰り返される。もし|yy|<εならば
像点x座標判定器31において、|xx−f|とε
が比較されるが、計算の初期では|xx−f|>
εである。この場合は、ライン42を経て楔角増
分器21の増分dBが半減され、ついで像点x座
標比較器22において、xxとfの大小関係が比
較される。この大小関係xx>f、xx<fに応じ
て楔角加算器23および減算器24においてそれ
ぞれ楔角BがB+dB、B−dBに置換される。そ
の後計算は半径増分器25に移行するが、増分dr
は再び初期値に戻される。
点y座標判定器30において|yy|<εが達成
される迄繰り返される。もし|yy|<εならば
像点x座標判定器31において、|xx−f|とε
が比較されるが、計算の初期では|xx−f|>
εである。この場合は、ライン42を経て楔角増
分器21の増分dBが半減され、ついで像点x座
標比較器22において、xxとfの大小関係が比
較される。この大小関係xx>f、xx<fに応じ
て楔角加算器23および減算器24においてそれ
ぞれ楔角BがB+dB、B−dBに置換される。そ
の後計算は半径増分器25に移行するが、増分dr
は再び初期値に戻される。
これ以降は、第一の計算ループと、第二の計算
ループを交互に繰り返し、ついに像点y座標判定
器30、および像点x座標判定器31において、
|yy|<ε、および|xx−f|<εが検出され
ると、表示器32にはこの時点における半径rと
楔角Bが表示されて一連の計算を終了する。第2
図は、光学部材の屈折率n=1.5、焦点距離f=
100mmとし、以上の計算によつて求めた半径rと
楔角Bを示したものである。
ループを交互に繰り返し、ついに像点y座標判定
器30、および像点x座標判定器31において、
|yy|<ε、および|xx−f|<εが検出され
ると、表示器32にはこの時点における半径rと
楔角Bが表示されて一連の計算を終了する。第2
図は、光学部材の屈折率n=1.5、焦点距離f=
100mmとし、以上の計算によつて求めた半径rと
楔角Bを示したものである。
なおフレネル状レンズは、用途によつては、円
形でない、例えば矩形状に形成されることがあ
り、この場合には周縁の光学輪帯は完全な輪では
なくなるが、本発明はこれを勿論含む。
形でない、例えば矩形状に形成されることがあ
り、この場合には周縁の光学輪帯は完全な輪では
なくなるが、本発明はこれを勿論含む。
「発明の効果」
以上のように本発明によるフレネル状レンズ
は、各光学輪帯の入射面を光軸上に曲率中心を持
つ球面に、出射面を楔面にして、各輪帯に入射す
る平行光束がいずれも可及的に同一の焦点に結像
するようにしたので、像点の収差を除き、あるい
はこれを微小値内におさめることができる。そし
て従来のフレネルレンズに比して輪帯のピツチを
粗くしても、この効果を得ることができるため、
従来のフレネルレンズの如き射出成形による超微
細加工を必要とせず、従来の研磨技術により容易
に、かつ比較的廉価に製造することができる。さ
らに射出成形による場合にも、従来のフレネルレ
ンズに比し、はるかに輪帯のピツチが粗い形状の
単純な型により、製造することが可能である。本
発明によるフレネル状レンズは、従来のすべての
フレネルレンズに代えて用いることが可能である
が、特に大口径でFナンバの大きい集光レンズ
や、小口径でも短焦点距離でFナンバの小さい集
光レンズ、例えばコンパクトデイスク用の集光レ
ンズ等、従来のフレネルレンズでは実用化が困難
であつた部門での使用もまた可能であり、より広
汎な用途を期待することができる。
は、各光学輪帯の入射面を光軸上に曲率中心を持
つ球面に、出射面を楔面にして、各輪帯に入射す
る平行光束がいずれも可及的に同一の焦点に結像
するようにしたので、像点の収差を除き、あるい
はこれを微小値内におさめることができる。そし
て従来のフレネルレンズに比して輪帯のピツチを
粗くしても、この効果を得ることができるため、
従来のフレネルレンズの如き射出成形による超微
細加工を必要とせず、従来の研磨技術により容易
に、かつ比較的廉価に製造することができる。さ
らに射出成形による場合にも、従来のフレネルレ
ンズに比し、はるかに輪帯のピツチが粗い形状の
単純な型により、製造することが可能である。本
発明によるフレネル状レンズは、従来のすべての
フレネルレンズに代えて用いることが可能である
が、特に大口径でFナンバの大きい集光レンズ
や、小口径でも短焦点距離でFナンバの小さい集
光レンズ、例えばコンパクトデイスク用の集光レ
ンズ等、従来のフレネルレンズでは実用化が困難
であつた部門での使用もまた可能であり、より広
汎な用途を期待することができる。
第1図は本発明によるフレネル状レンズの実施
例を示す上半縦断面図、第2図は各光学輪帯の球
面の半径と楔面の楔角の計算例を示す図表、第3
図は第1図のフレネル状レンズにおける単一の光
学輪帯による結像状態を示す光線追跡図、第4図
は同第1図のフレネル状レンズの全体による結像
状態を示す光線追跡図、第5図は球面の半径と楔
面の楔角の計算器の例を示すブロツク図、第6図
はフレネル状レンズの一つの光学輪帯に対する光
線追跡図、第7図は従来のフレネルレンズにおけ
る一つの光学輪帯による結像状態を示す光線追跡
図、第8図は同全体の結像状態を示す光線追跡図
である。 R1〜R10……光学輪帯、1L〜10L……
第一の光学部材、R……第二の光学部材、O……
光軸、11……球面、12……楔面、13……平
面、14……円筒面、15……平面。
例を示す上半縦断面図、第2図は各光学輪帯の球
面の半径と楔面の楔角の計算例を示す図表、第3
図は第1図のフレネル状レンズにおける単一の光
学輪帯による結像状態を示す光線追跡図、第4図
は同第1図のフレネル状レンズの全体による結像
状態を示す光線追跡図、第5図は球面の半径と楔
面の楔角の計算器の例を示すブロツク図、第6図
はフレネル状レンズの一つの光学輪帯に対する光
線追跡図、第7図は従来のフレネルレンズにおけ
る一つの光学輪帯による結像状態を示す光線追跡
図、第8図は同全体の結像状態を示す光線追跡図
である。 R1〜R10……光学輪帯、1L〜10L……
第一の光学部材、R……第二の光学部材、O……
光軸、11……球面、12……楔面、13……平
面、14……円筒面、15……平面。
Claims (1)
- 【特許請求の範囲】 1 光線の屈折作用を有する複数個の同心の光学
輪帯群によつて構成されるフレネル状レンズにお
いて、 各光学輪帯の入射面を各光学輪帯の中心の光軸
上に曲率中心を持つ球面となし、出射面を楔面と
なし、かつ各光学輪帯の球面の半径と楔面の楔角
を、各光学輪帯に入射する平行光がいずれも可及
的に同一の焦点に結像するように定めたことを特
徴とするフレネル状レンズ。 2 特許請求の範囲第1項において、入射面が各
光学輪帯毎に相異なる半径を有する各光学輪帯の
中心の光軸上に曲率中心を持つ球面で、出射面が
光軸に直角な平面である第一の光学部材と;入射
面がこの第一の光学部材の平面に接着される、光
軸と直角な平面で、出射面が第一の光学部材の光
学輪帯に対応する光学輪帯毎に異なる楔角を有す
る楔面である第二の光学部材とから構成されてい
るフレネル状レンズ。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP25836885A JPS62118304A (ja) | 1985-11-18 | 1985-11-18 | フレネル状レンズ |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP25836885A JPS62118304A (ja) | 1985-11-18 | 1985-11-18 | フレネル状レンズ |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPS62118304A JPS62118304A (ja) | 1987-05-29 |
| JPH0554081B2 true JPH0554081B2 (ja) | 1993-08-11 |
Family
ID=17319271
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP25836885A Granted JPS62118304A (ja) | 1985-11-18 | 1985-11-18 | フレネル状レンズ |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPS62118304A (ja) |
Families Citing this family (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JPS6426703U (ja) * | 1987-08-07 | 1989-02-15 | ||
| US5160192A (en) * | 1988-03-16 | 1992-11-03 | Asahi Kogaku Kogyo Kabushiki Kaisha | Illuminating instrument |
| US5161057A (en) * | 1988-09-12 | 1992-11-03 | Johnson Kenneth C | Dispersion-compensated fresnel lens |
Family Cites Families (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JPS578441A (en) * | 1980-06-18 | 1982-01-16 | Matsushita Electric Ind Co Ltd | Production of ion selective electrode |
-
1985
- 1985-11-18 JP JP25836885A patent/JPS62118304A/ja active Granted
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JPS62118304A (ja) | 1987-05-29 |
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| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| LAPS | Cancellation because of no payment of annual fees |