JPH0632043B2 - 陰影表示方法 - Google Patents

陰影表示方法

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JPH0632043B2
JPH0632043B2 JP61151045A JP15104586A JPH0632043B2 JP H0632043 B2 JPH0632043 B2 JP H0632043B2 JP 61151045 A JP61151045 A JP 61151045A JP 15104586 A JP15104586 A JP 15104586A JP H0632043 B2 JPH0632043 B2 JP H0632043B2
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【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。
Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術（第１１図及び第１２図） Ｄ発明が解決しようとする問題点（第６図〜第１０図） Ｅ問題点を解決するための手段（第１図及び第２図） Ｆ作用（第１図及び第２図） Ｇ実施例 (G1)第１実施例（第１図及び第２図） (G2)第２実施例（第３図） (G3)陰影表示処理手順（第１図、第２図及び第４図） (G4)切出し領域の分割処理結果の検討（第１図、第２図
及び第５図） (G5)他の実施例 Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は陰影表示方法に関し、例えばＣＡＤ（computer
aided design）、又はＣＡＭ（computer aided manufa
cturing）などにおいて生成された自由曲面について、
陰影処理する場合に適用して好適なものである。
Ｂ発明の概要 本発明は、枠組み空間にそれぞれ張られたパツチから三
角形単位領域を切り出して陰影処理をするようになされ
た陰影表示方法において、１辺の境界線を介して複数の
第２のパツチに隣接するように接続された第１のパツチ
から三角形単位領域を切り出す際に、当該複数の第２の
パツチの対応するパツチにおいて用いられているパラメ
ータを用いるようにすることにより、第１のパツチ及び
第２のパツチ間に陰影処理をすることができない領域を
残さないようにし得る。
Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて自由曲面をもつた物体の形
状をデザインする場合（giometric modeling）、一般に
デザイナは、曲面が通るべき３次元空間における複数の
点（これを節点と呼ぶ）を指定し、当該指定された複数
の節点を結ぶ境界曲線網を所定のベクトル関数を用いて
コンピユータによつて演算させることより、いわゆるワ
イヤフレームで表現された曲面を作成する。かくして境
界曲線によつて囲まれた多数の枠組み空間を形成するこ
とができる（このような処理を枠組み処理と呼ぶ）。
かかる枠組み処理によつて形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
有しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用いて所定
のベクトル関数によつて表現できる曲面を補間演算する
ことがでれば、全体としてデザイナがデザインした自由
曲面（２次関数で規定できないものを言う）を生成する
ことができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は全
体の曲面を構成する基本要素を形成し、これをパツチと
呼ぶ。
従来この種のＣＡＤシスステムにおいては、境界曲線網
を表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベ
ジエ（bezier）式、Ｂ−スプライン（B-spline）式でな
る３次のテンソル積が用いられており、例えば形状的に
特殊な特徴がないような自由曲面を数式表現するには最
適であると考えられている。
すなわち形状的に特殊な特徴がないような自由曲面は、
空間に与えられた点をｘｙ平面上に投影したとき、当該
投影さた点が規則的にマトリクス状に並んでいることが
多く、この投影点の数がｍ×ｎで表されるとき、当該枠
組み空間を３次のベジエ式で表される四辺形パツチを用
いて容易に張ることができる。
しかし形状的に特徴がある枠組み空間（例えば大きく歪
んだ形状をもつ）に滑らかな自由曲面を張ろうとする場
合には、パツチ相互間の接続方法に困難があり、高度な
数学的演算処理を実行する必要があるため、従来はコン
ピユータによる演算処理が複雑かつ膨大になると共に、
演算時間が長大になる問題があつた。
この問題を解決する方法として、隣合う枠組み空間の共
有境界について、接平面連続の条件を満足するような内
部の制御点を求め、当該内部の制御点によつて決まる自
由曲面を表すベクトル関数によつて、自由曲面でなるパ
ツチを張る方法が提案されている（特開昭60-277448
号、特開昭60-290849号、特願昭60-298638号、特願昭61
-33412号、特開昭61-59790号、特願昭61-64560号、特願
昭61-69368号、特願昭61-69385号）。
ところでこのような手法によつて生成された自由曲面デ
ータによつて表される自由曲面に対して、陰影処理を施
すことによつて陰影をつけることができれば、当該曲面
をデイスプレイ上に立体的に表示できることにより、グ
ラフイツク画像として高品位の画像を提供することがで
きると考えられ、従来かかる陰影処理を線形補間によつ
て実現する方法が提案されている（特願昭60-37077
号）。
この陰影処理方法は、例えば第１１図及び第１２図に示
すように、四辺形パツチ及び三辺形パツチS(u,v)につい
て、パツチS(u,v)の座標を表すｕ及びｖ方向について、
それぞれ所定の分割数で分割し（例えば４×４分割
し）、各分割領域ごとに、三角形単位領域ＵＡを切り出
し、当該三角形単位領域ＵＡの３つの頂点について自由
曲面の明るさを表すデータを求め、当該３つのデータに
よつて三角形単位領域に張つた輝度平面に基づいて、三
角形単位領域ＵＡに含まれる全てのピクセルについての
輝度を線形輝度演算するようになされている。
このようにすれば、三角形単位領域ＵＡに含まれる全て
のピクセルについて逐一輝度を演算するような処理をす
る場合と比較して、格段的に陰影処理を短時間の間に実
行することができる。
Ｄ発明が解決しようとする問題点 ところがこの手法によつて陰影処理をする場合、隣合う
パツチの境界位置に枠組み処理が不適当なために陰影処
理ができない部分（これをギヤツプと呼ぶ）が生ずるお
それがある。
その原因を種々検討したところ、枠組み空間を枠組みす
る際に、互いに隣接する２つの枠組み空間について、そ
の共有境界のセグメントが互いに一致しないことにある
と考えられる。
例えば互いに隣接する４つの枠組み空間に３次のベジエ
式で表される４つの四辺形パツチS(u,v)1、S(u,v)2、S
(u,v)3、S(u,v)4を張る場合、先ず、第６図に示すよう
に、第１及び第２のパツチS(u,v)1及びS(u,v)2を共有境
界ＣＯＭ１を介して接平面連続の条件が成り立つように
内部の制御点を設定することによつて２つのパツチS
(u,v)1及びS(u,v)2を接続したとする。
ところが第２のパツチS(u,v)2は、その１辺を構成する
境界曲線でなる共有境界ＣＯＭ２及びＣＯＭ３を介して
第３及び第４のパツチS(u,v)3及びS(u,v)4に隣接してお
り、これら２つのパツチS(u,v)3及びS(u,v)4に対してそ
れぞれ共有境界ＣＯＭ２及びＣＯＭ３について接平面連
続の条件を満足させながらパツチS(u,v)2を接続するた
めには、第７図に示すように、第２のパツチS(u,v)2を
共有境界ＣＯＭ４によつて２つの四辺形パツチS(u,v)21
及びS(u,v)22に分割した後、当該分割した一方のパツチ
S(u,v)21を共有境界ＣＯＭ２を介して第３のパツチS
(u,v)3に接続し、かつ分割した他方のパツチS(u,v)22を
共有境界ＣＯＭ３を介して第４のパツチS(u,v)4に接続
すると共に、共有境界ＣＯＭ４を介して分割した２つの
パツチS(u,v)21及びS(u,v)22を接続すれば良く、このよ
うにすれば、実用上滑らかな自由曲面を枠組み処理によ
つて得られた４つの枠組み空間に張ることができると考
えられる。
ところが第７図のようにして形成された自由曲面につい
て、三角形単位領域を切り出して線形補間の手法を用い
て陰影処理をしようとすると、共有境界ＣＯＭ１を介し
て接続された第１及び第２のパツチS(u,v)1及びS(u,v)2
の間に、陰影処理ができない部分（これをギヤツプと呼
ぶ）が生ずるおそれがある。
すなわち第８図において、第１のパツチS(u,v)1と、２
つに分割したパツチS(u,v)21及びS(u,v)22との間の共有
境界ＣＯＭ１についての三角形単位領域の切出しは、各
パツチS(u,v)1、S(u,v)21、S(u,v)22において、それぞ
れ別個に実行される。
第１のパツチS(u,v)1においては、共有境界ＣＯＭ１上
に例えば３つの分割点（P11、P12、P13）をパラメータ
ｖについて設定し、かくして４分割された分割範囲から
それぞれ４つの三角形単位領域ＵＡ１を切り出して陰影
処理をする。
これに対して第２のパツチS(u,v)2を分割して得られた
２つのパツチS(u,v)21及びS(u,v)22においては、それぞ
れ共有境界ＣＯＭ１１及びＣＯＭ１２上に３つの分割点
（P211、P212、P213）及び（P221、P222、P223）を設定
して４つの三角形単位領域ＵＡ２１及びＵＡ２２を切り
出して陰影処理をする。
ここで三角形単位領域ＵＡ１、ＵＡ２１、ＵＡ２２は、
それぞれのパツチにおけるｖ方向のパラメータｖを用い
てｖ＝０〜１の間等間隔に0.25ずつ分割して切り出され
る。
ところがこのようにすると、第１のパツチS(u,v)1の三
角形単位領域ＵＡ１の切り出しは、枠組み処理によつて
形成された共有境界ＣＯＭ１の両端位置の節点P00〜P03
間１つのセグメントとして４分割している。これに対し
てパツチを接続する必要性から新たに分割されたパツチ
S(u,v)21及びS(u,v)22は、その共有境界ＣＯＭ４が共有
境界ＣＯＭ１と突き当たる点PMを境として点PM〜P03間
の共有境界ＣＯＭ１１を第１のセグメントとすると共
に、点PM〜P00間の共有境界ＣＯＭ１２を第２のセグメ
ントとして分割処理を実行する。
このようにすると節点P00〜P03間の共有境界ＣＯＭ１に
ついて、第１のパツチS(u,v)1側においては４つの三角
形単位領域ＵＡ１を切り出すのに対して、新たなパツチ
S(u,v)21及びS(u,v)22側においては、共有境界ＣＯＭ１
の線分でなる共有境界ＣＯＭ１１及びＣＯＭ１２をそれ
ぞれ４分割した三角形単位領域ＵＡ２１及びＵＡ２２を
切り出すことになり、結局共有境界ＣＯＭ１に対して合
計８分割した大きさの三角形単位領域ＵＡ２１及びＵＡ
２２を切り出す結果になる。
従つて、節点P00〜P03間を４分割する三角形単位領域Ｕ
Ａ１の共有境界ＣＯＭ１に沿う１辺が通る位置は、同様
に節点P00〜P03間を８分割する三角形単位領域ＵＡ２１
及びＵＡ２２の共有境界ＣＯＭ１１及びＣＯＭ１２に沿
う１辺が通る位置と同じになることはなく、その間にギ
ヤツプＧＵＰＸが生ずることになる。
そこでこのギヤツプＧＵＰＸの部分については、陰影処
理がされないことになり、結局陰影がつかない部分が生
じることによりいわゆる穴があくことになる。
第６図〜第８図においては、第１のパツチS(u,v)1を第
２のパツチS(u,v)2に接平面連続の条件の下に接続した
場合について述べたが、第６図に対応させて第９図に示
すように、第１のパツチS(u,v)1を第２のパツチS(u,v)2
に接平面連続の条件が成り立たない条件の下に接続した
状態において、第７図に対応させて第１０図に示すよう
に、第２のパツチS(u,v)2を２つのパツチS(u,v)21及びS
(u,v)22に分割して接平面連続の条件の下に隣接するパ
ツチと接続する場合についても、第８図について上述し
たと同様にして、ギヤツプＧＵＰＸが生じる結果にな
る。
このように陰影処理ができない部分が生ずると、陰影を
つけた自由曲面が不自然に見える不都合が生ずる。
本発明は以上の点を考慮してなされたもので、第８図に
ついて上述したようなギヤツプＧＵＰＸが生じないよう
に陰影処理のための三角形単位領域を切り出すことがで
きるようにした陰影表示方法を提案しようとするもので
ある。
Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によつて境界曲線で囲まれた多数の枠組み空間を形
成し、この枠組み空間にそれぞれ位置を表すパラメータ
を有するベクトル関数で表されるパツチを張ることによ
り生成された自由曲面について、枠組み空間にそれぞれ
張られたパツチから三角形単位領域を切り出し、当該三
角形単位領域の３つの頂点位置の輝度情報に基づいて、
三角形単位領域に含まれているピクセルについての輝度
情報を補間することにより、自由曲面に陰影をつけるよ
うになされた陰影表示方法において、１辺の境界曲線Ｃ
ＯＭ１を介して複数の第２のパツチS(u,v)21、S(u,v)22
に隣接するように接続された第１のパツチS(u,v)1から
三角形単位領域を切り出すに先立つて、第１のパツチS
(u,v)1を複数の第２のパツチS(u,v)21、S(u,v)22に対応
する複数の切出し領域に分割し、当該分割された各切出
し領域において複数の第２のパツチS(u,v)21、S(u,v)22
のうち対応するパツチにおいて用いられているパラメー
タｖを用いて三角形単位領域の切出しを実行するように
する。
Ｆ作用 第１のパツチS(u,v)1において分割形成された切出し領
域において、対応する第２のパツチS(u,v)21、S(u,v)22
において用いられているパラメータｖを用いて三角形単
位領域の切出しを実行するようにしたことにより、第１
のパツチS(u,v)1及び第２のパツチS(u,v)21、S(u,v)22
間の共有境界ＣＯＭ１においてギヤツプを生じさせない
ように三角形単位領域を切り出すことができる。
かくして自由曲面について陰影処理ができない部分を穴
として残すことなく自由曲面全体について自然な陰影を
つけることができる。
Ｇ実施例 以下図面について本発明の一実施例を詳述する。
(G1)第１実施例 第１図は第６図及び第７図について上述したようにして
形成された自由曲面について本発明を適用した場合の実
施例を示すもので、パツチS(u,v)21及びS(u,v)22の陰影
処理については、第８図について上述したと同様にして
三角形単位領域ＵＡ２１及びＵＡ２２を切り出す。
これに対して第１のパツチS(u,v)1の陰影処理を実行す
る際には、第１のパツチS(u,v)1と隣接する２つのパツ
チS(u,v)21及びS(u,v)22と同じパラメータを用いて三角
形単位領域を切り出すように、２つの切出し領域S
(u,v)11及びS(u,v)12に分割する。すなわち第８図に対
応させて第２図に示すように、２つのパツチS(u,v)21及
びS(u,v)22間の共有境界ＣＯＭ４が共有境界ＣＯＭ１に
突き当たる点PMを通つて延長する共有境界ＣＯＭ５によ
つて第１のパツチS(u,v)1を２つの切出し領域S(u,v)11
及びS(u,v)12に分割する。
第１の切出し領域S(u,v)11は、共有境界ＣＯＭ１１を介
して隣接するパツチS(u,v)21のパラメータと同じパラメ
ータｖを用いて、節点P03から点PMまでの範囲を、４分
割され、各分割範囲について三角形単位領域ＵＡ１１が
切り出される。
また第２の切出し領域S(u,v)12は、共有境界ＣＯＭ１２
を介して隣接するパツチS(u,v)22と同じパラメータｖを
用いて、節点P00から点PMまでの範囲を４分割され、各
分割範囲について三角形単位領域ＵＡ１２が切り出され
る。
このようにすれば、共有境界ＣＯＭ１１を境にしてパツ
チS(u,v)21側において切り出された三角形単位領域ＵＡ
２１について、その共有境界ＣＯＭ１１に沿う方向の１
辺が通る位置は、第１の切出し領域S(u,v)11側において
切り出された三角形単位領域ＵＡ１１について、その共
有境界ＣＯＭ１１に沿う方向の１辺が通る位置と全く同
じ位置になる。
同様にして共有境界ＣＯＭ１２について、パツチS
(u,v)22側において切り出された三角形単位領域ＵＡ２
２の共有境界ＣＯＭ１２に沿う方向の１辺が通る位置
は、第２の切出し領域S(u,v)12側において切り出された
三角形単位領域ＵＡ１２の共有境界ＣＯＭ１２に沿う方
向の１辺が通る位置と同一となる。その結果それぞれ、
共有境界ＣＯＭ１１及びＣＯＭ１２を挟んで両側に切り
出された三角形単位領域ＵＡ２１及びＵＡ１１間、ＵＡ
２２及びＵＡ１２間にギヤツプが生ずることはない。
かくして第１及び第２の切出し領域S(u,v)11及びS
(u,v)12に分割された第１のパツチS(u,v)1に張られたパ
ツチと、隣接する２つのパツチS(u,v)21及びS(u,v)22の
間に陰影がつかないいわゆる穴が生じることはない。
上述の実施例によれば、隣合うパツチの一方が、枠組み
空間上にパツチを張る条件に基づいて分割されたとき、
分割されないパツチ及び隣接する分割されたパツチに対
して陰影処理を施したとき、両者の境界位置にいわゆる
穴があくおそれを未然に防止することにより、自由曲面
上の陰影が不自然に見えるような結果になるおそれを有
効に防止し得る。
(G2)第２実施例 第３図は、第１０図について上述したようにして生成さ
れた自由曲面に陰影処理をする場合の実施例を示すもの
で、この場合にも第１図の場合と同様にして第１のパツ
チS(u,v)1を共有境界ＣＯＭ１１及びＣＯＭ１２を介し
て隣接するパツチS(u,v)21及びS(u,v)22のパラメータと
おなじパラメータを用いて第１及び第２の切出し領域S
(u,v)11及びS(u,v)12に分割する。
このようにすれば、第１図について上述したと同様の効
果を得ることができる。
(G3)陰影表示処理手順 このような陰影処理に伴う三角形切出し領域の分割処理
は、コンピユータによつて第４図に示す陰影表示処理手
順を実行することにより実現し得る。
第４図において、ステツプＳＰ１において陰影表示処理
プログラムが開始されると、コンピユータはステツプＳ
Ｐ２においてパツチデータを読み込んでワイヤフレーム
表示をする。このパツチデータは例えばデザイナが自由
曲面をデザインする際に、別途３次元空間に境界曲線網
を枠組みすることによつて得られる。
この表示状態においてオペレータはワイヤフレーム表示
された自由曲面について、陰影処理をするに際して不適
当なパツチを含む不具合（第６図又は第９図のような）
があるか否かをステツプＳＰ３において目視確認し、不
具合があるとの判断結果が得られたとき、ステツプＳＰ
４に移つて当該不具合があるパツチを複数の切出し領域
に分割した後ステツプＳＰ５に移る。
このステツプＳＰ３及びＳＰ４の処理手順は第７図及び
第10図ついて上述したように、隣合う２つのパツチが異
なるパラメータによつて三角形単位領域の切り出しをす
るように構成されている場合に、そのまま各パツチにつ
いて陰影処理をすれば隣合うパツチの境界曲線の位置に
陰影処理をすることができない領域が穴となつて残る場
合があるので、このパツチ相互間の穴を発生させないよ
うに防止する。
ステツプＳＰ３において不具合なパツチが発見できなか
つたときには、直ちにステツプＳＰ５に移る。
このステツプＳＰ５は、共有境界と、切り出される三角
形単位領域の共有境界に沿う１辺との間の誤差δの値を
指定するステツプで、オペレータがこの誤差δを指定す
ると、コンピユータはステツプＳＰ６に移つて当該誤差
δに対する三角形単位領域の分割数を決定して分割処理
を実行する。
このステツプＳＰ５及びＳＰ６の処理は、１つのパツチ
から三角形単位領域を切り出す際に当該パツチが本来境
界曲線にもつている曲線感を失わせないようにするため
再分割処理をするもので、コンピユータはこの処理結果
をステツプＳＰ７においてオペレータに目視確認させ、
実用上未だ曲線感を失わせせるような状態にある場合に
は、上述のステツプＳＰ５に戻つて誤差δの値を再指定
すると共に、当該誤差δに対する三角形単位領域の分割
処理を繰り返す。
このような処理が終了したとき、コンピユータはステツ
プＳＰ８に移つて当該陰影表示処理プログラムを終了す
る。
(G4)切出し領域の分割処理結果の検討 (G4-1)境界曲線ＣＯＭ１２について 第１図及び第２図について上述したように、第１のパツ
チS(u,v)1のパラメータｖを０から１まで変化させるこ
とにより指定される共有境界ＣＯＭ１について、これを
２つの共有境界ＣＯＭ１１及びＣＯＭ１２に分割し、そ
れぞれ隣接するパツチS(u,v)21及びS(u,v)22のパラメー
タｖを用いてこれを０から１まで変化させるまでの間に
それぞれ４つの三角形単位領域ＵＡ１１及びＵＡ１２を
切り出したとき、その切出し結果は直接元の共有境界Ｃ
ＯＭ１についてパツチS(u,v)1のパラメータｖを用いて
０から１まで変化させる間に８つの三角形単位領域を切
り出した場合と同じ結果になる。このことは、次のよう
にして確認し得る。
各枠組み空間に張るパツチS(u,v)を次式 S(u,v)＝（１−ｕ＋ｕＥ）3 （１−ｖ＋ｖＦ）３P(00) ……（１） のように３次のベジエ式で表すとすると、第１図及び第
２図のパツチS(u,v)1の共有境界ＣＯＭ１は、次式 Ｒ（ｔ）＝（１−ｔ＋ｔＥ）3P0 ……（２） で表されるように、パラメータｔが０から１まで変化す
る間に第５図に示すように、節点P0からP3までの共有境
界ＣＯＭ１を、ｘｙｚ座標空間における空間曲線Ｒ
（ｔ）として表すことができる。
ところで共有境界ＣＯＭ４（第２図）が共有境界ＣＯＭ
１に突き当たる点PMにおいて、第１のパツチS(u,v)1が
共有境界ＣＯＭ５によつて分割されたと考えたとき、パ
ラメータｔが０からt0まで変化したとき、指定し得る節
点P0から点PMまでの線分でなる共有境界ＣＯＭ１２は、
次式 R1（t1）＝（１−t1＋t1Ｅ）3P(0)1 ……（３） のように、パラメータt1（＝０〜１）を変数とする空間
曲線R1（t1）によつて表すことができる。
ここで共有境界ＣＯＭ１２は、共有境界ＣＯＭ１の線分
であるので、分割後の空間曲線R1（t1）は分割前の空間
曲線Ｒ（ｔ）と等しいはずであり、（２）式及び（３）
式から （１−t1＋t1Ｅ）3P(0)1＝（１−ｔ＋ｔＥ）3P0 ……
（４） の関係が成り立つ。
ここで分割後の空間曲線R1（t1）のパラメータt1は、共
有境界ＣＯＭ１２を節点P0から点PMまで指定する際に、
０から１まで変化するのに対して、同様に節点P0からPM
までの範囲を空間曲線Ｒ（ｔ）の位置を指定するにはパ
ラメータｔを０からt0まで変化させる関係にある。この
関係を比例式で表せば ｔ：４＝ｔ：t0 ……（５） となり、パラメータｔ及びt1の関係は ｔ＝t0t1 ……（６） で表し得る。
（６）式を（４）式の右辺に代入すると共に、式の形を
整えて展開すると、 （１−ｔ−ｔＥ）3P0 ＝（１−t0t1＋t0t1Ｅ）3P0 ＝｛（１−t1＋t1（１−t0＋t0Ｅ）｝3P0 ＝（１−t1）3P0 ＋３（１−t1）2t1（１−t0＋t0Ｅ）P0 ＋３（１−t1）t1 2（１−t0＋t0Ｅ）2P0 ＋t1 3（１−t0＋t0Ｅ）3P0 ……（７） のように、パラメータt1について（ｔ−t1)3の項と、３
（１−t1)2t1の項と、３（１−t1）t1 ２の項とt1 ３の項
との和として表し得る。
これに対して（４）式の左辺を展開すると、次式 （１−t1＋t1Ｅ）3P(0)1 ＝（１−t0）3P(0) ＋３（１−t1）2t1ＥＰ(0)1 ＋３（１−t1）t1 2E2P(0)1 ＋t1 3E3P(0)1 ＝（１−t1）3P(0)1 ＋３（１−t1）2t1P(1)1 ＋３（１−t1）t1 2P(2)1 ＋t1 3P(3)1 ……（８） のように（７）式の各項に対応する項を有する式が得ら
れる。
（８）式においてP(0)1、P(1)1、P(2)1、P(3)1は第５図
に示すように、共有境界ＣＯＭ１２を規定する制御点
で、 P(1)1＝EP(0)1 ……（９） P(2)1＝E2P(0)1 ……(10) P(3)1＝E3P(0)1 ……(11) の関係がある。従つて（４）式を満足するためには、
（７）式及び（８）式の対応する項がそれぞれ互いに等
しければ良い。そこで（１−t1）3の項について P(0)1＝P0 ……(12) の関係が成り立ち、このことは第５図において、共有境
界ＣＯＭ１の節点P0と共有境界ＣＯＭ１２の制御点P
(0)1とが等しいことを表している。
次に、３（１−t1）2t1の項について P(1)1＝（１−t0）P0＋t0P1 ……(13) が成り立つ。(13)式においてP0、P1はP2、P3と共に、第
５図において共有境界ＣＯＭ１を規定する制御点を構成
し、 P1＝EP0 ……(14) P2＝E2P0 ……(15) P3＝E3P0 ……(16) の関係がある。従つて(13)式は、共有境界ＣＯＭ１２の
制御点P(1)1は、共有境界ＣＯＭ１の制御P0及びP1をパ
ラメータ（１−t0）及びt0によつて内分した点であるこ
とを表している（第５図）。
また３（１−t1）t1 2の項について P(2)1（１−t0＋t0Ｅ）2P0 ……(17) が成り立つ。(17)式の右辺を展開して変形すれば （１−t0＋t0Ｅ）2P0 ＝（１−t0）2P0＋２（１−t0）t0P1＋t0 2P0 ＝（１−t0）｛（１−t0）P0＋t0P1｝ ＋t0｛（１−t0）P1＋t0P2｝ …(18) のように変形できる。(18)式において（１−t0）P0＋t0
P1は、(13)式について上述したように、制御点P0及びP1
間を内分した点P(1)1である。また（１−t0）P1＋t0P2
は、第５図に示すように、共有境界ＣＯＭ１の制御点P1
及びP2間をパラメータ（１−t0）及びt0で内分した点Ｑ
を表し、従つて次式 （１−t0）P1＋t0P2≡Ｑ ……(19) で表すことができる。従つて(17)式は P(2)1＝（１−t0）P(1)1＋t0Ｑ ……(20) と表し得、結局共有境界ＣＯＭ１２の第２の制御点P
(2)1は、制御点P(1)1及び内分した点Ｑをさらにパラメ
ータ（１−t0）及びt0で内分した位置にあることが分か
る。
さらに（７）式及び（８）式においてt1 3の項について
次式 P(3)1＝（１−t0＋t0Ｅ）3P0 ……(21) が成り立ち、その右辺を展開して整理すれば、 （１−t0＋t0Ｅ）3P0 ＝（１−t0）3P0＋３（１−t0）2t0P1 ＋３（１−t0）t0 2P2＋t0 3P3 ＝（１−t0）2｛（１−t0）P0＋t0P1｝ ＋２（１−t0）t0｛（１−t0）P1＋t0P2｝ ＋t0 2｛１−t0）P2＋t0P3｝ ……(22) のように変形し得る。(22)式において、第１項の（１−
t0）P0＋t0P1は(13)式から制御点P(1)1であり、また第
２項の（１−t0）P1＋t0P2は(19)式について上述したよ
うに内分した点Ｑであることが分かる。
これに対して第３項の（１−t0）P2＋t0P3は、第５図に
示すように、共有境界ＣＯＭ１の制御点P2及びP3間をパ
ラメータ（１−t0）及びt0で内分した点を表し、これを
次式 （１−t0）P2＋t0P3≡P(2)2 ……(23) で表すように、共有境界ＣＯＭ１１の第２番目の制御点
P(2)2とする。
このようにすると、(21)式の制御点P(3)1は次式 P(3)1＝（１−t0）｛（１−t0）P(1)1＋t0Ｑ｝ ＋t0｛（１−t0）Ｑ＋t0P(2)2｝ ……(24) のように整理することができる。ところがこの(24)式に
おいて、第１項の（１−t0）P(1)1＋t0Ｑは(20)式で上
述したように制御点P(2)1であり、また第２項の（１−t
0）Ｑ＋t0P(2)2は、第図において内分した点Ｑ及び制御
P(2)2間をパラメータ（１−t0）及びt0で内分した点を
表し、これを （１−t0）Ｑ＋t0P(2)2≡P(1)2 ……(25) で表すように、共有境界ＣＯＭ１１の第１番目の制御点
P(1)2とする。
このようにすれば(24)式の制御点P(3)1は結局 P(3)1＝（１−t0）P(2)1＋t0P(1)2 ……(26) で表すように、共有境界ＣＯＭ１２の第２番目の制御点
P(2)1と、共有境界ＣＯＭ１１の第１番目の制御点P(1)2
との間をパラメータ（１−t0）及びt0で内分した点にな
ることが分かる。
このようにして共有境界ＣＯＭ１２は、パラメータt1が
０から１まで変化する間に、４つの制御点P(0)1、
P(1)1、P(2)1、P(3)1によつて規定される曲線として規
定することができ、このように規定すれば、（４）式の
条件を満足できることになり、結局パラメータt1が０か
ら１まで変化する間に表される共有境界ＣＯＭ１２は、
分割前の共有境界ＣＯＭ１についてパラメータｔを０か
らt0まで変化させたときに表す境界曲線と一致すること
になる。
(G4-2)境界上記ＣＯＭ１１について 次に分割前の共有境界ＣＯＭ１について、パラメータｔ
をt0から１まで変化させたときに指定される曲線と、分
割後の共有境界ＣＯＭ１１についてパラメータt2を０か
ら１まで変化させたときに指定される曲線とが一致する
ことを次に確認する。
分割後の共有境界ＣＯＭ１１を表す空間曲線R2(t2)を次
式 R2(t2)＝（１−t2−t2Ｅ）3P(0)2 ……(27) で表すとき、この曲線R2(t2)が次式について上述した共
有境界ＣＯＭ１を表す上記Ｒ（ｔ）と等しくなるために
は次式 （１−t2−t2Ｅ）3P(0)2 ＝（１−ｔ−ｔＥ）3P0 ……(28) が成り立つことが必要である。
ここでパラメータｔとt2との間には、パラメータt2が０
から１ま変化したしたとき共有境界ＣＯＭ１１の点P
(0)2から点P(3)2までの曲線が指定されるのに対して、
同じ曲線をパラメータｔをt0から１まで変化させること
によつて指定することができる関係にある。そこで次式 t2：１＝（１−t0） ……(29) の比例式が得られ、この比例式からパラメータｔは次式 ｔ＝（１−t0）t2 ……(30) のようにパラメータt2で表すことができる。
(30)式を(28)式の右辺に代入して整理すると(28)式の右
辺は （１−ｔ＋ｔＥ）3P0 ＝〔１−｛t0＋（１−t0）t2｝ ＋｛t0（１−t0）t2｝Ｅ〕3P0 ＝１−t0−t2＋t0t2＋t0Ｅ ＋t2Ｅ−t0t2Ｅ）3P0 ＝｛（１−t2）−（１−t2）t0 ＋（１−t2）t0Ｅ＋t2Ｅ｝3P0 ＝｛（１−t2）（１−t0＋t0Ｅ） ＋t2Ｅ｝3P0 ＝｛（１−t2）3（１−t0＋t0Ｅ）3 ＋３（１−t2）2（１−t0＋t0Ｅ）2t2Ｅ ＋３（１−t2）（１−t0＋t0Ｅ）t2 2E2 ＋t2 3E3｝P0 ……(31) のように展開することができる。
これに対して(28)式の左辺を展開すれば （１−t2＋t2Ｅ）3P(0)2 ＝（１−t2）3P(0)2 ＋３（１−t2）２t2P(1)2 ＋３（１−t2）t2 2P(2)2＋t2 3P(3)2 ……(32) のように（１−t2）3の項と、３（１−t2）2t2の項と、
３（１−t2）t2 2の項と、t2 3の項との和の形に整理する
ことができ、この各項が(31)式の対応する項と等しいと
置くことにより、共有境界ＣＯＭ１１の曲線を規定する
制御点P(0)2、P(1)2、P(2)2、P(3)2をそれぞれ求めるこ
とができる。ここで(32)式において P(1)2＝ＥP(0)2 ……(33) P(2)2＝E2P(0)2 ……(34) P(3)2＝E3P(0)2 ……(35) の関係がある。
先ず(31)式及び(32)式の（１−t2）3の項から次式 P(0)2＝（１−t0＋t0Ｅ）3P0 ……(36) が成り立つ。その右辺を展開すれば （１−t0＋t0Ｅ）P0 ＝（１−t0）3P0＋３（１−t0）2t0P0 ＋３（１−t0）t0 2P2＋t0 3P3 ＝（１−t0）2｛（１−t0）P0＋t0P1｝ ＋２（１−t0）t0｛（１−t0）P1＋t0P2｝ ＋t0 2｛（１−t0）P2＋t0P3｝ ……(37) のように表すことができ、第１項の（１−t0）P0＋t0P1
は、(13)式について上述したように制御点P(1)1であ
り、第２項の（１−t0）P1＋t0P2は(19)式について上述
したように内分した点Ｑであり、さらに第３項の（１−
t0）P2＋t0P3は(23)式について上述したように制御点P
(2)2である。
従つて(36)式の制御点P(0)2は P(0)2＝（１−t0）｛（１−t0）P(1)1 ＋t0Ｑ｝＋t0｛（１−t0）Ｑ ＋t0P(2)2｝ ……(38) のように書き直すことができる。ところが(38)式におい
てさらに第１項の（１−t0）P(1)1＋t0Ｑは(20)式につ
いて上述したように制御点P(2)1であり、また第２項の
（１−t0）Ｑ＋t0P(2)2は(25)式について上述したよう
に制御点P(1)2である。従つて(38)式の制御点P(0)2は次
式 P(0)2＝（１−t0）P(2)1＋t0P(1)2 ……(39) で表されるように、共有境界ＣＯＭ１２の制御点P(2)1
と共有境界ＣＯＭ１１の制御点P(1)2間をパラメータ
（１−t0）及びt0によつて内分した点として求めること
ができる。
次に(31)式及び(32)式の３（１−t2）2P2の項から P(1)2＝（１−t0＋t0Ｅ）2P1 ……(40) が成り立つ。その右辺を展開すれば （１−t0＋t0Ｅ）2P1 ＝（１−t0）2P1＋２（１−t0）t0P2＋t0 2P3 ＝（１−t0）｛（１−t0）P1＋t0P2｝ ＋t0｛（１−t0）P2＋t0P3｝ ……(41) のように整理することができ、その第１項の（１−t0）
P1＋t0P2は(19)式から内分した点Ｑであり、また第２項
の（１−t0）P2＋t0P3は(23)式から制御点P(2)2であ
る。そこで(40)式の制御点P(1)2は次式 P(1)2＝（１−t0）Ｑ＋t0P(2)2 ……(42) で表されるように、内分した点Ｑと制御点P(2)2間を
（１−t0）及びt0で内分した点であることが分かる。
さらに(31)式及び(32)式の３（１−t2）t2 3の項から P(2)2＝（１−t0＋t0Ｅ）P2 ＝（１−t0）P2＋t0P3 ……(43) の関係が成り立ち、結局制御点P(2)2は、制御点P2及びP
3間をパラメータ（１−t0）及びt0によつて内分した点
であることが分かる。
さらに(31)式及び(32)式のt2 3の項から P(3)2＝P3 ……(44) が成り立つ。これにより制御点P(3)2は共有境界ＣＯＭ
１の節点P3であることが分かる。
かくして共有境界ＣＯＭ１１は、制御点P(0)2P(1)2、P
(2)2、P(3)2によつてパラメータt2を０から１まで変化
させることによつて得ることができる。そしてこの空間
曲線は、共有境界ＣＯＭ１の制御点P0、P1、P2、P3に基
づいて、これを内分した点として表すことができ、かく
して共有境界ＣＯＭ１についてパラメータｔをt0から１
まで変化させたときに描く空間曲線と一致させることが
できる。
(G4-3)総合評価 上述のようにパラメータt1及びt2をそれぞれ０から１ま
で変化化させたときに描く共有境界ＣＯＭ１２及びＣＯ
Ｍ１１の空間曲線は、パラメータｔを０から１まで変化
させたときに描く共有境界ＣＯＭ１の空間曲線と一致す
るようにし得、かくして第２図について上述したように
共有境界ＣＯＭ１２及びＣＯＭ１１についてそれぞれ三
角形単位領域を切り出す際に用いたパラメータと同じパ
ラメータを用いて、第１のパツチS(u,v)1の切出し領域S
(u,v)12及びS(u,v)11から三角形単位領域を切り出した
ときに、その効果は共有境界ＣＯＭ１の線分について三
角形単位領域を切り出したと同じ効果を生じさせること
ができる。その結果共有境界ＣＯＭ１の位置に陰影処理
されない穴があくことを有効に防止し得る。
(G5)他の実施例 (1) なお、上述の実施例においては、枠組み空間に３
次のベジエ式で表されるパツチを張る場合について述べ
たが、数式の次数はこれに限らず４次以上にしても良
い。
(2) さらに上述の実施例においては、ベジエ式によつ
て表されるパツチを張るようにした場合について述べた
が、これに限らず、スプライン式、クーンズ(Coons)
式、フオーガソン(Furgason)式など他のベクトル関数を
用いるようにしても良い。
(3) また、上述の実施例においては、四辺形パツチ間
を接続する場合について述べたが、これに限らず、他の
形状のパツチを接続する場合にも同様にして本発明を適
用し得る。
Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、１本の境界曲線を介して
複数のパツチと接続されているパツチについて陰影処理
のための三角形パツチを切り出す際に、当該隣接するパ
ツチにおいて用いられたパラメータを用いて三角形単位
領域を切り出すようにしたことにより、陰影処理をでき
ないような穴を生じさせることなく、自由曲面全体につ
いて陰影処理をすることができる陰影表示方法を容易に
実現し得る。
【図面の簡単な説明】
第１図は本発明による陰影表示方法の一実施例を示す略
線図、第２図はその三角形単位領域の切出し手順を示す
略線図、第３図は他の応用例を示す略線図、第４図は陰
影表示処理手順を示すフローチヤート、第５図は分割さ
れた共有境界について異なるパラメータで三角形切出し
処理をした場合の結果の確認の説明に供する略線図、第
６図及び第７図は従来の陰影処理方法の説明に供する略
線図、第８図はその三角形単位領域の切出し手順を示す
略線図、第９図及び第１０図は他の自由曲面についての
陰影処理方法の説明に供する略線図、第１１図及び第１
２図はパツチからの三角形単位領域の切出し方法を示す
略線図である。 S(u,v)1……第１のパツチ、S(u,v)11、S(u,v)12……切
出し領域、S(u,v)21、S(u,v)22……分割されたパツチ、
ＵＡ、ＵＡ１１、ＵＡ１２、ＵＡ２１、ＵＡ２２……三
角形単位領域、ＣＯＭ１、ＣＯＭ１１、ＣＯＭ１２、Ｃ
ＯＭ４、ＣＯＭ５……共有境界。

Claims (1)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】枠組み処理によつて境界曲線で囲まれた多
    数の枠組み空間を形成し、上記枠組み空間にそれぞれ位
    置を表すパラメータを有するベクトル関数で表されるパ
    ツチを張ることにより生成された自由曲面について、上
    記枠組み空間にそれぞれ張られたパツチから三角形単位
    領域を切り出し、当該三角形単位領域の３つの頂点位置
    の輝度情報に基づいて、上記三角形単位領域に含まれて
    いるピクセルについての輝度情報を補間することによ
    り、上記自由曲面に陰影をつけるようになされた陰影表
    示方法において、 １辺の境界曲線を介して複数の第２のパツチに隣接する
    ように接続された第１のパツチから三角形単位領域を切
    り出すに先立つて、上記第１のパツチを上記複数の第２
    のパツチに対応する複数の切出し領域に分割し、当該分
    割された各切出し領域において上記複数の第２のパツチ
    のうち対応するパツチにおいて用いられているパラメー
    タを用いて上記三角形単位領域の切出しを実行する ようにしたことを特徴とする陰影表示方法。
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