JPS638882A - 陰影表示方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術（第１１図及び第１２図）Ｄ発明が解決し
ようとする問題点（第６図〜第１０図） Ｅ問題点を解決するための手段（第１図及び第２図）　
。

１作用（第１図及び第２図） Ｇ実施例 （Ｇｌ）第１実施例（第１図及び第２図）（Ｇ２）第２
実施例（第３図） （Ｇ３）陰影表示処理手順（第１図、第２図及び第４図
） （Ｇ４）切出し領域の分割処理結果の検討（第１図、第
２図及び第５図） （Ｇ５）他の実施例 Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は陰影表示方法に関し、例えばＣＡＤ　（ｃｏｍ
ｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）、又はＣＡ　
Ｍ　（ｃｏｓ＋ｐｕｔｅｒａｉｄｅｄ　ｍａｎｕｆａｃ
ｔｕｒｉｎｇ）などにおいて生成された自由曲面につい
て、陰影処理をする場合に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、枠組み空間にそれぞれ張られたパッチから三
角形単位領域を切り出して陰影処理をするようになされ
た陰影表示方法において、１辺の境界線を介して複数の
第２のパッチに隣接するように接続された第１のパッチ
から三角形単位領域を切り出す際に、当該複数の第２の
パッチの対応するパッチにおいて用いられているパラメ
ータを用いるようにすることにより、第１のパッチ及び
第２のパッチ間に陰影処理をすることができない領域を
残さないようにし得る。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて自由曲面をもった物体の形
状をデザインする場合（ｇｉｏｍｅｔｒｉｃ　ｍｏｄｅ
ｌｉｎｇ）　、一般にデザイナは、曲面が通るべき３次
元空間における複数の点（これを節点と呼ぶ）を指定し
、当該指定された複数の節点を結ぶ境界曲線網を所定の
ベクトル関数を用いてコンピュータによって演算させる
ことにより、いわゆるワイヤフレームで表現された曲面
を作成する。かくして境界曲線によって囲まれた多数の
枠組み空間を形成することができる（このような処理を
枠組み処理と呼ぶ）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
有しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用いて所定
のベクトル関数によって表現できる曲面を補間演算する
ことができれば、全体としてデザイナがデザインした自
由曲面（２次関数で規定できないものを言う）を生成す
ることができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は
全体の曲面を構成する基本要素を形成し、これをパッチ
と呼ぶ。

従来この種のＣＡＤシステムにおいては、境界曲線網を
表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベジ
ェ（ｂｅｚｉｅｒ）式、Ｂ−スプライン（Ｂ−ｓｐｌ　
１ｎｅ）式でなる３次のテンソル積が用いられており、
例えば形状的に特殊な特徴がないような自由曲面を数式
表現するには最適であると考えられている。

すなわち形状的に特殊な特徴がないような自由曲面は、
空間に与えられた点をｘｙ平面上に投影したとき、当該
投影さた点が規則的にマトリクス状に並んでいることが
多く、この投影点の数がｍ×ｎで表されるとき、当該枠
組み空間を３次のベジェ式で表される四辺形パッチを用
いて容易に張ることができる。

しかし形状的に特徴がある曲面（例えば大きく歪んだ形
状をもつ曲面）に滑らかな自由曲面を張ろうとする場合
には、パッチ相互間の接続方法に困難があり、高度な数
学的演算処理を実行する必要があるため、従来はコンピ
ュータによる演算処理が複雑かつ膨大になると共に、演
算時間が長大になる問題があった。

この問題を解決する方法として、隣合う枠組み空間の共
有境界について、接平面連続の条件を満足するような内
部の制御点を求め、当該内部の制御点によって決まる自
由曲面を表すベクトル関数によって、自由曲面でなるパ
ッチを張る方法が提案されている（特願昭６０−２７７
４４８号、特願昭６０−２９０８４９号、特願昭６０−
２９８６３８号、特願昭６１−３３４１２号、特願昭６
１−５９７９０号、特願昭６１−６４５６０号、特願昭
６１−６９３６８号、特願昭６１−６９３８５号）。

ところでこのような手法によって生成された自由曲面デ
ータによって表される自由曲面に対して、陰影処理を施
すことによって陰影をつけることができれば、当該曲面
をディスプレイ上に立体的に表示できることにより、グ
ラフィック画像として高品位の画像を提供することがで
きると考えられ、従来かかる陰影処理を線形補間によっ
て実現する方法が提案されている（特願昭６０−３７０
７７号）。

この陰影処理方法は、例えば第１１図及び第１２図に示
すように、四辺形バッチ及び三辺形パッチＳ　Ｔ０ｎ　
ｖｌ　について、パッチＳ　（ａｎ　Ｖ）の座標を表す
Ｕ及びＶ方向について、それぞれ所定の分割数で分割し
く例えば４×４分割し）、各分割領域ごとに、三角形単
位領域ＵＡを切り出し、当該三角形単位領域ＵＡの３つ
の頂点について自由曲面の明るさを表すデータを求め、
当該３つのデータによって三角形単位領域に張った輝度
平面に基づいて、三角形単位領域ＵＡに含まれる全ての
ピクセルについての輝度を線形補間演算するようになさ
れている。

このようにすれば、三角形単位領域ＵＡに含まれる全て
のピクセルについて逐一輝度を演算するような処理をす
る場合と比較して、格段的に陰影処理を短時間の間に実
行することができる。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 ところがこの手法によって陰影処理をする場合、隣合う
パッチの境界位置に枠組み処理が不適当なために陰影処
理ができない部分（これをギャップと呼ぶ）が生ずるお
それがある。

その原因を種々検討したところ、枠組み空間を枠組みす
る際に、互いに隣接する２つの枠組み空間について、そ
の共有境界のセグメントが互いに一致しないことにある
と考えられる。

例えば互いに隣接する４つの枠組み空間に３次ノヘジエ
式で表される４つの四辺形パッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｒ
　ｓ　Ｓ　＋Ｉｌｌ　Ｉｌｌ　ｔ、Ｓ　（ｕ、ｖｌ　！
、Ｓ　（ＬＩＴ　Ｖ）　ａを張る場合、先ず、第６図に
示すように、第１及び第２のパッチＳ　（ｕｓ　ｖｌ　
ｌ及びＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｚを共有境界Ｃ０Ｍ１を介し
て接平面連続の条件が成り立つように内部の制御点を設
定することによって２つのパッチ５（ｕｓ　ｖｌ　ｌ及
びＳ　（０＋　ｖｌ　ｔを接続したとする。

ところが第２のパッチＳ　（ａｎ　Ｖ）　Ｘは、その１
辺を構成する境界曲線でなる共有境界Ｃ０Ｍ２及びＣ０
Ｍ３を介して第３及び第４のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　
３及びＳ　（ａｎ　ｖ）　４に隣接しており、　これら
２つのパッチＳ　（ｕ、　ｖｌ　２及びＳ　（ｕｎ　ｖ
ｌ　４に対してそれぞれ共有境界Ｃ０Ｍ２及びＣ０Ｍ３
について接平面連続の条件を満足させながらパッチＳ　
（ｕ＋Ｖ□を接続するためには、　第７図に示すように
、　第２のパッチＳ　（ｕ、　ｖ）　！を共有境界Ｃ０
Ｍ４によって２つの四辺形パッチＳｌｕ＋　ｖ）　ｔ　
ｌ及びＳ　（ｕ、ｖｌ　ｉｔに分割した後、当該分割し
た一方のパッチＳ　（ｕｎ　Ｖ□、を共有境界Ｃ０Ｍ２
を介して第３のパッチＳ　、、、　Ｖ）　、に接続し、
かつ分割した他方のパッチＳ　（ｇ、　Ｖ）　２□を共
有境界Ｃ０Ｍ３を介して第４のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ
　４に接続すると共に、共有境界Ｃ０Ｍ４を介して分割
した２つのパッチＳ　（Ｉｌｌ　Ｖｌ　２１及びＳ　（
ＩＩＩ　Ｖｌ。を接続すれば良く、このようにすれば、
実用上滑らかな自由曲面を枠組み処理によって得られた
４つの枠組み空間に張ることができると考えられる。

ところが第７図のようにして形成された自由曲面につい
て、三角形単位領域を切り出して線形補間の手法を用い
て陰影処理をしようとすると、共有境界Ｃ０Ｍ１を介し
て接続された第１及び第２のパッチＳ　（Ｉｌｌ　ＩＴ
）　Ｉ及びＳ　（＋１＋　ｖｌ　２の間に、陰影処理が
できない部分（これをギャップと呼ぶ）が生ずるおそれ
がある。

すなわち第８図において、第１のパッチＳ　（ｕｎ　ｖ
ｌ　Ｉと、２つに分割したパッチＳ　、、、　Ｖ）　２
．及びＳ　（ＩＩＩ　Ｖｌ　ｚ□との間の共有境界Ｃ０
Ｍ１についての三角形単位領域の切出しは、各パッチＳ
　（ｕｎ　ｖ）いＳ　（ａｎ　ｖｌ　！ｌ　、Ｓ　（ｕ
ｎ　ｖｌ　１２において、それぞれ別個に実行される。

第１のパッチＳ　、、、　Ｖ、　、においては、　共有
境界Ｃ０Ｍ１上に例えば３つの分割点（ｐ、いＰｌｕｓ
Ｐ、３）をパラメータＶについて設定し、かくして４分
割された分割範囲からそれぞれ４つの三角形単位領域Ｕ
ＡＩを切り出して陰影処理をする。

これに対して第２のパッチＳ（ｕ、ｖ□を分割して得ら
れた２つのパッチ５（Ｉｌｌ　Ｖ）　２１及びＳ　、ｕ
、　ｖ、　、。

においては、　それぞれ共存境界ＣＯＭＩＩ及びＣ０Ｍ
１’２上に３つの分割点（Ｐｔｚ　％　ＰｔＩｔ、Ｐｔ
ｚｉ）及び（Ｐｚｚｔ　、Ｐｚｚｔ　、、　Ｐｚｔｓ　
）を設定して４つの三角形単位領域ＵＡ２１及びＵＡ２
２を切り出して陰影処理をする。

ここで三角形単位領域ＵＡＩ、ＵＡ２１、ＵＡ２２は、
それぞれのパッチにおけるＶ方向のパラメータＶを用い
てｙ　ｗ　Ｑ〜１の間を等間隔に０．２５ずつ分割して
切り出される。

ところがこのようにすると、第１のパッチＳ　（ｕｎ　
ｖ）　ｌの三角形単位領域ＵＡＩの切り出しは、枠組み
処理によって形成された共有境界ＣＯＭＩの両端位置の
節点Ｐ、。〜Ｐ０１間を１つのセグメントとして４分割
している。　これに対してパッチを接続する必要性から
新たに分割されたパッチＳ　ＴＩＩ＋　ｖ）　Ｒｌ及び
Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　ｘｇは、その共有境界Ｃ０Ｍ４が共
有境界ＣＯＭＩと突き当たる点Ｐ。を境として点２８〜
２．３間の共有境界ＣＯＭＩＩを第１のセグメントとす
ると共に、点Ｐ、−Ｐ、。間の共有境界Ｃ０Ｍ１２を第
２のセグメントとして分割処理を実行する。

このようにすると節点Ｐ０゜〜Ｐ０１間の共有境界ＣＯ
ＭＩについて、　第１のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｉ側
においては４つの三角形単位領域ＵＡＩを切り出すのに
対して、　新たなパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｔｌ及びＳ
　（Ｉｌ＋　Ｖ）　！ｆｆｉ側においては、共有境界Ｃ
ＯＭＩの線分でなる共有境界ＣＯＭＩＩ及びＣ０Ｍ１２
をそれぞれ４分割した三角形単位領域ＵＡ２１及びＵＡ
２２を切り出すことになり、結局共有境界Ｃ０Ｍ１に対
して合計８分割した大きさの三角形単位領域ＵＡ２１及
びＵＡ２２を切り出す結果になる。

従って、節点Ｐ０゜〜Ｐ０１間を４分割する三角形単位
領域ＵＡＩの共有境界ＣＯＭＩに沿う１辺が通る位置は
、同様に節点Ｐ０゜〜Ｐ０１間を８分割する三角形単位
領域ＵＡ２１及びＵＡ２２の共有境界ＣＯＭＩＩ及びＣ
０Ｍ１２に沿う１辺が通る位置と同じになることはな（
、その間にギャップＧＵＰＸが生ずることになる。

そこでこのギャップＧＵＰＸの部分については、陰影処
理がされないことになり、結局陰影がつかない部分が生
じることによりいわゆる穴があくことになる。

第６図〜第８図においては、　第１のパッチＳ　（ＩＩ
＋　ｖｌ　ｌを第２のパッチＳ　＜ｍ＊　ｖｌ　ｇに接
平面連続の条件の下に接続した場合について述べたが、
　第６図に対応させて第９図に示すように、　第１のパ
ッチＳ　（ａｎ　ｖｌ　ｌを第２のパッチＳ　（＠＋　
Ｖ）□に接平面連続の条件が成り立たない条件の下に接
続した状態において、　第７図に対応させて第１０図に
示すように、第２のパッチＳ　、、、　Ｖ）　、を２つ
のパッチＳ　（ｕｎ　Ｖ）　！Ｉ及びＳ　（ｕｎ　ＩＴ
ｌ。に分割して接平面連続の条件の下に隣接するパッチ
と接続する場合についても、第・８図について上述した
と同様にして、ギャップＧＵＰＸが生じる結果になる。

このように陰影処理ができない部分が生ずると、陰影を
つけた自由曲面が不自然に見える不都合が生ずる。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、第８図に
ついて上述したようなギャップＧＵＰＸが生じないよう
に陰影処理のための三角形単位領域を切り出すことがで
きるようにした陰影表示方法を提案しようとするもので
ある。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によって境界曲線で囲まれた多数の枠組み空間を形
成し、この枠組み空間にそれぞれ位置を表すパラメータ
を有するベクトル関数で表されるパッチを張ることによ
り生成された自由曲面について、枠組み空間にそれぞれ
張られたパッチから三角形単位領域を切り出し、当該三
角形単位領域の３つの頂点位置の輝度情報に基づいて、
三角形単位領域に含まれているピクセルについての輝度
情報を補間することにより、自由曲面に陰影をつけるよ
うになされた陰影表示方法において、１辺の境界曲ｉｃ
ＯＭ１を介して複数の第２のパッチＳ　（ｕｎ　Ｖ）　
Ｋｌ　、Ｓ　＋ｕ＋　ｖ）　ｚｚに隣接するように接続
された第１のパッチＳ　Ｔｕ＋　ｖ＞　Ｉから三角形単
位領域を切り出すに先立って、第１のパッチＳ　（ｕ、
ｖｌ　ｌを複数の第２のパッチＳ　（ｕｎ　Ｖ）　Ｚ　
ｌ　、ｇ−（ｕｎ　Ｖ）　ｔｌに対応する複数の切出し
領域に分割し、　当該分割された各切出し領域において
複数の第２のパッチＳ　（ＩＩＩ　ｖ、ｚ＋　、Ｓ　（
ｕｎ　ｖ）ｔｚのうち対応するパッチにおいて用いられ
ているパラメータＶを用いて三角形単位領域の切出しを
実行するようにする。

Ｆ作用 第１のパッチＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｌにおいて分割形成さ
れた切出し領域に、おいて、　対応する第２のパッチ５
（ｕｎ　ｖｌ　ｇ＋　、Ｓ　（ｕｎ　ｖ）　ｔｔにおい
て用いられているパラメータＶを用いて三角形単位領域
の切出しを実行するようにしたことにより、　第１のパ
ッチＳ　ＩＩＩＩｖｌ　ｌ及び第２のノ々ツチＳ　（ｕ
ｎ　ｖ）　！Ｉ　５Ｓ（ＩＩＩ　ＩＦ５１１間の共有境
界ＣＯＭＩにおいてギャップを生じさせないように三角
形単位領域を切り出すことができる。

かくして自由曲面について陰影処理ができない部分を穴
として残すことなく自由曲面全体について自然な陰影を
つけることができる。

Ｇ実施例 以下図面について本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）第１実施例 第１図は第６図及び第７図について上述したようにして
形成された自由曲面について本発明を適用した場合の実
施例を示すもので、パッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　！　ｌ及
びＳ　１．＋　ｖｌ　２２の陰影処理については、第８
図について上述したと同様にして三角形単位領域ＵＡ２
１及びＵＡ２２を切り出す。

これに対して第１のパッチＳ　＋ｕ、ｖｌ　Ｉの陰影処
理を実行する際には、　第１のパッチＳ　Ｌｕ＋　ｖｌ
　Ｉと隣接する２つのパッチｓ　、ｕ、　ｖｌ　ｆｆｉ
、及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｚ□と同じパラメータを用い
て三角形単位領域を切り出すように、　　２つの切出し
領域Ｓ　（１１ｖｌ　ｌ　Ｉ及び５（Ｉｌｌ　ｖｌ　Ｉ
□に分割する。すなわち第８図に対応させて第２図に示
すように、　２つのパッチ５（ｕｎ　Ｉ＋）　１１及び
Ｓ　（ａ、ｖｌ　Ｎ１間の共有境界Ｃ０Ｍ４が共有境界
Ｃ０Ｍ１に突き当たる中点ｐ、を通って延長する共有境
界Ｃ０Ｍ５によって第１のパッチＳ　ｔｕ、　ｖｌ　ｌ
を２つの切出し領域５（ｕｎ　ｖｌ　ｌ　ｌ及びＳ　（
ＩＩＩ　ｖｌ　１２に分割する。

第１の切出し領域Ｓ（ｕｎ　ｖｌ　ｌ　ｌ　は、共有境
界Ｃ０Ｍ１ｌを介して隣接するパッチＳ　（ＩＩＩ　Ｉ
ＴＩ　＊　Ｉのパラメータと同じパラメータＶを用いて
、節点ｐｏｓから中点ＰＭまでの範囲を、４分割され、
各分割範囲について三角形単位領域ＵＡＩＩが切り出さ
れる。

また第２の切出し領域Ｓ　（ａｔ　ｖ、　、□は、共有
境界Ｃ０Ｍ１２を介して隣接するパッチＳ　（ＩＩＩ　
ｖｌ　２□と同じパラメータＶを用いて、　節点Ｐ０゜
から中点Ｐ４までの範囲を４分割され、各分割範囲につ
いて三角形単位領域ＵＡ１２が切り出される。

このようにすれば、共有境界ＣＯＭＩＩを境にしてパッ
チＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｚ＋側において切り出された三角
形単位領域ＵＡ２１について、その共有境界ＣＯＭＩＩ
に沿う方向の１辺が通る位置は、第１の切出し領域Ｓ　
ＩＭＪｔ　ｖｌ　Ｉ　Ｉ側において切り出された三角形
単位領域ＵＡＩＩについて、その共有境界ＣＯＭＩＩに
沿う方向の１辺が通る位置と全く同じ位置になる。

同様にして共有境界Ｃ０Ｍ１２について、パッチＳ　（
ｕ、　ｖｌ　ｆｆ１ｔ側において切り出された三角形単
位領域ＵＡ２２の共有境界Ｃ０Ｍ１２に沿う方向の１辺
が通る位置は、第２の切出し領域Ｓ　（ｕｎ　Ｖ）　Ｉ
　２側において切り出された三角形単位領域ＵＡ１２の
共有境界Ｃ０Ｍ１２に沿う方向の１辺が通る位置と同一
となる。その結果それぞれ、共有境界ＣＯＭＩＩ及びＣ
０Ｍ１２を挟んで両側に切り出された三角形単位領域Ｕ
Ａ２１及びＵＡＩＩ間、ＵＡ２２及びＵＡ１２間にギャ
ップが生ずることはない。

かくして第１及び第２の切出し領域ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　
、　。

及びＳ　（ｕｎ　ｗ）　Ｉ　１に分割された第１のパッ
チＳ　＋ｕ、ｖ目に張られたパッチと、隣接する２つの
パッチＳ　（ｕ、　ｗ＋　ｚ＋及びＳ　（、、ｖ）　Ｂ
の間に陰影がつかないいわゆる穴が生じることはない。

上述の実施例によれば、隣合うパッチの一方が、枠組み
空間上にパッチを張る条件に基づいて分割されたとき、
分割されないパッチ及び隣接する分割されたパッチに対
して陰影処理を施したとき、両者の境界位置にいわゆる
穴があくおそれを未然に防止することにより、自由曲面
上の陰影が不自然に見えるような結果になるおそれを有
効に防止し得る。

（Ｇ２）第２実施例 第３図は、第１０図について上述したようにして生成さ
れた自由曲面に陰影処理をする場合の実施例を示すもの
で、　この場合にも第１図の場合と同様にして第１のパ
ッチＳ　（Ｉｌｌ　Ｖｌ　ｌを共有境界ＣＯＭＩＩ及び
Ｃ０Ｍ１２を介して隣接するパッチＳ（ｕｎ　ｖｌ　！
　ｌ及びＳ　（１＋１　Ｖｌ　ｔ　ｔのパラメータとお
なしパラメータを用いて第１及び第２の切出し領域Ｓ　
（ｕｎ　ＩＴ）　Ｉ　１及びＳ　（Ｉｌｌ　ｙｌ　Ｉ　
１に分割する。

このようにすれば、第１図について上述したと同様の効
果を得ることができる。

（Ｇ３）陰影表示処理手順 このような陰影処理に伴う三角形切出し領域の分割処理
は、コンピュータによって第４図に示す陰影表示処理手
順を実行することにより実現し得る。

第４図において、ステップＳＰＩにおいて陰影表示処理
プログラムが開始されると、コンピュータはステップＳ
Ｐ２においてパッチデータを読み込んでワイヤフレーム
表示をする。このパッチデータは例えばデザイナが自由
曲面をデザインする際に、別途３次元空間に境界曲線網
を枠組みすることによって得られる。

この表示状態においてオペレータはワイヤフレーム表示
された自由曲面について、陰影処理をするに際して不適
当なパッチを含む不具合があるか否かをステップＳＰ３
において目視確認し、不具合があるとの判断結果が得ら
れたとき、ステップＳＰ４に移って当該不具合があるパ
ッチを複数の切出し領域に分割した後ステップＳＰ５に
移る。

このステップＳＰ３及びＳＦ３の処理手順は第１図及び
第２図について上述したように、隣合う２つのパッチが
異なるパラメータによって三角形単位領域の切り出しを
するように構成されている場合に、そのまま各パッチに
ついて陰影処理をすれば隣合うパッチの境界曲線の位置
に陰影処理をすることができない領域が穴となって残る
場合があるので、このパッチ相互間の穴を発生させない
ように防止する。

ステップＳＰ３において不具合なパッチが発見できなか
ったときには、直ちにステップＳＰ５に移る。

このステップＳＰ５は、共有境界と、切り出される三角
形単位領域の共有境界に沿う１辺との間の誤差δの値を
措定するステップで、オペレータがこの誤差δを指定す
ると、コンピュータはステップＳＰ６に移って当該誤差
δに対する三角形単位領域の分割数を決定して分割処理
を実行する。

このステップＳＰ５及びＳＦ３の処理は、１つのパッチ
から三角形単位領域を切り出す際に当該パッチが本来境
界曲線にもっている曲線感を失わせないようにするため
の再分割処理で、コンピュータはこの処理結果をステッ
プＳＰ７においてオペレータに目視確認させ、実用上未
だ曲線感を失わせるような状態にある場合には、上述の
ステップＳＰ５に戻って誤差δの値を再指定すると共に
、当該誤差δに対する三角形単位領域の分割処理を繰り
返す。

このような処理が終了したとき、コンピュータはステッ
プＳＰ８に移って当該陰影表示処理プログラムを終了す
る。

（Ｇ４）切出し領域の分割処理結果の検討（Ｇ４−１）
境界曲線Ｃ０Ｍ１２について第１図及び第２図について
上述したように、第１のパッチＳ　、、、　Ｖ）　、の
パラメータＶをＯから１まで変化させることにより指定
される共有境界Ｃ０Ｍ１について、これを２つの共有境
界ＣＯＭＩＩ及びＣ０Ｍ１２に分割し、それぞれ隣接す
るパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ２１及び５（ｕｎ　ｖｌ　ｚ
ｚのパラメータＶを用いてこれをＯから１まで変化させ
るまでの間に三角形単位領域ＵＡＩＩ及びＵＡ１２を切
り出したとき、その切出し結果は直接光の共有境界Ｃ０
Ｍ１について三角形単位領域を切り出した場合と同じ結
果になる。このことは、次のようにしてＦ１１Ｉ認し得
る。

各枠組み空間に張るパッチＳ　（ｕ、ｖｌ　を次式３式
％） のように３次のベジェ式で表すとすると、第１図及び第
２図のパッチＳ　（ｕ＋　ｗ＋　１の共有境界ＣＯＭ　
１は、次式 ％式％（２） で表されるように、パラメータｔがＯから１まで変化す
る間に第５図に示すように、節点Ｐ０からＰ、までの共
有境界ＣＯＭＩを、Ｘ７２座標空間における空間曲線Ｒ
（Ｌ）として表すことができる。

ところで共有境界Ｃ０Ｍ４　（第２図）が共有境界Ｃ０
Ｍ１に突き当たる中点Ｐ。において、第１のパッチＳ　
（ｕ＋　ｖ）　Ｉが共有境界Ｃ０Ｍ５によって分割され
たと考えたとき、　パラメータｔがＯから【。まで変化
したとき、指定し得る節点Ｐ０から中点ｐ、までの線分
でなる共有境界Ｃ０Ｍ１２は、次式 ％式％） のように、パラメータｔ、（＝Ｏ〜ｌ）を変数とする空
間曲線Ｒ＋（ｔ＋）によって表すことができる。

ここで共有境界Ｃ０Ｍ１２は、共有境界Ｃ０Ｍ１の線分
であるので、分割後の空間曲線Ｒ＋（ｔ＋）は分割前の
空間曲線Ｒ（ｔ）と等しいはずであり、（２）式及び（
３）式から （１−ｔ　、＋　ｔ　＋Ｅ）３ｐ　、。ｚ＝（ｌ　　ｔ
　＋　ｔ　Ｅ）３Ｐａ・・・・・・（４） の関係が成り立つ。

ここで分割後の空間曲線Ｒ１（Ｅｌ）のパラメータｔ１
は、共有境界Ｃ０Ｍ１２を節点Ｐ０から中点Ｐ９まで指
定する際に、０から１まで変化するのに対して、同様に
節点Ｐ０からＰ、までの範囲を空間曲線Ｒ（ｔ）の位置
を指定するにはパラメータｔを０からｔｏまで変化させ
る関係にある。この関係を比例式で表せば ｔ：４＝ｔ：ｔｏ　　　　　　　　・・・・・・（５）
となり、パラメータを及びｔｌの関係は１＝１．１．　
　　　　　　　　　　・・・・・・（６）で表し得る。

（６）式を（４）式の右辺に代入すると共に、式の形を
整えて展開すると、 （１−ｔ　＋　ｔ　Ｅ）’ＰＧ −（１−ｔｏｔ、＋１゜ｔ＋Ｅ）’Ｐａ＝　（１−ｔ、
＋　ｔ＋（１−ｔｏ＋　ｔｏＥ））　３Ｐａ＝　（１−
ｔ　＋）’Ｐ。

＋３（１−ｔ　ｌ）”　ｔ　１（１−ｔ　０＋　ｔ　０
Ｅ）ＰＧ＋３（１−ｔ、）ｔ、”（１−ｔ０＋仁。Ｅ）
”Ｐ。

＋　ｔ　＋’（１ｔ　ｏ　＋　ｔ　ｏＥ）”Ｐ　ｏ　　
　　・・・・・・　（７）のように、パラメータｔ１に
ついて（ｔ　　ｔ＋）３の項と、３　（ｌ　　ｔ＋）”
　　ｔ＋　の項と、　３　（１−ｔ＋）ｊ％の項とｔｌ
ｌの項との和として表し得る。

これに対して（４）式の左辺を展開すると、次式 ％式％ ＋　ｔ　１３Ｐ　（３＋　１　　　　　　　　　　　　
　・・・・・・　（８）のように（７）式の各項に対応
する項を有する式が得られる。

（８）式においてＰ、。、いＰ、１．いＰ。、１、Ｐ（
り＋は第５図に示すように、共有境界Ｃ０ＭＩ２を規定
する制御点で、 Ｐ（Ｉｌｌ”ＥＰ（１１目　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　＋−−０−（９）Ｐ＋ｔｔｔ−Ｅ”Ｐ
（ｏｚ　　　　　　　・・・・・・（１０）Ｐ（３１１
＝Ｅ’Ｐ（。１．　　　　　　・・・・・・（１１）の
関係がある。従って（４）式を満足するためには、（７
）式及び（８）式の対応する項がそれぞれ互いに等しけ
れば良い、そこでＮ−ｔｔ）’の項について Ｐ（。ｌ　１　”’　Ｐ　Ｏ・・・・・・（１２）の関
係が成り立ち、このことは第５図において、共有境界Ｃ
ＯＭＩの節点Ｐ０と共存境界ＣＯＭ　１２の制御点Ｐ、
。、ｌとが等しいことを表している。

次に、３　　（ｔ−ｔｔ　）”　　ｔｔ　の項について
Ｐ＋ｎ＋＝（Ｉ　　ｔｏ）Ｐｏ＋　ｔａＰ＋　　・・・
・−（１３）が成り立つ。（１３）式においてＰｏ、Ｐ
＋はＰ２、Ｐ、と共に、第５図において共有境界ＣＯＭ
Ｉを規定する制御点を構成し、 Ｐ、＝ＥＰ、　　　　　　　　　　　・・・・・・（１
４）Ｐ、＝Ｅ”Ｐ、　　　　　　　　　　・・・・・・
（１５）Ｐｓ＝Ｅ３Ｐｏ　　　　　　　　　　・・・・
−（１６）の関係がある。従って（１３）式は、共有境
界Ｃ０Ｍ１２の制御点ｐＨ）ｌは、共有境界Ｃ０Ｍ１の
制御点Ｐ０及びＰｌをパラメータ（１−ｔｏ）及びｔｏ
によって内分した点であることを表している（第５図）
。

また３（１ｔ、）ｔｔ”の項について Ｐｔｔ）ｌ−Ｃ１’ｏ＋ｔｏＥ）”Ｐｏ　　・−−−−
・（ｘ７）が成り立つ、　　（１７）式の右辺を展開し
て変形すれ（１ｔ、＋　ｔｏＥ）”Ｐ。

＝（１ｔｏ）”Ｐｏ＋２（１ｔｏ）ｔｏＰ、＋　ｔｌｌ
”ｐ２＝（１−ｔｏ）（（１−ｔｏ）ｐｏ＋　ｔｏＰ＋
）＋　ｔｏ　　（（１−ｔｏ）Ｐ＋＋　ｔ。ｐｇ）　　
　・・・・・・　（１８）のように変形できる。　　（
１８）式において（１−【。）ｐ、＋ｔ。ｐ、は、（１
３）式について上述したように、制御点Ｐ、及び２５間
を内分した点Ｐ（Ｉｌｌである。また（１　　ｔｏ　）
　Ｐ＋　＋ｔｏ　Ｐｇは、第５図に示すように、共有境
界ＣＯＭＩの制御点ｐ、及び２２間をパラメータ（１−
ｔＯ）及びｔｏで内分した点Ｑを表し、従って次式％式
％（１９） で表すことができる。従って（１７）式はＰ＋ｚ＋＋＝
（１ｔｏ）Ｐｎ＋＋＋　ｔｏＱ　−−（２０）と表し得
、結局共有境界Ｃ０Ｍ１２の第２の制御点Ｐ（Ｈ＋は、
制御点Ｐ（１）ｌ及び内分した点Ｑをさらにパラメータ
（ｔ−ｔｏ）及びｔ、で内分した位置にあることが分か
る。

さらに（７）式及び（８）式においてｔ％の項について
次式 ％式％（２１） が成り立ち、その右辺を展開して整理すれば、（１−ｔ
　、＋　ｔ　ｏＥ）’ｐ。

＝（１−ｔｏ）”Ｐｏ＋３（１−ｔｏ）”ｔｏＰ＋＋３
（１−ｔｏ）ｊｏ”Ｐ１＋ｔ、’ｐ。

＝（１−ｔｏ）”　（（１−ｔｏ）Ｐｏ＋　ｔ＊Ｐ＋）
＋２（１−ｔｏ）ｔｏ　（（１−ｔｏ）Ｐｔ＋　ｔａＰ
ｔ）＋　ｔｏ”　（（Ｉ　　Ｌｏ）Ｐｚ＋ｔｏＰｓ）・
・・・・・（２２） のように変形し得る。　　（２２）式において、第１項
の（１−ｔｏ）Ｐｏ　＋ｔｏ　Ｐ＋は（１３）式から制
御点Ｐ（１）、であり、また第２項の（ｔ−ｔｏ）ｐ、
＋ｔ、ｐ！は（１９）式について上述したように内分し
た点Ｑであることが分かる。

これに対して第３項の（１’ｏ　）　Ｐｇ　＋ｉ。

Ｐ、は、第５図に示すように、共有境界ＣＯＭＩの制御
点Ｐオ及び２１間をパラメータ（ｌ−【。

）及びｔｏで内分した点を表し、これを次式％式％（２
３） で表すように、共有境界ＣＯＭＩ　１の第２番目の制御
点Ｐ＜ｔｉｔとする。

このようにすると、（２１）式の制御点Ｐ（！、は次式 ％式％） のように整理することができる。ところがこの（２４）
式において、第１項の（ｌ　　ｔｏ　）　Ｐ＜＋＞＋＋
ｔｏＱは（２０）式で上述したように制御点Ｐ（ｉｌｌ
であり、　　また第２項の（１ｔｏ）Ｑ＋ｔ。

ｐｕｎｔは、第５図において内分した点Ｑ及び制御点Ｐ
（り１１間をパラメータ（１−ｍｅ）及びｔｏで内分し
た点を表し、これを （１ｔａ）Ｑ＋　ＬｏＰｎ、ｚ＝Ｐ＜ｕｔ　−−（２５
）で表すように、共有境界ＣＯＭＩＩの第１番目の制御
点Ｐ、、、ｔとする。

このようにすれば（２４）式の制御点Ｐ　１３＋　１は
結局 Ｐ＋ｚ＋＋＝（１ｔｏ）Ｐ（ｚ＋＋＋　ｔｏＰ（１）２
・・・・・・　（２６） で表すように、共有境界Ｃ０Ｍ１２の第２番目の制御点
Ｐ、ｚ）１と、共有境界ｃｏＭｌｌの第１番目の制御点
ｐＨ）！との間をパラメータ（１ｔｏ）及びｔ、で内分
した点になることが分かる。

このようにして共有境界Ｃ０Ｍ１２は、パラメータｔ１
がＯから１まで変化する間に、４つの制御点Ｐ　Ｔ０１
１％　Ｐ　（１１１％　Ｐ　（Ｉｌｌｓ　Ｐ　＋３３＋
によって規定される曲線として規定することができ、こ
のように規定すれば、（４）式の条件を満足できること
になり、結局パラメータｔ、がＯから１まで変化する間
に表される共存境界Ｃ０Ｍ１２は、分割前の共有境界Ｃ
ＯＭＩについてパラメータｔをＯからｔｏまで変化させ
たときに表す境界曲線と一致することになる。

（Ｇ４−２）境界曲線Ｃ０Ｍ１１について次に分割前の
共有境界ＣＯＭＩについて、パラメータｔをｔ、から１
まで変化させたときに指定される曲線と、分割後の共有
境界Ｃ０Ｍ１１についてパラメータｔ　ｔ　’＠　０か
ら１まで変化させたときに指定される曲線とが一致する
ことを次に確認する。

分割後の共有境界ＣＯＭＩＩを表す空間曲線Ｒｚ（Ｌｘ
）を次式 ％式％（２ で表すとき、この曲線Ｒｚ（ｔｔ）が次式について上述
した共有境界ＣＯＭＩを表す曲線Ｒ（ｔ）と等しくなる
ためには次式 ％式％（） が成り立つことが必要である。

ここでパラメータｔと１．との間には、パラメータｔ！
がＯから１まで変化したとき共有境界Ｃ０Ｍｌｌ０点Ｐ
（。、８から点Ｐ。、２までの曲線が指定されるのに対
して、同じ曲線をパラメータｔをｔｏから１まで変化さ
せることによって指定することができる関係にある。そ
こで次式 ％式％（２９） の比例式が得られ、この比例式からパラメータｔは次式 ｔｔ（１−ｔｏ）ｔ、　　　　　　　　・・・・・・（
３０）のようにパラメータｔ、で表すことができる。

（３０）式を（２８）式の右辺に代入して整理すると（
２日）式の右辺は （１−ｔ　＋　ｔ　Ｅ）’Ｐ　。

”　（１（ｔｏ＋（１ｔｏ）ｔｚ） ＋　（ｔｏ　＋　（ｔ−ｔｏ）ｔｚ）　Ｅ）’Ｐ。

−（Ｉ　　Ｌｏ　　Ｌ２＋　ｔｏｔｔ＋　ｔｏＥ＋　ｔ
　２Ｅ　　ｔ　ｅ　ｔ　２Ｅ）’Ｐ　。

−［１ｔｔ）　　（ｌ　　ｔｚ）　ｔ。

＋（１−ｔ　ｚ）　ｔ　ｏＥ　＋　ｔ　ｚＥ）　’Ｐａ
＝　　（（１−ｔｚ）（１−ｔ、＋ｔ、Ｅ）＋３（１−
ｔｚ）”　　（１−ｔ。＋　ｔｌ、Ｅ）”ｔｔＥ＋３（
１ｔｔ）（１ｔｏ＋ｔｏＥ）ｔｔ！Ｅ”＋ｊｚ３Ｅコ）
ｐｏ　　　　　　　　　　　　・・・・・・　（３１）
のように展開することができる。

これに対して（２８）式の左辺を展開すれば（１ｔ　ｔ
ｌ　　ｔ　ＩＥ）’Ｐ　＋ｏ＋ｚ＝（１ｔｚ）’Ｐ＋。

、ｔ ＋３（１ｔｚ）”ｔｚＰｎ＋ｚ ＋３（１ｔ　ｚ）　ｔ　ｚ”Ｐ　＋ｚ＋ｚ＋　ｔ　ｚ’
Ｐ　、：ｎｚ・・・・・・（３２） のように（１−ｔｉ”の項と、　　３　　（１−ｔｔ）
２　ｔｔの項と、３　（１−ｔ、　）　　ｔ、　”の項
と、ｔ２３の項との和の形に整理することができ、この
各項が（３１）式の対応する項と等しいと置くことによ
り、共有境界ＣＯＭＩＩの曲線を規定する制御点Ｐ＋＠
ｉｔ、Ｐ　ｕ＋　２％　Ｐ　、ｚｒ　ｔ、、　Ｐ　ｔｘ
＞　ｔをそれぞれ求めることができる。ここで（３２）
式においてＰ　（１１１＝　Ｅ　Ｐ　（６）　＊　　　
　　　　　−・・・（３３）Ｐ　、ｚ、＊＝　Ｅ”Ｐ　
＜ｏｌｚ　　　　　　　　・”・・・（３４）Ｐ　ｔｓ
＋ｚ＝　Ｅ’Ｐ　（。、８　　　　　　　・・・・・・
（３５）の関係がある。

先ず（３１）式及び（３２）式〇〇−ｔｔ）３の項から
次式 ％式％（３６） が成り立つ、その右辺を展開すれば （１ｔ　、＋　ｔ　０Ｅ）Ｐ６ ＝（１−ｔｏ）３Ｐｏ＋３（１ｔｏ）”ｔｏＰ＋＋３（
１−ｔ　ｏ）　ｔ　ｌｌ”Ｐ！＋　ｔ　ｏ’Ｐｉ＝（１
−ｔ　ｏ）”　（（１−ｔ　ｏ）Ｐ＋＋ｔ　ｏＰ＋）＋
２（１ｔｏ）　Ｌｏ　（（１ｔｏ）Ｐ、＋　ｔｏＰｚ）
＋　ｔ　ｏ”　　（（１−ｔ　ｏ）ｐｚ＋　ｔ　０Ｐ３
）　　・・・・・・　（３７）のように表すことができ
、第１項の（１ｔｏ）Ｐ、＋　ｌ　、ｐ、は、（１３）
式について上述したように制御点Ｐ（１，であり、第２
項の（１−ｔＯ）Ｐ、＋　ｊ　、ｐ、は（１９）式につ
いて上述したように内分した点Ｑであり、　さらに第３
項の（１−ｔｏ　）Ｐｚ　＋ｔｏ　Ｐｉは（２３）式に
ついて上述したように制御点ｐ、ｚ、ｔである。

従って（３６）式の制御点Ｐ、。、２はＰ（。＋！＝（
１ｔｏ）　（（１ｔｏ）Ｐ（１＞＋＋ｔｏＱ）　＋ｔｏ
　（（１ｔｏ）Ｑ ＋　ｔ　ｏ　Ｐ　、ｔｌ　２）　　　　　　　　　　−
・”　（３８）のように書き直すことができる。ところ
が（３８）式においてさらに第１項の（１ｔｏ　）　Ｐ
（Ｉｌｌ＋ｔｏＱは（２０）式について上述したように
制御点ｐ＋ｚ目であり、　また第２項の（１−ｔ、）Ｑ
＋ｔ６Ｐｕ＋ｔは（２５）式について上述したように制
御点Ｐ（１１！である。　従って（３８）式の制御点Ｐ
、。、２は次式 Ｐｎ＋ｚ＝（１ｔｏ）Ｐｕ＋＋＋　ｔｏＰｎｒｔ・・・
・・・（３９） で表されるように、共有境界Ｃ０Ｍ１２の制御点Ｐ（２
）＋と共有境界Ｃ０Ｍ１１の制御点Ｐ＋＋１！間をパラ
メータ（ｔ−ｔｉ及びｔｏによって内分した点として求
めることができる。

次に（３１）式及び（３２）式の３　（ｔ−ｔｚ）”Ｐ
２の項から Ｐ＋ｎｚ＝（１ｔｏ＋ｔ）Ｅ）”ＰＨ・・・・・・（４
０）が成り立つ。その右辺を展開すれば （１−ｔ　０＋　ｔｏＥ）”Ｐ＋ −（１ｔｏ）”Ｐ＋＋２（１−ｔｏ）ｔｏＰｚ　＋ｔ、
”ｐ。

＝（１−ｔｏ）（（１−ｔｏ）Ｐ＋＋　ｔｏＰｚ）＋　
ｔ　ｏ　（（１−ｔ　ｏ）Ｐｔ＋　ｔ　１ｌＰ３）　　
・・・・・・（４１）のように整理することができ、　
その第１項の（１ｔ＠　）ＰＩ＋ｔ＠　Ｐｔは（１９）
式から内分した点Ｑであり、また第２項の（ｌ　　ｔｏ
）Ｐｇ＋ｔ、Ｐ、は（２３）式から制御点ｐ＋ｚ＋ｚで
ある。そこで（４０）式の制御点Ｐ（１１２は次式Ｐ　
ｕ＋ｚ＝（１−ｔ　ｏ）Ｑ＋　ｔ　ｏＰ　＋ｎｚ・・・
・・・（４２）で表されるように、内分した点Ｑと制御
点Ｐｕｎｔ間を（１ｔｏ）及び乞。で内分した点である
ことが分かる。

さらに（３１）式及び（３２）式の３（１−ｔ、）３％
の項から Ｐ（ｎｚ＝（１ｔｏ＋ｔｏＥ）Ｐｇ −（１−ｔ　６）Ｐ！＋　ｔ　６Ｐ３　　・・・・・・
（４３）の関係が成り立ち、　結局制御点ｐ＋ｚ＋ｚは
、制御点Ｐ２及び２１間をパラメータＮ−ｔｏ）及びｔ
、によって内分した点であることが分かる。

さらに（３１）式及び（３２）式のｔ％の項からＰ（３
１！””Ｐ３　　　　　　　　　　　　　・・・・・・
　（４４）が成り立つ、これにより制御点Ｐ０，２は共
有境界Ｃ０Ｍ１の節点Ｐ、であることが分かる。

か（して共有境界ＣＯＭＩＩは、制御点Ｐ、。、ｔＰ（
１）よ、Ｐ＜ｔ＋ｔ、Ｐｏ、２によってパラメータｔ。

を０から１まで変化させることによって得ることができ
る。そしてこの空間曲線は、共有境界Ｃ０Ｍ１の制御点
Ｐａ　、Ｐ＋　、Ｐｇ　、Ｐｓに基づいて、これを内分
した点として表すことができ、かくして共有境界Ｃ０Ｍ
１についてパラメータｔをｔｏから１まで変化させたと
きに描く空間曲線と一敗させることができる。

（Ｇ４−３）総合評価 上述のようにパラメータｔ１及び１ｔをそれぞれＯから
１まで変化させたときに描く共有境界Ｃ０Ｍ１２及びＣ
ＯＭＩＩの空間曲線は、パラメータｔをＯから１まで変
化させたときに描く共有境界ＣＯＭＩの空間曲線と一致
するようにし得、かくして第２図について上述したよう
に共有境界Ｃ０Ｍ１２及びＣＯＭＩＩについてそれぞれ
三角形単位領域を切り出す際に用いたパラメータと同じ
パラメータを用いて、第１のパッチＳ（ゆ、　ｖｌ　＋
の切出し領域Ｓ。＋ｖｌｌ！及びＳ　（ｕ＋　ｖｌ　ｌ
　＋から三角形単位領域を切り出したときに、その効果
は共有境界Ｃ０Ｍ１の線分について三角形単位領域を切
り出したと同じ効果を生じさせることができる。その結
果共有境界ＣｏＭ１の位置に陰影処理されない穴があく
ことを有効に防止し得る。

（Ｇ５）他の実施例 ＋１１　　なお、上述の実施例においては、枠組み空間
に３次のベジェ式で表されるパッチを張る場合について
述べたが、数式の次数はこれに限らず４次以上にしても
良い。

（２）　　さらに上述の実施例においては、ベジェ式に
よって表されるパッチを張るようにした場合について述
べたが、これに限らず、スプライン式、クーンズ（（ｏ
ｏｎｓ）式、フオーガソン（Ｆｕｒｇａｓｏｎ）式など
他のベクトル関数を用いるようにしても良い。

（３）また、上述の実施例においては、四辺形パッチ間
を接続する場合について述べたが、これに限らず、他の
形状のパッチを接続する場合にも同様にして本発明を適
用し得る。

Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、１本の境界曲線を介して
複数のパッチと接続されているパッチについて陰影処理
のための三角形パッチを切り出す際に、当８亥隣接する
パッチにおいて用いられたパラメータを用いて三角形単
位領域を切り出すようにしたことにより、陰影処理をで
きないような穴を生じさせることなく、自由曲面全体に
ついて陰影処理をすることができる陰影表示方法を容易
に実現し得る。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明による陰影表示方法の一実施例を示す路
線図、第２図はその三角形単位領域の切出し手順を示す
路線図、第３図は他の応用例を示す路線図、第４図は陰
影表示処理手順を示すフローチャート、第５図は分割さ
れた共有境界について異なるパラメータで三角形切出し
処理をした場合の結果の確認の説明に供する路線図、第
６図及び第７図は従来の陰影処理方法の説明に供する路
線図、第８図はその三角形単位領域の切出し手順を示す
路線図、第９図及び第１０図は他の自由曲面についての
陰影処理方法の説明に供する路線図、第１１図及び第１
２図はパッチからの三角形単位領域の切出し方法を示す
路線図である。 Ｓ　ｌａ、ｖｌ　Ｉ　・・”　”’第１のパッチ、Ｓ　
Ｔｕ＋　ｖ）　Ｉ　＋、Ｓ　（ＩＩＩ　Ｉｌｌ　ｌ　ｔ
　−・＝切出し領域、　　　Ｓ　（１１＋　ｖｌ　ｔ　
ｌ、Ｓ　（ａ＋ｖ□２・・・・・・分割されたパッチ、
ＵＡ、ＵＡｌｌ、ＵＡ１２、ＵＡ２１、ＵＡ２２・・・
・・・三角形単位領域、ＣＯＭＩ、ＣＯＭＩＩ、Ｃ０Ｍ
１２、Ｃ０Ｍ４、Ｃ０Ｍ５・・・・・・共有境界。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 枠組み処理によつて境界曲線で囲まれた多数の枠組み空
   間を形成し、上記枠組み空間にそれぞれ位置を表すパラ
   メータを有するベクトル関数で表されるパッチを張るこ
   とにより生成された自由曲面について、上記枠組み空間
   にそれぞれ張られたパッチから三角形単位領域を切り出
   し、当該三角形単位領域の３つの頂点位置の輝度情報に
   基づいて、上記三角形単位領域に含まれているピクセル
   についての輝度情報を補間することにより、上記自由曲
   面に陰影をつけるようになされた陰影表示方法において
   、 １辺の境界曲線を介して複数の第２のパッチに隣接する
   ように接続された第１のパッチから三角形単位領域を切
   り出すに先立つて、上記第１のパッチを上記複数の第２
   のパッチに対応する複数の切出し領域に分割し、当該分
   割された各切出し領域において上記複数の第２のパッチ
   のうち対応するパッチにおいて用いられているパラメー
   タを用いて上記三角形単位領域の切出しを実行するよう
   にしたことを特徴とする陰影表示方法。