JPH0677265B2 - 曲線発生装置 - Google Patents
曲線発生装置Info
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- JPH0677265B2 JPH0677265B2 JP63074882A JP7488288A JPH0677265B2 JP H0677265 B2 JPH0677265 B2 JP H0677265B2 JP 63074882 A JP63074882 A JP 63074882A JP 7488288 A JP7488288 A JP 7488288A JP H0677265 B2 JPH0677265 B2 JP H0677265B2
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- G—PHYSICS
- G09—EDUCATION; CRYPTOGRAPHY; DISPLAY; ADVERTISING; SEALS
- G09G—ARRANGEMENTS OR CIRCUITS FOR CONTROL OF INDICATING DEVICES USING STATIC MEANS TO PRESENT VARIABLE INFORMATION
- G09G5/00—Control arrangements or circuits for visual indicators common to cathode-ray tube indicators and other visual indicators
- G09G5/20—Function-generator circuits, e.g. circle generators line or curve smoothing circuits
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- G—PHYSICS
- G09—EDUCATION; CRYPTOGRAPHY; DISPLAY; ADVERTISING; SEALS
- G09G—ARRANGEMENTS OR CIRCUITS FOR CONTROL OF INDICATING DEVICES USING STATIC MEANS TO PRESENT VARIABLE INFORMATION
- G09G1/00—Control arrangements or circuits, of interest only in connection with cathode-ray tube indicators; General aspects or details, e.g. selection emphasis on particular characters, dashed line or dotted line generation; Preprocessing of data
- G09G1/06—Control arrangements or circuits, of interest only in connection with cathode-ray tube indicators; General aspects or details, e.g. selection emphasis on particular characters, dashed line or dotted line generation; Preprocessing of data using single beam tubes, e.g. three-dimensional or perspective representation, rotation or translation of display pattern, hidden lines, shadows
- G09G1/08—Control arrangements or circuits, of interest only in connection with cathode-ray tube indicators; General aspects or details, e.g. selection emphasis on particular characters, dashed line or dotted line generation; Preprocessing of data using single beam tubes, e.g. three-dimensional or perspective representation, rotation or translation of display pattern, hidden lines, shadows the beam directly tracing characters, the information to be displayed controlling the deflection and the intensity as a function of time in two spatial co-ordinates, e.g. according to a cartesian co-ordinate system
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Description
【発明の詳細な説明】 A.産業上の利用分野 本発明は表示システム用の曲線ジェネレータ、そのよう
なジェネレータを含む表示システム、および表示システ
ムで曲線を発生する方法に関するものである。
なジェネレータを含む表示システム、および表示システ
ムで曲線を発生する方法に関するものである。
B.従来技術とその問題点 弧を定義するデータから円弧等の曲線を発生すること
は、かなりの計算が必要なため、コンピュータにとって
簡単な仕事ではない。
は、かなりの計算が必要なため、コンピュータにとって
簡単な仕事ではない。
座標系の原点を中心とする円は以下の周知の方程式によ
って定義することができる。
って定義することができる。
x2＋y2＝R2 （１） ただし、ｘおよびｙは座標系の可変の水平座標および垂
直座標、Ｒは円の半径である。
直座標、Ｒは円の半径である。
ｙについてこの式を解くと、次のようになる。
ｙ＝±（R2−x2）1/2 （２） この式を使って円の１つの四分円を描く簡単な手法は、
原点,0からＲまで単位ステップずつｘを増分し、各ステ
ップ＋ｙについて解くことである。次に、円の対称性を
使って原点の回りで円の他の３つの四分円を求めること
ができる。この手法は有効であるが、乗算および平方根
演算が含まれるため非効率的である。
原点,0からＲまで単位ステップずつｘを増分し、各ステ
ップ＋ｙについて解くことである。次に、円の対称性を
使って原点の回りで円の他の３つの四分円を求めること
ができる。この手法は有効であるが、乗算および平方根
演算が含まれるため非効率的である。
同様に非効率的な方法は、θを０から90゜まで歩進させ
て単にRcosθまたはRsinθをプロットし、次に円の対称
性を使って他の３つの四分円を発生することである。
て単にRcosθまたはRsinθをプロットし、次に円の対称
性を使って他の３つの四分円を発生することである。
円弧を発生する改善された方法は、 “Communications of the ACM"、第20巻、第２号、1977
年２月、P100−106に発表されているJ.E.ブレーゼンハ
ム（Bresenham）の論文“円弧の増分式ディジタル表示
のための線形アルゴリズム（A Linear Algorithm for I
ncremental Digital Display of Circular Arcs）”に
記載されている。この方法は上記の式（１）に基づいて
おり、ペン・プロッタで使用するために考案されたが、
一般に画素をベースとする表面システムに適用すること
ができる。
年２月、P100−106に発表されているJ.E.ブレーゼンハ
ム（Bresenham）の論文“円弧の増分式ディジタル表示
のための線形アルゴリズム（A Linear Algorithm for I
ncremental Digital Display of Circular Arcs）”に
記載されている。この方法は上記の式（１）に基づいて
おり、ペン・プロッタで使用するために考案されたが、
一般に画素をベースとする表面システムに適用すること
ができる。
この方法によれば、円の周囲を歩進することにより、原
点を中心とする円上の点を発生する。各ステップで、以
下の誤差項を用いることにより、真円に最も近い画素点
が表示すべく選択される。
点を中心とする円上の点を発生する。各ステップで、以
下の誤差項を用いることにより、真円に最も近い画素点
が表示すべく選択される。
Ｄ（Ptｉ＝（x2 ｉ＋y2 ｉ）−R2 （３） ただし、Ｄ（Ptｉ）はｉ番目の点（Ptｉ）に対する真円
との差であり、ｘｉおよびｙｉはｉ番目の点について計
算されたｘおよびｙの値である。
との差であり、ｘｉおよびｙｉはｉ番目の点について計
算されたｘおよびｙの値である。
これらの手法および他の多数の手法については、フォリ
ー（Foley）およびファン・ダム（Van Dam）の著作”対
話式コンピュータ・グラフィックスの基礎（Fundamenta
ls of Interactive Computer Graphics）”アディソン
・ウェズリー（Addison-Wesley）出版社、1982年刊、P4
42−446に出ている。
ー（Foley）およびファン・ダム（Van Dam）の著作”対
話式コンピュータ・グラフィックスの基礎（Fundamenta
ls of Interactive Computer Graphics）”アディソン
・ウェズリー（Addison-Wesley）出版社、1982年刊、P4
42−446に出ている。
理論的には、効率の程度は異なるが、従来の手法は十分
に有効である。それらは基本的には完全な円を描くよう
に設計されているが、もちろん円弧の作図に使用するこ
ともできる。しかし、実際には、図形処理システムで実
施されるとき、弧の作図にそれらを適用することには大
きな制約がある。特に、円の一部のみがシステムの座標
空間内にあるような非常に大きな円の一部をなす弧を正
確に作図する際に、従来の手法は困難を伴う。このこと
は主として、弧を含む円の実際の中心を明示的または暗
示的に計算する必要があることから生じる。ほとんど直
線の弧を作図する場合は、弧が発生される座標空間の境
界の完全に外側に円の中心がくることがあるので、弧を
含む円の半径を定義するには非常に大きな数が必要とな
る。
に有効である。それらは基本的には完全な円を描くよう
に設計されているが、もちろん円弧の作図に使用するこ
ともできる。しかし、実際には、図形処理システムで実
施されるとき、弧の作図にそれらを適用することには大
きな制約がある。特に、円の一部のみがシステムの座標
空間内にあるような非常に大きな円の一部をなす弧を正
確に作図する際に、従来の手法は困難を伴う。このこと
は主として、弧を含む円の実際の中心を明示的または暗
示的に計算する必要があることから生じる。ほとんど直
線の弧を作図する場合は、弧が発生される座標空間の境
界の完全に外側に円の中心がくることがあるので、弧を
含む円の半径を定義するには非常に大きな数が必要とな
る。
C.問題点を解決すべき手段 本発明の第１の実施態様によれば、表面システム用の曲
線ジェネレータが提供される。この曲線ジェネレータ
は、弧上の２つの端点とある中間点の位置を定義するデ
ータから円弧を発生する弧発生手段を備え、この弧発生
手段は、一方の端点から中間点に到る第１のベクトルと
他方の端点から中間点に到る第２のベクトルがなす角度
を計算する初期設定手段と、前記一方の端点１からのそ
の他の一連のベクトルを定義し、前記他のベクトルの各
々について、それとの間で前記角度をなす前記他方の端
点を通る対応するベクトルとの交点の位置を計算し、そ
れによって円弧上で他の一連の点をプロットする弧作図
手段から成る。
線ジェネレータが提供される。この曲線ジェネレータ
は、弧上の２つの端点とある中間点の位置を定義するデ
ータから円弧を発生する弧発生手段を備え、この弧発生
手段は、一方の端点から中間点に到る第１のベクトルと
他方の端点から中間点に到る第２のベクトルがなす角度
を計算する初期設定手段と、前記一方の端点１からのそ
の他の一連のベクトルを定義し、前記他のベクトルの各
々について、それとの間で前記角度をなす前記他方の端
点を通る対応するベクトルとの交点の位置を計算し、そ
れによって円弧上で他の一連の点をプロットする弧作図
手段から成る。
本発明の第２の実施態様によれば、処理手段および記憶
手段を備えた表示システムで、弧上の２つの端点とある
中間点の位置を定義するデータから円弧を発生する方法
が提供され、この方法は以下のステップから成る。
手段を備えた表示システムで、弧上の２つの端点とある
中間点の位置を定義するデータから円弧を発生する方法
が提供され、この方法は以下のステップから成る。
（ａ）一方の端点から中間点に到る第１のベクトルと他
方の端点から中間点に到る第２のベクトルがなす角度を
計算する。
方の端点から中間点に到る第２のベクトルがなす角度を
計算する。
（ｂ）計算された角度を前記記憶手段に記憶する。
（ｃ）前記一方の端点を通る他のベクトルを定義する。
（ｄ）前記他のベクトルについて、それとの間で前記計
算された角度をなす他方の端点を通す対応するベクトル
との交点を計算する。
算された角度をなす他方の端点を通す対応するベクトル
との交点を計算する。
（ｅ）前記一方の端点を通るさらに他のベクトルについ
てステップ（ｃ）および（ｄ）を反復して、円弧上で他
の一連の点を決める。
てステップ（ｃ）および（ｄ）を反復して、円弧上で他
の一連の点を決める。
本発明は半径Ｒの円に内接する頂点P1、P2、P3を有する
三角形について下式が成立するという幾何学上の周知の
定理に基づいている。
三角形について下式が成立するという幾何学上の周知の
定理に基づいている。
ただし、ａ、ｂ、ｃはそれぞれ頂点P1、P2、P3のなす内
角であり、Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ頂点P1、P2、P3に対向
する辺の長さである。
角であり、Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ頂点P1、P2、P3に対向
する辺の長さである。
この定理は幾何学のすぐれた学校教科書に記述されてい
るが、弧ジェネレータの能力を向上させるための当技術
分野での広範な努力にかかわらず、コンピュータでの弧
発生の問題を解決するためにこの定理を適用することは
これまで気付かれていなかった。
るが、弧ジェネレータの能力を向上させるための当技術
分野での広範な努力にかかわらず、コンピュータでの弧
発生の問題を解決するためにこの定理を適用することは
これまで気付かれていなかった。
本発明の利点は主として、弧上の点の計算が、弧を含む
円の中心に関して行なわれないことから生じる。弧上の
点はその代り、弧上の特定の点を通るベクトルを発生す
ることにより、その特定の点に関してプロットされる。
したがって、本発明は、弧が存在するシステム座標空間
のほぼ内側で弧の計算を行なうことができ、これによ
り、弧を正確に計算するために必要な精度の桁数が減少
する。さらに、本発明は、弧の計算を整数演算で行なう
ことができ、これにより弧ジェネレータの能力が増大す
るという利点をもつ。
円の中心に関して行なわれないことから生じる。弧上の
点はその代り、弧上の特定の点を通るベクトルを発生す
ることにより、その特定の点に関してプロットされる。
したがって、本発明は、弧が存在するシステム座標空間
のほぼ内側で弧の計算を行なうことができ、これによ
り、弧を正確に計算するために必要な精度の桁数が減少
する。さらに、本発明は、弧の計算を整数演算で行なう
ことができ、これにより弧ジェネレータの能力が増大す
るという利点をもつ。
本発明をさらに十分に理解できるように、本発明の基礎
となる原理および本発明の具体的な実施例について添付
の図面を参照しながら以下に説明する。
となる原理および本発明の具体的な実施例について添付
の図面を参照しながら以下に説明する。
D.実施例 本発明の実施例について論じる前に、本発明の基礎とな
る原理について以下に説明する。
る原理について以下に説明する。
弧が、３次元（ｘ、ｙ、ｚ）座標空間内で、弧の２つの
端点と、これらの端点の中間の弧上に存在する第３の点
によって定義されるものと仮定する。
端点と、これらの端点の中間の弧上に存在する第３の点
によって定義されるものと仮定する。
第１図は座標空間12内のそのような弧10の一例を示す。
ただ説明をしやすくするために、２次元（ｘおよびｙ）
座標空間を示すが、以下の説明から明らかなように、２
次元の場合の考察が容易に３次元（ｘ、ｙ、ｚ）空間に
拡張できることができる。
ただ説明をしやすくするために、２次元（ｘおよびｙ）
座標空間を示すが、以下の説明から明らかなように、２
次元の場合の考察が容易に３次元（ｘ、ｙ、ｚ）空間に
拡張できることができる。
弧10は半径Ｒの円14の一部をなし、円14の中心16は図の
例の座標空間12の外側にある。弧10は弧の第１の端点P1
の座標（x1、y1）、弧の第２の端点P3の座標（x3、
y3）、および弧上にある第３の点P2の座標（x2、y2）に
よって定義される。
例の座標空間12の外側にある。弧10は弧の第１の端点P1
の座標（x1、y1）、弧の第２の端点P3の座標（x3、
y3）、および弧上にある第３の点P2の座標（x2、y2）に
よって定義される。
３点P1、P2およびP3はそれぞれ三角形18の第１、第２お
よび第３の頂点を形成するものと考えることができる。
第１図は、それぞれ３つの頂点P1、P2、P3のなすそれぞ
れ値がａ、ｂ、ｃの内角と、それぞれ長さＡ、Ｂ、Ｃを
有する三角形の辺32、31、21を示す。
よび第３の頂点を形成するものと考えることができる。
第１図は、それぞれ３つの頂点P1、P2、P3のなすそれぞ
れ値がａ、ｂ、ｃの内角と、それぞれ長さＡ、Ｂ、Ｃを
有する三角形の辺32、31、21を示す。
上記の式（４）は、円に内接する任意の三角形に適用さ
れる。したがって、次式が、第２図に示す三角形20に適
用される。三角形20は、円14に内接した頂点P1、P3、Ｐ
ｎ、頂点P1、P3、Ｐｎがなすそれぞれ値がａｎ、ｂｎ、
ｃｎの内角、それぞれＡｎ、Ｂｎ、Ｃｎである対向辺3
n、31、n1の長さを含む。
れる。したがって、次式が、第２図に示す三角形20に適
用される。三角形20は、円14に内接した頂点P1、P3、Ｐ
ｎ、頂点P1、P3、Ｐｎがなすそれぞれ値がａｎ、ｂｎ、
ｃｎの内角、それぞれＡｎ、Ｂｎ、Ｃｎである対向辺3
n、31、n1の長さを含む。
三角形20の点P1およびP3は三角形18と共通なので、それ
らの点を結ぶ辺31の長さはどちらの三角形でも同じ長さ
Ｂとなる。したがって、同様に、P1とP3および弧上の第
３の点Ｐｎから形成される任意の三角形について、内角
ｂｎは一定となる。
らの点を結ぶ辺31の長さはどちらの三角形でも同じ長さ
Ｂとなる。したがって、同様に、P1とP3および弧上の第
３の点Ｐｎから形成される任意の三角形について、内角
ｂｎは一定となる。
ｂｎ＝ｂ＝arcsin（B/2R） （６） 三角形の内角の和がπラジアンであり、１点を通る直線
がその点の回りでπラジアンをなすものと仮定すると、
点P1での円14に対する接線24と、三角形20の点P1とＰｎ
を結ぶ線n1とがなす角度δｎは、三角形20の頂点P3がな
す内角ｃｎに等しいことを下式で示すことができる。
がその点の回りでπラジアンをなすものと仮定すると、
点P1での円14に対する接線24と、三角形20の点P1とＰｎ
を結ぶ線n1とがなす角度δｎは、三角形20の頂点P3がな
す内角ｃｎに等しいことを下式で示すことができる。
Π＝ｔ＋δｎ＋ａｎ かつ （７） Π＝ｂ＋ａｎ＋ｃｎ （８） δｎ＝Π−ｔ−（Π−ｂ−ｃｎ） ＝＋ｂ＋ｃｎ−ｔ （９） Ｐｎ→P1のとき、δｎ→０かつｃｎ→０である。したが
って、ｔ＝ｂであり、共に一定である。かつ、 δｎ＝ｃｎ （10） である。
って、ｔ＝ｂであり、共に一定である。かつ、 δｎ＝ｃｎ （10） である。
式（５）および（10）から、頂点P3に対向する三角形20
の辺n1の長さは次式のようになることがわかる。
の辺n1の長さは次式のようになることがわかる。
ここで、線n1とｘ座標軸とがなす角度（すなわち、その
線の勾配）を角度dirと定義すれば、第２図から明らか
なよ下式を使ってdirを計算することができる。
線の勾配）を角度dirと定義すれば、第２図から明らか
なよ下式を使ってdirを計算することができる。
dir＝Π−δｎ−ｔ＋g31 ＝Π−δｎ−ｂ＋g31 （12） ただし、g31はｘ軸に対する線31の角度である（すなわ
ち、g31はその線の勾配である）。
ち、g31はその線の勾配である）。
式（11）および（12）を使って下式を計算することによ
り、点Ｐｎのｘｎ座標およびｙｎ座標を計算することが
できる。
り、点Ｐｎのｘｎ座標およびｙｎ座標を計算することが
できる。
第３図は、本発明の具体的な実施例となる弧ジェネレー
タの論理構造を示す概略ブロック・ダイヤグラムであ
る。本発明を説明するために必要な弧ジェネレータの部
分のみを第３図に示す。弧ジェネレータは通常、他の点
では従来の構造（たとえば、第６図参照）を有する表示
システム（たとえば、図形ワークステーション）に組み
込まれる。
タの論理構造を示す概略ブロック・ダイヤグラムであ
る。本発明を説明するために必要な弧ジェネレータの部
分のみを第３図に示す。弧ジェネレータは通常、他の点
では従来の構造（たとえば、第６図参照）を有する表示
システム（たとえば、図形ワークステーション）に組み
込まれる。
初期設定論理装置40は、入力記憶装置38に記憶された点
P1、P2およびP3の座標位置から複数の初期設定値を計算
する。入力記憶装置は表示システムの汎用メモリの一
部、または入力バッファか入力レジスタ、または、実際
には弧ジェネレータの一部でよい。座標位置は、マウス
の移動により表示システムの画面上に示される位置に応
じて表示システム内で発生することができ、また他の任
意の適当な方法で発生することもできる。初期設定値が
初期設定論理装置で計算されると、それらは中間記憶装
置に記憶される。中間記憶装置は専用レジスタから形成
することができ、また汎用記憶装置内に構成することも
できる。
P1、P2およびP3の座標位置から複数の初期設定値を計算
する。入力記憶装置は表示システムの汎用メモリの一
部、または入力バッファか入力レジスタ、または、実際
には弧ジェネレータの一部でよい。座標位置は、マウス
の移動により表示システムの画面上に示される位置に応
じて表示システム内で発生することができ、また他の任
意の適当な方法で発生することもできる。初期設定値が
初期設定論理装置で計算されると、それらは中間記憶装
置に記憶される。中間記憶装置は専用レジスタから形成
することができ、また汎用記憶装置内に構成することも
できる。
P3とP1を結ぶ線31の勾配または傾斜g31を、それらの点
の座標値から計算する。
の座標値から計算する。
g31＝arctan（（y3−y1）／（x3−x1）） （15） 線32および21の勾配（g32およびg21）も同様に計算す
る。
る。
中間記憶装置42に記憶された辺32および21の勾配から、
点P3がなす内角ｂとその角の正弦の絶対値を次のように
計算する。
点P3がなす内角ｂとその角の正弦の絶対値を次のように
計算する。
ｂ＝g32−g21 （16） |sin（ｂ）｜＝|sin（g32−g21）｜ （17） 点P1とP3を結ぶ線31の長さ（Ｂ）も次のように計算す
る。
る。
Ｂ＝｜（x3−x1）cos（g31）｜ （18a） またはＢ＝｜（y3−y1）sin（g31）｜ （18b） Ｂを計算するのにsinを使うかcosを使うかの選択は、誤
差が最小になるように、角度g31がπ/4よりも大きいか
あるいは小さいかによって決まる。
差が最小になるように、角度g31がπ/4よりも大きいか
あるいは小さいかによって決まる。
弧上の連続する点の間で掃引される角度を決定するため
に、歩進角δも計算する。これはδ＝（π＋ｂ）/Nに基
づいて計算することができる。ただし数Ｎは、弧に対す
る所期の点密度をもたらすように選ぶ。数Ｎは入力記憶
装置38、または希望する他の場所から入力として供給す
ることもできる。求める解の関数として計算することも
できる。
に、歩進角δも計算する。これはδ＝（π＋ｂ）/Nに基
づいて計算することができる。ただし数Ｎは、弧に対す
る所期の点密度をもたらすように選ぶ。数Ｎは入力記憶
装置38、または希望する他の場所から入力として供給す
ることもできる。求める解の関数として計算することも
できる。
初期設定値が計算され、中間記憶装置42に記憶される
と、弧上の個々の点を作図論理装置44でプロットするこ
とができる。
と、弧上の個々の点を作図論理装置44でプロットするこ
とができる。
作図論理装置は、ベクトル角δｎ＝ｎδにより第１の点
を通る一連の他のベクトルを定義する。ただし、第１の
ベクトルに対してδ１＝δであり、ｎ番目のベクトルに
対してはδｎ＝ｎδであり、以下同様にして、最後にＮ
−１番目のベクトルに対してδＮ−１＝（Ｎ−１）δで
ある。第２図に示すように、角度δｎは円に対する接線
と問題のベクトルとがなす角度である。ｎを１からＮ−
１まで増分することにより、作図論理装置は、従来の方
法のように円の中心からではなく、弧上の１つの点（た
とえば、第１の点）から弧を掃引する。ｎ＝０およびｎ
＝Ｎの場合、弧の端点P1およびP3のｘ値およびｙ値がそ
れぞれ与えられる。
を通る一連の他のベクトルを定義する。ただし、第１の
ベクトルに対してδ１＝δであり、ｎ番目のベクトルに
対してはδｎ＝ｎδであり、以下同様にして、最後にＮ
−１番目のベクトルに対してδＮ−１＝（Ｎ−１）δで
ある。第２図に示すように、角度δｎは円に対する接線
と問題のベクトルとがなす角度である。ｎを１からＮ−
１まで増分することにより、作図論理装置は、従来の方
法のように円の中心からではなく、弧上の１つの点（た
とえば、第１の点）から弧を掃引する。ｎ＝０およびｎ
＝Ｎの場合、弧の端点P1およびP3のｘ値およびｙ値がそ
れぞれ与えられる。
作図論理装置は、各ベクトルと、中間記憶装置に記憶さ
れた角度ｂでそれと交差する第３の点を通る対応するベ
クトルとの交点を決定する。作図論理装置は、第３の点
を通る一組のベクトルを定義することによってではな
く、中間記憶装置に記憶された値を使って第１の点を通
る各ベクトルについて式（13）および（14）を計算する
ことによりこのことを行なう。弧の端点は点P1およびP3
によって定義される。
れた角度ｂでそれと交差する第３の点を通る対応するベ
クトルとの交点を決定する。作図論理装置は、第３の点
を通る一組のベクトルを定義することによってではな
く、中間記憶装置に記憶された値を使って第１の点を通
る各ベクトルについて式（13）および（14）を計算する
ことによりこのことを行なう。弧の端点は点P1およびP3
によって定義される。
式（13）および（14）は、下に説明する特別な場合、単
純化することができ、作図論理装置は、これらの特別な
場合を検出するための特別な論理回路を含んでいる。
純化することができ、作図論理装置は、これらの特別な
場合を検出するための特別な論理回路を含んでいる。
３点がほぼ直線上にあるとき、角度Ｂはほぼπに等し
い。したがって、Ｂの値を調べたとき、２−12以内の値
が得られた場合は（正確な数は必要とされる計算精度に
よって決まる）、ｂ＝Ｎδ、ｂ＝sin（ｂ）およびδｎ
＝sinδｎという関係を使って、式（13）を ｘｎ＝x1＋（nB）／（Ncos（dir）） （19） に、式（14）を ｙｎ＝y1＋（nB）／（Nsin（dir）） （20） に単純化することができる。
い。したがって、Ｂの値を調べたとき、２−12以内の値
が得られた場合は（正確な数は必要とされる計算精度に
よって決まる）、ｂ＝Ｎδ、ｂ＝sin（ｂ）およびδｎ
＝sinδｎという関係を使って、式（13）を ｘｎ＝x1＋（nB）／（Ncos（dir）） （19） に、式（14）を ｙｎ＝y1＋（nB）／（Nsin（dir）） （20） に単純化することができる。
Ｂが２−16ラジアンよりも小さいことが判明した場合は
（正確な数は必要とされる計算精度によって決まる）、
２つの端点はほぼ同じであり、2R＝B/sin（ｂ）ｍ（ｍ
は定数）、およびｍ＝（x2−x1）/cos（g21）またはｍ
＝（y2−y1）/sin（g21）という関係を使って、式（1
3）を ｘｎ＝x1＋（m|sin（δｎ）|cos（dir）） （21） に、式（14）を ｙｎ＝y1＋（m|sinδｎ|sin（dir）） （22） に単純化することができる。
（正確な数は必要とされる計算精度によって決まる）、
２つの端点はほぼ同じであり、2R＝B/sin（ｂ）ｍ（ｍ
は定数）、およびｍ＝（x2−x1）/cos（g21）またはｍ
＝（y2−y1）/sin（g21）という関係を使って、式（1
3）を ｘｎ＝x1＋（m|sin（δｎ）|cos（dir）） （21） に、式（14）を ｙｎ＝y1＋（m|sinδｎ|sin（dir）） （22） に単純化することができる。
Ｂが０であることが判明した場合は、弧の２つの端点は
同じであり、方位情報がないので、弧を描くことができ
ないことに留意されたい。
同じであり、方位情報がないので、弧を描くことができ
ないことに留意されたい。
上記の値の計算は整数演算を使って行なうことができ
る。これは不動小数点演算に比べて性能上著しく有利な
だけでなく、発生する符合変化が角度の符合の変化を反
映するという利点をも有する。このため符合（＋／−）
の管理が大幅に簡単になる。作図論理装置のルックアッ
プ・テーブルを使って、必要な種々の三角関数を適宜供
給することができる。その代りに、弧の発生の制御全体
に責任を負う制御論理装置またはどこか他の場所に三角
関数表を設けることもできる。２進演算を使用するもう
１つの利点は、作図論理装置で適当な精度で２進数を切
り捨てることにより、式13/14等を解いて得られる値を
個々の表示位置（画素）に写像することができることで
ある。同様に、座標空間の外側にある弧上の中間点を切
り捨てによって単に廃棄することができる。
る。これは不動小数点演算に比べて性能上著しく有利な
だけでなく、発生する符合変化が角度の符合の変化を反
映するという利点をも有する。このため符合（＋／−）
の管理が大幅に簡単になる。作図論理装置のルックアッ
プ・テーブルを使って、必要な種々の三角関数を適宜供
給することができる。その代りに、弧の発生の制御全体
に責任を負う制御論理装置またはどこか他の場所に三角
関数表を設けることもできる。２進演算を使用するもう
１つの利点は、作図論理装置で適当な精度で２進数を切
り捨てることにより、式13/14等を解いて得られる値を
個々の表示位置（画素）に写像することができることで
ある。同様に、座標空間の外側にある弧上の中間点を切
り捨てによって単に廃棄することができる。
計算の結果（すなわち、弧のプロット）は結果記憶装置
46に記憶される。第３図に示す結果記憶装置は表示シス
テムの表示バッファであり、したがって、弧ジェネレー
タの一部を形成しない。作図論理装置の出力（すなわ
ち、切り捨てられた値）を使って、表示バッファをアド
レスし、表示画面上に表示される画素を示すデータを記
憶する。しかし、実際には必ずしもそうする必要はな
く、その代りに結果記憶装置が汎用記憶装置の一部とす
ることも、または、弧ジェネレータ自体の一部とするこ
とさえ可能であり、その場合は、表示装置の作図論理装
置の出力はその後の処理のため単にそこに記憶されるだ
けである。
46に記憶される。第３図に示す結果記憶装置は表示シス
テムの表示バッファであり、したがって、弧ジェネレー
タの一部を形成しない。作図論理装置の出力（すなわ
ち、切り捨てられた値）を使って、表示バッファをアド
レスし、表示画面上に表示される画素を示すデータを記
憶する。しかし、実際には必ずしもそうする必要はな
く、その代りに結果記憶装置が汎用記憶装置の一部とす
ることも、または、弧ジェネレータ自体の一部とするこ
とさえ可能であり、その場合は、表示装置の作図論理装
置の出力はその後の処理のため単にそこに記憶されるだ
けである。
本発明のこの実施例では式13/14等を使って適当な交点
を求めるが、本発明の別の実施例では、ベクトル21から
所定量だけ回転された第１の点を通るベクトルを定義
し、ベクトル32から同じ量だけ回転された第３の点を通
るベクトルを定義し、次にそれらのベクトルの交点を決
定することにより、弧上の点を実際に見つけることがで
きることを理解されたい。様々な回転角度についてこの
処理を反復することにより、弧上の一組の点をプロット
することができる。このことが成り立つのは、やはり三
角形の内角の和がπラジアンであることから、交点にお
ける内角は一定のままであるためである。
を求めるが、本発明の別の実施例では、ベクトル21から
所定量だけ回転された第１の点を通るベクトルを定義
し、ベクトル32から同じ量だけ回転された第３の点を通
るベクトルを定義し、次にそれらのベクトルの交点を決
定することにより、弧上の点を実際に見つけることがで
きることを理解されたい。様々な回転角度についてこの
処理を反復することにより、弧上の一組の点をプロット
することができる。このことが成り立つのは、やはり三
角形の内角の和がπラジアンであることから、交点にお
ける内角は一定のままであるためである。
上記の手法を使って、円弧を発生するだけでなく、その
曲線を円弧に写像する変換演算子が知られている他の任
意の曲線を発生することもできる。たとえば、システム
・ネットワーク・アーキテクチャ（SNAの一部）を形成
する、図形オブジェクト物を定義するための図形オブジ
ェクト内容アーキテクチャ（GOCA）では、実空間または
基準空間内の長円の一部が、弧上の２つの端点とある中
間点により、長円空間内で対応する円弧として定義され
る。
曲線を円弧に写像する変換演算子が知られている他の任
意の曲線を発生することもできる。たとえば、システム
・ネットワーク・アーキテクチャ（SNAの一部）を形成
する、図形オブジェクト物を定義するための図形オブジ
ェクト内容アーキテクチャ（GOCA）では、実空間または
基準空間内の長円の一部が、弧上の２つの端点とある中
間点により、長円空間内で対応する円弧として定義され
る。
第４図は、このように長円を表わす方法を示す。GOCA
は、実空間がｘ、ｙおよびｚの各方向に216個の位置を
有する立方体GOであると想定する。言い換えると、実空
間内で位置を特定するには、３×16（すなわち、48）ビ
ットが必要である。実空間と写像空間の間で点を変換す
るためには、変換行列（PQRSと呼ばれる）を使用する。
長円空間も立方体として定義されるが、行列計算の結
果、各辺に233個の位置を有する（216×216＋桁上
げ）。
は、実空間がｘ、ｙおよびｚの各方向に216個の位置を
有する立方体GOであると想定する。言い換えると、実空
間内で位置を特定するには、３×16（すなわち、48）ビ
ットが必要である。実空間と写像空間の間で点を変換す
るためには、変換行列（PQRSと呼ばれる）を使用する。
長円空間も立方体として定義されるが、行列計算の結
果、各辺に233個の位置を有する（216×216＋桁上
げ）。
説明を容易にするために、２次元（ｘおよびｙ）の実空
間60および写像空間62だけを第４図に示す。実空間60内
で、長円65の一部をなす曲線64が２つの端点C1とC3およ
び曲線上のある中間点C2によって定義される。曲線を円
弧に写像するために、PQRS行列68を設ける。点C1、C2、
C3は、PQRS変換の反転後に写像空間内の写像点P1、P2、
P3になる。点P1およびP3は円68の弧67上の２つの端点を
なし、点P2は中間点となる。
間60および写像空間62だけを第４図に示す。実空間60内
で、長円65の一部をなす曲線64が２つの端点C1とC3およ
び曲線上のある中間点C2によって定義される。曲線を円
弧に写像するために、PQRS行列68を設ける。点C1、C2、
C3は、PQRS変換の反転後に写像空間内の写像点P1、P2、
P3になる。点P1およびP3は円68の弧67上の２つの端点を
なし、点P2は中間点となる。
次に円弧を作図するための上記の手法を使って弧68を作
図し、その結果写像空間内に生じる点のカットをPQRS変
換を使って実空間に逆変換すると、曲線64上の個々の点
を実空間内でプロットすることができる。
図し、その結果写像空間内に生じる点のカットをPQRS変
換を使って実空間に逆変換すると、曲線64上の個々の点
を実空間内でプロットすることができる。
明らかに、曲線を円弧に写像し、その逆を行なうことが
できる変換が知られている一般の任意の曲線に対して、
この手法を用いることができる。
できる変換が知られている一般の任意の曲線に対して、
この手法を用いることができる。
第５図は、本発明の第２の実施例となる曲線ジェネレー
タの論理構造を示す概略ブロック・ダイヤグラムであ
る。この曲線ジェネレータは曲線64等の曲線を発生する
ことができる。曲線ジェネレータは、実空間と写像空間
の間でデータを変換するための変換演算子情報を記憶す
るPQRS行列記憶装置を備えている。さらに、曲線ジェネ
レータは、実空間で描くべき長円の３つの点C1、C2、C3
を記憶する初期入力記憶装置72を備えている。長円上の
点の座標が逆変換論理装置74によって写像空間に変換さ
れ、写像点P1、P2およびP3として弧ジェネレータの入力
記憶装置38に記憶される。これらの写像点は次に弧ジェ
ネレータの初期設定論理装置40によって処理され、第３
図に関連して曲線10について上記で説明した中間記憶装
置42に記憶される。中間記憶装置に記憶された中間値は
次に、式13/14等を使って弧ジェネレータの作図論理装
置44について説明したように処理される。第５図に示す
ように、作図論理装置の結果（すなわち、円弧のプロッ
ト）は結果記憶装置に直接送られず、その代り変換論理
装置76に送られる。変換論理装置76は、変換論理装置74
が使用する変換の逆変換を使って、写像空間内での円弧
のプロットを曲線64上の対応するプロットに変換して、
結果記憶装置46に記憶する。第３図の作図論理装置につ
いて説明した切り捨て機能は、また第５図の実施例の変
換論理装置によって実行することもできることを理解さ
れたい。また、作図論理装置と変換論理装置は、また、
一方の出力が他方に直接供給されるので、１つの装置に
統合できることも理解されたい。別法として、適当な制
御が制御論理装置48によってもたらされる。変換論理装
置と逆変換論理装置はその入力パラメータが同じであ
り、組み合わせることができる。
タの論理構造を示す概略ブロック・ダイヤグラムであ
る。この曲線ジェネレータは曲線64等の曲線を発生する
ことができる。曲線ジェネレータは、実空間と写像空間
の間でデータを変換するための変換演算子情報を記憶す
るPQRS行列記憶装置を備えている。さらに、曲線ジェネ
レータは、実空間で描くべき長円の３つの点C1、C2、C3
を記憶する初期入力記憶装置72を備えている。長円上の
点の座標が逆変換論理装置74によって写像空間に変換さ
れ、写像点P1、P2およびP3として弧ジェネレータの入力
記憶装置38に記憶される。これらの写像点は次に弧ジェ
ネレータの初期設定論理装置40によって処理され、第３
図に関連して曲線10について上記で説明した中間記憶装
置42に記憶される。中間記憶装置に記憶された中間値は
次に、式13/14等を使って弧ジェネレータの作図論理装
置44について説明したように処理される。第５図に示す
ように、作図論理装置の結果（すなわち、円弧のプロッ
ト）は結果記憶装置に直接送られず、その代り変換論理
装置76に送られる。変換論理装置76は、変換論理装置74
が使用する変換の逆変換を使って、写像空間内での円弧
のプロットを曲線64上の対応するプロットに変換して、
結果記憶装置46に記憶する。第３図の作図論理装置につ
いて説明した切り捨て機能は、また第５図の実施例の変
換論理装置によって実行することもできることを理解さ
れたい。また、作図論理装置と変換論理装置は、また、
一方の出力が他方に直接供給されるので、１つの装置に
統合できることも理解されたい。別法として、適当な制
御が制御論理装置48によってもたらされる。変換論理装
置と逆変換論理装置はその入力パラメータが同じであ
り、組み合わせることができる。
本発明によってもたらされる利点は、本発明で必要とさ
れる精度の２進桁数を従来の手法で必要とされるそれと
比較すると、最もはっきりすると思われる。
れる精度の２進桁数を従来の手法で必要とされるそれと
比較すると、最もはっきりすると思われる。
GOCAの33ビット座標空間の例では、作図の必要があるす
べての弧を正確に計算するために、従来の手法では最大
２進81桁の精度を必要とする可能性があることを示すこ
とができる。一方、本発明では、円弧上の点を計算する
のにせいぜい２進32桁の精度を使って、曲線をプロット
することができるが、図面、すなわち実空間への逆変換
に48桁が必要である。計算の多くは16桁の精度で行なう
ことができる。その結果得られる曲線、すなわち、弧上
の点を実空間内の位置（たとえば、画素）に写像するこ
とは、計算された値を上位16ビットで切り捨てることに
より、簡単に行なうことができる。
べての弧を正確に計算するために、従来の手法では最大
２進81桁の精度を必要とする可能性があることを示すこ
とができる。一方、本発明では、円弧上の点を計算する
のにせいぜい２進32桁の精度を使って、曲線をプロット
することができるが、図面、すなわち実空間への逆変換
に48桁が必要である。計算の多くは16桁の精度で行なう
ことができる。その結果得られる曲線、すなわち、弧上
の点を実空間内の位置（たとえば、画素）に写像するこ
とは、計算された値を上位16ビットで切り捨てることに
より、簡単に行なうことができる。
第６図は、第３図または第５図に示すような本発明の実
施例を組み込むことができるワークステーションの概略
を示す。
施例を組み込むことができるワークステーションの概略
を示す。
ワークステーションは、システム・バス82を解して接続
された複数の異なるシステムを含んでいる。システム・
バスはデータ・バス84、アドレス・バス86および制御バ
ス88からなる。マイクロプロセッサ80、ランダム・アク
セス・メモリ90、キーボード・アダプタ98、表示アダプ
タ102、入出力アダプタ92、および通信アダプタ96がシ
ステム・バスに接続されている。キーボード・アダプタ
は、キーボード100をシステム・バスに接続するめに使
用される。表示アダプタはシステム・バスを表示装置10
4に接続する。同様に入出力アダプタはシステム・バス
をディスク装置等の他の入出力装置に接続し、通信アダ
プタは、ワークステーションをホスト・プロセッサ等の
１台または複数の外部プロセッサに接続させ、外部プロ
セッサと通信できるようにする。
された複数の異なるシステムを含んでいる。システム・
バスはデータ・バス84、アドレス・バス86および制御バ
ス88からなる。マイクロプロセッサ80、ランダム・アク
セス・メモリ90、キーボード・アダプタ98、表示アダプ
タ102、入出力アダプタ92、および通信アダプタ96がシ
ステム・バスに接続されている。キーボード・アダプタ
は、キーボード100をシステム・バスに接続するめに使
用される。表示アダプタはシステム・バスを表示装置10
4に接続する。同様に入出力アダプタはシステム・バス
をディスク装置等の他の入出力装置に接続し、通信アダ
プタは、ワークステーションをホスト・プロセッサ等の
１台または複数の外部プロセッサに接続させ、外部プロ
セッサと通信できるようにする。
本発明による弧ジェネレータを組み込んだ曲線ジェネレ
ータが、第６図に示すワークステーション中のソフトウ
ェアで実現される。第３図および第５図に示した論理を
実現するための制御コードがワークステーションの記憶
装置90に設けられ、第３図および第５図に示した記憶要
素は、ワークステーションのRAMを構成することにより
設けられる。図の実施例では、表示バッファもRAM内に
構成される。第３図および第５図に示した論理および記
憶要素を実現するためのコードの詳細なリストについて
はこの説明では示さない。何故ならば、実行すべき機能
についての上記の説明を読みさえすれば、その論理を実
現することは、当業者にとって日常的な仕事にすぎない
からである。
ータが、第６図に示すワークステーション中のソフトウ
ェアで実現される。第３図および第５図に示した論理を
実現するための制御コードがワークステーションの記憶
装置90に設けられ、第３図および第５図に示した記憶要
素は、ワークステーションのRAMを構成することにより
設けられる。図の実施例では、表示バッファもRAM内に
構成される。第３図および第５図に示した論理および記
憶要素を実現するためのコードの詳細なリストについて
はこの説明では示さない。何故ならば、実行すべき機能
についての上記の説明を読みさえすれば、その論理を実
現することは、当業者にとって日常的な仕事にすぎない
からである。
以上、本発明の特定の実施例および特定の実施態様につ
いて説明してきたが、多くの変更および追加が添付の特
許請求の範囲内に含まれることを理解されたい。
いて説明してきたが、多くの変更および追加が添付の特
許請求の範囲内に含まれることを理解されたい。
本発明をソフトウェアで実現する代りに、たとえば、変
数の中間記憶装置用の特別なレジスタを備えた（または
備えていない）専用ハードウェア論理装置も本発明が同
様に実現できることを理解されたい。第３図および第５
図に示す論理装置は、たとえば、プログラム式論理アレ
イを使って実現することができる。また、代りに表示バ
ッファが表示装置アダプタ内に含まれている場合は、個
々の表示点をプロットするタスクからシステム・プロセ
ッサを解放するため、弧ジェネレータまたは曲線ジェネ
レータあるいはその両方も同様に表示アダプタに組み込
むこともできる。
数の中間記憶装置用の特別なレジスタを備えた（または
備えていない）専用ハードウェア論理装置も本発明が同
様に実現できることを理解されたい。第３図および第５
図に示す論理装置は、たとえば、プログラム式論理アレ
イを使って実現することができる。また、代りに表示バ
ッファが表示装置アダプタ内に含まれている場合は、個
々の表示点をプロットするタスクからシステム・プロセ
ッサを解放するため、弧ジェネレータまたは曲線ジェネ
レータあるいはその両方も同様に表示アダプタに組み込
むこともできる。
第１図は、本発明の動作原理を説明するための、直角座
標空間内で描かれる弧の図である。 第２図は、本発明の動作原理を説明するためのもう１つ
の図である。 第３図は、本発明の具体的実施例の論理構造を示す概略
ブロック・ダイヤグラムである。 第４図は、本発明の基礎となる原理を使って、一般的な
曲線がどのように作図できるかを説明するための図であ
る。 第５図は、本発明のもう１つの具体的実施例の論理構造
を示す概略ブロック・ダイヤグラムである。 第６図は、第３図または第５図に示すような本発明の実
施例を組み込むことができるワークステーションの概略
図である。 10……弧、12……座標空間、14……円、38……入力記憶
装置、40……初期設定論理装置、42……中間記憶装置、
44……作図論理装置、46……結果記憶装置、48……制御
論理装置、70……PQRSマトリックス、74……逆変換論理
装置、76……変換論理装置、80……マイクロプロセッ
サ、90……ランダム・アクセス・メモリ、92……入出力
アダプタ、96……通信アダプタ、98……キーボード・ア
ダプタ、100……キーボード、102……表示アダプタ、10
4……表示装置。
標空間内で描かれる弧の図である。 第２図は、本発明の動作原理を説明するためのもう１つ
の図である。 第３図は、本発明の具体的実施例の論理構造を示す概略
ブロック・ダイヤグラムである。 第４図は、本発明の基礎となる原理を使って、一般的な
曲線がどのように作図できるかを説明するための図であ
る。 第５図は、本発明のもう１つの具体的実施例の論理構造
を示す概略ブロック・ダイヤグラムである。 第６図は、第３図または第５図に示すような本発明の実
施例を組み込むことができるワークステーションの概略
図である。 10……弧、12……座標空間、14……円、38……入力記憶
装置、40……初期設定論理装置、42……中間記憶装置、
44……作図論理装置、46……結果記憶装置、48……制御
論理装置、70……PQRSマトリックス、74……逆変換論理
装置、76……変換論理装置、80……マイクロプロセッ
サ、90……ランダム・アクセス・メモリ、92……入出力
アダプタ、96……通信アダプタ、98……キーボード・ア
ダプタ、100……キーボード、102……表示アダプタ、10
4……表示装置。
Claims (3)
- 【請求項１】弧上の２つの端点および中間点の位置を定
めるデータから円弧を発生する装置を有する表示システ
ムのための曲線発生装置において、 上記円弧発生装置は、上記２つの端点のうち一方の端点
から上記中間点に至る第１ベクトルおよび他方の端点か
ら上記中間点に至る第２ベクトルがなす角度を計算する
初期設定装置と、該初期設定装置に接続され、上記一方
の端点からの複数の他のベクトルを連続的に規定し、該
複数の他のベクトル毎に、該他のベクトルと上記他方の
端点からのベクトルとが上記初期設定装置からの上記角
度で交差する交点の座標を計算して記憶する弧プロット
装置とを有することを特徴とする上記曲線発生装置。 - 【請求項２】上記弧プロット装置は、Ｎ個の上記他のベ
クトル毎にベクトル角度δｎ＝ｎδ（ここで、ｎは上記
Ｎ個の他のベクトル毎に１からＮ迄増分される）を規定
し、そして上記弧プロット装置は、上記Ｎ個の他のベク
トル毎に、該他のベクトルおよび基準軸の間の角度と上
記一方の端点からの該他のベクトルの長さとから上記交
点の座標を計算して記憶することを特徴とする請求項１
記載の曲線発生装置。 - 【請求項３】上記初期設定装置は、上記一方の端点から
上記他方の端点までの第３ベクトルの長さを計算する装
置を有し、上記弧プロット装置は、上記他のベクトルの
上記基準軸からの角度を、π−δｎ−ｂ＋g31として計
算し、上記一方の端点からの上記他のベクトルの長さ
を、 （ここで、ｂは上記第１ベクトル及び上記第２ベクトル
の間の角度であり、g31は上記第３ベクトルの上記基準
軸からの角度であり、そしてＢは上記第３ベクトルの長
さである） として計算することを特徴とする請求項２記載の曲線発
生装置。
Applications Claiming Priority (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| GB8710325 | 1987-04-30 | ||
| GB8710325A GB2204216B (en) | 1987-04-30 | 1987-04-30 | Curve generation in a display system |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPS63276183A JPS63276183A (ja) | 1988-11-14 |
| JPH0677265B2 true JPH0677265B2 (ja) | 1994-09-28 |
Family
ID=10616671
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP63074882A Expired - Fee Related JPH0677265B2 (ja) | 1987-04-30 | 1988-03-30 | 曲線発生装置 |
Country Status (6)
| Country | Link |
|---|---|
| US (1) | US4835722A (ja) |
| EP (1) | EP0288720B1 (ja) |
| JP (1) | JPH0677265B2 (ja) |
| CA (1) | CA1309523C (ja) |
| DE (1) | DE3882269T2 (ja) |
| GB (1) | GB2204216B (ja) |
Families Citing this family (14)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US5142668A (en) * | 1989-01-13 | 1992-08-25 | Sun Microsystems, Inc. | Apparatus and method for loading coordinate registers for use with a graphics subsystem utilizing an index register |
| US5297240A (en) * | 1989-01-13 | 1994-03-22 | Sun Microsystems, Inc. | Hardware implementation of clipping and intercoordinate comparison logic |
| US5086482A (en) * | 1989-01-25 | 1992-02-04 | Ezel, Inc. | Image processing method |
| JP2969285B2 (ja) * | 1990-09-26 | 1999-11-02 | 武藤工業株式会社 | Ｃａｄ用入力装置 |
| JP2522108B2 (ja) * | 1990-10-17 | 1996-08-07 | 株式会社精工舎 | 曲線近似方法 |
| US5420970A (en) * | 1991-03-13 | 1995-05-30 | Martin Marietta Corporation | Method for determining computer image generation display pixels occupied by a circular feature |
| JPH0594500A (ja) * | 1991-10-02 | 1993-04-16 | Fujitsu Ltd | Ｃａｄシステムにおける３次元形状検索方式 |
| GB9312447D0 (en) * | 1992-10-28 | 1993-07-28 | Int Technical Illustration Co | Method of tracing a drawing and apparatus for embodying the method |
| US5495160A (en) * | 1993-12-06 | 1996-02-27 | Reliance Electric Company | Digital sine wave generator and motor controller |
| US6111588A (en) * | 1996-12-05 | 2000-08-29 | Adobe Systems Incorporated | Creating and modifying curves on a computer display |
| US6700576B1 (en) * | 1999-03-25 | 2004-03-02 | 3Dlabs, Inc., Ltd. | Variable stride circle rendering apparatus and method |
| US6441822B1 (en) * | 1999-04-02 | 2002-08-27 | Bruce H. Johnson | Drawing with circular arcs |
| US20050264554A1 (en) * | 2004-05-25 | 2005-12-01 | Deming James L | Tile based rendering of smooth points using polygons |
| CN108984495A (zh) * | 2017-05-31 | 2018-12-11 | 北京京东尚科信息技术有限公司 | 用于数据处理的方法和装置 |
Family Cites Families (8)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US3917932A (en) * | 1970-03-24 | 1975-11-04 | Yaskawa Denki Seisakusho Kk | Generation of digital functions |
| US4115863A (en) * | 1976-12-07 | 1978-09-19 | Sperry Rand Corporation | Digital stroke display with vector, circle and character generation capability |
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