JPH0794045B2 - 線材および棒鋼圧延における寸法制御方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は、線材・棒鋼の連続圧延における寸法制御方法
に関する。

〔従来の技術〕

従来、線材・棒鋼の連続圧延における寸法制御方法に関
しては、以下の先行技術がある。

第１の例として、たとえば「塑性と加工」vol.20,No.22
4（1979.9）に開示されているように、棒鋼圧延機にお
ける材料の張力を直接検出し、この検出値の目標値から
の偏差を求め、連続圧延機列における圧延機相互間の材
料張力への影響を考慮して、圧延ロール回転数を操作量
とする材料張力の比例・積分制御を行なう技術がある。

第２の例として、たとえば特開昭54−128469号公報に開
示されているように、圧延ロールの圧下量の製品幅寸法
に対する影響係数を用いて、線材の仕上圧延用のコモン
ドライブ・ブロックミルの最終スタンドにおける圧延ロ
ールの圧下量を操作量として製品の天地寸法を、最始ス
タンドにおける圧延ロールの圧下量を操作量として製品
の幅寸法を、製品断面寸法の実測値の目標値からの偏差
によって比例制御する技術がある。

第３の例として、たとえば特開昭57−88908号公報に開
示されているように、線材の仕上圧延用のコモンドライ
ブ・ブロックミルにおけるNo.1スタンドとNo.2スタンド
〜No.nスタンド間での材料の相対速度を変化させること
によって、No.1〜No.2スタンド間における材料張力を変
化させる操作により、No.2〜No.nスタンドの何れかのス
タンド出側における材料幅の実測値の目標値からの偏差
に応じて製品幅を制御する技術がある。

第４の例として、発明者等が特願昭59−218111号（特公
平２−59002号）にて提案した、圧延における材料の変
形、圧延負荷、材料温度からなる圧延の状態方程式を用
いて、圧延ロール回転数と圧延ロール間隙を操作量とし
て、圧延機列の最終スタンド出側における圧延材の断面
高さおよび幅を、最適レギュレータ論理に基づいて状態
ベクトルのフィードバックによる制御を行なう技術があ
る。

しかしながら、これら先行技術には以下に述べる問題が
あった。

第１の例に挙げた技術では、制御におけるゲインの決定
は試行錯誤によってなされており、その最適化には限度
がある。

第２の例に挙げた技術では、圧延ロールの圧下量の製品
幅寸法に対する影響係数を比例ゲインとして用いている
けれども、制御性能は不明である。

第３の例に挙げた技術では、具体的なゲインの決定方法
が特開昭57−88908号公報に示されておらず、制御性能
は不明である。

第４の例に挙げた技術は、圧延機列の最終スタンド出側
に設けられた寸法計による圧延材の断面寸法の実測値に
基づいて状態ベクトルをフィードバックする制御であ
り、最終スタンドから寸法計までの距離に起因する無駄
時間だけ制御動作が遅れる。

〔発明が解決しようとする課題〕

本発明は、線材・棒鋼の連続圧延において、圧延機列の
最終スタンド出側における圧延材断面の高さ寸法および
幅寸法を制御するに際し、整定時間が短かく、オフセッ
トが零の制御性能良好な多変数制御を行なう線材・棒鋼
圧延における寸法制御方法を提供することを目的とす
る。

〔課題を解決するための手段〕

本発明の特徴とする処は、圧延機列による線材・棒鋼の
連続圧延において、圧延機列を構成する各スタンドにお
ける、圧延ロール対間隙の偏差をΔS_i ^＊、 ΔS_i ^＊＝（S_i−Ｓ_o,i）/h_o,i ｉ＝1,2,……,n ここで、S_i:i番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙
の実測値 Ｓ_o,i:i番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙の基
準値 ｈ_o,i:i番目のスタンド出側における圧延材断面の高さ
寸法基準値 圧延材の前方張力の偏差をΔt_fj ^＊、 Δt_fj ^＊＝（t_fj−ｔ_fo,j）/k_fmo,j ｊ＝1,2,……,n−１ ここで、t_fj:j番目のスタンド出側における圧延材の前
方張力の実測値 ｔ_fo,j:j番目のスタンド出側における圧延材の前方張力
の基準（目標）値 ｋ_fmo,j:j番目のスタンドにおける圧延材の変形抵抗の
基準値 圧延ロールの回転数の偏差をΔN_j ^＊、その時間微分量を
Δ_ｊ ^＊、 ΔN_j ^＊＝（N_j/N_o,j）−１ ｊ＝1,2,……,n−１ ここで、N_j:j番目のスタンドにおける圧延ロール回転数
の実測値 Ｎ_o,j:j番目のスタンドにおける圧延ロール回転数の基
準値 圧延荷重の偏差をΔP_i ^＊、 ΔP_i ^＊＝（P_i/P_o,i）−１ ｉ＝1,2,……,n ここで、P_i:i番目のスタンドにおける圧延荷重の実測値 Ｐ_o,i:i番目のスタンドにおける圧延荷重の基準（目
標）値 各スタンド出側における圧延材断面高さ寸法の偏差をΔ
h_i ^＊、 Δh_i ^＊＝（h_i/h_o,i）−１ ｉ＝1,2,……,n ここで、h_i:i番目のスタンド出側における圧延材断面高
さ寸法の実測値、ｈ_o,i:i番目のスタンド出側における
圧延材断面の高さ寸法の基準値（但し、h_iは、ゲージメ
ータ式h_i＝Ｈ_cal,i＋S_i＋α_ｉ・P_i/M_iによって求めた値
であり、 Ｈ_cal,i:i番目のスタンドにおける圧延ロールのカリバ
ー（孔型）深さ S_i:i番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙の実測値 α_i:i番目のスタンドにおけるスケール・ファクタ P_i:i番目のスタンドにおける圧延荷重の実測値 M_i:i番目のスタンドにおけるミル剛性 ｉ番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙、圧延荷重
およびｉ番目のスタンド出側における圧延材断面高さ寸
法のロック・オン値をそれぞれＳ_L,i、Ｐ_L,iおよびｈ
_L,i（ｈ_L,i＝Ｈ_cal,i＋Ｓ_L,i＋（α_ｉ・Ｐ_L,i）/M_i）、
ｉ番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙、圧延荷重
およびｉ番目のスタンド出側における圧延材断面高さ寸
法のロック・オン値それぞれの偏差値を ΔＳ_L,i ^＊、ΔＰ_L,i ^＊およびΔｈ_L,i ^＊、 ΔＳ_L,i ^＊＝（Ｓ_L,i−Ｓ_o,i）/S_o,i ΔＰ_L,i ^＊＝（Ｐ_L,i−Ｐ_o,i）/P_o,i Δｈ_L,i ^＊＝（ｈ_L,i−ｈ_o,i）/h_o,i 各スタンド出側における圧延材断面高さ寸法の偏差Δh_i
^＊と、各スタンド出側における圧延材断面高さ寸法のロ
ック・オン値の偏差Δｈ_L,i ^＊からの隔たりにモニタ補
償量Δｈ_M,i ^＊を加えた量Δ_ｉ ^＊、 Δ_ｉ ^＊＝Δh_i ^＊−Δｈ_L,i ^＊ ＝Δ_ｉ ^＊＋α_ｉ・Δ_ｉ ^＊M_i ^＊＋Δｈ_M,i ^＊ ｉ＝1,2,……,n ここで、Δ_ｉ ^＊＝ΔS_i ^＊−ΔＳ_L,i ^＊ Δ_ｉ ^＊＝ΔP_i ^＊−ΔＰ_L,i ^＊ M_i ^＊＝ｈ_o,i・M_i/P_o,i モニタ補償量Δｈ_M,i ^＊：圧延機列出側に設けられた圧
延材断面寸法計によって測定された圧延材断面高さ寸法
および幅寸法の偏差の実測値から、圧延機列における各
スタンドでの圧下量が仕上スタンド出側における圧延材
断面高さ寸法および幅寸法に及ぼす影響係数に基づき、
各スタンドに配分し積分して得られる値 各スタンドの入側における材料の平均温度、圧延材断面
高さ寸法および幅寸法それぞれの偏差を、 ΔT_mi ^＊、ΔH_i ^＊およびΔB_i ^＊、 ΔT_mi ^＊＝ΔT_mi/T_mO,i ΔH_i ^＊＝ΔH_i/H_o,i ΔB_i ^＊＝ΔB_i/B_o,i ｉ＝1,2,……,n 状態ベクトルｘ、出力ベクトルｙ、入力ベクトルｕを、 ｘ＝（Δ_ｉ ^＊，Δt_fj ^＊，ΔN_j ^＊，Δ_ｊ ^＊）^Ｔ ここで、Ｔは転置行列を意味する。

ｙ＝（Δ_ｉ ^＊，Δt_fj ^＊）^Ｔ ｕ＝（Δ_ref,i ^＊，ΔＮ_ref,j ^＊）^Ｔ ｉ＝1,2,……,n ｊ＝1,2,……,n−１ ここで、ΔＳ_ref,i ^＊:i番目スタンドにおける設定圧延
ロール対間隙の目標値 ΔＮ_ref,j ^＊:j番目スタンドにおける設定ロール回転数
の目標値として、 制御入力を決定する制御系設計時の圧延の状態方程式 ｘ（ｋ＋１）＝Ax（ｋ）＋Bu（ｋ） ｙ（ｋ）＝Cx（ｋ） ここで、k:離散時間系の時刻を表す刻み番号（整数） を用いて、評価関数Ｊを最小にする出力ベクトル（制御
偏差）および状態ベクトルのフィードバックから構成さ
れる最適入力によって、圧延機列における最終スタンド
（第ｎ番目スタンド）から放出される圧延材の高さ寸法
および幅寸法を制御するようにしたことを特徴とする線
材および棒鋼圧延における寸法制御方法 ここで、Ｑ、R:重み行列 ｅ（ｋ）＝ｒ（ｋ）−ｙ（ｋ）， ｒ（ｋ）＝O:目標値， ｖ（ｋ）＝ｕ（ｋ）−ｕ（ｋ−１） なお、制御入力ｕ＝（Δ_ref,i ^＊，ΔＮ_ref,j ^＊）^Ｔに
おけるスタンド番号i,jは、ｉ＝Ｏ〜n,j＝Ｏ〜ｎ−１の
範囲内で任意の組合せを採り得るものとし、 ｉ＝Ｏのとき、ロール間隙を操作量とせず、 ｊ＝Ｏのとき、ロール間隙を操作量としない、 にある。

以下、本発明を詳細に説明する。

本発明は、線材・棒鋼の連続圧延において、圧延材の変
形、圧延材の負荷、圧延材の温度からなる状態方程式を
用いて、圧延ロール回転数とロール間隙を操作量とし
て、対象とする圧延機列における各スタンド間での圧延
材張力およびモニタ補償を考慮した各スタンド出側にお
ける圧延材断面高さ寸法のゲージメータ方式による計算
値を、最適レギュレータ理論に基づき、制御偏差および
状態ベクトルのフィードバックによって制御するように
した点によって特徴づけられる。即ち、本発明は、本発
明者等が、特願昭59−218111号にて提案した、圧延材断
面形状、寸法の制御方法における問題点である、仕上ス
タンドから圧延材断面寸法計までの距離に起因する制御
動作遅れを、仕上最終スタンドから放出された圧延材断
面寸法を測定する手段として、板圧延分野で用いられて
いるゲージメータ方式による計算値によって代替するこ
とによって、フィードバックの応答速度を高めて解決し
たものである。

本発明においては、評価関数 を最小とするような、最適制御入力ｕ（ｋ）が偏差ｅ
（ｋ）および部分状態ベクトルxs（ｋ）のフィードバッ
ク過程で、 ｕ（ｋ）＝F₁e（ｋ−１）−F₂［ｅ（ｋ）−ｅ（ｋ−
１）］ −F₃［xs（ｋ）−xs（ｋ−１）］＋ｕ（ｋ−１） として同時に複数の入力が求まるから、制御性能の良好
な制御系を比較的容易に設計することができる。

最適制御理論に基づく制御においては、多変数の制御量
を多変数の操作量で全ての状態の中から最適な状態に制
御する。従って、圧延過程における全ての状態を表す数
学模型（状態方程式）が必要である。また、最適な状態
を数学的に表すために、評価関数を用いそれを最小化す
る制御則を解析的に求めて、この制御則により系を操作
して最適な状態となるように制御を行なう。最適制御理
論の中で代表的な制御理論である最適レギュレータ理論
では、２次形式の評価関数を用いる。これは、数学模型
（モデル）が線形でかつ評価関数が２次形式のとき、制
御則がフィードバック制御となり、制御量を確実に目標
値へ近付ける安定した制御を実現できるからである。

２次形式の評価関数は、制御量の偏差の２乗に重み行列
Ｑを乗じたものおよび、基準値からの操作量についてあ
る時刻の値とそれより１サンプリング時刻前の値との差
の２乗に重み行列Ｒを乗じたものの和をすべての制御さ
れている時間に亘って加算した値が最小になるような制
御を、最適な制御とする評価関数となっている。この評
価関数によって制御系を設計すると、全ての時間に亘る
制御量の偏差の２乗面積（絶対値）と操作量の偏差の差
の２乗面積の和が最小となるような高い応答性を有し整
定時間の短かい制御が、適当な操作量で実現できる。

その際、評価関数の中に操作量の偏差の差を入れる理由
は、操作量を入れない場合には応答を速くするために操
作量が無限大になるが、実際には、設備の制約から操作
量の変化速度の大きさは有限であり、前述のような高速
の操作量の変化は不可能であるからである。ここで、制
御量の偏差に掛かる重み行列Ｑは、多変数の操作量の中
で、高い応答性を有し小さな偏差であることを要求され
る制御量であるほど、それに掛かる重み行列Ｑの要素の
大きさを大きくする。また、操作量の偏差に掛かる重み
行列Ｒは、多変数の操作量の中で、その操作量によって
制御される制御量に要求される応答速度が高いほど、そ
の操作量に掛かる重み行列Ｒの要素の大きさを小さくす
る。但し、重み行列Ｑ、Ｒの大きさについて、同一の物
理量たとえば圧延ロールの回転速度（回転数）に掛かる
要素間では、要素の大小関係は、それに対応する制御量
応答速度或は操作量の変化速度の大小関係に対応する。
異なる物理量間では、対応しない。

また、重み行列Ｑ、Ｒは、コンピュータ・シミュレーシ
ョンによる制御結果が制御系の設計者にとって満足すべ
き制御結果であると判断されるまで、試行錯誤して決定
される。

以下に、本発明を、その実施態様に則してさら詳細に説
明する。

圧延機駆動系の動特性として、圧延ロール対間隙制御系
を一時遅れで近似し、圧延ロール回転数制御系を二次系
で近似する。

記号を、第１表に示す。

非線形圧延モデルを、基準状態（第２表）の周りで線形
化、無次元化して状態空間モデルとして表示しさらに、
制御周期Δｔで離散化すると、次の状態方程式を得る。

ｘ（ｋ＋１）＝Ax（ｋ）＋Bu（ｋ）＋Ew（ｋ）…（１） ｙ（ｋ）＝Cx（ｋ）＋Fw（ｋ） …（２） ただし、状態ベクトルｘ、出力ｙ、入力ｕ、外乱ｗは、
次の通りである。

ｘ＝（Δ_ｉ ^＊，Δt_fj ^＊，ΔN_j ^＊，Δ_ｊ ^＊）^Ｔ …
（３） ｙ＝（Δ_ｉ ^＊，Δt_fj ^＊）^Ｔ …（４） ｕ＝（Δ_ref,i ^＊，ΔＮ_ref,j ^＊）^Ｔ …（５） ｗ＝（ΔT_mi ^＊，ΔH_i ^＊，ΔB_i ^＊）^Ｔ …（６） ｉ＝1,2,……n,j＝1,2,……,n−１ n:スタンド数 ここで、k:離散時間系の時刻を表す刻み番号（整数） Δ_ｉ ^＊：ロックオン値ΔS_Li ^＊からの偏差＝ΔS_i ^＊−
ΔＳ_L,i ^＊ ΔS_i ^＊＝（S_i−Ｓ_o,i）/h_o,i S_i:i番目の圧延機における圧延ロール対間隙の実測値 Ｓ_o,i:i番目の圧延機における圧延ロール対間隙の基準
値 ｈ_o,i:i番目の圧延機出側における圧延材断面の高さ寸
法の基準値 Δt_fj ^＊＝（t_fj−ｔ_fo,i）/K_fmo,j t_fj:j番目の圧延機における圧延材の前方張力 ｔ_fo,j:i番目の圧延機における圧延材の前方張力の基準
（目標）値 Ｋ_fmo,j:j番目の圧延機における圧延材の平均変形抵抗
の基準値 ΔN_j ^＊＝（N_j/N_o,j）−１ N_j:j番目の圧延機における圧延ロール回転数の実測値 Ｎ_o,j:j番目の圧延機における圧延ロール回転数の実測
値の基準値 T:転置行列を意味する Δ_ｉ ^＊：ロックオン値Δh_Li ^＊からの偏差 ＝Δh_i ^＊−Δh_Li ^＊ Δh_i ^＊＝h_iの基準値ｈ_o,iからの変化率 ＝Δh_i/h_o,i ＝（h_i/h_o,i）−１ h_i:i番目の圧延機出側における圧延材断面の高さ寸法の
実測値（圧下方向の寸法） ｈ_o,i:i番目の圧延機出側における圧延材断面の高さ寸
法の基準値 Δ_ref,i ^＊:i番目の圧延機における設定圧延ロール対
間隙目標値 ΔＮ_ref,i ^＊:j番目の圧延機における設定圧延ロール回
転数目標値 ΔT_mi ^＊:T_miの基準（目標）値Ｔ_mO,iからの変化率＝ΔT
_mi/T_mO,i ΔT_mi:i番目の圧延機入側における圧延材平均温度の実
測値の基準値からの偏差 Ｔ_mO,i:i番目の圧延機入側における圧延材温度の基準値 ΔH_i ^＊:i番目の圧延機入側における圧延材断面の高さ寸
法の偏差 ΔH_i ^＊＝ΔH_i/H_o,i ＝（H_i/H_o,i）−１ H_i:i番目の圧延機入側における圧延材断面の高さ寸法の
実測値 Ｈ_o,i:i番目の圧延機入側における圧延材断面の高さ寸
法の基準値 ΔB_i ^＊:i番目の圧延機入側における圧延材断面の幅寸法
の偏差 ΔB_i ^＊＝ΔB_i/B_o,i ＝（B_i/B_o,i）−１ B_i:i番目の圧延機入側での圧延材断面の幅寸法の実測値
（圧下と直角な方向の寸法） Ｂ_o,j:i番目の圧延機入側における圧延材断面の幅寸法
の基準値 係数行列Ａ〜Ｆは、圧延特性・圧延機駆動系の動特性の
偏微分係数を要素とする行列である。

線形圧延モデルの詳細は公知文献（1984年度 塑性加工
春季講演会p533〜536「線材圧延の状態方程式」）に記
載されている。

４スタンドからなる圧延機列における第２表に示す圧延
の基準状態での行列Ａ〜Ｃの値は、第３表のようにな
る。行列Ｅ、Ｆの値は、次に述べる最適制御系の設計に
は不要であるので省略した。なお、行列Ａは13行13列、
行列Ｂは13行７列、行列Ｃは７行13列である。また、行
列の要素の中で、Ｄや−は、JIS FORTRANの倍数精度実
数型算術式の文法で規定されている記号である。たとえ
ば、xDy:＝ｘ×10^yを表す倍精度実数型の定数である。

線材および棒鋼の連続圧延においては、圧延機列の最終
スタンドから放出される圧延材断面の高さ寸法と幅寸法
を目標値制御する必要がある。

発明者等が先に特願昭59−218111号にて提案した制御系
によって、圧延機列の最終スタンド出側における圧延材
断面の高さ寸法および幅寸法を制御する場合、最終スタ
ンド出側に設けられた圧延材断面寸法測定用の寸法計か
らのフィードバック制御を行なうと、最終スタンドから
寸法計までの圧延材走行時間だけ時間遅れを生じる。

そこで、本発明においては、最終数スタンドの出側にお
ける圧延材断面の高さ寸法を、圧延荷重と圧延ロール対
間隙の変化から計算されるゲージメータ方式による算出
によって測定し、これをロック・オン値として制御を行
なう。このようにして時間遅れが解決される。

一方、最終数スタンド出側における圧延材断面の高さ寸
法のみを制御すると、スタンド間における圧延材の張力
が変化して圧延材断面の幅寸法が殆ど制御されない。こ
の問題を併せ解決するためには、最終数スタンド間にお
ける圧延材の張力も同時に制御する多変数制御を行なう
必要がある。その際、圧延機出側における圧延材断面の
高さ寸法を制御するスタンドを最終２スタンドとする
と、最終スタンド出側における圧延材断面の幅寸法は、
目標値からオフセットを生じる。圧延機出側における圧
延材断面の高さ寸法を制御するスタンドを最終４スタン
ド以上とすると、最終スタンド出側における圧延材断面
の幅寸法を、目標値からのオフセットを殆ど零に制御す
ることができる。

このように、制御量も操作量も多変数の複雑な制御系で
は、変数相互の影響を考慮した線形圧延モデルを用い
て、二次形式の評価関数が最小となるような最適レギュ
レータ理論に基づく制御系を構成することによって、す
べての制御量を高い応答性の下に肌理細かく制御するこ
とができる。

本発明においては、最適レギュレータ理論を適用して離
散時間最適制御系を設計している。即ち、外乱ｗがステ
ップ状であると仮定すると、評価関数 を最小にする制御入力ｕ（ｋ）は、 ｕ（ｋ）＝−F₁e（ｋ−１）−F₂［ｅ（ｋ）−ｅ（ｋ−
１）］ −F₃［xs（ｋ）−xs（ｋ−１）］＋ｕ（ｋ−１） …
（８） で与えられる。

本発明においては、離散時間制御系の設計において求め
た最適ゲインの値がそのままディジタルのプロセス・コ
ンピュータにおける離散時間で使用できる。なお、連続
時間制御の設計において求めた最適ゲインを用いても、
ディジタル・コンピュータで離散時間制御する場合に、
ゲインを適当に変換すれば、離散時間制御系の設計にお
いて求めたゲインと同様に最適制御を実現できる。圧延
制御システムの最適化を図るためには、最適であること
を定量的に判定する尺度が必要である。その場合、制御
システムに課せられた要求から、評価関数として制御量
である圧延機出側における圧延材断面の高さ寸法のロッ
ク・オン値からの変化率Δ_ｉ ^＊と圧延材の前方張力t
_fiの目標値からの変化率Δ_fi ^＊の偏差の２乗（面積＝絶
対値）を一般化したｅ（ｋ＋１）に関する二次形式を、
（７）式の右辺第１項に用いることが適切である。しか
し、評価関数がこの項のみでは、操作量ｕ（ｋ）即ち設
定圧延ロール対間隙目標値Δ_ref,i ^＊（ｋ）と設定ロ
ール回転数目標値ΔＮ_ref,j ^＊（ｋ）の加速度ｖ（ｋ）
＝ｕ（ｋ）−ｕ（ｋ−１）をいくらでも大きく与えた方
がよいということになって現実的でなくなる。そこで、
制御に要するコスト或はｖ（ｋ）の大きさに対する制約
条件を評価関数に織り込まなければならない。従って、
ｖ（ｋ）に関する二次形式を、（７）式の右辺第２項に
導入する。この場合、制御のすべての時間に亘る制御量
（出力ベクトル）であるｉ番目のスタンド出側における
圧延材断面の高さ寸法h_iのロック・オン値ｈ_L,iからの
変化率Δ_ｉ ^＊とｉ番目のスタンドにおける圧延材の前
方張力t_fjの基準（目標）値からの変化率Δt_fj ^＊の目標
値からの偏差の２乗面積に重み行列Ｑを掛けたものと、
操作量（入力ベクトル）であるｉ番目のスタンドにおけ
る設定圧延ロール対間隙目標値Ｓ_ref,iのロック・オン
値Ｓ_L,iからの変化率Δ_ref,i ^＊と、ｊ番目のスタンド
における設定圧延ロール回転数目標値Ｎ_ref,jの基準値
Ｎ_o,jからの変化率ΔＮ_ref,j ^＊の時刻ｋと１サンプリン
グ周期前の時刻ｋ−１における値の差の２乗面積に重み
行列Ｒを掛けたもの和が最小となるようにする。即ち、
有限の大きさの操作量（制御入力）で、制御（出力ベク
トル）の偏差が短時間で目標値に整定する最適制御であ
り、重み行列Ｑ、Ｒは、各々出力ベクトルｙの偏差e,入
力ベクトルｕの差分ｖに掛かる重み係数を要素とする行
列であり、コンピュータ・シミュレーションによって望
ましい制御成績とすべく試行錯誤によって決定される。

（７）、（８）式において、制御偏差ｅ、部分状態ベク
トルxsおよび制御入力（操作量）ｕの一階差分ｖは、 ｅ（ｋ）＝ｒ（ｋ）−ｙ（ｋ） （ｒ（ｋ）＝O:目標
値） …（９） xs（ｋ）＝（ΔN_j ^＊，Δ_ｊ ^＊）^Ｔ …（10） ｖ（ｋ）＝ｕ（ｋ）−ｕ（ｋ−１） …（11） で定義され、 は、次のリカッチ方程式から求まる。

Ｆ＝（Ｒ＋G^TPG）^-1G^TPΦ …（12） Ｐ＝Φ^TPΦ−Φ^TPG（Ｒ＋G^TPG）^-1G^TPΦ＋H^TQH…（13） ここで、（13）式は定常状態におけるリカッチ方程式で
あり、左辺のＰはＰ（ｋ＋１）、右辺のＰはＰ（ｋ）で
あるが、定常状態では左辺のＰ（ｋ＋１）は右辺のＰ
（ｋ）に等しくなるので、Ｐ（ｋ＋１）＝Ｐ（ｋ）＝Ｐ
とした。

但し、行列Φ、ＧおよびＨは、式（１）、（２）で示さ
れるシステムのエラーシステム Ｘ（ｋ＋１）＝ΦＸ（Ｋ）＋Gv（ｋ） …（14） ｅ（ｋ）＝HX（ｋ） …（15） Ｘ（ｋ）＝［e^T（ｋ−１）,e^T（ｋ）−e^T（ｋ−１）,xs
^T（ｋ） −xs^T（ｋ−１）］^Ｔ …（16） の係数行列であり、行列Ａ〜Ｃから求められる。ここ
で、外乱ｗはステップ状と仮定すると定常状態では、圧
延の状態方程式（１）、（２）に現れる外乱ｗの変化ｗ
（ｋ）−（ｋ−１）＝０となる。したがって、（７）式
の評価関数を最小化するような制御入力を決定する制御
系設計時に用いる状態方程式（14）、（15）は、もとの
圧延の状態方程式（１），（２）の差分形のため外乱は
消去され、その結果、外乱は制御系統計および制御に使
用されない。なお、ここでは離散時間系の最適制御を導
出したが、圧延の状態方程式（１）、（２）を連続時間
系で与えれば、同様の方法で連続時間系の最適制御を構
成できる。

ここで、評価関数（７）式と上記（８）〜（16）式の関
係を説明すると、最適レギュレータは、通常、状態ベク
トル・フィードバックで構成される。本発明において
は、圧延機出側における圧延材断面の高さ寸法の偏差即
ち、出力ベクトルを制御する必要がある。また、圧延機
間における圧延材張力の偏差は状態ベクトルでありか
つ、出力ベクトルでもある。従って、これらの出力ベク
トルのフィードバック制御が実現されるように、もとの
システム（１）、（２）式における圧延機出側における
圧延材断面の高さ寸法の偏差および圧延機間における圧
延材張力の偏差の出力ベクトルが、新しいシステム式に
おいては状態ベクトルとなるように、システム式を変更
する必要がある。

即ち、圧延機出側における圧延材断面の高さ寸法の偏差
および圧延機間における圧延材張力の偏差の出力ベクト
ルの比例・積分制御およびミル駆動系の二次系近似式の
システム式を構成する圧延ロール回転数とその時間微分
からなる部分状態ベクトルのフィードバック比例制御を
構成すればよい。そのためには、（１）、（２）式にお
けるエラー（出力ベクトルのＯからの偏差に−符号を付
したもの）とエラーの差分および部分状態ベクトルの差
分を（16）式のように新しいシステム式（14）、（15）
における状態ベクトルとすればよい。ここで、（14）、
（15）式における係数φ、ＧおよびＨは、もとのシステ
ム式（１）、（２）から行列Ａ〜Ｃより求められる。

このとき、評価関数（７）式を最小にする制御入力ｕ
（ｋ）は、最適レギュレータ理論より（８）式で与えら
れる。ここで、制御偏差ｅ（ｋ）、部分状態ベクトルxs
（ｋ）および一階差分ｖ（ｋ）は（９）〜（11）式で定
義され、最適ゲイン行列（12）、（13）式のリカッチ方
程式より求まる。

評価関数（７）式を最小にする最適制御則を適用するこ
とにより、第１図に示すような、線材、棒鋼圧延におけ
る最適制御系を構成する。

第１図（ａ）に、本発明を実施するときの圧延制御シス
テムを示す。

制御用計算機６は、圧延材の前方張力t_fiの偏差Δ
t_fj ^＊、圧延ロール回転数の偏差ΔN_j ^＊とその微分値Δ
_ｊ ^＊と、ｉ番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙
のロック・オン値からの偏差Δ_ｉ ^＊、圧延荷重のロッ
ク・オン値からの偏差Δ_ｉ ^＊、寸法計５による仕上ス
タンド出側における圧延材断面高さ寸法のロック・オン
値からの偏差Δh₄ ^＊、寸法計５による仕上スタンド出側
における圧延材断面幅寸法のロック・オン値からの偏差
Δb₄ ^＊をサンプルし、各スタンド出側における圧延材断
面高さ寸法のゲージメータ方式による計算値Δ_ｉ ^＊を
求め、（８）式で与えられる最適制御入力ｕ（ｋ）を計
算し、各スタンドにおける圧延ロール対間隙の設定値Δ
_ref,i ^＊、圧延ロール回転数設定値ΔＮ_ref,j ^＊をそれ
ぞれ圧延ロール対間隙制御系、圧延ロール回転数制御系
へ向けて出力する。ここで、各スタンド出側における圧
延材断面高さ寸法のゲージメータ方式による計算値Δ
_ｉ ^＊は、 Δ_ｉ ^＊＝Δ_ｉ ^＊＋α_ｉ・Δ_ｉ ^＊/M_i ^＊＋Δｈ_M,i ^＊
…（17） によって計算される。Mi^＊は、無次元ミル定数（M_i ^＊＝
ｈ_o,i・M_i/P_o,i）、α_ｉは、スケール・ファクタであ
る。

（17）式の右辺、第１項〜第２項は、それ自体公知のゲ
ージメータ方式による計算式であり、第３項Δｈ_M,i ^＊
は、絶対的寸法精度を与えるためのモニタ補償である。

モニタ補償Δｈ_M,i ^＊は、次の手順で得られる。

寸法計５による最終（仕上）スタンド出側における圧延
材断面の高さ寸法の偏差Δh₄ ^＊、幅寸法の偏差Δb₄ ^＊の
サンプル値から、リーダ・スタンドおよび仕上スタンド
（この実施例では、No.3、No.4スタンド）の出側におけ
る圧延材断面の高さ寸法のモニタ修正量Δｈ_x,3 ^＊およ
びΔｈ_x,4 ^＊を、 Δｈ_x,3 ^＊＝−（K₂・Δh₄ ^＊−Δb₄ ^＊）/K₁ …（18） Δｈ_x,4 ^＊＝Δh₄ ^＊ …（19） によって計算する。但し、係数K₁、K₂は、影響係数を用
いて、 K₁＝（∂Δb₄ ^＊／∂ΔS₃ ^＊）・（∂Δh₃ ^＊／∂ΔS₃ ^＊）
^-1 …（20） K₂＝（∂Δb₄ ^＊／∂ΔS₄ ^＊）・（∂Δh₄ ^＊／∂ΔS₄ ^＊）
^-1 …（21） で与えられる。

次に、モニタ補償量Δｈ_M,i ^＊（ｋ）は、リーダ・スタ
ンド、仕上スタンド出側における圧延材断面の高さ寸法
のモニタ修正量Δｈ_x,3 ^＊およびΔｈ_x,4 ^＊を積分して によって求められる。T_iはNo.1スタンドから最終（仕
上）スタンド出側の寸法計までの材料（圧延材）走行時
間（秒）であり、Ｋ_M,iは、モニタ補償積分ゲインであ
る。（12）、（13）式における重み行列Ｑ、Ｒおよび
（22）式におけるモニタ補償積分ゲインＫ_M,iは、コン
ピュータ・シミュレーションを繰返し、試行錯誤に決定
した。

４スタンド・ミルで、No.1スタンド入側における材料平
均温度、材料断面の高さ寸法、幅寸法が、それぞれ偏差
ΔＴ_m,i ^＊＝−0.091、ΔH₁ ^＊＝ΔB₁ ^＊＝0.033だけステ
ップ状に変化した場合について検討した。

制御なしの場合のステップ応答を、第２図および第３図
に示す。

第２図および第３図から明らかなように、最終（仕上）
スタンド出側における圧延材断面の高さ寸法および幅寸
法それぞれの偏差Δh₄ ^＊、Δb₄ ^＊が大きく変動してい
る。

第２図、第３図に示す結果の前提となっている、上記N
o.1スタンド入側における材料平均温度、材料断面高さ
寸法および幅寸法それぞれの偏差は、材料先端がNo.1ス
タンドに到達してから4,5秒間経過した時刻におけるも
のである。

次に、制御ありの場合のステップ応答を、第４図〜第７
図に示す。

第４図〜第７図は、No.1スタンド入側における材料平均
温度、材料断面の高さ寸法、幅寸法が、それぞれ偏差Δ
Ｔ_M,1 ^＊＝−0.091、ΔH₁ ^＊＝ΔB₁ ^＊＝0.033だけステッ
プ状に変化したときの、制御あり（スタンド間での圧延
材の張力制御＋全スタンドでAGC制御）の場合の、最終
スタンド出側における圧延材断面の高さ寸法および幅寸
法の偏差Δh₄ ^＊＝Δb₄ ^＊ならびに各スタンドにおける圧
延材の前方張力の偏差Δt_fj ^＊、圧延ロール回転数の偏
差ΔN_j ^＊、圧延ロール対間隙の偏差ΔS_j ^＊のステップ応
答を示している。このとき、モニタ補償は行なわず、
（17）式におけるΔｈ_M,i ^＊を零と置いている。重み行
列Ｑ、Ｒは、 Ｑ＝diag（1,1,1,1,0.1,0.1,0.1） …（23） Ｒ＝diag（10,10,10,10,1,1.2,1.5） …（24） である。

第４図〜第７図から明らかなように、制御ありの場合
は、最終スタンド出側における圧延材断面の高さ寸法お
よび幅寸法の偏差ならびに各スタンドにおける圧延材の
前方張力の偏差が極めて小さくなっており、精密な圧延
制御が可能となっている。

次に、モニタ補償の有効性を検証するために、材料温度
と材料断面寸法の外乱が、材料先端からΔＴ_m,1 ^＊＝−
0.091、ΔH₁ ^＊＝ΔB₁ ^＊＝0.033だけ付加されている場合
について検討した。

第８図〜第10図に、モニタ補償なしの場合の、最終スタ
ンド出側における圧延材断面の高さ寸法および幅寸法の
偏差Δh₄ ^＊＝Δb₄ ^＊ならびに各スタンドにおける圧延材
の前方張力の偏差Δt_fj ^＊の応答を示す。ゲージメータ
方式による圧延材断面の高さ寸法の計算値（ロック・オ
ン値）が基準状態からずれているために、最終スタンド
出側における圧延材断面の高さ寸法および幅寸法にオフ
セットが生じている。

第８図〜第10図に示す結果の前提となっている、上記N
o.1スタンド入側における材料平均温度、材料断面の高
さ寸法および幅寸法それぞれの偏差は、材料先端がNo.1
スタンドに到達してから1.0秒間経過した時刻における
ものである。

第11図〜第13図に、モニタ制御あり（スタンド間での圧
延材の張力制＋全スタンドでのAGC）の場合の、最終ス
タンド出側における圧延材断面の高さ寸法および幅寸法
の偏差Δh₄ ^＊＝Δb₄ ^＊ならびに各スタンドにおける圧延
材の前方張力の偏差Δt_fj ^＊の応答結果を示す。このと
き、モニタ補償積分ゲインは、Ｋ_M,3＝Ｋ_M,4＝0.05とお
いた。

第11図〜第13図から明らかなように、モニタ制御ありの
場合は、最終スタンド出側における圧延材断面の高さ寸
法および幅寸法にオフセットが生じていない。

ここで、本発明の制御系をまとめて説明する。

第１図（ｂ）に、張力制御＋ゲージメータAGC＋モニタA
GC補償の制御系の詳細を示す。各スタンド出側における
圧延材断面の高さ寸法の偏差Δh_i ^＊は、ゲージメータ方
式による計算式（17）によって求まる。（17）式の右辺
第１項および第２項は、それ自体公知のゲージメータ式
である。

ゲージメータ制御は、一般に、圧延機出側における圧延
材断面の高さ寸法のロックオン値からの偏差を０にする
偏差制御であるが、精密圧延を実現するためには、圧延
製品断面の高さ寸法および幅寸法を目標値に制御する絶
対値制御が必要となる。そこで、張力制御とゲージメー
タ方式による計算式（17）によって求まる各スタンド出
側における圧延材断面の高さ寸法の制御において、絶対
値制御を実現することを考える。ここでは、４スタンド
からなる圧延機列による圧延を例に採って説明する。圧
延製品断面の高さ寸法および幅寸法の目標値からの偏差
をΔh₄ ^＊（ｋ）、Δb₄ ^＊（ｋ）とすると、ゲージメータ
方式による計算式（17）によって求まる各スタンド出側
における圧延材断面の高さ寸法の制御を絶対値制御とす
るには、仕上げ前（リーダ）スタンドおよび仕上スタン
ドにおける圧延材断面の高さ寸法を示す（17）式の第３
項のモニタ補償量Δｈ_M,3 ^＊（ｋ），Δｈ_M,4 ^＊（ｋ）
を、以下の手順で計算する。圧延機列出側に設けられた
寸法計によって測定された圧延製品断面の高さ寸法およ
び幅寸法の目標値からの偏差のサンプル値Δh
₄ ^＊（ｋ）、Δb₄ ^＊（ｋ）からモニタ修正量Δｈ
_x,3 ^＊（ｋ）、Δｈ_x,4 ^＊（ｋ）を（18）、（19）式によ
って計算する。ここで、k₁は、圧延機間における圧延材
張力を制御したときの、リーダスタンド出側における圧
延材断面の高さ寸法のゲージメータ方式による計算値が
圧延製品断面の幅寸法に及ぼす影響係数であり、リーダ
・スタンドにおける圧延ロール対間隙が圧延製品断面の
幅寸法に及ぼす影響係数をリーダスタンドにおける圧延
ロール対間隙がリーダ・スタンド出側における圧延材断
面の高さ寸法に与える影響係数で除した商として、（2
0）式で示される。k₁は、コンピュータ・シミュレーシ
ョン或は実測によって求められる。k₂は、圧延機間にお
ける圧延材張力を制御したときの、仕上スタンド出側に
おける圧延材断面の高さ寸法のゲージメータ方式による
計算値が圧延製品断面の幅寸法に及ぼす影響係数であ
り、仕上スタンドにおける圧延ロール対間隙が圧延製品
断面の幅寸法に及ぼす影響係数を仕上スタンドにおける
圧延ロール対間隙が仕上スタンド出側における圧延材断
面の高さ寸法に与える影響係数で除した商として、（2
1）式で示される。k₂は、コンピュータ・シミュレーシ
ョン或は実測によって求められる。

モニタ補償量Δｈ_M,3（ｋ）、Δｈ_M,4（ｋ）は、各々
（18）、（19）式によって計算されるモニタ修正量Δｈ
_x,3（ｋ），Δｈ_x,4（ｋ）に積分ゲインを掛けて積分し
た式（22）から求められる。ここで、圧延荷重と圧延ロ
ール対間隙から求められる圧延材断面の高さ寸法のゲー
ジメータ方式による計算値による制御のように、比例制
御が作用すると、最終スタンドから寸法計までの圧延材
走行時間だけ遅れが生じるから、圧延製品断面の高さ寸
法および幅寸法が目標値から大きくずれてしまう危険性
がある。そこで、本発明においては、モニタ修正量を積
分することにより、圧延製品断面の高さ寸法および幅寸
法が目標値に整定するようにしている。

〔発明の効果〕

以上説明したように、本発明によるこの実施例の場合、
最適レギュレータによる制御は、以下のように制御性能
が優れていることが明らかになった。

（１）張力制御および各スタンド出側ゲージメータ計算
高さ制御は整定時間が短く、オフセット＝０に制御可能
である。

（２）仕上スタンド出側高さ、出側幅はオフセット＝０
に制御可能である。

尚、この実施例では、ルーパレス連続圧延について示し
たが、スタンド間にルーパがある場合についてもルーパ
高さと圧延材張力の関係式を用いて状態方程式を構成す
れば、上記実施例におけると同様の方法で寸法制御が可
能である。

【図面の簡単な説明】

第１（ａ），（ｂ）図は本発明の実施例を示す構成図、
第２図〜第３図は制御なしの場合の出側高さΔh₄ ^＊、出
側幅Δb₄ ^＊、張力Δt_fj ^＊のステップ応答の例示図、第
４図〜第７図は制御あり（モニタ補償なし）の場合の出
側高さΔh₄ ^＊、出側幅Δb₄ ^＊、張力Δt_fj ^＊、ロール回
転数ΔN_j ^＊、ロール間隙ΔS_i ^＊のステップ応答の例示
図、第８図〜第10図はゲージメータ計算のロックオン値
が基準状態よりずれた場合のモニタ補償なしの場合の出
側高さΔh_i ^＊、出側幅Δb_i ^＊、張力Δt_fj ^＊の応答の例
示図、第11図〜第13図はモニタ補償ありの場合の出側高
さΔh_i ^＊、出側幅Δb_i ^＊、張力Δt_fj ^＊の応答の例示図
である。 1,3:水平ロール、2,4:垂直ロール 5:寸法計、6:制御用計算機、7:材料

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 大貝 晴俊 神奈川県川崎市中原区井田1618番地 新日 本製鐵株式会社第１技術研究所内 (72)発明者 川並 高雄 福岡県北九州市八幡東区枝光１−１−１ 新日本製鐵株式会社第３技術研究所内 (72)発明者 永沼 洋一 神奈川県川崎市中原区井田1618番地 新日 本製鐵株式会社第１技術研究所内 (72)発明者 岡 敏博 北海道室蘭市仲町12番地 新日本製鐵株式 会社室蘭製鐵所内 (72)発明者 田中 直樹 北海道室蘭市仲町12番地 新日本製鐵株式 会社室蘭製鐵所内

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】圧延機列による線材・棒鋼の連続圧延にお
   いて、圧延機列を構成する各スタンドにおける、圧延ロ
   ール対間隙の偏差ΔS_i ^＊、 ΔS_i ^＊＝（S_i−Ｓ_o,i）/h_o,i ｉ＝1,2,……,n ここで、S_i:i番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙
   の実測値 Ｓ_o,i:i番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙の基
   準値 ｈ_o,i:i番目のスタンド出側における圧延材断面の高さ
   寸法の基準値 圧延材の前方張力の偏差をΔt_fj ^＊、 Δt_fj ^＊＝（t_fj−ｔ_fo,j）/k_fmo,j ｊ＝1,2,……,n−１ ここで、t_fj:j番目のスタンド出側における圧延材の前
   方張力の実測値 ｔ_fo,j:j番目のスタンド出側における圧延材の前方張力
   の基準（目標）値 ｋ_fmo,j:j番目のスタンドにおける圧延材の変形抵抗の
   基準値 圧延ロールの回転数の偏差をΔN_j ^＊、その時間微分量を
   Δ_ｊ ^＊、 ΔN_j ^＊＝（N_j/N_o,j）−１ ｊ＝1,2,……,n−１ ここで、N_j:j番目のスタンドにおける圧延ロール回転数
   の実測値 Ｎ_o,j:j番目のスタンドにおける圧延ロール回転数の基
   準値 圧延荷重の偏差をΔP_i ^＊、 ΔP_i ^＊＝（P_i/P_o,i）−１ ｉ＝1,2,……,n ここで、P_i:i番目のスタンドにおける圧延荷重の実測値 Ｐ_o,i:i番目のスタンドにおける圧延荷重の基準（目
   標）値 各スタンド出側における圧延材断面高さ寸法の偏差をΔ
   h_i ^＊、 Δh_i ^＊＝（h_i/h_o,i）−１ ｉ＝1,2,……,n ここで、h_i:i番目のスタンド出側における圧延材断面高
   さ寸法の実測値、ｈ_o,i:i番目のスタンド出側における
   圧延材断面の高さ寸法の基準値（但し、h_iは、ゲージメ
   ータ式h_i＝Ｈ_Cal,i＋S_i＋α_ｉ・P_i/M_iによって求めた値
   であり、 Ｈ_Cal,i:i番目のスタンドにおける圧延ロールのカリバ
   ー（孔型）深さ S_i:i番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙の実測値 α_i:i番目のスタンドにおけるスケール・ファクタ P_i:i番目のスタンドにおける圧延荷重の実測値 M_i:i番目のスタンドにおけるミル剛性） ｉ番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙、圧延荷重
   およびｉ番目のスタンド出側における圧延材断面高さ寸
   法のロック・オン値をそれぞれＳ_L,i、Ｐ_L,iおよびh_{L
   ｉ}（ｈ_L,i＝Ｈ_Cal,i＋Ｓ_L,i＋（α_ｉ・Ｐ_L,i）/M_i）、
   ｉ番目のスタンドにおける圧延ロール対間隙、圧延荷重
   およびｉ番目のスタンド出側における圧延材断面高さ寸
   法のロック・オン値それぞれの偏差値を ΔＳ_L,i ^＊、ΔＰ_L,i ^＊およびΔｈ_L,i ^＊、 ΔＳ_L,i ^＊＝（Ｓ_L,i−Ｓ_o,i）/S_o,i ΔＰ_L,i ^＊＝（Ｐ_L,i−Ｐ_o,i）/P_o,i Δｈ_L,i ^＊＝（ｈ_L,i−ｈ_o,i）/h_o,i 各スタンド出側における圧延材断面高さ寸法の偏差Δh_i
   ^＊と、各スタンド出側における圧延材断面高さ寸法のロ
   ック・オン値の偏差Δｈ_L,i ^＊からの隔たりにモニタ補
   償量Δｈ_M,i ^＊を加えた量 Δ_ｉ ^＊、Δ_ｉ ^＊＝Δh_i ^＊−Δｈ_L,i ^＊ ＝Δ_ｉ ^＊＋α_ｉ・Δ_ｉ ^＊/M_i ^＊＋Δｈ_M,i ^＊ ｉ＝1,2,……,n ここで、Δ_ｉ ^＊＝ΔS_i ^＊−ΔＳ_L,i ^＊ Δ_ｉ ^＊＝ΔP_i ^＊−ΔＰ_L,i ^＊ M_i ^＊＝ｈ_o,i・M_i/P_o,i モニタ補償量Δｈ_M,i ^＊：圧延機列出側に設けられた圧
   延材断面寸法計によって測定された圧延材断面高さ寸法
   および幅寸法の偏差の実測値から、圧延機列における各
   スタンドでの圧下量が仕上げスタンド出側における圧延
   材断面高さ寸法および幅寸法に及ぼす影響係数に基づ
   き、各スタンドに配分し積分して得られる値 各スタンドの入側における材料の平均温度、圧延材断面
   高さ寸法および幅寸法それぞれの偏差を、 ΔT_mi ^＊、ΔH_i ^＊およびΔB_i ^＊、 ΔT_mi ^＊＝Δ_mi/T_mo,i ΔH_i ^＊＝ΔH_i/H_o,i ΔB_i ^＊＝ΔB_i/B_o,i ｉ＝1,2,……,n 状態ベクトルｘ、出力ベクトルｙ、入力ベクトルｕを、 ｘ＝（Δ_ｉ ^＊，Δt_fj ^＊，ΔN_j ^＊，Δ_ｊ ^＊）^Ｔ ここで、Ｔは転置行列を意味する。 ｙ＝（Δ_ｉ ^＊，Δt_fj ^＊）^Ｔ ｕ＝（Δ_ref,i ^＊，ΔＮ_ref,j ^＊）^Ｔ ｉ＝1,2,……,n ｊ＝1,2,……,n−１ ここで、ΔＳ_ref,i ^＊:i番目スタンドにおける設定圧延
   ロール対間隙の目標値 ΔＮ_ref,j ^＊:j番目スタンドにおける設定ロール回転数
   の目標値として、 制御入力を決定する制御系設計時の圧延の状態方程式 ｘ（ｋ＋１）＝Ax（ｋ）＋Bu（ｋ） ｙ（ｋ）＝Cx（ｋ） ここで、k:離散時間系の時刻を表す刻み番号（整数） を用いて、評価関数Ｊを最小にする出力ベクトル（制御
   偏差）および状態ベクトルのフィードバックから構成さ
   れる最適入力によって、圧延機列における最終スタンド
   （第ｎ番目スタンド）から放出される圧延材の高さ寸法
   および幅寸法を制御するようにしたことを特徴とする線
   材および棒鋼圧延における寸法制御方法 ここで、Ｑ、R:重み行列 ｅ（ｋ）＝ｒ（ｋ）−ｙ（ｋ）， ｒ（ｋ）＝O:目標値， ｖ（ｋ）＝ｕ（ｋ）−ｕ（ｋ−１） なお、制御入力ｕ＝（Δ_ref,i ^＊，ΔＮ_ref,j ^＊）^Ｔに
   おけるスタンド番号i,jは、ｉ＝Ｏ〜n,j＝Ｏ〜ｎ−１の
   範囲内で任意の組合せを採り得るものとし、 ｉ＝Ｏのとき、ロール間隙を操作量とせず、 ｊ＝Ｏのとき、ロール間隙を操作量としない。