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FILTRES D'ONDES ELECTRIQUES.
L'invention se rapporte à des filtres d'ondes électriques, et plus particulièrement à des appareils de ce genre utilisant, comme éléments à réactance,des dispositifs à vibrations mécaniques actionnés électriquement. Son but est d'étendre la rangée des fré -quences qui peut être desservie par de tels filtres. On a aussi cherché à réduire le coût de revient de ces appareils, ainsi que le nombre d'éléments vibrateurs requis dans leur construction.
On sait que les filtres d'ondes du type en treillis possèdent l'avantage d'offrir un ensemble complet par rapport aux
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caractéristiques de transmission qu'ils sont aptes à produire. Cepen -dant cet avantage est accompagné de l'inconvénient d'exiger un nombre relativement grand d'éléments d'impédance, ainsi qu'un grand degré d'équilibre entre les impédances de certaines de leurs branches.
Si des dispositifs vibrateurs mécaniques,tels que des cristaux piezo- électriques ou des éléments à vibrations électromagnétiques,sont inclus dans le circuit du filtrepour assurer les avantages résultant de leur faible dissipation d'énergie,le coût de fabrication et de réglage de ces dispositifs incite à réduire leur nombre au strict minimum.
Suivant un des faits caractéristiques de l'invention,le nombre d'éléments vibrateurs requis est réduit en couplant un simple élément à chaque paire de branches dans un réseau symétrique en treillis, de manière que chaque élément vibrateur affecte également l'impédance de chacune des deix branches à laquelle il est couplé. Le couplage électromécanique peut être soit électrostatique,soit électromagnétique, le premier convenant si des cristaux piézo-électriques sont utilisés comme éléments vibrateurs mécaniques,et le second s'adaptant mieux pour l'accouplement des résonateurs métalliques.
Suivant un autre fait caractéristique de l'invention,des cristaux piézo-électriques, adaptés pour vibrer par flexion,sont utilisés dans la construction des filtres, et la rangée de fréquences est ainsi con -sidérablement accrue. Des éléments de cristaux,découpés soit sous for -me d'une barre, soit sous forme d'un diapason,peuvent être utilisés dans ce but, et les éléments sont de préférence supportés en leurs points nodaux ou près de ces points.
L'invention est mieux comprise de la description suivante, basée sur les dessins ci-joints: Sur ceux-ci:
La figure 1 montre schématiquement un filtre d'ondes conforme à l'invention et utilisant des cristaux piézo-électriques comme impédances électromécaniques.
La figure 2 représente une forme de vibrateur à cristaux piézo-électriques en concordance avec l'invention.
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La figure 3 donne les caractéristiques du dispositif de la figure 2.
La figure 4 se rapporte à un vibrateur du genre magnéto moteur établi en principe de l'invention.
Les figures 5 et 6 donnent les caractéristiques du dispositif de la figure 4.
La figure 7 est le schéma d'un arrangement de filtre établi suivant l'invention et utilisant des vibrateurs à action magnétomotrice.
Les figures 8 et 9 donnent les caractéristiques du filtre de la figure 7.
La figure 10 concerne un élément de cristal piézo-éleotri- que découpé sous forme de barre et adapté pour vibrer par flexion.
La figure 11 donne une vue d'extrémité du cristal de la fi -gure 10,montrant comment il peut être supporté en des points qui servent à assurer un contact électrique avec les électrodes individuelles.
La figure 12 montre un élément de cristal piézo-électrique découpé sous forme de diapason,avec ses électrodes associées et ses organes de fixation.
La figure 13 est la vue d'une section faite à travers le cristal de la figure 12 suivant la ligne 4-4.
La figure 14 montre comment les électrodes des éléments des figures 10 et 12 peuvent être connectées pour que le cristal vibre par flexion.
La figure 15 se rapporte à un arrangement de quatre éléments du genre de ceux des figures 10 ou 12,qui constituent un filtre d' ondes du type en treillis.
La figure 16 donne la courbe caractéristique servant à l'établissement d'un tel filtre.
La figure 17 est un schéma d'un filtre d'ondes du type en treillis dans lequel deux éléments piézo-électriques seulement sont utilisés.
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Sur la figure 1, le filtre à cristaux piézo-électriques et du type en treillis, comprend deux cristaux 10 et 11 qui agissent comme éléments vibrateurs mécaniques et qui sont reliés à la partie électrique du réseau de manière telle que chaque cristal est inclus dans deux branches disposées semblablement dans le treillis. Ainsi le cristal 10 est inclus dans chacune des branches de ligne,tandis que le cristal 11 est inclus dans chacune des branches du treillis.
Les bornes d'entrée du filtre sont indiquées en 1 et 2, et les bornes de sortie en 3 et 4.
Les cristaux peuvent être découpés sous forme de plaques rectangulaires avec les plans des parties rectangulaires perpendiculaires à l'axe électrique du cristal,et avec leurs bords les plus longs parallèles à l'axe mécanique du cristal. Des cristaux découpés de cette manière et pourvus d'électrodes sur les grandes faces du rectangle, vibrent longitudinalement sous l'excitation électrique,et offrent des dimensions convenables pour un montage mécanique quand ils sont proportionnés pour être en résonance dans la rangée de fré -quenoes relativement basses utilisée dans les systèmes téléphoniquef par ondes porteuses. D'autres types de cristaux bien connus,autrement: découpés,peuvent aussi être utilisés, et sous certaines conditions ils peuvent être préférés.
Dans le filtre montré figure l,les cristaux sont du type rectangulaire décrit ci-dessus,mais ils sont sim -plement montrés en élévation.
Le cristal 10 est pourvu de deux paires d'électrodes 12-12' et 13-13' placées sur des faces opposées,les électrodes 12 et 12' étant directement opposées 1' une à l'autre sur la moitié supérieure du cristal,tandis que les électrodes 13 et 13' sont placées semblable -ment sur la moitié inférieure du cristal. Ces électrodes peuvent être en argent plaqué directement sur le cristal, peuvent être appli quées par argentage des deux surfaces tout entières,après quoi on enlève une bande étroite le long du centre de chaque face. Il est aussi généralement désirable d'enlever des bandes étroites d'argentage autour des bords du cristal. Le cristal 11 est de même pourvu de deux
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paires correspondantes d'électrodes 14-14' et 15-15'.
Les électrodes 12 et 12' du cristal 10 sont connectées respectivement aux bornes 1 et 3,tandis que les électrodes 13 et 13 sont connectées espectivement aux bornes 4 et 2. Les électrodes 14 et 14' du oirstal 11 sont connectées respectivement aux bornes 1 et 4,tandis que les électrodes 15 et 15' sont connectées respectivement aux bornes 3 et 2.Le dessin en perspective de la figure 2 montre la forme du cristal 10, l'arrangement des électrodes, et leurs connexions aux bornes du filte
Bien que chaque cristal fonctionne comme un ensemble vibrateur unitaire, leur comportement dans le circuit du filtre peut être étudié plus facilement en considérant chacun d'eux comme étant équivalent à deux cristaux obtenus en divisant le cristal longitudinalement le long de l'entrefer qui existe entre les électrodes adjacentes.
Cela donnera deux cristaux semblables dans les branches de ligne , et deux cristaux semblables dans les branches du treillis. Si quatre cristaux séparés étaient utilisés, il ne serait pas nécessaire de considérer la manière d'interconnecter les électrodes et les bornes du filtre, mais quand elles sont par paires suivant l'invention pour constituer des ensembles unitaires,il est nécessaire d'assurer que les voltages d'excitation appliqués à chaque moitié soient en relation telle que les deux moitiés vibrent simultanément dans la même direction. Autrement, la vibration de chaque moitié tenderait à contrecarrer celle de l'autre, et une flexion le long de l'axe longitudinal en résulterait.
Par le système d'interconnexion décrit ci-dessus et montré figure l,les polarités relatives propres des voltages d'excitation sont obtenues de manière que le cristal tout entier vibre dans le mode normal de chaque moitié. On doit observer que dans le cas du cristal 10, les électrodes inférieures 13 et 13' sont connectées aux bornes d'entrée et de sortie de manière inverse aux électrodes 12 et 13',et qu'une inversion semblable a lieu dansles connexions des élec -trodes du cristal 11 .
L'équivalent électrique du cristal 10 est représenté figure 3. Il comprend deux impédances semblables consistant chacune en un
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seul circuit résonant shunté par une capacité, l'une des 'impédances étant connectée entre les bornes 1 et 3 tandis que l'autre impédan -ce est connectée entre les bornes 3 et 4. Les deux impédances dans l'équivalent électrique sont libres d'accouplement mutuel,bien que dans le dispositif réel le même résonateur mécanique fonctionne. dans chaque chemin.
Les valeurs des inductances et des capacités entrant dans l'équivalent électrique peuvent être déterminées des dimensions du cristal en fixant d'abord l'équivalent électrique du crital tout en -tier en supposant que les deux électrodes sur chaque surface sont connectées entre-elles pour constituer de simples électrodes recouvrant pratiquement la surface tout entière. L'impédance de chaque moitié du cristal sera alors deux fois celle du cristal entier.Sur la figure 3, chaque impédance comprend une branche résonante renfer -mant une inductance 2L1 et une capacité Ci/2, et une capacité shunt Co/2.
En fonction des dimensions du cristal,ces quantités ont prati -quement les valeurs suivantes :
EMI6.1
2L = 2l22 l t henrys c1 = 0.161 wl 10-14 farads co 20.1 w 1 10-14 farads ( 1 )
2 t oû 1, w, et t représentent respectivement la longueur, la largeur et l'épaisseur du cristal mesurées en centimètres.
a condition pour combiner deux paires de cristaux sembla -bles piézo-électriques dans un réseau du type en treillis pour prévoir une seule bande de transmission, est que les impédances du aistal dans la ligne et le treillis doivent avoir des caractéristiques de fréquences dissemblables en relation telle que la résonance des bran -ches de ligne coincident avec les anti-résonances des branches du treillis, et vice-versa. Les équations (1) permettent de déterminer les dimensions des cristaux pour satisfaire à ces conditions.
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La figure 1 montre quatre inductances séries égales de va- leur 1 Lo inclus dans les lignes extérieures au treillis dans le
2 but d'obtenir une bande plus grande sans sacrifier l'acuité de sélectivité.
Un autre type d'impédance électromécanique convenable pour être utilisée dans de tels filtres,est montré figure 4. Dans cet ar- rangement,l'élément vibrateur est un organe tubulaire 16,de matière aimantable, supporté en son point milieu par les couteaux 17 et 17' et pourvu d'enroulements excitateurs 18, 19 pour courants alterna- tifs. Ces enroulements sont représentés comme recouvrant la longueur totale du tube,mais ils peuvent être disposés de manière que chacun s'étend sur une moitié du tube. La vibration du tube 16 est produite par des forces magnétomotrices dues aux courants passant par les en- roulements, et afin que ces forces puissent avoir la même fréquence que les courants excitateurs,il est nécessaire que le tube soit pola -risé magnétiquement par un champ magnétique unidirectionnel.
Dans ce but, un aimant de polarisation 21 est prévu dont les faces polai- res sont très près des extrémités de l'élément vibrateur,formant ain -si entre-eux un circuit magnétique pratiquement fermé.De petits en- trefers doivent être laissés entre les extrémités du tube 16 et l'ai -mant de polarisation,afin de permettre les vibrations. Un enroule- ment magnétiseur 22, excité par la batterie- 23 ou autre source de cou -rant continu et contrôlé par le rhéostat 24,produit le champ magnéti -que de polarisation. Afin d'empêcher les courants de Foucault passant sous l'action des courants excitateurs,il est désirabla que le tube 16 soit fendu longitudinalement,ainsi qu'il est indiqué en 20 sur la figure.
L'impédance électrique de l'élément; magnéto-moteur du genre indiqué,mesurée aux bornes d'une des bobines excitatrices,correspond à celle du réseau représenté figure 5, renfermant une inductance Lo shuntée par une impédance série en résonance L1C1. L'inductance Lo est celle de la bobine excitatrice en l'absence de force magnéto-mo- trice, ou avec le tube 16 fixé de telle manière qu'il ne peut vibrer.
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L'inductance L1 et la capacité C2 ont des valeurs qui dépendent des dimensions physiques et des constantes mécaniques du tube 16,ainsi que du facteur de force magnéto-motrice. Les expressions de ces va -leurs dans des cas particuliers,sont données par Butterworth dans les "Proceedings the Physical Society" du 1er Mars 1931 page 166.
On doit noter que la résonance de L1 et C1 correspond à la première fréquence de résonance mécanique du tube aux vibrations longitudina -les.
La courbe caractéristique, en fonction de la réactance et de la fréquence,pour l'impédance est montrée en 25 figure 6. Elle montre deux fréquences critiques, l'une en fo pour laquelle l'impé -dance est anti-résonante, et une fréquence plus élevée f1 correspondant à la résonance de L1 et C1' c'est-à-dire à la résonance mécanique du vibrateur. Dû au degré relativement faible du couplage électromécanique prévu par l'effet magnétomoteur, les fréquences fo et fi sont très proches l'une de l'autre, tendant ainsi à limiter l'emploi du dispositif à des filtres dont la largeur de bande est très faible. On peut obtenir une séparation plus grande des fréquen -ces critiques, en ajoutant une capacité en série à l'enroulement excitateur, la caractéristique réactance qui en résulte étant du genre montré par la courbe 26 de la figure 6.
Une nouvelle fréquence de résonance f2, inférieur à fo, est introduite,et la plus haute ré -sonance est amenée au-dessus de f1 vers f3' L'espacement des fréquences f2 et f3 par rapport à la fréquence anti-résonante fo peut être contrôlé en faisant varier la valeur de la capacité série.
La figure 7 montre l'application des vibrateurs magnétomoteurs, du type décrit ci-dessus, à un filtre pour large bande de fréquences,conformément à l'invention. Deux éléments vibrateurs 27 et 28 sont utilisés, l'élément 27,comprenant deux enroulements exci -taters égaux Wa et Wa' qui sont connectés respectivement dans les branches de ligne du treillis, et l'élément 28 ayant des enroulements égaux Wb et Wb' connectés dans les branches ou diagonales du
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treillis. Des condensateurs égaux Ca et Ca' sont placés en série respectivement avec Via et Wa et une paire correspondante de condensateurs égaux chet Cb' sont inclus dans les branches du treillis.
Les organes vibrateurs sont montrés schématiquement,les aimants de polarisation et leurs circuits associés étant omis.
Les enroulements Wa et Wa' sont ainsi polarisés que les cou -rants qui les traversent normalement s'aident l'un l'autre pour pro -voquer les vibrations mécaniques. Ces enroulements sont inclus en série dans le circuit passant par la borne l,le oondensateur Ca,l' enroulement Wa, et la borne 3,. puis à travers la charge du filtre,la borne 4, l'enroulement wa', le condensateur Ca',et la borne 2. La po -larité des enroulements Wa et Wa' doit être telle qu'un courant tra -versant ce circuit aimante le noyau dans la même direction.
Les en -roulements Wb et Wb' sont polarisés d'une manière semblable.En vertu de l'égalité des deux enroulements sur chacun des vibrateurs,des impédances égales sont introduites dans les deux branches de ligne du réseau et de même dans les deux branches en diagonale du treillis.
Pour prévoir une seule bande de transmission, il est nécessaire que les impédances des branches en diagonale du treillis aient des caractéristiques de fréquences différentes de celles des impédan -ces des branches de ligne,mais établies l'une par rapport à l'autre de manière telle qu'il se produise des coïncidences pour les fréquen -ces critiques. Les fréquences anti-résonantes des branches de ligne doivent coincider avec les fréquences de résonance des branches en diagonale du treillis, et vice-versa, dans la rangée des fréquences de la bande de transmission,tandis que dans les rangées d'affaiblissement les coincidences doivent avoir lieu entre les fréquences critiques de même caractère. Deux exemples d'arrangements possibles des fréquences critiques dans les filtres du genre montré figure 7, sont indiqués par les figures 8 et 9.
Sur la figure 8,la courbe 27 en lignes pleines correspond à la réactance des impédances de ligne, et la courbe en pointillé 28 correspond à la réactance des branches
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du treillis. Dans ce cas la bande de transmission s'étend de la fré -quence critique la plus basse fa à la fréquence critique la plus haute fb. Sur la figure 9,les courbes 29 et 30 qui correspondent respectivement aux impédances des branches de ligne et de treillis, ont une coïncidence directe de deux résonances à la fréquence fe, et comme coïncidence inverse d'une résonance et d'une antirésonance de fg. La bande dans ce cas s'étend de la fréquence critique la plus basse fe à la troisième fréquence critique fd, la fréquence fe étant extérieure à la bande.
Dans les deux figures l'emplacement de la ban -de est indiqué par une surface horizontale hachurée.
L'élément de cristal piézo-électrique montré figure 10 com -prend un parallélépipède 61 ayant une paire d'électrodes 62, 63 associée avec une face principale, et une deuxième paire d'électrodes 64,65, associée avec la face opposée. Quand une telle barre est mise en vibration par flexion,ainsi qu'il est expliqué par la suite, elle vibre autour des deux lignes nodales indiquées en 66 et 67,et placée approximativement aux 0.224 de la longueur de la barre calculée de ses extrémités. Afin que le dernier amortissement des vibrations soit introduit par le support,il est préférable de maintenir la barre en ces points nodaux,ou dans le voisinage de ces points.
Cela peut être réalisé par exemple au moyen de couteaux 70 et 71 qui font contact respectivement avec les électrodes 62 et 63 d'un côté du cristal,et d'une deuxième paire de couteaux 72 et 73 qui font contact avec les électrodes 64 et 65 de l'autre coté du cristal près de la ligne 67.
Une troisième paire de couteaux 74 et 75,et une quatrième paire oppo -sée à la troisième,font contact avec les électrodes du cristal dans la région de la ligne nodale 66. Ainsi qu'il est montré figure 11, ces couteaux peuvent être en métal et incrustés dans les supports 76 et 87 qui sont eux faits d'une matière isolante. Des connexions élec -triques peuvent être soudées, ou autrement fixées, aux couteaux ain -si qu'on le voit en 78, 79, 80 et 31, dans le but de relier le cris -tal au circuit extérieur.
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La figure 12 représente un autre cristal ayant la forme d'un diapason comprenant deux bras 32 et 33 et une culasse 34. Sur un des côtes du diapason est une électrode 35 s'étendant le long des bords extérieurs du bras et le long de la partie inférieure de la culasse. Une deuxième électrode 36 s'étend le long des bords intérieurs des bras et sur la partie supérieure de la culasse. Une pai -re semblable d'électrodes 37 et 38 se trouvent de l'autre côté du diapason. Un tel cristal a une région nodale qui suit une ligne per -pendioulaire,telle que celle montrée 39, 40 coupant la culasse.De préférence le diapason est supporté le long de cette ligne nodale, et par exemple au moyen de couteaux 41 et 42 d'un côté et 43,44 du côté opposé.
Ainsi qu'il est montré figure 13 ces couteaux peuvent être en métal, encastrés dans une paire de supports faits de matiè -re isolante,et des connexions électriques vers les électrodes peu -vent être soudées aux couteaux,ainsi que cela a été expliqué en référence de la figure 11.
La figure 14 est un schéma montrant comment les électrodes du cristal de la figure 10 peuvent être connectées entre-elles afin d'assurer une vibration par flexion de la barre. L'électrode 62 et l'électrode diagonalement opposée 65 sont reliées à une borne 45, tandis que les deux électrodes restantes sont connectées à une autre borne 46. Ces connexions peuvent être faites au moyen de connecteurs électriques et des couteaux. Quand une force électro-motrice alternative est appliquée aux bornes 45 et 46, l'élément 61 oommence à vibrer sous forme de flexion.
La fréquence de vibration sous forma de flexion pour un cris -tal coupé en X du degré zéro, et ayant un axe mécanique d'un centi- -mètre de longueur,eet indiquée par la courbe 47 de la figure 16 qui donne la fréquence en kilooycles par seconde en fonction du rapport de l'axe optique à l'axe mécanique. Par cristal coupé en X de degré zéro ou veut désigner un cristal découpé d'un cristal mère,ayant une face principale qui est perpendiculaire à une face du cristal mère, et ayant une dimension en largeur qui fait un angle zéro avec l'axe
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optique. La courbe 48 se rapporte à un cristal coupé en X de degré -18, c'est-à-dire un cristal ayant une dimension en largeur faisant un angle de -18 degrés avec l'axe optique. L'épaisseur de l'axe électrique ne joue aucun rôle dans la détermination de la fréquence.
Pour un cristal d'une autre longueur quelconque,la fréquence peut être déterminée du principe de similitude qui établit que pour un cristal d'une forme donnée,la fréquence résonante de mode quelconque est inversement proportionnelle à l'amplitude des dimensions. par exem -ple pour un cristal de degré zéro et de cinq centimètres de long, avec un rapport des axes mécanique et optique de 0.2,on peut voir de la courbe 47 que la fréquence est d'environ 20 kilocyoles.Cela est seulement d'environ un tiers de la fréquence pour le même cristal quand il vibre dans le mode longitudinal. Pour un circuit décou -pé à-18 degrés, la fréquence sera quelque peu moindre,ainsi qu'il est montré par la courbe 48, et cela dû au fait que le module de Young est moindre pour ce découpage.
Ainsi que cela a déjà été établi, une représentation bien connue du circuit équivalant électrique d'un cristal piézo-électri.que est une capacitance C1 shuntée par un bras comprenant une deuxième capacitance C2 en série avec une inductance. La valeur du rapport C1/C2 pour un cristal dans lequel les électrodes sur un c6té couvre des deux tiers aux quatre-cinquièmes de la surface,est d'environ 180 pour le cristal découpé à -18 degrés, et d'environ 150 pour le cristal découpé à zéro degré. La capacitance shunt C1 du ré -seau équivalent sera la capacitance électrostatique entre les deux ensembles de plaques. De cela les valeurs des réactances dans le air -cuit équivalant peuvent être déterminées pour une barre vibrant en flexion.
La figure 15 montre comment deux paires de cristaux adaptés pour vibrer en flexion,peuvent être arrangées pour constituer un fil -tre d'ondes du type en treillis. Le réseau a une paire de bornes d' entrée 47, 48,et une paire de bornes de sortie 49,50,avec une paire d'éléments 51,52 connectée dans les branches séries,et l'autre paire
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53,54 connectée diagonalement/entre les deux ensembles de bornes.
Les électrodes des oristaux sont connectées ainsi qu'il est montré figure 5.
Avec des éléments de cristaux découpés en forme de barres et vibrant en flexion, des fréquences aussi basses que 16 ou 17 kilooyoles peuvent être obtenues. Des fréquences encore plus basses peuvent être réalisées par l'emploi de cristaux piézo-électriques découpés en forme de diapason,ainsi qu'il est montré figure 12.Afin d'amener le diapason à vibrer,les électrodes sont reliées ainsi qu' il est montré figure 14. Dans ce cas les électrodes 62,63,64,65 re- présentent les électrodes 35,36,37,38 du cristal diapason.
Les deux électrodes extérieures 35, 37,pour une certaine polarité du courant, provoquant l'extérieur des deux bras de s'étendre,tandis qu'en même temps le voltage appliqué aux deux électrodes intérieures 36,38,amà- ne l'intérieur des deux bras en contact, obligeant ainsi. les bras à vibrer dans la forme d'un diapason.
La fréquence f en cycles par seconde d'un diapason est don- née par la formule f = KW (2)
12 dans laquelle K est une constante, W la largeur d'un bras du diapa- son, et 1.la longueur du bras. La formule suppose que la longueur de la culasse est comparativement large, et si celle-ci est faible une correction doit être faite. D'après des mesures effectuées sur un cristal coupé en X et de degré zéro,la constante K a été évaluée à 65.000.
En appliquant la formule ci-dessus à un exemple concret, un cristal, ayant la forme d'un diapason, de 6 cms de long dont les trois quarts sont inclus dans le bras, et ayant une largeur de bras individuel de 0,4 oms, vibrera à la fréquence 65. 000 x 0.4 1284 cycles (3) f = 65.000 x 04./(4.5)2= 1284 cycles (3)
Donc avec un cristal de 6 cms de longueur et ayant une lar- geur raisonnable, il est possible d'agir à une fréquence de l'ordre d'un kilocycle. Ce type d'élément,avec des dimensions raisonnables,
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peut aussi fonctionner à des fréquences aussi élevées que 16 kilocycles.
Ainsi par l'emploi d'éléments piézo-électriques ayant la forme d'une barre, aidés par ceux ayant la forme d'un diapason,il est possible de couvrir la rangée de fréquences allant de 1 à 50 kilocycles sans avoir recours à un cristal plus large,et qui serait requis pour des vibrations dans le mode longitudinal à la valeur de 50 kilocycles.
Le rapport de C1 à c2 pour le cristal découpé au degré zéro,dans la forme d'un diapason,est d'environ 300. Au moyen des données ci-dessus,les réactances dans le circuit équivalent pour le cristal en diapason,peuvent être évaluées. Deux paires de cristaux semblables en diapason peuvent être arrangées dans la forme d'un filtre en treillis,le diagramme schématique étant le même que celui. montré figure 15.
La figure 17 montre comment deux cristaux piézo-électriques tels que montrés figures 10 ou 12 peuvent prendre la place de quatre éléments semblables dans la construction d'un filtre d'ondes.Les deux cristaux 55 et 56 sont arrangés entre une paire de bornes d'entrée 57,58 et une paire de bornes de sortie 59,60 pour former un réseau en treillis. Un ensemble d'électrodes opposées,associées avec le cristal 55,sont placées entre la borne d'entrée 57 et la borne correspondante de sortie 59, tandis que l'autre ensemble d'électrodes se trouve entre les deux autres bornes 58 et 60. Ce seul élément fournit ainsi effectivement les deux branches impédances connectées en série avec la ligne.
Les branches impédances diagonales sont four -nies par l'autre cristal 56 dont un ensemble d'électrodes sont connectées entre les bornes 58 et 59,tandis que l'autre ensemble d'élec -trodes sont connectées entre les bornes 57 et 60. Quand les quatre éléments d'un filtre sont remplacés par deux éléments, ainsi qu'il est montré figure 17,les caractéristiques de transmission du filtre résultant seront les mêmes que quand des éléments individuels sont utilisés dans chaque branche d'impédance,mais l'impédance caractéristique du réseau sera doublée.