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"ROUES D', -ENGRENAGE MONO- OU BIHiLICOiDALES, REVERSIBLES ET IRREVERSIBLES, DANS LES DEUX CAS ENGRENANT ENTRE DES AXES PARALLÈLES..
Les roues réversibles faisant l'objet du présent brevet pré- sentent les caractéristiques suivantes :
1 Les diamètres des roues commandées sont sensiblement réduits par rapport à ce qu'ils devraient être en relation avec les rapporta de vitesse, de façon que., entre ces rapporta de vitesse et les diamètres oorrespondants, il n'y a pas, dans une gamme assez grande, de liens limitatifs.
Cela a surtout pour objet de réaliser de forte rapports de vitesse avec deux roues seulement, et de réduite en conséquence l'encombrement, le poids et le coût de tout l'ensemble, par rapport aux engrenages connus jusque ici.
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2 Le contact entre les dantmm est étendu sur presque toute la surface comprise entre les arcs abe et cda de la fig. 1,
Il est évident que la réalisation d'une grande surface de contact telle que décrite au paragraphe 2 a pour objet de réduire la pression unitaire à des valeurs très basses, et d'obtenir en oonséquence un haut rendement, malgré le glissement existant entre les dents par suite de la réduction des diamètres des roues oommandées, telle que décrite au paragraphe 1.
On doit remanquer entretempe que la réduction de &a pression unitaire est très remarquable, soit par rapport aux engranages déjà. connus, soit par rapport aux engrenages brevetée en.
Italie par le demandeur le 6 Juin 1929, le 7 juillet 1930 et le 18 Décembre 1930, et en Angleterre, en Allemagne et aux Etats-Unis d'Amérique - et dans 14 autres pays pendant les années de 1929 à 1932, En erfet, il est dit, dans ces brevets, que le contact entre les dents se borne seulement aux fils de tête des dents de la roue et aux fils de tete des dents du pignon et 4 d'autres lignes, mais toujours à des lignes, jamais à des surfaces, et en conséquence les applioations pratiques faites svec les idées desdite breveté n'ont jamais eu de bon succès$ en frustrant ainsi complètement tout le contenu du paragraphe 1*, qui est aussi compris dans les revendications desdite brevets.
Il est vrai que, dans la revendication 7 du brevet obtenu le 18 Décembre 1930, on envisage le cas d'arrondir, tailler en facettes ou émousser seulement les arêtes des têtes des dents, pour essayer de transformer lesdites lignes et fils en surfaces, mais il est clair qu'une telle revendication est insuffisante et manque d'indi- cation définie. C'est bien pour ces raisons qu'on n'a jamais eu de bons résultats pratiques et qu'on n'a jamais pu procéder à des appli- cations pratiques.
On vaidéorire tout de suite le procédé à employer pour obtenir l'engrènement entre les dantmm d'un couple d'engrenages réversibles suivant les paragraphes oitée.
Si l'on choisit arbitrairement le diamètre primitif d'un pi-
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gnon en 32 millimètres et que l'on veuille réaliser un rapport de vitesse de 1 à 8, suivant la théorie oonnue la roue conduite devrait avoir le diamètre primitif de 32 x 8 = 256. On réduit par contre ce diamètre comme suit et on établit* les données suivantes Piston : diamètre intérieur 136, diamètre primitif 32, diamè-
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tre extérieur 38, nombre des dents bibélîooldaleo 3, pas axial de l'engrenage 19,05, pas axial des hélices 19,05 x 3 - 57,lys.
Roue : diamètre intérieur 136, diamètre primitif 144, diamétre extérieur 150, nombre des dents bihéliooidalea 84e pas axial de l'engrenage 19,05, pas axial des hélices 19,05 x 84 - 45'1,3cl (voir fig. 1 ).
Pourtant l'inclinaison des hélicon du pignon par rapport à la circonférence extérieure et au plan normal 4 l'axe est donnée par :
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57,15 dng. tg..:###### - 0,47873 258 34 521 38 x 3,1416
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et $'izalinaison des hélioes de la roue par rapport 6galement 4 la circonférence extérieure et à un plan normal l'axe, est t
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45720 Ang. t . 457#20 - o, 9asa 44. z.
150 x 3,1416 Le pas axial des engrenages étant 19,05, le pas normal de la
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roue est 19,05. opes. 44 88 - 13,67.
Ayant déterminé les éléments ci-deouuo4 on peut dessiner la fig. 8, qui représente la vue en plan partielle de deux dents oonsé- outives de la roue, ou les lignes yy et xx sont respectivement les axes des hélices du pignon et de la roue, tandis que la distance entre les lignes du milieu des deux dents correspond au pas normal pré- oédemment établi, à savoir 13,67.
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L",6paienou,v des têtes des dents sera fixée ci-après.
En outre, la projection du point a fig. 1 sur la ligne de construction NN , zig. 8, détermine les points B, n, 8, R, H.
Evidemment, si les axes des hélices avaient eu la même inolinaison, les points D et H auraient coïncidé et les profils des dents auraient pu être déterminés suivant les règles connues ; mais,
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étant donné la reparquable différence d'inolinaison desdite axes, et attendu en outre qu'on veut le contact entre les dents également au
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point! fig. l'dans l'espace compris entre les points .!1: et I3 ( fig. 2) sera contenue la moitié de l'épaisseur des têtes des dents des deux éléments.
Après quoi, on trouve la valeur de 1$espace compris entre les points .!!- et D de la façon suivante
L'axe d'une hélice du pignon qui a son origine en d sur la
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fig. 1 et en Ru sur la fig. 2, en parcourant l'arc .aTa-nce axi aie- ment du trait BD; on a pourtant ( voir fig. 1 )
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882 + 19 - 1S2 Ang. oos 3t4?' vs ---------------- m t'al6û 4a- 7' 49" 2 x 88 x 19 Si une hélice du pignon avance axialement, pendant un tout
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complet, de 57,15, en 4Z" 71 490 elle avance de :
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5?,15 x 42. 'l' 490 ##--.-..-..#<. = z66 . trait BD.
360* D'une façon analogue l'axe d'une hélice de la roue qui a son
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origine en ( fig. 1 ) ou bien en ( fige 2 ), en parcourant taro ba avance axialement du trait BH.
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Donc : 753+e8" p -19 Ang. cos &0'0 = -"-##-#### 0$98546 - 9" 4?' ad a x 76 x 88 Si une hélice de la. roue pendant un tour complet avance axia-
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lamant de 457e2Dp en 90 47e 8" elle avance de :
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457,20 x 90 47' 8" ------- - --------- - = 12,42 - trait HF3.
36#-
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Mais ( voir fi. 3 ) 19,05 nue = x 0" -##.#- f! 953 il en résulte :
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Bn = BH - nE - 120 42 - 9,5S < 2,90 et nid - BD - Bn == 6$68 - 2,90 ** Z,78. Donc l'épaisseur des têtes des dente du pignon devra être
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plus grande que l'épaisoeur des têtes des dents de la roue, attendu que les premiéres accomplissent aussi un travail plus grand, ainsi 3,78 + 0,23 4 - épaisseur des têtes des dente du pignon
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vue normalement à une génératrice.
3,78 - 0,22 = 3,56 = épaisseur des têtes des dents de la roue vue normalement à une génératrice.
Et le jeu des creux de la roue à sa circonférence extérieure, vus eux aussi normalement à une génératrice, ou suivant la fièche F de la fig. 2, résulte de 19,05 - 3,56 = 15,49, d'ou ;
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15,49 os L = ###,-.#. a '' "/4r 2
L'on divise maintenant la hauteur des dents du pignon en 4 parties espacées de 1,50 millimètre ( voir fig. 1 et 3 ) et ensuite l'on mené, des pointe d'intersection de l'arc 1, 2 et 3, autant de parallèles à la ligne co'c' jusqu'à interoepter, dans la fige 2, les mêmes lignes qui ont été interceptées par la ligne a H D S n B .
( Pour éviter de compliquer les figures par trop de lignes, on a abaissé seulement la ligne 2, entre lesdites parallèles, pour la démonstration nécessaire du problème dont on cherche la solution, tandis que, pour les autres, on se borne seulement à les décriée ).
En examinant les figures 2 et 3, on remarque que, si l'épaisseur des têtes des dents du pignon se trouve être de 4 millimètres, à la hauteur 2 l'épaisseur des dents se trouve être le double de la distance entre les pointe 6 et D, fig. 2, distance qui est donnée par la projection du point 2, fig. 1.
Naturellement, le même raisonnement s'applique aux projections des points 1, 3, b.
On doit donc obtenir les longueurs des traits BD qui appartiennent, chacune, auxdites projections.
On va commencer par la projection du point 1
L'axe d'une hélice du pignon qui a son origine en d sur la fig. 1 et en o" sur la fig. 3, pendant le parcours de l'arc soustendu par l'angle 100', avance axialement du trait BD (voir fig. 1)
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Donc: 888 -<- 1?,3a-- 7S p Ang. ooa. 100' = .-¯-.-. ¯¯¯¯.¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ De78741 - 389 3e Z10 3x88x17,50
Si une hélice du pignon, pendant un tour complet, avance axialement de 57,15, pendant 38 3' 21 elle avance de :
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57,15 x 380 3' 810 #-.-.--..# 6*04 = tra-it BD.
360. 4
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D'une façon analogue, l'axe d'une hélice de la roue qui a son
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origine en b fig. 1 et également en os fig. 2. pendant le parcours de l'arc soustendu par l'angle 10'0, avance axialement du trait BH.
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: 752 + 882 - 17 502 Ans. ces lo 'o ###.#####-## '= 0, 98960 + S. 16' 11" a x 75 x 88
Si une hélice de la roue, pendant un tour copplet. avance axia. lament de 457,20, en 8' 16' 11" elle avance de :
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457,20 x 80 16' 11" #.-.-.###--.#.-.#-# 10,50 m trait BH.
3600 Mais 15,49 SH = o"L - -##-#-. - 7,74 a il en résulte
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BS - BH - aH 10,50 - 7,74 276 et SD = BD - BS = 6,04 - 2,76 = 3,28
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3,28 x 2 - 6,56 *= épaîgeeur des dents du P1gno la hauteur 1 vue normalement L une génératrice.
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Soit maintenant à déte miner l'épaisseur des mêmes dents rap- portée 4 la hauteur 2, suivant fidèlement le procédé appliqué pour
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la. hauteur 1 : hatu 88 + lS - 75 Ang. c0 s. 200' m ##.#.#.-#-#- Oj84339 - 33* 30" a x 88 x 16 5?,15 x 32* 30' -##,-.--.#-.### 5..15 - trait BD.
160.
Après: ?5 g + 882 - 162 Ang. aos 20'0 - -#######.#-. 0,99340 - S. 35' 9k 2 Je 75 x 88 46'1,20 x 6* 35' 9" ##-.###.-.## 8 36 1111 trait BH 360* Mais
SH = 7,74 il en résulte :
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BD - BH - 8R m 8,36 - i, 74 Oe 62 et ,8D BD - BS - 5,15 - à,62 = 4,53 4,53 x 2 = 9,06 m épaisseur des dents du pignon à la hauteur 2
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vue normalement à une génératrice.
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A la. bouteur 3, on a : 88 + 14,50 - 758 Ang. cob 3oo' == ###-.##.-.-.#.# oeglll4 = 849 20' 9" 2 JI; 88 14,50 51,15 x 24. 20 9.
--------------------- 386 = trait BD 5h + 88 2 - 14,502 :ng. Coa 30 o " --- -- -- a x 7e x 88 99687 a '8 3a 4" 2 x 7 Je 88 45', 8ti x 49 381 z ¯."...¯¯¯¯¯¯....¯,........¯...¯.,...,. a 5,75 a trait BH 3608 mais
SH = 7,74 il en résulte :
BS = SH - BH = 7,44 - 5,75 = 1,99 et SD = BD + BS = 3, 86 + 1,99 = 5,85 5,85 x 2 = 11,70 = épaisseur des dents du pignon à la hauteur 3 vue normalement à une génératrice.
Et finalement à' la. hauteur h l'épaisseur des dents du pignon, vue toujours normalement à une génératrice, est de o"L x 2 = 7,44 x 3 15,48
D'après les cotes marquées sur la fig. 3, on remarque que cette figure représente'le dessin, en grandeur naturelle, de deux denta consécutives du pignon vues normalement à une génératriae ; et, des calculs mathématiques ci-dessus, résulte qu'aveo les profils desdites dents, l'on obtient le contact entre l'aro ab de la roue et les dents du pignon.
Naturellement il en est de même pour l'aro bc.
Soit à déterminer maintenant les figures des dspaces et des dents de la roue, en se souvenant que l'épaisseur de la tête des dents du pignon vue@normalement à une génératrice, est de 4 milli- mètres.
On trace la figure 4, qui est une reproduction partielle de la figure 1 ; on partage la hauteur des dents de la roue en 4 parties séparées l'une de l'autre de 1,50 millimètre ( voir fig. 4 et 6 ) et on détermine sur l'arc ad les points a, 1, 2, 3, d.
De chacun desdite points on mène une parallèle à la ligne
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oo'R" jusque intercepter, sur la fig. 5e la ligne qui indi- que l'inclinaison inconnue de l'axe fictif d'un oraux de la roue au point de division qu'on envisage ; la ligne yy, qui est l'axe d'une dent du pignon par rapport à la circonférence extérieure, la-
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quelle, comme on le aalt, est inclinée de 250 341 m 5 la ligne AA , qui représente le fil de tête d'une dent du même pignon ; et
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enfin la ligne de construction NN ,déterminaant également les points e, 11, i, n. La distance entre les parallèles AA et A'AS représente l'épaisseur de la tête des dents du pignon.
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Pour éviter de surciarger les figures par trop de lignes, on a abaissé seulement la. première et la seconde do.dites paral.lèlea.
Afin de faciliter la compréhension du procédé qui va être suivi pour établir la figure des creux de la roue pour obtenir le
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contact tout le long de l'aro adc, on commence par attribuer à la ligne xx l'inclinaison de l'axe fictif par rapport à la circonférence extérieure de la roue qui est, comme on lt, de 440 8' De cette façon, l'on observe tout de suite, sur la fig. 5, grâce à la projection du point a fig. 4 que la distance des pointe 1 et e entre eux le long de ladite protection, est exactement égale à la
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distance 8H = o"L , correspondant L la projection du point a de la f1g. 1 sur la fig.
2, et qui, étant doublé@, correspond d j., comme on eaite à l'amplitude des oraux de lai roue, c'est-d1re à 15,4q, par rapport à la circonférence extérieure, et toujours vue normale-
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ment à, une génératrice. Ce qui précède est confirmé, comme il est intuitif, par les calculs mathématiques qui ont été omis pour abré- ger.
Au point 1, fig. 4, l'amplitude des creux de la roue sera donc le double de ie ,qui Se déduit de la. projection du point 1. Le même raisonnement peut évidemment s'appliquer aux pointa 2, 3, d.
On va donc commencer par déduire la longueur du trait ie qui
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appartient b. la projection du point 1.
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Ang. cos. 100'e - 882 + 19 - 73a 5fi8 z80823 366 4-* 3511 Âng. ces. loo* " ####.-.-.-.#-.-.-..#= 0.80833 -' 36' 35" 2 x 88 x 19 57,15 x 36 4' 35" #.##-.--.. - 5e?2 = trait 7ah 360*
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Ang. cos joeo 73J502 + B88 w 19 0*98834 451 Ang. oos lo'o = ¯----¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯,., 0,98834 m 88 45' 37" 8 x 7350 x 88 457J20 x 8 45' 97M ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯.¯.¯¯¯¯ 11,13 " trait ne 36Q Mais
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ha - nd - nh - 11, la -. 5$ 7 2 - 5, 40 4 hi m On R = ----- * 2
2 il en résulte :
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1$ =: hi + he - 2 + 5440 - '?, 4ti '7, 9.fi1 x 8 14,80 - amplitude des Creux de la rousàà, la profon- deur correspondant au point 1 ,vue normalement à, une génératrice.
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Au point 2, on a : 88 2 19 2 ... 72 2 Ang. cos. 200' = ###-.###-.-.. 0*87350 a 290 74 573 3x88x19 57,15 x 894 71 57" ##-.##.--.-#-#. m 4e 68 = trait nh 360102 a 72 + 88 - 19 Ang. cos. 2O'O " #.#.####### 0399171 - 70 22t 65" a x 72 x 88 457e8O x 70 22' 53u #.#-.-####.-.-.#.-.- < {;), 37 - trait ne 3600 maie
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he = ne - nh = 9,37 - 4,63 == 4,75 hi = o" R = 2 il en résulte :
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ie = hi + he = 8 +4,75 - 6,'5 6 75 x 3 '' 13,50 - amplitude des creux de la roue à la profondeur du point 2, vue normalement à une génératrice.
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Au point 3 on ù a 888 + 19 7f, 5f7a Ang. go$. 3oo> m #.#.####### a. Q,93?43 * 20. 23' 38" 2 x 88 x 19 5'7, J.5 x 80 33' 38" ---------------------- 3sa3 ,= trait nh J60* Ang. cos. z 70,502 + 88a - 19a Ang. oos. 30 o -<###.#..### 0>99558 - 5. 33' 19" 2 x ?'C, b0 x 88 457,20 x se 23' 19" -.#-.#.-.-.-....-M se 6,84 " trait ne 3609
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Mais he = ne - nh = 6,84 - 3,23 = 3,61 hi =. o" R = 2 il en résulte : ie = hi + he = 2 + 3,61 = 5,61 5,61 x 2 = 10,22 = amplitude des creux de la roue à la profondeur correspondant au point 3 vue notmalement à une génératrice.
En finalement au point d l'amplitude des creux de la roue, toujours vue normalement à une génétatrice, résulte évidemment de o" R x 2 = 2 x 2 = 4.
Or, il est à remarquer que les dents de la rouafig. 6, sont dessinées en tenant compte des cotée en largeur des creux cor- respondants oi-dessus établie, et au moyen de ces dents on arrive à obtenir le contact entre lesdites detms et l'arc ad fige 1 du pignon. Il en est de même, symétriquement., pour l'arc dc.
Il faut maintenant remarquer que les profile des dents du pignon, fig. 3, ausai bien que les profils des dents de la roue, fig. 6, se trouvent être conoanes. C'est préoisément cette concavité qui limite le contact seulement entre les arcs abc et oda. Et c'est justement, entr'autres, le but de l'invention, que ce contact soit étendu également à un pourcentage très élevé de la surface comprise entre lesdits arcs, en réduisant considérablement la pres- sion unitaire.
Pour arriver à. cela, on suivra ce procédé on trouve le rayon de l'arc qui relie les 3 points d'intersection du profil du creux de la roue, fig. 6, aux lignes 1, 2 et 3. A l'aide de ce rayon, on modifie le profil des dents du pignon. fig. 3, à partir de l'épaisseur 9,06 environ jusqu'à la tête,, mais de façon que l'épaisseur de cette dernière soit aussi grande que possible, sans pour cela augmenter les épaisseurs qui sont au-dessus de la tête jusque la cote 9,06. De cette façon, comme on le voit aisément, les dents du pignon seront en contact d'une manière constante avec presque toute la surface comprise dans la rtie de couronne circilaure définie par les rayons oa et 02 fig.l , en plus du contact
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qui reste sur le trait d'arc 3, b, c.
Une fois la modification réalisée, le profil sera trouvé,, ainsi qu'on le voit aur la fig. 7.
Après quoi l'on détermine le rayon de l'arc passant par les 3 pointe d'intersection du profil du creux du pignon, fig. 3, avec les lignes 1, 2 et 3. Avec le même rayon on modifie le profil des dents de la roue, fig. 6, suivant exactement ce qui a été fait qu- paravant pour les dents du pignon, à partir de la cote 5,55 environ ; et il en résulte que l'on obtient un profil tel que figuré sur la fig. 8. Il est évident que, même loi, le contact eat étendu à presque toute la partie de couronne circulaire définie par les rayons o'a, 0'2 fig. 4, en plus du contact qui reste sur le trait d'arc 2, d, c. Enfin, on complétera les figures 7 et 8 en amincissant les arêtes jusque une hauteur oonvenable afin d'augmenter la surface de contact.
Naturellement il est intuitif que, par suite des modifica- tions apportées suivant les figures 7 et 8, les centres des deux engrenages doivent être rapprochés de quelques dixièmes de millimètres, et c'est pour cela que le creux a été porté au fond à 1 millimètre, tandis que la moitié aurait suffi.
On peut affirmer que, grâce à ladite amplification de la surface de contact, réalisée après des années d'expérienoes pratiques, le demandeur a réussi à construire des réducteurs dont la très grande utilité pour les industries a été démontrée, tout en sati@fai- sant complètement à ce qui a été dit dans les paragraphes 1 et 20, du début de la présente description.
En conséquence, puisque, comme l'on sait, les dentures sont vues normalement à une génératrice, tandis que pour le travail il est nécessaire d'avoir des vues normales aux hélices respectives, on peut ajouter, mais seulement à titre de complément ( étant donné que cela est déjà théoriquement et pratiquement acquis ) que .afin d'obtenir lesdites vues normales aux hélices, il suffit de multiplier les ootes des figures 7 et 8 par les aosinue des angles formés par les hélioes correspondantes, et de remplacer les valeurs ainsi obtenues.
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La figure 2 représente un exemple numérique de la façon de procéder, sur la.quelle.. en partant de la. cote de 19,05, normale une génératrice, on a obtenu la cote 13,67, normale aux hélices.
DESCRIPTION 8'UN COUPLE D' ENGRENAGES NON REVERSIBLES ENGRENANT ENTRE DEUX AXES PARALLELES. - Les roues réversibles spcifiées ci-dessus, possèdent les caractéristiques suivantes :
1 - Elles sont en général bihélicoidales, mais peuvent également être simplement hélicoïdales.
2 - Les diamètres des roues conduites sont remarqua- blement Inférieurs à ce quelle devraient être pour les rapporte correspondants de vitesse ; maia les pas axiaux des doux engrenages ( pas des hélices ) sont égaux, de façon qu'il en résulte l'inéga- lité des angles au sommet, plus ou moins, somme les roues révérai - bles que l'on vient de traiter.
3 - Les profils des dents doivent avoir une forme net- tement trapézoidalo, inclinée autant que possible vers 45 .
4 - Le contact entre les dents doit se faire simulta- nément et de façon continue sur toute la ligne .!lE de la fig. 9.
5 - La même ligne nr doit être inclinée d'environ 18 par rapport au plan des axes.
Un couple de roues non réversibles déjà construit pratique- ment et satisfaisant bien à touteslles exigences, présente les ca- ractêristiques suivantes Pignon : diamètre intérieur 32,60, diamètre primitif 38, diamètre extérieur 41,60, une seule dent bihélicoidale et pas axial 12,70.
Roue : diamètre intérieur 218,60, diamètre primitif 224, diamètre extérieur 227,60, nombre des dents bihélbcoîdales 20, pas axial des hélices 12,70 x 20 + 254 = Rapport de vitesse 1 : 20, justement en rapport avec le nombre des dents. Distance en- tre les centres : 131.
Il ressort des données ci-dessus ( voir fig. 9 ) que la hau- teur des dents qui prend part à la transmission du travail est de 3,60, et qu'il y a un jeu de 0,90 au fond des oraux.
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Il en résulte que l'inclinaison des hélices du pignon, rap- portée au diamètre intérieur, augmentée dudit jeu et par rapport à un plan noimal à l'axe, est donnée par :
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12870 , Anis. t 8- - ---------------- - - 0,11751 - 60 42-' 7Q 32,60 + 2 x 0,90
Et l'inclinaison des hélios$ de la roue.. rapportée , la oirconférence extérieure et également par raport à. un plan normal à
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l'axe, est : 354 Ang. tg. ###<.##-.-<.##.-. - 0*35583 - 190 33, ZZO as, 60 x 3,1416 -
Etant donné que le pas axial des engranages est de 12,70, le pas normal de la roue aera de 18,70. cos. 19 33' 22" = 11,96.
Au moyen des éléments préaitéa, il est possible de dessiner la fige 10 qui représente la vue partielle, en plan, de deux dents consécutives de la roue, et dans laquelle les lignes yy et xx sont respectivement les axes des hélioes du pignon et de la roue, tandis quella distance entre les milieux des deux dents correspond au pas normal qui a été obtenu auparavant, c'ost-à-dire à 11,96.
8oit à déduite maintenant l'épaisseur des têtes des denta ; on procède oomme suit :
On trace deux dents consécutives de la roue, fig. 11, vues en élévation et normalement aux hélices, en tenant compte de ce que l'on sait que la pas normal est de 11,96 ; puisque l'on doit satisfaire à la condition 3, il faut que l'angle abc = 45 .
Il en résultera alors liépaisseur des têtes des dents de la roue et celle des têtes des dents du pignon qui, comme l'on sait, pénètrent dans les creux jusqu'iL la profondeur de 3,60 :
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IIP ( 5,60 tg. 458 X a ) 11,6 - 7aO ze 36 11,96 rw."Ww.r.,..n..m.rr.lsr.r.y.n.,rrrr 3C m4rwrr.r-lrrlrsnwuirYi 7iT 2j3B
Mais, attendu qu'il est clair que l'épaisseur des têtes des dents du pignon doit être plus forte que celle des dents de la. roue, on réduit oette épaisseur à 3,16 millimètres.
En conséquence, l'anplitude des creux de la roue à la circonférence extérieure, et vue normalement aux hélices, est de :
11, 96 - 2,16 = 9,80
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Et l'amplitude des mêmes creux à la circonférence extérieure,
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mais vue normalement à une génératrice, sera de :
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9,80 #.-..##.-.###.<- M 10,39 Oos. 19- 33 22" D'ou 10..39 0" L = ¯¯--¯¯¯a = 5j19 ( voir fige 10 ) 3 [or, il résulte du graphique Que la ligne de contact nr fig.
1, est longue d'environ 3 millimètres, de façon que, au point r , l'épaisseur des dents du pignon est donnée par ( voir fig. 11)
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3 x tg. 450 x au 6. A ce oh1tffe il faut ajouter l'épaisseur des têtes des dents du pignon, correspondant à 2,38 + ( 2,38 - 2,16 ) = 2,60.
Donc, au point 1: l'épaisseur des dents du pignon est de 6 + 2,60 + 8,60.
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En menant, dans la fig. 10, une paral7 la , la ligne 1z qui 8,60 soit k une distance de oelle-c1 égala #.-.-.- cette parallèle @ 2 croisa le fil de tete des dents de la. roue au point a qui, graphi- quement, se trouve être éloigné du plan de l'axe d'un peu moins de 4 millimètres. A partir dudit point a on mène une parallèle à la.
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ligne o'.o' 0 jusque déterminer les pointe a, h, 1, .1 sur la fig.
10, et le point .± sur la f ig. su Toutes les données comprises dans la parenthèse carrée sont a.pproX1ma.ti ves.. Les mêmes données ont servi seulement pour établir que le point r , fi. la se trouve éloigné d'environ 4 millimètres du plan des axes, comme il a été dit ci-dessus *. mais cette distanoe doit être déterminée avec une exactitude mathématique, avec toutes les autres données. 0-lest pour cette raison que l'on déduit au- paravant les hauteurs et les épaisseurs correspondantes que les dents du pignon devraient avoir pour obtenir le contact soit à droi-
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te soit à. gauche du point r aux diatanoa r'itrairaa sous-indiquées aprbamuo:L, en amincissant convenablement le profil, on réduit le contact jusqu'à un seul point.
Il va être expose ci-aprés Comment ce résultait est atteint :
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On doit tout d'abord préciser que l'on cherche à déduire pa- thématiquement la longueur du trait ae fig. 10, laquelle, une fois doublée, donnera, comme il est clair, 'épaisseur que devront avoir les dents du pignon afin d'obtenir le contact au point r qui résul- te de la projection du (point a fig. 9.
Par conséquent, on mené du point r , que l'on considère sur la ligne co0, une perpendiculaire, et on a la demi-corde rz. En outre, si l'on imagine qu'on abaisse encore, toujours sur la circon- férenoe extérieure de la roue, un nombre arbitraire d'autres demi-' cordes ayant leur origine en ± et distantes du plan des axes des longueurs suivantes : 4,60 - 4,30 - 4 - 3,70 - 3,40 - 3,10 - 2,80,
Au point r ,distant de 4,60 du plan des axes, on a :
o'z = # 113,802 - 4,602 = 113,706 oz - 131 - 113,706 - 1è,294 o r = # 17,2942 + 4,602 17,895
En soustrayant du rayon extérieur du pignon la valeur de or déterminée ci-dessus, on obtient la hauteur de la dent du même pi- gnon au point r , à savoir : 30,80 - 17,895 = 3,905
Il est évident que la demi-épaisseur qui doit exister audit point r pour qu'il y ait contact correspond à la longueur du trait ae fig. 10, que l'on déduit de la façon suivante :
L'hélice d'une dent du pignon qui a son origine dans le plan des axes 0 avec rayon or fig. 9, avance axialement du trait he fig.
10 pendant le parcours de l'arc soustendu par l'angle roz.
D'une façon analogue, l'hélioe fictive d'un creux de la roue qui a également son origine dans le plan des axes.!. avec rayon o'r avance awialement du trait hi pendant le parcours de l'ara sousten- du parr l'angle ro'z.
Or, les longueurs des traits ho et hi se déterminent de la
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façon suivante : Ang* son roz - 4,60 Ou,25705 - 140 53" Ang. san roz m --------- * 0,25?05 * 14* 56' 43' 17,895 Si, pendant un tour complet, l'hélice d'une deniturdu-pignon avance axialement de 12,70, en 14 53' 42" elleavanoe de :
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12 70 x 14 53' 42" ¯ trait he 360.
Et:/ 4,60 Ang. sen zo'r = ---------- - ,p4a 2* 19' 113,80 Si l'hélioe fictive d'un creux de la roue avance axialement
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de 254 pendan% un tour complota en 2. 19' elle avance de :
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254 x 20 19' .n,"...r.¯..¯.¯..a¯¯¯¯ 10634 - trait hi 36Ct'" Mais ( voir mig. 10 )
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ai = 0 L = ,19 (il où ah = a.1 - hi * 5,19 - 1,634 = 3,556 et a ah + h 3,556 + 4, G85 4,081 4,081 x 8 8,163 - épaisseur, vue normalement L une généyatrioej, que les dents du pignon doivent avoir à la hauteur 2,905 pour obtenir le oontaot au point ± distant de 4,60 du plan des axes.
Entretemps, on suit fidèlement le procédé appliqua plus haut., pour la détermination des hauteurs et des épaisseurs oorres- pondantes que les dents du pignon doivent avoir pour obtenir le contact, aux autres points éloignés, oomme dit plus haut, de 4,30 - 4 - 3,70 - 3,40 - 3,10 et 2,80 du plan des axes.
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Toutefois, dans la description, on omet l'exposa de ces déterominations, attendu qu'il s'agiTait seulement de rê 6ter les idées déjà développées ; on ne fera. que les calcula mathématiques.
En conséquence : au point r, distant de 4,,30 du plan des axes, on a :
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o'z z 13,80a - 4,302 - 113,718 oz = 131 - l13,?18 " 17.%282 or 1l .?, 8888 + 4, 60 * 17,808 20,80 - bzz 8, 9. -¯- hauteur des dents.
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En outre : 4,30 Ang. a8ïc1 roi = --- 4,30 --- = 0,241'46 - 134 58' 210 , , 17,808 d'où l?0 x 58' 31" -------------------- - = Op 492 trait ho 360.
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Ensuite : don ro$z --- 4#30 0,03778 ng. sen ro'z = ---------- 0,03778 = 2- 53" , 113*80 .il en résulte : 254 x 3 9' 53." ----------------- m 1,527 = trait hi 3600 Maie
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ai - 0" L 5,19 il en résulte ah - ai - hi = 5,19 - 1, 5â? 3, 663 et ae = ah t ho = 3, 663 + 0, 492 - 4,155 4,155 x ;3 == a, 310 \III épaisseur, vue normalement à une génératrice, que les dents du pignon doivent avoir à la hauteur 2,992, pour
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obtenir le contact au point g distant de 4,3f du plan des axes.
Au point r , dictant de 4 millimètres du plan des axes, on a: o'z = 1133 802 - .4a 11, ?a9 oz - 131 - 113,729 = 1?,a71. or =' Vl7,2712 + 42 ,. 17,728 20,80 17,738 " 3073 " hauteur des dents. En outre :
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Ang. son roz - w-¯--.,....¯ pa563 130 3' 240 3', â8 d'où 13,70 x 13. 2' 24" -..-.-.###.#.-.-.- 0,M0 # trait he 3609 Xnauit a Ang. sen ro' z ---------. 0 03514 = 80 49" 115,80 il en résulte
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254 x 20 490 ....#.#.,-#### . 1,420 # trait hi 3600 Maia
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aï .. 0" t' L - 5, 19 il en résulte ah = ai - hi - 5,19 - 1,420 = 3,770 et
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ae = aü + he = 3, 770 = 0,460 =' 4e 830 4, 34 x 2 8,460 ..
épaisseur, vue normalement à une g6néxatricelo
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que les dents du pignon doivent avoir à la haute= 3,072 pour obtenir la contact au point ± distant de 4 millimètres du plan des axes.
Au point r distant de 3,70 du plan des axes , on a :
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o*z = l13,80 - 1,70? m 113,73g oz - 131 - 113,739 =- 17,261 or= 17,2612 + 3070? - 17,653 20,80 - 17,653 * Z,147 = hauteur des dents.
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En outre : Zig. sen roz 3,70 Ouzo959 120 5311 À;g, son roz m -------- * 0,20959 12 5' 53" 17,663 d'ou 70 zig* sufi 12,70 x 12. 5' 53" .#-.-.-.-##-.-.-,#.-.. n: 0,426- trait he 3600 Ensuite: 3,70 Ang. sen ro 'z = ##.##- =. 0,,03251 - 11 Sl' 46" il en résulte llZ, 254 x 10 51' z6" - - --------------- - l 314 = trait hi 360. mais ai = o" L = 5,19 il en résulte
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ah a ai - hi - 5le - 1,Z14 = 3876 et ae = ah + he = 3,876 + 0,426 - 4,302 4,302 x 2 = 8,604 = épaisseur, vue normalement à une génératrice, que les dents du pignon doivent avoir à la hauteur 3,147 pour obtenir le contact au point r distant de 3,70 du plan des axes.
Au point r distant de 3,40 du plan des axes, on a :
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o'-z::=t l13,80 - 3,40 m llô,749 oz 131 - 113,749 = 17,251 or V 17,7492 + 3e402 3- 17,583 20,80 - 17,582 - 3,218 = hauteur des dents.
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En outre, Ang. sen roz = 3,40 - 0,19337 # Il 8' 5811 17,582 d'ou 12, 70 x 11. 8e 58" ------------------ - -- =, 0,393 =' trait he 3600
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Ensuite: S 40 Ang. sen ro' z ---------- # 0102987 - 10 4al 42N 113,80 i il en résulte 254 x 19 488 480 -#.-..###### 1,807 - trait M 360 mais
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ai - 0" L m 5,19 il en résulte ah ai - hi - 5,19 - 1>807 3, 983 et ae * ah + he = 3, 983 + 0, 393 - 4,376 4,376 x 2 * 8, ?52 épa18seur, vue normalement à une génératrice, que les dents du pignon doivent avoir à la hauteur 3,218 pour obtenir le contacts au point ±. distant de 3,40 du plan des axée.
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Au po int r di tart de 3,10 du plan des axes, on a :
o'z V 113,80 -3,10 -< 113,757 oz - 131 - 113,757 - 17,243 or 1:11 Ô7 B4J' + Z, 102 m 17,519 30,80 - 17,519 " 3,381 hauteur des dents.
En outre :
3,10
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Ang. sen roz - ####.-. <. 0,17695 10. '11* 31" , 17,519 d'ou
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13,70 x 10. 11' 31" # ####-.-.-.<-.#. 0,559 a' trait he 360.
Ensuite: 3,10 Ang. sen ro'z m #####. M 0,0373 =* 1' 33'39u 113,80 il en résulte 254 x 1. 33' 39" #,-.#-.#.---..-#. = 1,101 = trait hi 3608 Mai a
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ai . 0" L 5,19 il en résulte
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ah = ais hi - 5, 19 - le 101 - 4,089 et ae == ah + he = 4,089 + 0,359 = 4,448
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4,448 x 8 = 8,896 - épaisseur, vbe normalement à une génératrice, que les dents doivent avoir à la: hauteur 3,281 pour obtenir le
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contact au point r distant de 3,10 du plan des axes.
Au point ± distant de 2)80 du plan des axas, on a 4' z a J;.13,802 - 380 " 113,765 os 131 - 113,766 =' 17,335 00 17,838 + 2,88 17,460 30,80 - 17,460 :ci: 5,340 =c hauteur des dents.
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Encore : 3,80 Ang. son xoz m ---------- * 0,16036 m 90 13e 39" 17460 d'on 18>?0 x 9' 13' 3911 ------------¯¯¯¯--¯M - 0..325 = trait he 360.
Ensuite 380 Ang. sen roz -------- " 0,03460 =* 10 24' 340 il en résulte 115,80 254 x 10 241340 -------------- - OeOD4 - trait hi 360* Mais
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z1 - 0" h 5, 3.L il en résulte ah = ai - hi - 5,19 - 0,994 = 4,,196 et ae = ah + he = 4,196 + 0,325 - 4,521
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4531 x 2 9,042 x épaisseur, vue normalement à une g6nératrice, que les dents doivent avoir à la hauteur 3,340 pour obtenir le contact au point r distant de 2,80 du :.plan des axes.
Maintenant, on va tracer l'épure d'une dent du pignon, fig.
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12, toujours vue normalement à une généra%rice, tenant en conidé- ration la hauteur et l'épaisseur de la même dent, par rapport au point r distant de 3,70 du plan des axes, pour qu'il yaait le contact en ce point. Au fait, sur ladite figure on trouve les cotes
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3,147 et 8,604 qui ont été préclo6ment, déduites auparÂvâNt au point r distant de 3,70 du plan des axes, En outre, en réalisant 1'épaisseur de la;tête de la dent 2,32, on donne au profil une
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inclinaison telle quelle exclut le contact 4 droite et à gauche dudit point ± . On va en exposer la raison
Il faut remarquer avant tout que ( voir fig. 12 ) :
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1/2. 8604 1/2. z#zz Ang. tg. apb '< ##-.#-#.-.#-.-.### 0,99841 '" 440 57' 150 3,147
Après quoi, en établissant le tableau suivante l'énonce résulte analytiquement, attendu qu'aux distances 4,60 - 4,30 - 4 - 3,70 - 3,10 - 2,80 du plan des axes, on a :
A 4,60) 2,32 +(2,905 x 0.99841 x 2) = 8,120,< 8,162 dei 0,042
A 4,30) " +(2,992 x " x 2)- 8,394 < 8,310 de 0,016
A 4 "" ++(3,072 x " x 2)= 8,454 < 8,460 de 0,006
A 3,70) " +(3,147 x " x 2)= comme fig.
12
A 3,40) "" +(3,218 x " X 2) = 8,745 <8,745 <8,752 de 0,007
A 3,10) " +(3,281 x " x 2)= 8,870 < 8,896 de 0,026
A 2,80) "" +(3,340 x " x 2)= 8,988 9,042 de 0,054 " +(4,50 x " x 2)= 11,30
En lisant le tableau de bas en haut, on trouve à, la première ligne la méthode connue que l'on a appliquée pour établir l'épaisseur de la dent à la hauteur maximum.
A la seconde ligne, dn remarque que la dent, à la hauteur 3,340, a une épaisseur de 8,988, tandis que, pour obtenir le contact au point ± distant de 2,80 du plan des axes, oette épaisseur. aurait du être de 9,042, comme précisément il a été démontré auparavant ; il y a donc une différence de 0,054.
A la troisième ligne, dn trouve qu'au point ± distant de 3,10 du plan des axes, il n'y a pas de contact par suite d'une différenoe de 0,036.
A la quatrième ligne, ou le point :± se trouve être à 3,40 du plan des axes, il n'y a pas non plus de contact, par suite d'une différence de 0,00?.
A la cinquième ligne, évidemment, l'épaisseur de la dent est égale à celle indiquée sur la fig. 7, et il y a cependant contact au point r distant de 3,70 du plan des axes.
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Finalement. aux pointe indiques aux lignes sixième, septiè- me et huitième, il n'y a pas de contact par quite des différences respectives de 0,006 - 0,016 et 0,042.
On vient donc de démontrer la manière d'établir la forme des dents du pignon, et de démontrer également qu'aveo ces dents on peut obtenir le contact avec les fil@@ de tête des dents de la roue, seulement au point ±. distant de 3,70 du plan des axes.
Evidemment, l'épure des creux est aisément établie en suivant le procéda appliqué pour le pignon du couple réversible que l'en a déjà traité.
Or, il faut démontrer tout d'abord comment on établit l'épure des dente de la roue e et, ensuite, comment on obtient le oontact sur toute une ligne nr, fig. 9.
On dessine la fig. 13, qui est une reproduction de la fig.
9, et on joint le point n aux centres des deux engrenages, et du même point on abaisse une perpendioulaire sur la ligne 00' ce qui détermine la demi-corde nv.
La fig. 14 est une vue schématique et partielle, en plan, de la fig. 13, sur laquelle on a indiqué l'axe yy d'une dent du pignon, inclinée suivant 1'inclinaison de l'hélice qui résulte à la circonférence extérieure et l'épaisseur de la tête de la même dent, délimitée par les lignes EE, E'E' ( sur la fig. 14 cette tête est dessinée à une échelle double ) ; l'axe fictif xx d'un espace de la roue rapporté à l'inclinaison de l'hélice qui trouva à la circonférence extérieure et l'amplitude du même espace délimitée par les lignes AA, A'A' ; ainsi comme la projection du point n, sur les axes xx "- yy, sur la ligne de construction NN, sur le fil de tête de la dent du pignon indiquée par la ligne AA, en déterminant les pointa i, e, h, a, B.
Attendu que le contact entre les dents doit s'effectuer sur toute la ligne nr, fig. 1", il faut d'abord déterminer l'amplitude que doivent avoir les dreux de la roue pour obtenir le contact seu- lement au point n , et ensuite on verra pour le reste.
Il est à remarquer que le point G, qui se trouve sur le fil
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de tête des dents du pignon, sur la vue en plan de la fig. 14, tombe sur le même fil de tête au point a . Donc, afin qu'il y ait contact en ce point., les creux de la roue doivent avoir une amplitude égale à la distance qui sépare les pointe a et i, multipliée par 2.
Maintenant, on va rappeler la condition 5,, et, en la satisfaisant., on obtiendra comme résultat que le point n se trouve à. une distance de 5 millimètres du plan des axes. Mais cette distance doit être établie avec une exactitude mathématique, qui doit donc être obtenue en déduisant d'abord les différentes amplitudes que les espaces devraient avoir pour obtenir le contact à droite et 0 gauche du point n ,aux distants arbitraires indiquées ci-dessous, et, après, en traçant convenablement l'épure des mêmes creux, on réduira le contact seulement au point n.
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Soient les distances sus-indiquées de 5,7fi - 5,40 bzz 4,80 - 4,60 - 4>30 - 3, 9ü.
Au point n , distant de 5,70 du plan des axes, on a ( voir f i g. I3 ) : ¯¯¯¯¯¯¯# fig. 13 ) : ov 0,80 - b, 7C38 ao,003 o'v= 131 - 20,003 - 110,997 o'2 * llf, 997 + 5,702 = 111,143
Si l'on soustrait du rayof. extérieur de la roue la valeur de o'n qui a été déterminée ci-dessus, on obtient la profondeur des creux de la même roue, au point n distant de 5,70 du plan des axes,
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c ' e st 4,-di re : 113,80 - 111143 - 3,667
Entretemps, l'hélice correspondant à la circonférence extérieure du pignon qui a son origine dans le plan des axes et qui est indiquée par le point O" sur la fig. 14, avance axialement du trait he pendant unpparoours angulaire égal à l'arc soustendu par l'angle nov.
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8 l'1::I.élioe correspondant au rayon oln de la roue qui a éga-. lement son origine dans le plan des axes e aussi en.2!. ( fig. 14,), avance axialement du trait lA!. pendant un parcours de l'arc sousten- du par l'angle nov.
On détermine les longueurs des traits sus-indiqués de la
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façon suivante : 5,70 Ans. sen nov = >0 É-- " O 27403 .. 150 bzz 15" 20180
Si l'hélice d'une dent du pignon avance axialement de 12,70 à chaque tour complet, en 15' 54' 15" elle avance de :
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1Z,70 x 150 54' 15" ,#-.##.-.-.##.#-.-.# = 0,661 = trait he 3600 Et 5,70 Ang. sen no'v = #.#.##.# = 0>05128 m 20 56' 31" 111,143
Si l'hélice d'une dent de la. roue avance axialement de 254 à chaque tour complet, en 2 56' 21" elle avance de :
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254 x 2. 5' 210 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 2,073 = trait hi 360.
Mais
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ai - hi - he m 2,073 - 0,561 = 1,512 3,33 1,16 ae o " R =* ------ 1,16
2 il en résulte
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al - ae + ei * 1,16 + 1,512 - 20672 2$672 x 2 - 5,344 - amplitude, vue normalement à une génératrice, que les espaces de la roue doivent avoir à la. profondeur 2,657 ppur obtenir le contact au point n , distant de 5,70 du plan des axes*
Au point n distant de 5,40 du plan des axes, on a :
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ov == V 20,802 - 5$4é - 20,086 olv 131 - 20,086 110,914 oln - 110,9m42 + 5>40? * 111,045 113,80 - 111,G45 - 2e755 - profondeur des creux.
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En outre, S, 40 Ang. sen nov == ¯....¯.......¯ =' 0.25961 " 15. 3' 48" 20,80 d'aU 12, ?a x 158 2' 48" --- f"" 0 j 53 Z1I trait he 360- Ensuite ;
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5,40 Ang. sen no 'v = --.-#..- 0,04868 - 80 47* 120 1114045 il en résulte 254 x 2. 47' 126 ##.-.-.---#.#.!m l 966 8# trait hi 3600 Mais
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ei * hi - ho m 1,966 - 0,53 w 1,436 ae 1,16 il en résulte ai = ae + ei = 1,16 + 1,436 2,596
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8,596 x 2 - SJ192 = amplitude, vue normalement à une génératrice, que les creux de la roue doivent avoir à la profondeur 8,755 pour obtenir le contact au point n, distant de 5,40 du plan des axes.
Au point n distant de 5,10 du plan des axes, on a :
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ov 30,80 - 5,1t8 20,165 0'v 131 204165 ue llCs, 835 0'n" {ll0,835-t. 5,10 * 110,953 113,80 - llCt, 95a 2,848 - profondeur des creux.
EMI25.5
En outre : 5,10 Ang. sen nov ###.- wt 0.34519 " 14- 11' 35" d'ou 30,80 12,70 x 14- 1P, 35" ¯,¯¯¯¯¯¯ 360 ¯¯¯¯¯....¯.¯¯¯ o 50 M trait he 360 Et : 5,, la Ang. sen no'v = ##.-.##- t< 0,04596 . 2- 38' 2" 110,953 il en résulte 254 x 2- 38' 3' -#-.-#--.., 1,858. trait hi 36Ci Mais
EMI25.6
ait. hi - he m 1#858 - 0,60 = 1,358 ae - 1, 16 il en résulte
EMI25.7
ai - ae + e1 1,16 + 1,358 " 8,518 3,518 x 2 = 5,036 -! amplitude, vue noimalement à une génératrice, que les creux de la roue doivent avoir à la profondeur 3,848 pour obtenir .le contact au point n, distant de 5,10 du plan des axes.
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EMI26.1
Au point ja dîstant de 4,80 du plan des axes, on a 0'11 11:1 20,238 ov = 30,80 - 4,8Q -=30,338 o'v - 111... 20,238 - 110,762 dn. 1I:t V 110, 76aa- + 4,. 802 !Id 1104865 113,80 - llÔ,865 * 2..935 :III profondeur des creux.
EMI26.2
En outre : 4..t80 Ang. son nov *'1 ---""----- - Oa3076 - 13" 30* 39" , 20,80 d'où la10 x 138 20' 39" #-.-.#-#.-.### at 0 47 = trait he 360.
Ensuite : 4,80 Ang. sen no'v . --------- - 0,04339 2* 28' 51 11'?, 888 il en résulte : 254 x 2 38' 51" <.-.##<.##.#.#.## 1,,75 . trait hi 360.
Mais
EMI26.3
ai i he 1, 75 0;47 - 1, 88 aa 1,16
EMI26.4
il en résulte
EMI26.5
a.i 1:1 Be + ai 1,1.6 + 1,28 - 2044 2,44 x 2 - 4,88 " amplitude, vue normalement à une génératrice, que les creux de la. roue doivent avoir h la profondeur 3., 935 pour obtenir le contact au point z distant de 4,80 du plan des axes.
Au point n distant de ,6 du plan des axée,, on a : ov * ,80a - 4,,502 - $4"ie 3(i' 0' " 131 - 20,307 - lioe663 0'ri I16, 893 + 4$502 - 110,784 113,80 - 110,784 - 5,016 "' profondeur des oraux.
EMI26.6
En outre : 4)50 Ang. sen nov - --------- - e Bi639: la- 29' 38" \1 20,80 d'ou 12,?0 x 12 29' 38" .-.#.-.#..# g9,4 trait hie v6Ci Ensuite : z9 5cl Ang. sen no'v = llC, 78 0 04061 = go 19' 39" 110,784
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il en résulte :
EMI27.1
254 x 3 1' 39" 3600 1 m 1, 644 - trait hi J60 Mais
EMI27.2
ai - hi - ho - 1,644 - ou44 1811 1,204 ae = 1,16 il en résulte
EMI27.3
ai - ae + e i = 1,16 + 1,304 - 3,364 2,364 x 8 4e7Z8 = amplitude, vuexmo=alement k une génératrice, que les oraux de la roue doivent avoir à la profondeur 3,016 pour obtenir le contact au point n distant de 4,50 du plan des axes.
EMI27.4
Au po int n distant de 4,20 du plan des axes, on a : ov a0, 8(i8 -. , 3t38 = 3C, 371 o'v 131 - 30,571 " llf, 629 0'tn lla 6a98 . ; , 28 c 116, 7Q8 115,80 - 110, 7t5s 3,09a- profondeur des creux.
EMI27.5
En outre 420 Ang. sen nov - zoj,80 030193 - 11 38' 56" d'ou 80,80 l2,70 x 11 38' 56" '"########.-.-.. 0 4l - trait he 3o0 Ensuite : 4,20 Ang. sen noev - -.-###.-..#. Q, 03?93 = 2- 10' 34" il en résulte 110, 68 F9e x 29 bzz' 'au -.#..¯.. l 533 .. trait h,:! 360. 1*533 trait Mais
EMI27.6
41 - hi - hO -9 le 533 - 0,41 - 1,183 ae - 1,16 il en résulte
EMI27.7
ai < ae + el - l,16 l#lz3 - 3,383 3,383 x 2 = 4,666 "amplitude vue nozmalement L une génératrice que les creux de la roue doivent avoir , la profondeur 3,092 pour obtenir le contât au point n, distant de 4,20 du plan des axes.
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Au point n distant de 3,90 du plan des axes, on a :
EMI28.1
olov =* 802 - 3>902 - 20,431 0 IV on 131 - 20,431 . 110,669 o'n-' V 110,5692 + 3,90 = 110,637 113e8O - llOe637 - 3,163 - profondeur des creux.
EMI28.2
En outre ! 3t90 Axag. sen nov - ##### 0,18750 DI 10. 48' 2511 2 >80 d'ou 12,70 x 10' 48' 25" -.-.#-.-.-.-.-.#.-#.-.#.# - 0 381 trait ho 360' Ensuite : 3,90 Ang. sen no'v \BI -.-#.###- 0)03525 - 2- l* 12'r 110t637 il en résulte 854 x 2- 1' 18." ##.....-..##.-.<. ic 1,425 %rait hi 360" Mais
EMI28.3
eî - hi - ho - 1,435 - 0,381 " 1044 ae = 1,16 il en résulte
EMI28.4
ai * ae + e i lj,16 + 1044 -' 3,304 2,204 x 2 - 4,408 * amplitude, vue normalement à une génératrioe.. que les creux de la roue doivent avoir à la profondeur 3,163 pour obtenir le contact au point n distant de 3,90 du plan des axes.
On doit maintenant rappeler que l'amplitude des oraux de la. roue à la circonférence extérieure, vue normalement à une généra- trios, est de 10,39 ( voir fige 10 et 14 ) et, en formant les creux de cette roue de façon à obtenir le contact au point n distant de 4,80 du plan des axes, il en résulte la fig. 15, sur la.-. quélle l'angle abc est de :
EMI28.5
1/2. 1939 - 1/2. 4,88 Ang. tg. -...-.-¯¯.¯¯,¯.¯..¯¯¯¯¯.,¯.",.. 0,93696 = 430 8' 8" 21935
Au fait, sur ladite fig. 15, on trouve les cotes 2,935 et 4,88 qui la déterminent, lesquelles ont été déduites auparavant en correspondance aveo le point , distant de 4,80 du plan des axes.
En conséquence, le tableau ci-dessous est établi en tenant
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compte des données déterminées auparavant relativement aux points n éloignée de distances différentes du plan des axes ( voir fig.
13 ) nv = 5,70) 10,39 - ( 2,657 x 0,93696 x 2 ) = 5,403>5,344 de 0?059 nv = 5,40) " - ( 2,755 x " ) + 5,219>5,192 de 0,027 nv + 5,10) " - (2,848 x " ") = 5,045>5,036 de 0,009 nv = 4,80) " - ( 2,935 x " " comme fig. 15 nv 4,50) " ( 8,016 x " " ) = 4,731>4,728 de 0,003 nv = 4,20) " - ( 3,092 x " " ) = 4,587> 4,566 de 0,020 nv ) 3,90) " - ( 3,163 x " " ) = 4,455>4,408 de 0,047 " = ( 4,50 x " " ) = 1,948
En lisant le tableau de bas en haut, on trouve que la pre- mière ligne a été utilisée seulement pour déduite l'amplitude du fond des creux.
A la seconde ligne, on remarque qu'au point.!! , distant de
3,90 du plan des axes, il n'y a pas de contact, attendu quenpour avoir ce contact, l'amplitude des creux de la roue, toujours vue normalement à une génératrice, aurait du être de 4,408, comme il résulta précisément des opérations qu'on a faites auparavant rela- tivement audit point ; mais cette amplitude est de 4,455, il y a donc une différence de 0,047.
A la troisième ligne, on trouve que, au point n distant de
4,20 du plan des axes, il n'y a pas de contact par suite d'une différence de 0,020.
A la quatriène ligne, dans laquelle nv = 4,50, la différen- ce est de 0,003 seulement.
A la cinquième ligne, on voit qu'au point n , distant de 4,sa du plan des axes, il y a contact puisque l'amplitude des creux en ce point est la; même que celle indiquée'sur la fig. 15.
Et enfin aux points n correspondant à la sixième, à la sep- tième et à. la huitième ligne, il n'y a pas de contact par suite des différences qui sont respectivement de 0,009 - 0,027 et 0,059.
Il vient donc d'être démontré comment on établit l'épure des creux de la roue, fig. 15, vue normalement à une génératrice, d'on
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on peut facilement déduire celle des dents ; et on a également démontré analytiquement que, au moyen de cette épura, on obtient le contact seulement au point n distant de 4,80 du plan des axes.
Mais on sait déjà, qu'il y a également un contact seulement au point:±.. Donc, en joignant les points n et r on obtiendra, la ligne de contact nr qui a été spécifiée au début. Cette ligne de contact peut être considérée comme droite, attendu que, si l'on détermine beaucoup d'autres points de contact le long de ladite ligne, selon lepprodédé théorique qui a été exposé, puis en les joignant entr'eux, on obtient précisément une droite telle qu'indiquée sur la fig. 13, puisque les différences qui existent sont tellement petites qu'elles sont innapréciables, particulièrement aux fins de l'irréversibilité que l'on doit maintenant démontrer.
L'exposé ne sera évidemment pas poussé jusque la détermination des autres pointe de contact, uniquement afin de ne pas surcharger d'un tel travail une simple demande de brevet.
De même, pour faire plus courte mais également à titre de Complément, on se borne à préciser que, attendu que les dents du pignon, fig. 12, de même que les creux de la. roue, fig. 15, sont vus normalement à une génératrice, tandis que, pour la fabrication, il faut déterminer les mêmes figures comme vues normalement a.ux hélices respectives ; pour le pirocédé à suivre, précisément pour obtenir ces dernières vues, il suffit d'utiliser ce qu'on a dit auparavant à ce sujet en parlant des roues réversibles.
DÉMONSTRATION DE L' IRREVERSIBILITE,- En consultant le premier tableau, on trouve que, à droite et à gauche du point r il n'y a pas de contact par suite des différences telles qu'il est juste de penser que la ligne moyenne de la surface de contact se trouve exactement à 3,70 du plan des axes. Et, en consultant le deuxième tableau, on trouve qu'au point n , distant de 4,50 du plan desaxes, il n'y a pas de contact par suite d'une différence de 0,003 seulement, tandis qu'a la distance 5,10, cette différence est de 0,009 ; par conséquent, on peut penser que la ligne moyenne de la surface de contact se trouve vraisemblablement au point n
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distant de 4,70 du plan des axes.
EMI31.1
On peut évidemment obtenir une e1D&tion mathématique plus exacte en effectuant les opérations sur des valeurs de nv différent successivement èntr'ellen non de 0,3, ainsi qu'il a été fait mais d'une quantité plus petite. Si les différences précitées étaient limitées à 0,1, les cotes marquées sur la fig. 15 dépendant de nv, auraient pu être déterminées diteotement à partir des cotes résultant de la valeur de nv = 4,70.
Toutefois, pour obtenir de bons résultats dane la pratique, le procédé adopté est plus que suffisant.
EMI31.2
Entretamps, en se référant au point de oontaot r fig. 9 , on sait déjà que rz = 3e7o" og - 17,361. Et, en se référant au point de contact n fig. 13, si nv = 4,70, on a, approximativement :
EMI31.3
aO307 - 30, 238 ov - 20, 838 + ###.#####,##'-< 20,361. a ( les données 20,307 et 20,238 correspondent aux valeurs de ov , respectivement par rapport à nv = 4,50 et 4,80 ).
En conséquence, sur la même figure 13, on voit que :
EMI31.4
ov = oz = 30,361 - 17,361 3 nv rz = bzz 3à7O - 1.
En traçant à l'aide de ces cotée un triangle rectangle, on trouve que la ligne nr est inclinée de 18 26' 4" par rapport au plan des axes.
Ay fait ( voir fig. 16 ) :
EMI31.5
Ang. tg. abc = 1 : 3 = t?, 3â333 18' 36' 4" Naturellement, la longueur de la ligne nr est égale à la lon- ,
EMI31.6
gueur de l'hypoténuse.!!! , o'est-à-àire : nr = ab = [l2 + 32 - 3,16
Or, puisque la ligne nr n'est pas disposée radialement, elle est, entre les dents, dans un plan dont l'inclinaison est dif-
EMI31.7
férente des inolinaisons des profils suivant les figures 12 et 15.
En effet, si on regarde un creux de la roue normalement à une géné- ratrice, en tenant compte de ce que l'amplitude de ce creux au point
EMI31.8
r est de 10,39 et, attendu qu'on a considéré nv m 4,70, l'amplitude
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au point n est, très approximativement, de
EMI32.1
4,88 - 4,75 4,88 - ###.##-.-.-. =. 4,83 3 ( Les cotes 4,88 et 4,73 correspondent aux amplitudes du creux à ceux des deux points distants respectivement de 4,80 et 4,50 du plan des axes. Voir 2 tableau ).
En outre.. puisque la longueur de la ligne nr = 3,16, on peut dessiner la figure 17, de laquelle il résulte que
EMI32.2
1/2. 10,39 - 1/2. 9, $ r Ang. tg. &b4 1/2- 10*39 - 1/2. 4,83 = Oj?8'7816 = 41' 17' 17 p .6
Donc la surface de contact se trouve, entre les dents, dans un plan inclina de 41 17' 17", et par conséquent sa longueur est de :
EMI32.3
3, 6 ###-<#.--,. 4,20 cos 419 1? 17" On trace maintenant la figure 18, qui est une vue sohémati- que et partielle, en plana de la roue et sur laquelle les dents sont inclinées suivant l'inclinai son des hélices à la oirconférence otiginale, c'est-à-dire :
EMI32.4
224 x 3, 1416 Ang. tg. ###-#.-.,. r ?57. 70* 9' Ion 254
Comme il est intuitif,* la fig. 19 est une reproduction des fig. 9 et 13.
Si l'on coupe l'engrenage suivant le ligne nar, fig. 19, et si l'on regarde cette coupe normalement à une génératrice, on obtient la fig. 20, laquelle est une vue partielle star laquelle les surfaces de contact entre les danta se trouvent être inclinées, comme on le sait, de 41 17 17 Il .
Si l'on appelle P l'effort périphérique transmis à la roue ( voir fig. le ) les surfaces de contact setont pressées avec une força :
EMI32.5
QI m .w...¯...¯¯¯¯¯.¯¯¯¯,. ( voir fig. 18 ) cos 700 91 low, Et en remplaçant P par 100 ( kilog2ammes ) : 100 oj'3g952'"' * 294,13 kilogrammes
<Desc/Clms Page number 33>
En outre :
EMI33.1
F = P. tg. va' 9' 10" = 100 x 2e770$1 = a'',05 kilogrammes.
0'est-à-dire que la poussée axiale, ou effort normal aux fa- ces de la roue, est de 277,05 kilogrammes. Sur la fig. 20, cet ef- fort est représenté par les forces S'Q' et S'Q". Et naturellement, étant donné l'inalinaison des surfaces de contact entre les dents,
EMI33.2
on a les deux parallélogrammes : 8'I4','',' et '.,.1'.a R".
Evidemment, tandis que les résultantes 8' ' et 8qo s'équilibrent, les composante* 8''' et 8''" produisent leurs effets et par les mêmes on obtient aussi respectivement les forces S'r' et
EMI33.3
S'r!'. Mais la ligne r''r est paxalléle à la ligne de contact nsc fig. 19. Ainsi, sur la même fig. 19, la force S'r' est représentée par la force AÏ, et la force 88ru . égale et con-braire L 8';',, est représentée par la force sT". par conséquent, de l'effort périphérique, de la. mesure de l'angle au sommet de la roue, et de l'inclinaison des surfaces de contact entre les dents, résulte que le couple d'engrenages est soumis simultanément ( voir fig. 19 ) :
1 - à l'effort périphérique sP qui tend à faire tourner la roue dans le sens des aiguilles d'une montre ;
2 - à la force sT' qui tend au même but ; 3 - à. la force sT qui tend à. arrêter la rotation des engrenages.
Entretemps, sur la fig. 20, on a :
EMI33.4
B'F' = S Q" 0013 41' 17' 17" " 277,05 x 6, '5141 = 2t8,17 ; et 8'r' # S'F' oos ( 90' - 41- 17' 1?" ) * 2t78,1'. 0013 48# 42' 43" = 208,17 x 0,65985 137,36 kilogrammes.
Evidemment, on a également S'r" = 137,36 kilogrammes.
Or, sur la fig. 19, on obtient la résultante a2 des forces aP et sT.
EMI33.5
Mais sP = 100, eT 137, 36, pa.r conséquent sR = 1 1002 x 137,362 = 169,90 kilogrammes. L'effet de cette résultante, seulement par rapport à la roue, -Il-
<Desc/Clms Page number 34>
est de sR x o'H.
EMI34.1
On peut déduite le bras de levier ¯o'H de la façon suivante : Le point 0 se trouva à. la moitié de la distance qui sép#re les deux pointa nest r.
Abaissant du même point s la perpendiculaire so sur la ligne
EMI34.2
ool, et en se rappelant que, sur la fig. 13, nv =* 4,70 et rz = 3,70,
EMI34.3
on peut écrira : peut éor1re 470 -b m ?é3 4,20 as = #.#.-.M..-#...., 30 2 Mais on peut rappeler également que, sur la même fig. 13 ,
EMI34.4
ov = 20,à6l et oz = 17,261 et par conséquent ( voir fig. 19 ) :
EMI34.5
2J261 - 17,261 00 = 7.i, 261 + 20,>261 - 17,261 = 18.. 761 17,261 2 18,761 d'ou
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0'0 - 131 - 18,761 = 118,23çr o's = olo2 + e02 = V112,2392 + 412e - 112,317
EMI34.7
Entretemps : sa 420 Ang. tg. ao'o =< ----* ###-.--. =. O0374a = 20 8e 35" 0$0 liaez3g
EMI34.8
l'angle Bso' est égal à l'angle ao'o , d'où ang. Esoe = ang. ESB + ang. B803 = 18% 36' 4" ' 20 ap 35" = 20 34' 39"
EMI34.9
Ensuite ! 137,36 Ang. tg.
RsP = ------- = 1, 37360 = 530 56' 40" 100 Etant donné que l'abgle B!sP == 900 , On a.
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Ang. o'sH = 90 -- ( ang. Eao* + ang. RsP ) =* 908 - ( 20 34' 39" + 53' 56' 4011 ) "'" 1528'41" et le bras de levier cherdhé est: o'H = o's sen 150 38' 41" - 112,317 x 0,26689 - 29,97 Par conséquent, l'effet de la r6atz.tanta R pultiplié par ledit bras de levier, est de : sR x o'H = 169,90 x 29,97 5091,90 kilogrammes-millimètres
Cependant, le bras de levier, sur lequel séexerce l'effort périphérique sP, est :
<Desc/Clms Page number 35>
o'A = o's. cos. ang.so'P 112,317 x oos 20 34'39"
EMI35.1
= 113,317 x 0, 936afJ 105,15
Mais sP x o'A = 100 x 105,15 = 10515 kilogrammes-millimètres il en résulte donc que la force sT réduit l'effet de l'effort
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périphérique du produit op x o'A = 10515, au produit OR x o'H = 5091,90, 080st-è-dire que la force OT produit une action freinant de :
10515 - 5091,90 =' 5423,10 kilogrammes-millimètres (2)
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Entretempa, la résultante aR , si l'on considère sa dires- tion, produit une poussée qui pause par le centre de la roue, éga-
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le à l'intensité de la :
force au. mais, par analogie avec ce qui arrive dans toutes les autres roues engrenant entre des axes pa-
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allèles, à la force sM s'oppose la force op égale et de Gong contraire, laquelle tend à faire tourner le pignon dans le sens contraire à la direction de l'effort périphérique. Par contre,, la força sT', égale e de sens contraire à la force sT, tend à faire tourner le pignon dans la direction de l"effort périphérique.
Par Conséquent, la résultante desdites forces opposées, ajoutée 4 la force spécifiée dans la formule (2), fournira la grandeur de l'action freinante définitive.
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Or : aF '= SE * SR oob.ang 0"$H - 169,90. oos 150 2S", 41" - 169,90 x 0,96374 =- 163,73 ; oD = oo' sen ang so'o 131 son 2 8' 35"
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v z 131 x 0,03739 = 4089 d'ou : OP x oD 163,73 x 4,89 . 800,63 k11ogrammes-#11l1mètres CA) Ensuite : Comme l'angle 860 = l'angle zsB * 19. 26# 4", il en résulte :
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00 4j, zo 00 = j..#.<.-.-.#.-......¯ -t Mx....,. s; la et tg 180 86" 4" 0,33333
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00 =.'00 - 00 :-' 18,761 - .1,, Va 6,161 ; d'où ON . ce eau 189 26' 4" =< 6,161 x 0, 31621 m 1,98.
<Desc/Clms Page number 36>
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Mais aT'= 137j36 donc :
EMI36.2
sT' x oN = 137,36 x z 8?1, 9i kilogrammes-mil1Lètree ( B )
En soustrayant la valeur trouvée en (B) de celle trouvée en (A), on a :
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800,65 - 271,97 m 528,66 kilogrammes-millimètces Or : ¯¯¯¯¯ ¯¯¯---#--------os = r oc 2 + SQ:= 2 18a ?61, ¯ 48 - ., 88 ; en outre 528,66 19,33 = 2?,50 kilogrammes.
Donc la résultante des forces sF et à se traduit par un effort de 2?,,'<¯5Q: iii.agrmë agissant normalement éL la ligne nsr en sens contraire de la'direction de l'effort périphérique sP et, naturellement, avec o,A comme bras de levier.
EMI36.4
Maïa, puisque o'A, = 105,15, on a à- 27,50 x 105,15 - 2891,62 ( 3 ) En additionnant les valeurs trouvées en (2) et en (3), on a :
5423,10 + 2891,62 = 8314,72 ( 4 )
EMI36.5
Q'e't-é-dire qu'il résulte définitivement que la roue est assure%- tie simultanément à l'action motrice (1) et à Inaction freinante (4) dont le rapport est :
EMI36.6
831472 .###-.-.-.-<#-. = p 9 10515 Donc à Inaction motrice dérivant de l'effort périphérique,
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s'oppose une action fieinante égale à 79 pour cent de ladite action motrice.
Mais, attendu que le couple de roues que l'on vient de dé- crire a donné aux essais pratiques un rendement de 70 pour cent, il est évident que 30 pour cent de l'effet de l'effort périphérique sont absorbées par les résistances passives qui se traduisent par une action frainante due à tout l'ensemble, tandis que les 70
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pour cent restant sont équilibrés par faction freinant 0,79 qui a été déterminée oi-desous, avec un excès do 9 pour cent comme mar- ge de sécurité.
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Et voioi démontré comment on vérifie le phénomène de l'irréversibilité entre des axes parallèles.
Or, afin de tranquilliser l'Examinateur des brevets, on peut préciser que le rendement de 70 pour cent a été relevé par les Professeurs de l'Eoole Supérieure d'Ingénieurs de NAPLES, les mesures ayant été faites en deux laboratoires expérimentaux différente et en employant des appareils et des moyens différents.
En outre, il est à rappeler au même Examinateur que, dans les brevets déposés il y a plusieurs années par le demandeur, il a été également revendiqué l'irréversibilité entre axes parallèles ; mais elle était,obtenue par un procédé tout à fait insuffisant pour Inapplication pratique de l'invention, puisqu'on en effet on n'a jamais pucréaliser des applications pratiques. Pour la genèse de l'invention, on doit donc noter que, il y a plusieurs années, on avait seulement vu vaguement un prinoipe, et qu'il a fallu ensuite plusieurs années d'études et d'expériences pour arriver à la con- clusion satisfaisante qui a été amplement démontrée ci-dessus.
Il est également évident que si l'on veut transmettre une puissance plus grande que celle transmissible au moyen d'un seul pignon, il suffira de faire engrener, avec la roue conduite, plusieurs pignons ( deux ou trois, selon que l'on veut doubler ou tripler la puissance à transmettre ), sans pour cela modifier aucun des éléments composant la roue conduite.
Naturellement, ces pignons seront reliés entr'eux et à l'arbre moteur au moyen d'un des différents systèmes connus ( engrenages, chaînes, courroies trapézoïdales ) ainsi qu'il a été représen- téà titre d'exemples sur les fig. 21, 22 et 23.
En outre, il est évident que l'on peut augmenter aisément le rapport de vitesses donné par un seul pignon engrenant avec la roue, en agissant sur les transmissions représentées sur les dessins précités, fig. 21,22 et 23.