JP2000268184A

JP2000268184A - 画像処理装置及び方法並びに記録媒体

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Publication number: JP2000268184A
Application number: JP11072612A
Authority: JP
Inventors: Hideo Kubono; 秀雄久保野; Tetsuzo Kuragano; 哲造倉賀野
Original assignee: Sony Corp
Current assignee: Sony Corp
Priority date: 1999-03-17
Filing date: 1999-03-17
Publication date: 2000-09-29

Abstract

(57)【要約】【課題】画像処理性能を格段的に向上させ得る画像処理
装置及び方法並びに記録媒体を実現し難かった。【解決手段】画像処理装置及び方法において、画像デー
タに対して各画素の濃度値をそれぞれ対する変換処理
し、対数変換処理された各画素の濃度値に基づいて、画
像データに基づく画像内のエッジを検出するようにし
た。また記録媒体において、画像処理手段に、画像デー
タに対して各画素の濃度値をそれぞれ対する変換処理す
る第１のステップと、対数変換処理された各画素の濃度
値に基づいて、画像データに基づく画像内のエッジを検
出する第２のステップとを有する画像処理を実行させる
ためのプログラムを記録するようにした。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は画像処理装置及び方
法並びに記録媒体に関し、例えばＣＡＤ（Computer Aid
ed Design ）装置に適用して好適なものである。

【０００２】

【従来の技術】従来、ＣＣＤ（Charge Coupled Device
）カメラやイメージスキャナ等から出力されるカラー
の画像データは、画像を形成する各画素のＲ（赤色）Ｇ
（緑色）Ｂ（青色）の各色毎の明るさ（以下、濃度と呼
ぶ）を表すデータから構成されている。そしてこのよう
な濃度は、画像内における各部位での明るさを忠実に反
映している。

【０００３】

【発明が解決しようとする課題】ところで、一般的に画
像内の暗い領域では明るい領域に比べて物体間の濃度差
が小さい。このため画像データに基づく画像をコンピュ
ータにより認識しようとする場合、画像内の暗い領域に
おける物体のエッジを検出し難く、当該暗い領域内にお
ける物体の認識率が低下する問題がある。

【０００４】かかる問題を解決するための１つの方法と
して、画像全体の明るさを高めて暗い領域における物体
間の濃度差を拡大する方法が考えられる。しかしながら
この方法によると、明るい領域の濃度が飽和してしまう
ために、当該明るい領域内における物体の認識率が低下
する問題がある。

【０００５】さらにこれらの問題を解決するもう１つの
方法として、画像を濃度に応じて複数領域に分割し、分
割された各領域毎に濃度補正を施す方法が考えられる。
しかしながらこの方法によると、分割処理が煩雑であ
り、また各領域境界の濃度補正結果が不整合となる問題
がある。

【０００６】本発明は以上の点を考慮してなされたもの
で、画像処理性能を向上させ得る画像処理装置及び方法
並びに記録媒体を提案しようとするものである。

【０００７】

【課題を解決するための手段】かかる課題を解決するた
め本発明においては、画像処理装置において、画像デー
タに対して各画素の濃度値をそれぞれ対数変換処理する
対数変換処理手段と、対数変換処理された各画素の濃度
値に基づいて、画像データに基づく画像内のエッジを検
出するエッジ検出手段とを設けるようにした。

【０００８】この結果この画像処理装置では、画像内の
濃度のばらつきに影響されることなく、画像内のエッジ
を一括してかつ高精度に検出することができる。

【０００９】また本発明においては、画像処理方法にお
いて、画像データに対して各画素の濃度値をそれぞれ対
数変換処理する第１のステップと、対数変換処理された
各画素の濃度値に基づいて、画像データに基づく画像内
のエッジを検出する第２のステップとを設けるようにし
た。

【００１０】この結果この画像処理方法によれば、画像
内の濃度のばらつきに影響されることなく、画像内のエ
ッジを一括してかつ高精度に検出することができる。

【００１１】さらに本発明においては、記録媒体におい
て、画像データに対して各画素の濃度値をそれぞれ対数
変換処理する第１のステップと、対数変換処理された各
画素の濃度値に基づいて、画像データに基づく画像内の
エッジを検出する第２のステップとを有する画像処理を
実行させるためのプログラムを記録するようにした。

【００１２】この結果この記録媒体に記録されたプログ
ラムによれば、画像内の濃度のばらつきに影響されるこ
となく、画像処理手段が画像内のエッジを一括してかつ
高精度に検出し得るようにすることができる。

【００１３】

【発明の実施の形態】以下図面について、本発明の一実
施の形態を詳述する。

【００１４】（１）本実施の形態による画像処理装置の
構成図１において、１は全体として本実施の形態による画像
処理装置を示し、ＣＰＵ（Central Processing Unit ）
２、各種プログラムが格納されたＲＯＭ（ReadOnly Mem
ory）３、ＣＰＵ２のワークメモリとしてのＲＡＭ（Ran
dom Access Memory）４及び入出力インターフェース回
路５がＣＰＵバス６を介して相互に接続され、入出力イ
ンターフェース回路５にＣＲＴ（Cathode-Ray Tube）
７、キーボード８及びマウス９が接続されることにより
構成されている。

【００１５】この場合ＣＰＵ２は、ＣＣＤカメラやイメ
ージスキャナ等の外部機器から与えられる画像データＤ
１を入出力インターフェース回路５を介して取り込む。

【００１６】そしてＣＰＵ２は、ＲＯＭ３に格納された
プログラムに基づき、図２に示す平滑近似曲線生成処理
手順ＲＴ１に従って、この取り込んだ画像データ１に基
づく画像を認識すると共に、当該画像内の各物体のエッ
ジを表すＢ−スプライン曲線を生成し、これをＣＲＴ７
に表示させる。このようなＣＰＵ２の一連の処理につい
て以下に説明する。

【００１７】（２）ＣＰＵ２の処理（２−１）対数変換処理（ステップＳＰ２）まずＣＰＵ２は、外部から与えられる画像データＤ１を
取り込んだ後、平滑近似曲線生成処理手順ＲＴ１をステ
ップＳＰ１において開始し、続くステップＳＰ２におい
て当該画像データＤ１に基づく画像の各画素の濃度値を
ＲＢＧそれぞれについて対数変換処理する。このような
対数変換処理の意味について説明する。

【００１８】まず物体に照射される照明光の光量が一定
でない場合、物体の表面における光に対する反射率が同
じであっても撮影された画像の濃度及びその変化量は、
物体の各部位によって異なってくる。

【００１９】例えば図３（Ａ）に示すように、三角柱１
０の１つの側面１０Ｂに向けて一定光量の照明光Ｌ₁を
照射してある第１の高さ位置Ｈ₁での三角柱１０の表面
の濃度を測定すると、図３（Ｂ）のように照明光Ｌ₁が
照射されていない第１の側面１０Ａと、照明光Ｌ₁が照
射されている第２の側面１０Ｂとの境目において、濃度
がＶ_b1からＶ_b2へと変化する。またこの例では、第１の
側面１０Ａの一部に汚れ１１が付着しているため、その
部分において濃度がＶ_b1から当該Ｖ_b1よりも僅かに小さ
いＶ_b3となっている。

【００２０】次に照明光Ｌ₁よりも少ない光量の照明光
Ｌ₂が三角柱１０の第２の側面１０Ｂに照射される第２
の高さ位置Ｈ₂での三角柱１０の表面の濃度を測定する
と、図３（Ｄ）のように第１及び第２の側面１０Ａ、１
０Ｂの境目において濃度がＶ_d1（ただしＶ_d1＜Ｖ_b1）か
らＶ_d2（ただしＶ_d1＜Ｖ_b1）へと変化する。

【００２１】そしてこのような三角柱の表面における濃
度分布に対して２階微分演算を施すと、第１及び第２の
高さ位置Ｈ₁、Ｈ₂における各演算結果はそれぞれ図３
（Ｃ）及び（Ｅ）のようになる。

【００２２】ここで画像の認識のために濃度変化から画
像内の物体のエッジを検出する方法の１つとして、濃度
分布に対して２階微分演算した演算結果（図３（Ｃ）及
び（Ｅ））に現れるゼロ交差点Ｐ₁〜Ｐ₃、Ｐ₄を検出
する方法がある。しかしながらこの方法によると、図３
（Ｃ）からも明らかなように、汚れ１１のエッジまでを
も検出する問題がある。

【００２３】またこのような問題の発生を回避しながら
物体のエッジを検出するもう１つの方法として、濃度分
布に対する２階微分演算の演算結果（図３（Ｃ）及び
（Ｅ））に対して閾値θを設定し、当該閾値θを越えた
箇所をエッジとして検出する方法がある。しかしながら
この方法によると、図３（Ｅ）からも明らかなように、
閾値θの設定の仕方によっては照明光の光量が少ない領
域（暗い領域）における物体のエッジを検出し得ない問
題がある。

【００２４】ところで上述のように照明光の光量の違い
によって濃度及びその変化量が異なっていても、光に対
する反射率が同じであれば、照明光の光量が大きいく明
るい箇所（Ｘ_bとする）の濃度をｖ（Ｘ_b）、照明光の
光量が小さく暗い箇所（Ｘ_dとする）の濃度をｖ
（Ｘ_d）、これら明るい箇所及び暗い箇所とそれぞれ隣
接する各箇所（それぞれ（Ｘ_b＋Δｘ）、（Ｘ_d＋Δ
ｘ）とする）の濃度をそれぞれｖ（Ｘ_b＋Δｘ）、ｖ
（Ｘ_d＋Δｘ）として次式

【００２５】

【数１】

【００２６】が成り立つ。つまり照明光の光量が異なる
箇所でも濃度変化の比は変わらない。

【００２７】そこで画像を構成する各画素の濃度値に対
して予め次式

【００２８】

【数２】

【００２９】のように対数変換することを考える。

【００３０】この場合この対数変換した濃度値（以下、
これを対数濃度値と呼ぶ） log（ｖ）を用いて差分商演
算を基本とする従来の画像解析処理を行ったとしても、
差分商又は微分商での濃度変化の同値・大小判定は、図
３（Ｆ）のように原画像の濃度値での濃度変化の比率で
の濃度変化の同値・大小判定と同じ結果となる。

【００３１】その証明は、次式

【００３２】

【数３】

【００３３】の通りである。

【００３４】従って予め画像内の各画素の濃度値を対数
変換し、図３（Ｇ）のように得られた各画素の対数濃度
値 log（ｖ）に基づいてエッジを検出するようにするこ
とによって、照明光の光量の違いに影響されることなく
画像内の各物体のエッジを検出することができる。

【００３５】しかしながら画像を構成する各画素の濃度
値を対数変換した結果を人間が画像として認識（目視）
できるようにするためには、対数濃度値が濃度値として
正でなければならない。さらに限られたメモリ容量のコ
ンピュータ上でこれを行うためには上限値を抑える必要
がある。

【００３６】このような制約条件として、原画像での濃
度値の最大値を maxＶとして次式

【００３７】

【数４】

【００３８】が考えられる。つまりこの（４）式は、原
画像での濃度値の設定範囲（０〜 maxＶ）が対数変換後
も維持される（すなわち対数濃度値の範囲も０〜 maxＶ
となる）ことを意味している。

【００３９】ここで（３）式での結論に示される対数変
換結果の性質が多少崩れることを承知のうえで、（４）
式を満足できるように log（ｖ）を次式

【００４０】

【数５】

【００４１】のように定義される Log（ｖ）に置き換え
る。

【００４２】このとき（５）式は、（４）式から次式

【００４３】

【数６】

【００４４】と変換することができる。

【００４５】そしてこれを解くと、（５）式のα及びβ
は、次式

【００４６】

【数７】

【００４７】となる。従って Log（ｖ）は、次式

【００４８】

【数８】

【００４９】のように表すことができる。

【００５０】なお（２）式及び（８）式のそれぞれでの
対数変換された濃度値の変化の違いは、次式

【００５１】

【数９】

【００５２】のように、濃度ｖの２乗に対して濃度変化
Δｖが小さければ違いがないことが分かる。

【００５３】従ってこの（９）式からも、濃度ｖの２乗
に対して濃度変化Δｖが小さければ（２）式及び（８）
式のそれぞれでの対数変換された濃度値にほとんど違い
がないことが分かる。そしてこの違いは、通常十分に満
足できる条件であると考えられる。

【００５４】かかる原理に基づきＣＰＵ２は、ステップ
ＳＰ２において、取り込んだ画像データＤ１に基づく画
像の各画素のＲＢＧ毎の濃度値に対してそれぞれ（８）
式による対数変換処理を施し、得られた対数変換処理さ
れた画像データＤ１に基づく画像（以下、これを対数画
像と呼ぶ）をＣＲＴ７に表示させる。

【００５５】なおこの実施の形態においては、原画像の
濃度値がＲＢＧそれぞれについて８ビットずつ用意され
ているため、当該濃度値の表現範囲はＲＧＢ毎に０〜25
5 となる。

【００５６】従ってこの実施の形態において、底αの値
は、（８）式から次式

【００５７】

【数１０】

【００５８】のように選定されている。

【００５９】（２−２）ラプラシアン演算処理（ステッ
プＳＰ３）続いてＣＰＵ２は、上述のようにして得られた各画素の
ＲＢＧ毎の（８）式で与えられる対数濃度値 Log（ｖ）
に対してラプラシアン（２階微分）演算処理をそれぞれ
施す。

【００６０】すなわちこのように各画素のＲＢＧ毎の対
数濃度値 Log（ｖ）に対してラプラシアン演算処理を施
すことによって、エッジとみなされる画素の位置を検出
することができる。この位置は、原画像での位置と一致
する。

【００６１】この原理を図４に示す。この図４では、横
軸が原画像の各画素の濃度値を対数変換してなる画像
（以下、これを対数画像と呼ぶ）における一次元の位置
を示し、縦軸が輝度レベルを示している。そしてこの図
４において、ｆ（ｘ）は対数画像の輝度分布を示し、ｆ
（ｘ）′はｆ（ｘ）を一次微分処理した演算結果、ｆ
（ｘ）″はｆ（ｘ）をラプラシアン演算処理した演算結
果を示す。

【００６２】ここでｆ（ｘ）″ではピークが２つあり、
その間のＰ₁₁の位置が輝度レベル差の大きい箇所である
ことが分かる。そしてこの輝度レベル差の大きい箇所が
エッジである。

【００６３】なお一般的に、画素の濃度値に対するラプ
ラシアン演算処理は、例えば図５に示すような各重み係
数ａ_i-1,j-1〜ａ_i+1,j+1の値が適当に選定された３×
３のマスク２０を用い、図６のようにマトリクス状に配
列される各画素の濃度値ｖ_i-1,j-1〜ｖ_i+1,j+1に対し
て、次式

【００６４】

【数１１】

【００６５】の演算を実行することにより近似的に行う
ことができ、この結果として中心の画素Ｖ_i,jに対する
ラプラシアン演算処理の演算結果ｗ_i,jを得ることがで
きる。

【００６６】そこでこの実施の形態の場合、ＣＰＵ２
は、図７に示すような３×３のマスク２１を用いて、Ｒ
ＢＧ毎に、各画素の対数濃度値に対して（１１）式の演
算を実行することにより、これら各画素の対数濃度値に
対するラプラシアン演算の演算結果を算出するようにな
されている。

【００６７】因にこの実施の形態におけるマスク２１で
は、通常「１」である値が「0.5 」、通常「−８」であ
る値が「−４」となっており、これにより高周波数部分
の影響を抑えることができるようになされている。

【００６８】（２−３）２値化処理（ステップＳＰ４）続いてＣＰＵ２は、各画素の対数濃度値のラプラシアン
演算結果に対する２値化処理を実行することにより、対
数画像を２値化画像に変換する。ここでこのような２値
化処理時における閾値の設定の仕方について説明する。

【００６９】一般的に画像内のグレーレベルの頻度を表
すヒストグラムは、図８のように表される。画像信号が
アナログである場合には、ヒストグラムは曲線になる
が、ディジタルの場合には図８のように棒グラフとな
る。なお図８においては、横軸に輝度をとり、縦軸に頻
度（度数）をとっている。

【００７０】この図８の場合、ピークが２つあるのでそ
の間の谷部に閾値を設定することが考えられるが、ピー
クが２つあるということは、抽出すべきエッジが２箇所
にあるという可能性を秘めている。換言すれば、相対的
に暗い領域内にエッジが存在し、しかも相対的に明るい
領域内にもエッジが存在している可能性がある。従って
図８において、谷部に閾値を設定すると、暗い領域内に
存在するエッジを検出できなくなるおそれがある。

【００７１】そこで本実施の形態による画像処理装置１
では、閾値の設定を全体の頻度の何パーセントというよ
うな形態で設定することができるようになされている。
そしてＣＰＵ２は、このように設定された閾値に基づい
て、対数画像を２値化画像に変換処理する。

【００７２】（２−４）細線化処理（ステップＳＰ５）続いてＣＰＵ２は、上述のようにして得られた２値化画
像に対して細線化処理を施し、処理結果をＣＲＴ７に表
示させる。

【００７３】この場合通常の細線化処理では、内点、連
続点、孤立点、縁点、分岐点、端点、角点及び交差点な
ど用途に応じてさまざまなマスクを使用する。しかしな
がら本実施の形態において、ＣＰＵ２は、図９に示す１
つのマスク２１のみを使用して細線化処理を行う。

【００７４】実際上ＣＰＵ２は、このような細線化処理
を、３×３の画素群に対して図９のマスク２１を重ね合
わせ、各画素の値（２値化されているため、「０」又は
「１」）と図９のマスク２１の対応する各定数値
（「０」、「0.5 」又は「１」）との差をとり、全ての
画素についてその差が０となったときにマスクの下段の
３つ定数値「１」に対応する各画素の値を「１」とする
と共に他の画素の値を「０」とする一方、３×３の全て
の画素についてその差が０とならなかったときには当該
全ての画素の値を「０」とすることにより行う。

【００７５】そしてＣＰＵ２は、このような細線化処理
を、マスク２１を１画素ずつ縦方向又は横方向にずらし
ながら２値化画像全体に亘って行い、これによりエッジ
として検出される曲線を細線化する。

【００７６】なおこの実施の形態によるマスク２１で
は、これはパターンマッチングする画素値として「０」
又は「１」のいずれでも良い場合のことを考慮して、中
段の両側の定数値が「0.5 」に設定されている。この結
果このマスク２１を用いた細線化処理では、マスク２１
の定数値が「0.5 」の箇所において、常に各画素の値と
マスク２１の定数値との差が「0.5 」又は「−0.5 」と
なり、これを整数化すると「０」となってマッチングが
成功したことになる。

【００７７】これによりこの実施の形態においては、図
９のような簡素なマスク２１を使用することによって、
例えば図１０に示すような櫛歯状のパターンに対しても
エッジを検出することができるようになされている。な
おこの細線化処理は、線を細くすることが目的であり、
エッジが切れてしまっても問題はない。

【００７８】（２−４）自然スプライン曲線生成処理
（ステップＳＰ６）続いてＣＰＵ２は、上述のように細線化処理した２値化
画像の画像データに基づいて、エッジとして検出した各
画素を繋ぐ自然スプライン曲線を生成する。これについ
て以下に説明する。

【００７９】まず一般的に、平面上の点列に対して、各
点との距離を最小にしながら（近似性）振動を最小にす
る（平滑化）ような曲線を生成する手法として、適当な
次数（２ｍ−１）次の自然スプライン関数を応用した手
法が広く用いられている。

【００８０】この場合自然スプライン関数ｆ（ｘ）は、
ａ_i、ｃ_iを定数として次式

【００８１】

【数１２】

【００８２】を条件とする次式

【００８３】

【数１３】

【００８４】のように定義される。なお（１３）式の右
辺最後の項は、次式

【００８５】

【数１４】

【００８６】で定義される切断冪関数と呼ばれる関数を
表している。

【００８７】ここで平面上の点列｛（ｘ_i、ｙ_i）｝
（１≦ｉ≦Ｎ）に対して、求めたい平滑化関数としてｍ
階微分可能な次式

【００８８】

【数１５】

【００８９】で与えられる自然スプライン関数を考える
と、近似性を高めるために次式

【００９０】

【数１６】

【００９１】を最小化し、かつ平滑性を高めるために次
式

【００９２】

【数１７】

【００９３】を最小化すれば良い。

【００９４】この場合実際の計算では、近似性及び平滑
性に対する要求度合いに応じてユーザが設定した正の重
付け定数ｗ_i（１≦ｉ≦Ｎ）と、正の定数ｇとを用いた
次式

【００９５】

【数１８】

【００９６】で表される（１６）式及び（１７）式の線
形和の最小化を図るようにする。なお以下においては、
この（１８）式で表されるσを滑らかさに関する目的関
数と呼ぶ。

【００９７】ここで一般的に次式

【００９８】

【数１９】

【００９９】の条件式を満足するときの自然スプライン
関数ｆ（ｘ）が目的関数σを最小とする近似関数である
ことが明らかになっている。

【０１００】従って（１３）式で与えられる自然スプラ
イン関数ｆ（ｘ）の（Ｎ＋ｍ）個の係数ａ_i（０≦ｉ＜
ｍ−１）及びｃ_i（０≦ｉ≦Ｎ−１）の値を、これら係
数ａ_i、ｃ_iについて１次のｍ個の方程式から構成され
る（１２）式と、Ｎ個の方程式から構成される（１９）
式とから求め、これらを（１３）式に代入することによ
り所望する自然スプライン関数ｆ（ｘ）を得ることがで
きる。そして上述のように（１２）式及び（１９）式か
ら係数ａ_i、ｃ_iを求めることは、通常の行列計算によ
り行うことができる。

【０１０１】しかしながら（１２）式の条件のもとで
（１３）式で表される自然スプライン関数ｆ（ｘ）に
は、適用上以下の２つの制約がある。

【０１０２】すなわちまず第１の制約として、（１３）
式では曲線を定義する自然スプライン関数ｆ（ｘ）がｘ
の値に対してｙの値が一意に決定できなければ方程式が
立てられない。従って曲線を定義する座標軸のとり方次
第でｙが複数の値をとる多価関数については、ｆ（ｘ）
が計算できない。

【０１０３】また第２の制約として、点列が平面上にな
いときには平滑化曲線も平面にのるとは限らないが、
（１３）式ではこのような曲線を表現できない。

【０１０４】そこで自然スプライン関数をｘ、ｙ及びｚ
座標それぞれについて同一パラメータでのベクタとして
表現（以下、このような自然スプライン関数をパラメト
リック自然スプライン関数と呼ぶ）すると共に、ｘ、ｙ
及びｚ座標の各パラメトリック自然スプライン関数をそ
れぞれの目的関数を最小化するように独立に決定するこ
とを考える。

【０１０５】この場合自然スプライン関数をｘ、ｙ及び
ｚ座標それぞれについて同一パラメータでのベクタとし
て表現するということは、自然スプライン関数をｘ、ｙ
とは独立したパラメータｔを用いて表現し、さらにｚ軸
を含む３次元空間上に拡張するということを意味する。

【０１０６】この結果上述の（１２）式及び（１３）式
により定義された自然スプライン関数は、次式

【０１０７】

【数２０】

【０１０８】を満足する次式

【０１０９】

【数２１】

【０１１０】のように書き換えることができる。なおこ
の（２０）式及び（２１）式において、^t（＊）は行列
又はベクタ（＊）の転置を意味しており、以下において
も同様とする。

【０１１１】またｘ、ｙ及びｚ座標の各パラメトリック
自然スプライン関数ｆ（ｔ）をそれぞれの目的関数を最
小化するように独立に決定するということは、所望のパ
ラメトリック自然スプライン関数ｆ（ｔ）の最適値を、
ｘ、ｙ及びｚ座標の各目的関数をそれぞれ独立に最小化
することで求解できることを意味する。ここでｘ、ｙ及
びｚ座標の各目的関数は、次式

【０１１２】

【数２２】

【０１１３】で定義されるσ（＝^t( σ_x，σ_y，
σ_z））のことである。

【０１１４】そして自然スプライン関数を（２０）式及
び（２１）式のようなパラメトリック関数で表現した場
合においても、（１２）式及び（１３）式で定義される
自然スプライン関数と同様に、点列に対して近似性及び
平滑性を満足する関数となることが保証される。

【０１１５】実際上、点列に対する（１３）式で与えら
れる自然スプライン関数ｆ（ｘ）の近似性は、（１８）
式で与えられる目的関数σの第１項が左右する。従って
（２１）式で表すパラメトリック自然スプライン関数ｆ
（ｔ）において、（２２）式で与えられる目的関数σの
第１項を最小化したときに当該パラメトリック自然スプ
ライン関数ｆ（ｔ）の描く曲線が点列に接近しているこ
とを証明することによって、点列に対する（２１）式で
与えられるパラメトリック自然スプライン関数ｆ（ｔ）
の近似性を証明することができる。

【０１１６】ここでパラメトリック自然スプライン関数
ｆ（ｔ）での目的関数σの右辺第１項の総和内の重み定
数ｗ_iを省いた各項（ｐ_i−ｆ（ｔ_i））²は、点列
｛（ｐ_i）｝（１≦ｉ≦Ｎ）内の各点ｐ_i＝^t( ｘ_i，
ｙ_i，ｚ_i）と曲線との各ｘ、ｙ及びｚ座標における距
離の平方からなるベクタである。

【０１１７】当然、各ｘ、ｙ及びｚ座標における距離を
０に収束させれば次式

【０１１８】

【数２３】

【０１１９】のように、これらの和、すなわち各点ｐ_i
と曲線との距離の平方が０に収束する。なおこの（２
３）式において記号「↓」は、当該記号「↓」の左側の
値が右側の値に近づくことを意味しており、以下におい
ても同様であるものとする。

【０１２０】そこでこれに重み定数ｗ_iを付加し、１≦
ｉ≦Ｎでの総和でなる（２２）式の右辺第１項が収束す
れば、各点ｐ_iで曲線との距離が０に収束することが分
かる。

【０１２１】従って（２２）式の右辺第２項で下限が抑
えられているものの、目的関数σを可能な限り^t（０，
０，０）に収束させれば、求めるパラメトリック自然ス
プライン関数ｆ（ｔ）が点列｛（ｐ_i）｝内の全ての点
ｐ_iに収束し、近似性が得られることが分かる。

【０１２２】一方点列｛（ｐ_i）｝に対する（１３）式
で与えられる自然スプライン関数ｆ（ｘ）の平滑性は、
（１８）式で表される目的関数σの第２項が左右する。
そこで（２１）式で与えられるパラメトリック自然スプ
ライン関数ｆ（ｔ）における（２２）式で表される目的
関数σの第２項を最小化したときにパラメトリック自然
スプライン関数ｆ（ｔ）の描く曲線が平滑化してゆくこ
とを証明することによって、パラメトリック自然スプラ
イン関数ｆ（ｔ）の平滑性を証明することができる。

【０１２３】なお３次元空間上での曲線の滑らかさは、
ｘｙ平面、ｙｚ平面及びｚｘ平面への射影が平滑であれ
ば十分である。そして（２１）式で示される３次元のパ
ラメトリック自然スプライン関数ｆ（ｔ）に対してｘｙ
平面への射影に対する証明を行うことによって、ｘ、ｙ
をｙ、ｚ又はｚ、ｘに書き換えるだけで残りのｙｚ平面
及びｚｘ平面への射影に対する平滑性の証明を行うこと
ができる。従ってパラメトリック自然スプライン関数ｆ
（ｔ）の平滑性は、ｘｙ平面への射影対する平滑性の証
明を行うだけで証明できる。

【０１２４】ここで３次元空間上の自然スプライン関数
のｘｙ平面への射影を（１３）式に合わせて次式

【０１２５】

【数２４】

【０１２６】と表記する。

【０１２７】そしてこの（２４）式で表される射影の平
滑性は、（１８）式の右辺の第２項に示されるように、
（２ｍ−１）次の自然スプライン関数に対しては、ｍ階
の導関数の平方の、点列｛（Ｐ_i）｝の両端間での積分
値として定義される。

【０１２８】そこでパラメトリック自然スプラインでの
平滑化によって、曲線のｘｙ空間への射影が平滑化され
ることは、次式

【０１２９】

【数２５】

【０１３０】のことである。なおこの（２５）式におい
て、記号「⇒」は含意を意味する。

【０１３１】そしてこの（２５）式は、次式

【０１３２】

【数２６】

【０１３３】と同値である。

【０１３４】これは、次式

【０１３５】

【数２７】

【０１３６】に示すように、（２５）式及び（２６）式
において、対応する項同士が同値であるかである。なお
この（２７）式において、記号「⇔」は同値を意味す
る。

【０１３７】そしてこの証明は、表記の変換さえ行えば
同一であり、従って以下に（２７）式の第３項を証明す
る。

【０１３８】まず関数ｆ_xy（ｘ）のｍ階の導関数は、次
式

【０１３９】

【数２８】

【０１４０】のようになる。そしてこの（２８）式の両
辺を２乗すると、右辺では次式

【０１４１】

【数２９】

【０１４２】の不等式が成立する。さらにこれを与えら
れた点列｛（Ｐ_i）｝の両端間で定積分すると、次式

【０１４３】

【数３０】

【０１４４】の不等式が成立する。

【０１４５】ここでこの（３０）式の左辺を０に収束さ
せるとき、明らかに右辺も０に収束するが、右辺は全て
負でない係数を含む負でない積分を項とする和であるこ
とから、右辺の各項が０に収束する。また各項の内積分
値は一定値であることから、係数が０に収束する。つま
り必然的に次式

【０１４６】

【数３１】

【０１４７】が成立することとなる。

【０１４８】逆に（３１）式の右辺が成立すると、それ
を係数にもつ有限次数の冪関数の線形和は、有限区間で
あるところの点列｛（ｐ_i）｝の両端間では有限の値を
とるため、次式

【０１４９】

【数３２】

【０１５０】のように当然０に収束する。このため有限
区間での定積分も０に収束する。このことから（２７）
式の第３式が証明された。また同様にして（２７）式の
第１式及び第２式も証明することができる。

【０１５１】そして（２７）式が証明できることから、
パラメトリック自然スプラインでの平滑化によってパラ
メトリック自然スプライン関数ｆ（ｔ）の曲線のｘｙ空
間への射影が平滑化されることを証明するためには、
（２６）式を証明すれば良いことが分かる。以下に（２
６）式を証明する。

【０１５２】まず（２４）式に（２１）式を代入する。
つまりｙをｆ_x（ｔ）の定義式で置換する。この結果
（２４）式は、次式

【０１５３】

【数３３】

【０１５４】のようになる。

【０１５５】ここで次式

【０１５６】

【数３４】

【０１５７】のように係数Ｃ_x,j及びＣ_y,jを全て０に
収束させると、（３３）式は区間（ｔ₀，ｔ_N-1）で次
式

【０１５８】

【数３５】

【０１５９】へと収束する。そしてこの式は恒等式であ
るため、左辺には（２ｍ−１）次の切断冪関数はない。
従って（３５）式における右辺の（２ｍ−１）次の切断
冪関数の各係数は０でなければならず、次式

【０１６０】

【数３６】

【０１６１】となる。これにより（２６）式が証明でき
た。

【０１６２】以上のことから３次元空間上の点列｛（ｐ
_i）｝に対するパラメトリック自然スプライン関数ｆ
（ｔ）が、目的関数σ（＝^t( σ_x，σ_y，σ_z））の
それぞれを最小化するだけで、点列｛（ｐ_i）｝に対し
て近似性及び平滑性を満足する曲線を定義することが分
かる。

【０１６３】ここでパラメトリック自然スプライン関数
ｆ（ｔ）もその表現形式がパラメトリックではない自然
スプライン関数と同一である。従って目的関数σ（＝^t
( σ_x，σ_y，σ_z））のそれぞれの最小値は、パラメ
トリックではない例えば（１３）式で与えられる自然ス
プライン関数ｆ（ｘ）の（１８）式で表される目的関数
σの最小化が（１２）式及び（１９）式で与えられる連
立方程式の解として得られる係数ａ_i、ｃ_iにより実現
されるのと同様にして、次式

【０１６４】

【数３７】

【０１６５】を解けば良い。

【０１６６】従って点列｛（ｐ_i）｝に対するｘ、ｙ及
びｚについてのパラメトリック自然スプライン関数ｆ
（ｔ）は、（２０）式及び（３７）式を連立させて係数
群ａ_i、ｃ_iの値を求め、これを（２１）式に代入する
ことにより得ることができる。

【０１６７】そして実際上このような各係数ａ_i、ｃ_i
の値は、次式

【０１６８】

【数３８】

【０１６９】が成立することから、左辺の行列Ｍの逆行
列Ｍ^-1を求めてこれを右辺の行列Ｑに乗算することによ
って容易に求めることができる。

【０１７０】なお上述のような方法による平滑化曲線の
具体的な生成例を以下に示す。

【０１７１】まずｐ₀＝^t(50.0 ，0.0 ，0.0 ）、ｐ₁
＝^t(35.0 ，0.0 ，35.0）、ｐ₂＝^t(0.0，0.0 ，50.
0）、ｐ₃＝^t(0.0，35.0，35.0）、ｐ₄＝^t(0.0，50.
0，0.0 ）である点列｛（ｐ_i）｝（０≦ｉ≦４）に対
する自然スプライン曲線を算出する場合について述べ
る。

【０１７２】この場合曲線の各点ｐ_iへの近似度を決定
する各点ｐ_i（０≦ｉ≦４）に対する重み定数ｗ_i（０
≦ｉ≦４）として、ｘ、ｙ及びｚ座標共にｗ₀＝1.0 、
ｗ₁＝5.0 、ｗ₂＝5.0 、ｗ₃＝5.0 、ｗ₄＝1.0 が設
定され、曲線の平滑度を決定する定数ｇとして、ｘ、ｙ
及びｚ共にｇ＝1.0 が設定されたものとする。また平滑
近似するパラメトリック自然スプライン関数ｆ（ｔ）の
次数（２ｍ−１）を３とする。

【０１７３】ここで各点ｐ_iを指示するパラメータｔの
値を点列｛（ｐ_i）｝（０≦ｉ≦４）内での計算値とす
る。すなわちｔ_i＝ｉとすると、点列｛（ｐ_i）｝を平
滑近似するパラメトリック自然スプライン関数ｆ（ｔ）
は、（２０）式及び（２１）式をもとに、次式

【０１７４】

【数３９】

【０１７５】を満足する次式

【０１７６】

【数４０】

【０１７７】となる。

【０１７８】このパラメトリック自然スプライン関数ｆ
（ｔ）が、（３９）式の条件のもとで点列｛（ｐ_i）｝
を最も平滑近似するには、（２２）式を元にした次式

【０１７９】

【数４１】

【０１８０】でのσ_x、σ_y、σ_zをそれぞれ最小化す
る次式

【０１８１】

【数４２】

【０１８２】で与えられる各係数の組Coef_X、Coef_y、
Coef_zを求めれば良い。

【０１８３】そしてそのためには、（３９）式と併せて
前述の（３７）式に該当する次式

【０１８４】

【数４３】

【０１８５】からなる連立方程式を解けば良い。

【０１８６】この場合（４３）式は、次式

【０１８７】

【数４４】

【０１８８】に示す行列方程式となり、その解は次式

【０１８９】

【数４５】

【０１９０】のようになる。

【０１９１】従って（４５）式の各係数値ａ_i、ｃ_iを
表す値をそれぞれ次数（２ｍ−１）が３、Ｎが５の（２
１）式に代入しすることよって所望するパラメトリック
自然スプライン関数ｆ（ｔ）を得ることができる。

【０１９２】なお図１１に、このようにして得られたパ
ラメトリック自然スプライン関数ｆ（ｔ）の曲線Ｋ１を
示す。また比較のため、この曲線Ｋ１に併せてｇ＝0.0
、ｇ＝10¹⁵のときのパラメトリック自然スプライン関
数の曲線Ｋ２、Ｋ３もそれぞれ示す。

【０１９３】この図１１からも明らかなように、曲線Ｋ
２（ｇ＝0.0 ）は、点列｛（ｐ_i）｝の各点ｐ_iに対す
る補間曲線となっている。そしてこのことは、パラメト
リック自然スプライン関数ｆ（ｔ）においても、パラメ
トリックでない従来の自然スプライン関数の場合と同様
に、平滑性を考慮しなければ目的関数σを最小（＝０）
にすることで点列｛（ｐ_i）｝を通過する関数を生成で
きることを示している。

【０１９４】また定数ｇが十分に大きい場合に生成され
る曲線（例えば曲線Ｋ３）は、各点ｐ_iに対する最小２
乗誤差をもつ直線となり、パラメトリック自然スプライ
ン関数ｆ（ｔ）がパラメトリックでない従来の自然スプ
ライン関数と同様の性質をもつ関数となっていることが
分かる。

【０１９５】かかる原理に基づきＣＰＵ２は、ステップ
ＳＰ６において、細線化処理（ステップＳＰ５）により
得られた各点列の座標及び（３８）式に基づいて各係数
ａ_i、ｃ_iの値を求め、これを（２１）式に代入するこ
とによりｘ、ｙ及びｚについての各パラメトリック自然
スプライン関数ｆ（ｔ）を求めるようになされている。

【０１９６】（２−５）Ｂ−スプライン曲線生成処理
（ステップＳＰ７）続いてＣＰＵ２は、ステップＳＰ７において、上述のよ
うにして求めたｘ、ｙ及びｚについての各パラメトリッ
ク自然スプライン関数ｆ（ｔ）に基づいて、細線化処理
（ステップＳＰ５）により得られた点列の各点間におけ
るパラメトリック自然スプライン曲線上に位置する複数
の補助点の座標をランダムに求め、これら求めた補助点
上を通るＢ−スプライン曲線の式を算出する。

【０１９７】そしてＣＰＵ２は、このようなＢ−スプラ
イン曲線の式の計算を細線化処理（ステップＳＰ５）に
より得られた点列の各点間毎にそれぞれ行い、得られた
各Ｂ−スプライン曲線をＣＲＴ７に表示させた後、ステ
ップＳＰ８に進んでこの平滑近似曲線生成処理手順ＲＴ
１を終了する。

【０１９８】（３）本実施の形態の動作及び効果以上の構成において、この画像処理装置１では、ＣＰＵ
２が供給される画像データＤ１を形成する各画素の濃度
値ｖに対してＲＢＧ毎にそれぞれ（８）式で与えられる
対数変換処理を施し（ステップＳＰ２）、得られた各画
素のＲＢＧ毎の対数濃度値 Log（ｖ）に対してラプラシ
アン演算処理を施す（ステップＳＰ３）。

【０１９９】続いてＣＰＵ２は、この結果として得られ
た各画素のＲＢＧ毎のラプラシアン演算処理結果に基づ
いて対数画像を２値化する（ステップＳＰ４）と共に、
得られた２値化画像に細線化処理を施す（ステップＳＰ
５）。

【０２００】さらにＣＰＵ２は、細線化処理された２値
化画像の各点列に対する自然スプライン曲線を生成し
（ステップＳＰ６）、この後この自然スプライン曲線を
Ｂ−スプライン曲線に変換処理して、得られたＢ−スプ
ライン曲線をＣＲＴ７に表示する（ステップＳＰ７）。

【０２０１】従ってこの画像処理装置１では、画像デー
タＤ１を形成する各画素の濃度値ｖに対してＲＢＧ毎に
それぞれ（８）式で与えられる対数変換処理を施し、得
られた各画素のＲＢＧ毎の対数濃度値 Log（ｖ）に基づ
いて画像データＤ１に基づく画像内の各エッジを検出す
るようにしているため、画像内の濃度のばらつきに影響
されることなくエッジを一括して高精度に検出すること
ができる。

【０２０２】以上の構成によれば、画像データＤ１を形
成する各画素の濃度値ｖに対してそれぞれ対数変換処理
を施し、得られた各画素の対数濃度値 Log（ｖ）に基づ
いて画像データＤ１に基づく画像内の各エッジを検出す
るようにするようにしたことにより、画像内の濃度のば
らつきに影響されることなくエッジを一括して高精度に
検出することができ、かくして画像処理性能を格段的に
向上させ得る画像処理装置を実現できる。

【０２０３】（４）他の実施の形態なお上述の実施の形態においては、本発明を図１のよう
に構成された画像処理装置１に適用するようにした場合
について述べたが、本発明はこれに限らず、エッジ画像
生成やエッジ強調又は画像認識のためにエッジを検出す
る必要のあるこの他種々の構成の画像処理装置に広く適
用することかできる。

【０２０４】また上述の実施の形態においては、画像デ
ータＤ１に対して各画素の濃度値ｖをそれぞれ対数変換
処理する対数変換処理手段と、対数変換処理された各画
素の濃度値ｖに基づいて、画像データＤ１に基づく画像
内のエッジを検出するエッジ検出手段とを同じＣＰＵ２
により構成するようにした場合について述べたが、本発
明はこれに限らず、これらを別体として設けるようにし
ても良い。

【０２０５】さらに上述の実施の形態においては、上述
のようなＢ−スプライン曲線をソフトウェア処理により
生成するようにした場合について述べたが、本発明はこ
れに限らず、その一連の処理の一部又は全部をハードウ
ェア処理により行うようにしても良い。

【０２０６】さらに上述の実施の形態においては、画像
データＤ１に基づく画像内での濃度値ｖの範囲が対数変
換処理後も維持されるように各画素の濃度値ｖを対数変
換処理するようにした場合について述べたが、本発明は
これに限らず、対数画像を目視できないようにする場合
には画像データＤ１に基づく画像内での濃度値ｖの範囲
が対数変換処理後に維持されないようにしても良い。

【０２０７】さらに上述の実施の形態においては、画像
処理手段としての画像処理装置１に、画像データＤ１に
対して各画素の濃度値ｖをそれぞれ対数変換処理する第
１のステップと、対数変換処理された各画素の濃度値ｖ
に基づいて、画像データＤ１に基づく画像内のエッジを
検出する第２のステップとを有する画像処理を実行させ
るためのプログラムがＲＯＭ３内に格納されている場合
について述べたが、本発明はこれに限らず、これ以外の
他の記録媒体に記録しておくようにしても良い。

【０２０８】

【発明の効果】上述のように本発明によれば、画像処理
装置に、画像データに対して各画素の濃度値をそれぞれ
対する変換処理する対数変換処理手段と、対数変換処理
された各画素の濃度値に基づいて、画像データに基づく
画像内のエッジを検出するエッジ検出手段とを設けるよ
うにしたことにより、画像内の濃度のばらつきに影響さ
れることなくエッジを一括して高精度に検出することが
でき、かくして画像処理性能を格段的に向上させ得る画
像処理装置を実現できる。

【０２０９】また本発明によれば、画像処理方法におい
て、画像データに対して各画素の濃度値をそれぞれ対す
る変換処理する第１のステップと、対数変換処理された
各画素の濃度値に基づいて、画像データに基づく画像内
のエッジを検出する第２のステップとを設けるようにし
たことにより、画像内の濃度のばらつきに影響されるこ
となくエッジを一括して高精度に検出することができ、
かくして画像処理性能を格段的に向上させ得る画像処理
方法を実現できる。

【０２１０】さらに本発明によれば、記録媒体におい
て、画像処理手段に、画像データに対して各画素の濃度
値をそれぞれ対する変換処理する第１のステップと、対
数変換処理された各画素の濃度値に基づいて、画像デー
タに基づく画像内のエッジを検出する第２のステップと
を有する画像処理を実行させるためのプログラムを記録
するようにしたことにより、画像内の濃度のばらつきに
影響されることなく画像処理手段に画像内のエッジを一
括して高精度に検出することができ、かくして画像処理
性能を格段的に向上させ得る記録媒体を実現できる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本実施の形態による画像処理装置の全体構成を
示すブロック図である。

【図２】平滑近似曲線生成処理手順を示すフローチャー
トである。

【図３】対数変換処理の意味の説明に供する斜視図及び
グラフである。

【図４】エッジ検出の原理説明に供する特性曲線図であ
る。

【図５】ラプラシアン演算処理の説明に供する略線図で
ある。

【図６】ラプラシアン演算処理の説明に供する略線図で
ある。

【図７】本実施の形態によるラプラシアン演算処理用の
マスクの説明に供する略線図である。

【図８】頻度と輝度の２次変化との関係を表すヒストグ
ラムである。

【図９】本実施の形態による細線化用のマスクの説明に
供する略線図である。

【図１０】櫛歯状のイメージ・パターンを示す略線図で
ある。

【図１１】パラメトリック自然スプライン関数を用いて
曲線の生成例を示す略線図である。

【符号の説明】

１……画像処理装置、２……ＣＰＵ、３……ＲＯＭ、４
……ＣＲＴ、ＲＴ１……平滑近似曲線生成処理手順、Ｄ
１……画像データ。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続きＦターム(参考） 5B057 CA08 CA12 CB08 CB12 CB16 CC01 CC04 CE11 CE15 CF05 DA06 DB02 DB08 DC16 DC23 5L096 DA02 EA43 FA06 FA26 GA05 GA12 GA41 GA51

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】画像データに対して各画素の濃度値をそれ
ぞれ対数変換処理する対数変換処理手段と、上記対数変換処理された上記各画素の上記濃度値に基づ
いて、上記画像データに基づく画像内のエッジを検出す
るエッジ検出手段とを具えることを特徴とする画像処理
装置。
【請求項２】上記対数変換処理手段は、上記画像内での上記濃度値の範囲が上記対数変換処理後
も維持されるように上記各画素の上記濃度値を対数変換
処理することを特徴とする請求項１に記載の画像処理装
置。
【請求項３】画像データに対して各画素の濃度値をそれ
ぞれ対数変換処理する第１のステップと、上記対数変換処理された上記各画素の上記濃度値に基づ
いて、上記画像データに基づく画像内のエッジを検出す
る第２のステップとを具えることを特徴とする画像処理
方法。
【請求項４】上記第１のステップでは、上記画像内での上記濃度値の範囲が上記対数変換処理後
も維持されるように上記各画素の上記濃度値を対数変換
処理することを特徴とする請求項３に記載の画像処理方
法。
【請求項５】画像データに対して各画素の濃度値をそれ
ぞれ対数変換処理する第１のステップと、上記対数変換処理された上記各画素の上記濃度値に基づ
いて、上記画像データに基づく画像内のエッジを検出す
る第２のステップとを具える画像処理を実行させるため
のプログラムが記録されたことを特徴とする記録媒体。
【請求項６】上記第１のステップでは、上記画像内での上記濃度値の範囲が上記対数変換処理後
も維持されるように上記各画素の上記濃度値を対数変換
処理することを特徴とする請求項５に記載の記録媒体。