JPS6286466A - 曲面作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 Ａ産業上の利用分野 本発明は曲面作成方法に関し、特にコンピュータグラフ
ィックスにおいて、原面を構成する曲面を局所的に新た
な曲面に変形して行くようにしたものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、コンピュータグラフィックスにおける曲面作
成方法において、曲面の一部を局所的に指定して変形さ
せて自由曲面を作成できるようにするにつき、変形対象
曲面上の作用点に基づいて変形データを指定できるよう
にすることにより、オペレータが変形後の曲面を直感的
に容易に把握し得るようにできるものである。

Ｃ従来の技術 従来コンピュータグラフィックスにおいて、３次元の曲
面を生成する方法として、円筒、球などの基本的な曲面
（これをプリミティブ曲面と呼ぶ）のデータを予め用意
しておき、これらのプリミティブ曲面を必要に応じて組
み合わせることによって新しい曲面を作成するような方
法や、新たに作成すべき曲面上の点をコントロールポイ
ントとして指定し、これらのコントロールポイントを通
る曲面をスプライン関数を用いて内挿して行く方法など
が用いられている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 これらの従来の方法は、実際上プリミティブ曲面の外形
形状を基本的な形状として、当該基本的な形状に基づい
て曲面を変換処理することによって所望の曲面を得よう
としており、実用上機械的な物体の外観形状を表現する
場合などに適用する限りにおいては、満足し得る曲面を
作成できると考えられている。

因にスプライン関数を用いて曲面を作成する場合におい
ても、実際には、数多くのコントロールポイントを設定
しなければならないので、当該多数のコントロールポイ
ントを形成するために、プリミティブ曲面を用いたり、
断面図を組み合わせたりすることによって、実用上許容
できる範囲でコントロールポイントの設定をするように
なされており、従ってこの場合も実用上はプリミティブ
曲面を組み合わせた場合と同様の特徴をもっている。

ところが例えば人の顔面を表す曲面のように、柔らかな
印象を与え、かつプリミティブ曲面とは異なる曲面（こ
れを自由曲面と呼ぶ）によって表現しなければ不自然に
なるような曲面を作成しようとする場合には、原理上プ
リミティブ曲面の特徴の影響が強く出る従来の曲面作成
方法を用いることは、実用上不十分である。

また新たな曲面を作成する際には、コンピュータによっ
て処理される画像データによって表示画面上に表示され
た画像と、オペレータがコントロール設定すべきデータ
との相関関係が、直感的に把握し易いものであれば、オ
ペレータが得たいと考えている曲面にほどよく適合した
曲面を容易に得ることができる点から考えて、オペレー
タが設定入力するパラメータと、その結果表示画面上の
曲面に現れる変化とが直感的に把握し易いような対応関
係をもつようにすることが望ましい。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、例えば人
の顔面を形成する曲面のように、プリミティブな曲面で
は表現しきれないような自由曲面を作成するにつき、オ
ペレータが変形後の曲面を一段と直感的に把握し易いよ
うな態様で、表示画面上に表示させることができるよう
にした曲面作成方法を提案しようとするものである。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため、第１の発明においては、
変形対象曲面上に作用点ＣＰｌ”を指定し、この作用点
ｃｐｔ”における変形方向及び大きさを表す変形ベクト
ルｖ正９を指定し、作用点ＣＰｌ″Ｓにおいて変形対象
曲面ＳＯＲに接し、かつ作用点ＣＰｉ　＝を基準とする
座標平面ＳＦＣを形成し、当該座標平面ＳＦＣ上の座標
を用いて作用点ｃｐ、”を含む所定の変形領域ＶＣＦ及
びこの変形領域ＶＣＦ内の各点における変形ベクトルｖ
ｉ１に対する変形率を表すベクトル場関数Ｆえを決め、
変形領域ＶＣＦの各点を変形対象曲面ＳＯＲ上に投影し
た曲面位置について、ベクトル場関数Ｆｉ　と変形ベク
トルｖ！９との積に基づいて変形対象曲面ＳＯＲを変形
するようにする。

また第２の発明においては、変形対象曲面ＳＯＲ上に作
用点ＣＰ！”を指定し、作用点ｃｐ、”における変形方
向及び大きさを表す変形ベクトルＶ、″を指定し、作用
点ＣＰえ′を基準とする座標曲面を変形対象曲面ＳＯＲ
上に形成し、当該座標曲面上の座標を用いて上記作用点
ＣＰｉ“を含む所定の変形領域ＶＣＦ及びこの変形領域
ＶＣＦ内の各点における変形ベクトルＶｉ“に対する変
形率を表すベクトル場関数Ｆｔを決め、ベクトル場関数
Ｆ１を変形ベクトル■、′との積に基づいて変形対象曲
面ＳＯＲを変形するようにする。

Ｆ作用 ベクトル場関数Ｆ□は、変形領域ＶＣＦ内の各点におけ
る相対的な変化率を表すスカラ量として与えられており
、従って変形領域ＶＣＦに含まれている各点について、
曲面の変形量を表す位置ベクトルＶ４　”　＊Ｆ、は、
変形の方向として変形ベクトルｖ！１の方向をもち、か
つ変形の大きさとしてベクトル場関数Ｆｉによって表さ
れる相対的な変形率に対応する大きさをもつ。

第１の発明においては、　変形対象曲面５ＯＲ上に指定
された作用点ＣＰＵ”に変形ベクトルｖ！′が指定され
ると共に、作用点ＣＰｉ“において変形対象曲面ＳＯＲ
に接する座標平面ＳＦＣが形成される。オペレータはこ
の座標平面ＳＦＣを用いて、変形領域ＶＣＦの指定や当
該変形領域内の各点に対する相対的な変形率分布を表す
パラメータをベクトル場関数Ｆ！を指定するデータとし
て入力する。その結果座標平面上の各点を変形対象曲面
ＳＯＲ上に投影した曲面位置について変形対象曲面が変
形処理される。

かくするにつき、オペレータは作用点ＣＰｉ　”に関連
する座標平面ＳＦＣ上の座標を用いてデータを入力し得
ることにより、入力されたデータによって得られる変形
曲面をオペレータが容易に直感的に把握できることにな
る。

また第２の発明においては、変形曲面を得るためのデー
タは、変形対象曲面ＳＯＲ上に形成された座標曲面を用
いて入力される。従ってオペレータが変形後の曲面をさ
らに一段と容易に把握し得るような手法でデータの入力
をなし得る。

Ｇ実施例 以下図面について本発明の一実施例を詳述する。

本発明による曲面作成方法は、第１図に示すように、変
形対象曲面ＳＯＲ上に作用点ＣＰ！　”を表す位置ベク
トルを指定し、当該作用点ＣＰ！“を含む変形領域ＶＣ
Ｆの範囲に限って曲面の変形演算をコンピュータによっ
て実行する。その演算結果は、表示装置ＣＲＴ　（第２
図）上の表示画面ＤＳＰ上に、任意に決めた視点位置か
ら変形後の曲面を見たと同様の変換画面ＳＣＨとして表
示することができる。

かかる変形領域ＶＣＦにおける曲面の変形は、次の漸化
式 ％式％ で表される変換式を用いて漸化的に演算される。

（１）式においてＰｉ′は３次元空間に形成さく９） れる変形後の曲面の各点を表す位置ベクトルで、この位
置ベクトルＰｉ＊は、変形対象曲面ＳＯＲ上にある対応
する点の位置ベクトルＰ□−１″と、当該変形前の位置
ベクトルＰｉ−１”からの変形量Ｖ！　”　＊Ｆｔ　　
（Ｐｉ−＋　”　、ＣＰｔ　”　）　と（７）和で表さ
れる。

この変形量は、ベクトル場関数Ｆｉ　　（Ｐｉ−＋　”
、ＣＰｉ”）に対して変形ベクトル■１９を乗算して得
られる位置ベクトルで表される。

ここで、変形ベクトルｖゑ１は、変形対象曲面ＳＯＲに
おいて作用点ＣＰｌ“が指定されたとき、当該作用点ｃ
ｐｉ”において変形対象曲面ＳＯＲに対して与えるべき
変形の方向及び大きさをベクトル量で表したもので、こ
れにより変形対象曲面ＳＯＲの作用点ｃｒｔ”は変形ベ
クトル■五〇だけ変形対象曲面ＳＯＲから持ち上げられ
るような変形を受けることになる。

またベクトル場関数Ｆｉ　（Ｐｔ−＋　”　、ＣＰｔ　
”）は、作用点ｃｐ、”を含んで決められる変形領域Ｖ
ＣＦ　（その大きさはパラメータを設定入力することに
より指定できる）の各点Ｐ１−１　”に対して、相対的
にどの程度の変形を与えるかを決める相対的な変形率の
分布を表している。この相対的な変形率の分布は、変形
領域ＶＣＦの内部にのみ値をもち、かつ周辺部に行くと
「０になる」、又は「０に収束する」ようなスカラ量の
分布をもつ。

このようにして変形量Ｖｉ”＊Ｆｉ　　（Ｐｉ−＋”、
ＣＰｉ　”　＞は、変形領域ＶＣＦの各点における変形
量を表す位置ベクトルでなり、その方向は変形ベクトル
■ｉ３と平行な方向をもち、かつ大きさは、変形ベクト
ルＶ！“の大きさと、ベクトル場関数Ｆｉによって表さ
れる相対的な変形率の分布との乗算値（スカラ量）をも
つ。かくして変形領域ＶＣＦの曲面の変形は、作用点ｃ
ｐ、’″において変形ベクトルＶｉ′ｓの方向及び大き
さで生じ、この作用点ＣＰｉ　”から周辺部に行くに従
って変形ベクトル■１′″の方向に、かつベクトル場関
数Ｆ□の変形率の変化に対応して変化する大きさで生じ
る。

ここで、ベクトル場関数Ｆ１として例えばガラス分布関
数のように中心点から外側に行くに従って対称的に徐々
に０レベルに収束するような関数が割り当てられた場合
には、変形量Ｖｉ”＊Ｆｉは作用点ＣＰＵ”位置におい
てベクトルＶ、１１の方向の最大値をもち、作用点ＣＰ
！”から外周部に行（に従ってベクトルＶ、１１の方向
をもち、かつ大きさが次第にＯに収束して行くような変
形面が得られることになる。

このようにして１回の変換操作によって変形量Ｖ！　”
　ＩＦ（が求められ、これが変形前の位置ベクトルＰト
１　”と加算されて変形後の位置ベクトルＰ１″が求め
られ、以下同様にして変形操作が行われるたびに（１）
式によって表される漸化式を演算することによって、変
形前の位置ベクトルに基づいて変形面を表す位置ベクト
ルが繰り返し漸化的に演算されて行く。

かかる漸化的な演算がＮ回繰り返された結果、最終的な
変形点ＰＮ＊を表す位置ベクトルは次式％式％ によって表されるように、最初の変形対象曲面５ＯＲ（
これを原画と呼ぶ）の点Ｐ。′を表す位置ベクトルに対
して、Ｎ回の変形演算（ｉ−１〜Ｎ）によって順次得ら
れた変形量の総和（すなわちトータル変形量）を加算し
た位置ベクトルとして求められる。

かくして（２）式によればオペレータは最初の変形対象
曲面ＳＯＲ（すなわち原画）の点Ｐ。″からＮ回の変形
操作を順次行う際に、その都度変形対象曲面ＳＯＲにつ
いて作用点ＣＰｉ　”を指定することによって、変形前
の曲面Ｐ！−１”から変形させたい位置をオペレータの
判断に基づいて任意に指定できる。またベクトル場関数
Ｆ＋及び変形ベクトル■ｔ１を決めるパラメータを指定
し直すことによって、変形領域ＶＣＦの大きさ、変形曲
面の変形率分布、変形の方向を、同様にオベレ一夕の判
断に基づいて任意に設定し直すことができることになる
。

かくしてオペレータは、１回の変形操作を実行するごと
に、変形対象曲面ＳＯＲに対して所望の位置に、所望の
方向に、所望の大きさをもつ変形を加えるような操作を
漸化的に積み重ねることができる。

かくするにつき、（１）式から明らかなように、変形前
の位置ベクトルＰ！−１”から変換後の位置ベクトルＰ
！”を得るにつき、変形前の位置ベクトルＰｉ−１１に
対して変形量Ｖ、”ＩＦ１を単に加算するだけで済むの
で、その演算速度は実用上十分に短くできる（実験によ
れば１秒以下にし得た）。そして変形量Ｖｉ　”　＊Ｆ
ｉを得るための演算については、ベクトル場関数Ｆｌが
周辺部に行くに従ってＯに収束し、又は０になるように
、変形領域ＶＣＦに限定するような関数に選定されてい
ることにより、変形ベクトルＶｌ“との乗算演算を実用
上リアルタイム処理と言い得る程度に＋１分に短い時間
に短縮し得る（実験によれば１／３０秒以内にし得た）
。

従って本発明による曲面作成方法によれば、オペレータ
が変形操作をするごとに、実用上リアルタイムで変換画
像を表示画面上に表示できることになり、これにより繰
り返し行う画像変換操作をコンピュータに対してインタ
ラクティブに実行し得る。

そこで（２）式について上述したように、最初の変形対
象曲面ＳＯＲである原画の位置ベクトルＰｏ′から最終
変形位置ベクトルＰＭ１を得るまでの間に、Ｎ回の変形
操作を積み重ねる間に、オペレータは試行錯誤的に変形
パラメータを入力し直すことによって、前回の変形操作
によって得られた曲面について、その変換の効果を評価
しながら変形操作を続けて行（ことができ、かくして１
回の変形操作が終わるごとに、次に変形すべき操作とし
て、曲面の「どの位置について」、「どのような広さに
おいて」、「どのような方向に」、「どのような大きさ
」の変形をすれば良いかを考えながら、パラメータの設
定をすることができ、かくして最終的に得たいと考えて
いる曲面に最も近い自由曲面を容易に得ることができる
。

この変形操作時の新たな作用点ＣＰｌ”、ベクトル場関
数Ｆｉ及び変形ベクトルＶｉ１の指定は、次のようにし
て行われる。

第１実施例の場合、前回の変形操作によって形成された
変形対象曲面ＳＯＲは、第３図に示すように、位置ベク
トルＰｉ、′によって表される。

新たな作用点ｃｐｉ’″は、変形対象曲面ＳＯＲ上に選
定され、この作用点ｃｐ、”位置に変形ベクトル■盪１
が設定される。

ここで作用点ＣＰａ”において、変形ベクトルｖ１９に
直交する接平面でなるｘｙ直交座標平面ＳＦＣが形成さ
れ、Ｘ軸及びｙ軸方向の単位ペクトルビ及びに＊が、Ｚ
軸上にある変形ベクトルｖ正１の単位ベクトルｎ１に基
づいて決められる。

ここで、変形ベクトルｖｉ８は次式 ％式％（３） で表されるように、単位ベクトルｎ′ｋに対してスカラ
ー量Ｖを乗算した式によって表される。

このようにして形成された座標平面ＳＦＣの座標（ｘ、
Ｙ）を用いて、　ベクトル場関数Ｆ、（Ｐｉ−＋　”　
、ＣＰｉ”　）を設定すれば、当該ベクトル場関数によ
って座標平面ＳＦＣ上に指定した変形領域ＶＣＦについ
て、変形率の分布を決めることができる。

座標平面ＳＦＣ上の座標（ｘ、ｙ）は、ｘ−ｊ”　、（
Ｐｔ−＋　”　　ＣＰｉ　”　）””・・（４）Ｙ＝ｋ
”　、（Ｐｔ−＋　”　　ＣＰｔ　”）・・・・・・（
５）のように、それぞれ変形対象曲面ＳＯＲを表す位置
ベクトルＰｉ−１０と、新たな作用点ＣＰｉ”との差の
ベクトルと、単位ベクトルｊ“及びｋ“との内積によっ
て求めることができるような関係にある。

そして単位ベクトルｊ″′、ｋｇ、ｎ”は、次式Ｎ”　
、ｋ”　、ｎ”　）＝　ｒｕ）（Ｒ）（Ｉ７） −〔Ｒ〕　　・・・・・・　（６） で表されるように、単位行列（ｕ）に３次元回転行列（
Ｒ）を乗算した関係にある。また３次元回転行列（Ｒ）
は、次式 で表されるように、差のベクトル（Ｐ＋−＋”　　ＣＦ
４　”　）をＸ軸の周りを角度γだけ回転させることに
よってＸＺ平面上のベクトルを得た後（（７）式の右辺
第３項）、このベクトルをｙ軸の周りに角度δだけ回転
させることにより変形ペクトＪしｙ、＋にの方向を求め
ることができる（（７）式の右辺第２項）。

かくして単位ベクトルｎ”の作用点ＣＰ（’″からの方
向を決めることができ、これと直交する単位ベクトルｊ
１及びに＊が形成される。そこでこの単位ペクトルビ及
びｋ”を２軸の周りに角度θだけ回転させることにより
、接平面ＳＦＣのＸ及びｙ軸方向に単位ペクトルビ及び
に９を合わせることができる（（７）式の右辺第１項）
。

このようにすれば実際上オペレータは、パラメータにつ
いてのデータとして、変形対象曲面５ＯＲ上の位置ベク
トルＰｉ−１”から作用点ＣＰ４１１までのベクトルに
ついてのデータを入力した後、角度Ｔ、δ、θのデータ
を入力すれば、作用点ＣＰｉ０に接する座標平面ＳＦＣ
を設定し得ることになる。

従ってこの座標平面ＳＦＣ上の変形領域ＶＣＦのパラメ
ータを入力すると共に、作用点ＣＰｉ”における変形ベ
クトルＶｉ４のスカラー量Ｖについてのデータを入力す
れば、（１）式の第２項の式で表される変形量Ｖｉ”　
＊Ｆｉ　　（Ｐｉ−＋　”　、ＣＰ１′）を指定し得た
ことになる。

その結果変形対象曲面ＳＯＲに生ずる変形は、座標平面
ＳＦＣ上に形成された変形領域ＶＣＦの各座標点を、変
形対象曲面ＳＯＲ上に投影した各点において、変形領域
ＶＣＦについて形成された変形率の分布に相当する変形
量だけ単位ベクトルｎ＊の方向に変形が生ずることにな
る。

このように第３図の方法によれば、座標平面ＳＦＣにつ
いて、ベクトル場関数Ｆ□の設定をなし得るようになさ
れているので、変形対象曲面５ＯＲをどの程度変形させ
ることができるかを直接的に予測できるようなパラメー
タの設定をすることができ、かくしてオペレータが曲面
の変形を直感的に把握し易いような自由曲面作成装置を
実現し得る。

実際上、座標平面ＳＦＣ上の各位置を指定するにつき、
円を単位に指定できるようにベクトル場関数Ｆｉを選定
すれば、設定すべきパラメータとしては、作用点ＣＰｉ
”からの距離だけで良いことになり、このことは、１次
元のパラメータを設定するだけで済むことを意味してい
る。

これに対して一般的には、ｘｙ平面上にある座標平面Ｓ
ＦＣの各位置を指定するためには、Ｘ及びｙ方向の２次
元のデータを入力する必要がある。

なお第３図においては、座標平面ＳＦＣとして接平面を
用いた場合について述べたが、これに代え、変形ベクト
ルＶ％の方向を変更することにより、変形対象曲面ＳＯ
Ｒに対する座標平面ＳＦＣの角度を必要に応じた大きさ
だけ傾けるようにしても、座標平面ＳＦＣ上において指
定した位置についてベクトル場関数を形成することがで
きる。

第３図の方法によって変形量についてのパラメータを入
力する場合、第４図に示すように作用点ＣＰ盈”を表側
の曲面５ＯＲＩ上に指定して座標平面ＳＦＣを形成して
、この座標平面上に形成された変形ベクトルｖｉ′及び
ベクトル場関数ＦＡによる変形分布率Ｖｉ　”　＊Ｆ、
に基づいて表面側の変形対象曲面５ＯＲＩを変形させる
ようなデータを入力することができる。

しかしこのとき、座標平面ＳＦＣ上のベクトル場関数Ｆ
１を、変形対象曲面ＳＯＲ上に投影する際に、この投影
方向に裏側の変形対象曲面５ＯＲ２があれば、これも同
じように、ベクトル場関数ｙ、ｍ　本Ｆｉによって変形
されるといった望ましくない変形が生ずる結果になる。

このような裏側の変形対象曲面５ＯＲ２に対する変形を
防止するには、最初の変形対象曲面ＳＯＲすなわち原画
上のテクスチャ座標系を用いて、第４図のように互いに
重なり合うおそれがある曲面部分については、ベクトル
場間数Ｆ１の影響が及ばないように予め制限するような
条件を設定しておけば良い。このようにすれば、第４図
の問題点を容易に解決することができる。

第５図は本発明の他の実施例を示す。第３図の場合は、
作用点ＣＰ＋３に接する座標平面ＳＦＣ上に設定したベ
クトル場間数Ｆｌに基づいて決まる変形領域及び変形率
分布を、変形対象曲面ＳＯＲ上に投影することによって
、変形対象曲面ＳＯＲ上の対応する点の指定及びその変
形量の指定を行うようにした。これに対して第５図の場
合は作用点ｃｐ、”を通って変形対象曲面ＳＯＲ上に延
長する座標軸Ｕ及びＶでなる座標曲面ＳＦＤを設定し、
この座標軸Ｕ及びＶによって指定される変形対象曲面Ｓ
ＯＲ上の各位置について、ベクトル場関数Ｆ１を設定す
るようにする。

ここで座標軸Ｕ及びＶは、作用点ＣＰｌ”位置で互いに
直交するようになされ、かくして座標軸Ｕ及びＶの座標
を指定することによって、作用点ｃｐ、”を基準にして
変形対象曲面ＳＯＲ上の各点を指定できるようになされ
ている。

このようにすれば、オペレータが変形しようとする変形
対象曲面ＳＯＲに対して直接的に変形領域ＶＣＦ及びベ
クトル場関数Ｆｉを指定することができるので、オペレ
ータがさらに一段と容易に、直感的に変形結果を予測し
ながら変形操作を行うことができることになる。

そしてこの場合も、Ｕ及びＶ座標軸を利用して作用点Ｃ
ＰＵ”から一定の距離（変形対象曲面ＳＯＲの表面に沿
って測った距離）をもつ点を指定することによって、ベ
クトル場関数Ｆｉを指定できるようにベクトル場関数Ｆ
！を選定しておけば、１次元的なパラメータの設定によ
って変形すべき点を指定することができ、それ以外の場
合は、Ｕ軸及びｖ軸の値を２次元的なパラメータとして
指定することによって変形すべき点を簡易な操作によっ
て指定することができる。

これに加えて第５図の方法によれば、第３図の場合のよ
うに座標平面上の変形データを変形対象曲面ＳＯＲ上に
投影するような処理を必要としないので、第４図につい
て上述したように表側の変形対象曲面５ＯＲ１ヘデータ
を投影したために裏側の変形対象曲面５ＯＲ２にまで影
響が生ずるようなおそれがなく、従ってその対策を講す
る必要がない分会体としての構成を簡易化し得る。

上述の曲面作成方法において、例えば人の顔面について
の曲面を作成する実施例においては、上述の（１）式及
び（２）式のベクトル場関数Ｆ犬としてガウス分布関数
を用いると共に、変形領域ＶＣＦとして円又は楕円形状
を選定し得る。

例えば第３図について上述した第１の実施例の場合、座
標平面ＳＦＣ上の座標（ｘ、ｙ）の点についての変形位
置ベクトルＰｉ”　（ｘ、ｙ）及びＰＨ１（Ｘ％　ｙ）
は、（１）式及び（２）式にそれぞれ対応させて（８）
式及び（９）式に示すようになる。

Ｐ　ｉ　”　　（Ｘ％　ｙ）　＝　Ｐ　ｔ−＋　”　　
（Ｘ−＝　３’）α五 ｐ！ ＰＭ　”　　（ｘｌ　ｙ）＝Ｐ６　”　　（ｘｌ　ｙ）
式 ％式％（１０） で表されるように、ｘｙ平面上の作用点（ｘｉ、Ｙｉ）
を中心として、Ｘ方向及びｙ方向の半径がα遍及びβ、
の楕円について、第６図に示すように、Ｘ方向及びｙ方
向にガウス分布関数を呈することになる。

このようにするとき、オペレータは、ベクトル場関数Ｆ
１について、作用点ＣＰｔ”のパラメータを座標（Ｘ！
、Ｙりに設定し、また変形領域ＶＣＦのパラメータとし
てＸ方向及びｙ方向の直径α、及びβ盈を設定すると共
に、変形ベクトルｖ五′１のパラメータを設定する。

かくしてオペレータは、作用点ＣＰｚ”（Ｘｔ、Ｙｚ）
を中心として、半径α髪及びβゑの円又は楕円の変形領
域ＶＣＦについて、作用点ＣＰｉ　”（Ｘｉ、Ｙｉ）に
立てられた変形ベクトルｖ！８の方向に、当該変形ベク
トル■！”を中心にして周辺部に行くに従ってガウス分
布曲線を描（ように変形率がＯに滑らかに収束して行く
ような変形曲面を得ることができる。

従って変形後の位置ベクトルＰム”　（ｘ、ｙ）又はＰ
Ｍ”（Ｘ％ｙ）で表される曲面は、変形対象曲面のうち
作用点ＣＰｉ”を中心とした局所的な領域について、変
形ベクトルｖＩ＊の方向にガウス分布関数で示されるよ
うな滑らかな自由曲面を呈するような曲面になる。

か（して人の顔面のように柔らかさをもった自由曲面に
ついて、これに適応して不自然さを生じさせないような
曲面を作成することができる。

以上の説明は、第６図に示すベクトル場関数を、第３図
の座標平面ＳＦＣに適用した場合について述べたが、こ
れと同様にして、第５図の座標曲面ＳＦＤに適用し得、
この場合パラメータの指定を座標軸Ｕ及びＶによって決
まる座標を用いて行うようにすれば良い。

第１図ないし第５図について上述した曲面作成方法は、
第７図に示すような構成の曲面作成装置によって実現し
得る。なお、この場合ベクトル場関数Ｆ！は、楕円の変
形領域について、ガウス分布関数で表される変形率分布
をもつように設定されている。

第７図において、１はコンピュータ構成の曲面演算装置
で、（８）式及び（９）式に基づく演算の結果得られる
位置情報が、曲面表示コントロール装置２によって映像
信号に変換した後、陰極線管構成の表示装置３に表示さ
れる。

曲面演算袋Ｗ１には、（８）式及び（９）式の演算に必
要なパラメータを入力するための入力操作子として、マ
ウス４、レバー５．６．７、トラックボール８が設けら
れている。

マウス４はｘｙ平面上の作用点ＣＰｉ”を設定するため
のパラメータＸ＋　、Ｙｉを入力し、これにより、（８
）式及び（９）式において、作用点ＣＰ！”（Ｘｉ、Ｙ
え）を指定する。

またレバー５及び６は、変形領域ＶＣＦの大きさを決め
るためのパラメータを入力するもので、（８）式及び（
９）式におけるＸ方向及びｙ方向の半径α１及びβ盈を
設定し得る。

さらにレバー７は、変形ベクトルｖ直”を設定するもの
で、作用点ｃｒｔ、”（Ｘ□、Ｙｌ）に立てられた変形
ベクトルＶ１１の方向及び高さについてのパラメータを
設定し得る。

さらにトラックボール８は、曲面に対する視点位置を設
定するもので、トラックボール８によつて設定した視点
位置から見た曲面が表示装置３に表示される。

マウス４、及びレバー５〜７による設定が済むと、曲面
演算装置１は（８）式及び（９）式の演算を実行する。

その演算結果は、トラックボール８から入力される視点
位置情報によって回転変換された後、曲面表示コントロ
ール装置２を介して表示装置３に表示される。かくして
表示装置３の表示画面上には、マウス４によって設定さ
れた作用点ＣＰａ　”　　（Ｘｉ　、Ｙｉ　）を中心に
して、レバー５及び６によって設定された変形領域ＶＣ
Ｆについて、レバー７によって設定された変形ベクトル
ｖｉ″の方向及び高さに応じた量だけ中央部分が高（盛
り上がり、その周辺部に行くに従って次第にＯに収束し
て行（ような変形を受けた曲面が表示されることになる
。

かかる変形操作は、曲面演算袋？ｆｌがそのＣＰＵによ
って第８図の処理手順を実行することにより得られる。

すなわち曲面演算装置１のＣＰＵは、ステップＳＰｌに
おいて当該処理手順をスタートした後、ステップＳＰ２
において最初の変形対象曲面ＳＯＲすなわち原画を表す
位置ベクトルＰ。′を、曲面演算装置１に設けられてい
る曲面データメモリ１２（第９図（Ａ））に設定する。

続いてＣＰＵは、次のステップＳＰ３に移って、オペレ
ータによって設定されたパラメータを取り込む。このと
きオペレータは、マウス４によって作用点データＸＬ、
Ｙ！を入力し、レバー５及び６によって半径データαＬ
及びβ五を入力し、レバー７によって変形ベクトルＶ％
を入力する。

曲面演算装置１のＣＰＵは、次のステップＳＰ４におい
てオペレータによってトラックボール８から入力される
視点位置データを取り込んだ後、ステップＳＰ５に移る
。

このステップＳＰ５は（８）式について上述した演算を
実行する。ここで変形前の位置ベクトルＰｉ−＋　”　
　（Ｘ、　ｙ）は曲面データメモリ１２に設定されてい
るものを用い、また各パラメータαえ、βｉ　、Ｘｉ　
％　Ｙｔ　、Ｖ４　”はステップＳＰ３において設定さ
れたものを用いる。

続いて曲面演算装置１は、ステップＳＰ６において、ス
テップＳＰ５で演算された変形後の位置ベクトルＰ！′
によって表される曲面を曲面表示コントロール装置２を
介して表示装置３に表示させる。

この状態において、曲面演算装置１のＣＰＵは曲面Ｐｉ
′の表示を継続させることにより、次のステップＳＰ７
においてオペレータが表示装置３の表示を見ながら変形
の程度がオペレータの要求に適応したものであるか否か
を確認させる。その後ＣＰＵは、次のステップＳＰ８に
移ってオペレータが確認信号を入力したか否かの判断を
する。

ここで否定結果が得られると、曲面演算装置１のＣＰＵ
は上述のステップＳＰ３に戻って新たなパラメータの設
定を待ち受ける状態に戻る。

このときオペレータは、ステップＳＰ３、ＳＦ３におい
て、新たなパラメータの設定をし直すことによりステッ
プＳＰ５、ＳＦ３において変形演算式の演算をし直した
後表示装置３に表示させ、ステップＳＰ８において、再
度オペレータに対して変形が要求通りであるか否かの判
断をさせる。

かくして曲面演算装置１のＣＰＵは、ステップ５Ｐ３−
３Ｐ４−３Ｐ５−３Ｐ６−３Ｐ７−３Ｐ８−３Ｐ３のル
ープＬＯＯＰＩによって、オペレータが自分の要求に合
う変形ができるまで繰り返し作用点ＣＰ！”の位置、変
形領域ＶＣＦの大きさ、変形ベクトル■１８の方向及び
高さを設定し直すことができる。

やがてオペレータが自分の設定操作に満足して設定終了
信号を曲面演算装置１に入力すると、曲面演算装Ｗ１の
ＣＰＵは、次のステップＳＰ９に移って設定されたデー
タα正、βｉ　、Ｘｓ　、Ｙｔ、■、″を曲面演算装置
１内に設けられたコマンドリストメモリ（第９図（Ｂ）
）１１の第１回目の設定操作に対応するパラメータメモ
リエリアＮ−１に、α１、β＋　、Ｘｓ　、ＹＩ、Ｖｒ
　’″として格納した後、ステップ５ＰＩＯに移って操
作回数ｌに「＋１」加算して（ｉ＝２）、ステップ５ｐ
ｉ１に移る。

このステップ５ＰＩＩは、オペレータが変形操作を終了
したか否かを確認するステップで、オペレータからの操
作終了指令が入力されていないとき、曲面演算装置１の
ＣＰＵは、ステップ５Ｐ１１において否定結果を得るこ
とにより上述のステップＳＰ３に戻って、オペレータに
よる第２回目の変形操作（ｉ＝２）を待ち受ける状態に
なる。

この状態において、オペレータは新たな曲面作成意図の
下に、第１回目の曲面の変形操作によって作成した曲面
に対して、第２回目の曲面の変形操作をし得る。かくし
て、第１回目の変形操作によって変形した作用点ＣＰ、
”とは異なる作用点ｃｒｔ”について、オペレータは再
度、自分の要求に合う変形操作を実行し得る。

すなわち曲面演算装置１は、オペレータがステップＳＰ
３、ＳＦ３においてパラメータの設定をすると、続くス
テップＳＰ５、ＳＦ３において（８）式について位置ベ
クトルＰｇ”（ｘＳｙ）の演算を実行した後当該曲面を
表示装置３に表示させる。この変形操作は、ステップＳ
ＰｉＳＰ４−３Ｐ５−３Ｐ６−３Ｐ７−３Ｐ８−３Ｐ３
のループＬＯＯＰ１によってオペレータが満足するまで
繰り返される。

やがてステップＳＰ８においてオペレータによる変形操
作の終了が確認されると、曲面演算装置１はステップＳ
Ｐ９において新たに入力されたパラメータデータα２、
βｚ　、Ｘ＊　、Ｙｚ　、Ｖｚ　”をコマンドリストメ
モリ１１の第２回目の設定操作に対応するパラメータメ
モリエリアＮ＝２に格納した後、ステップ５ＰＩＯにお
いて操作回数ｉに「＋１」加算して（ｉ−３）、ステッ
プ５Ｐ１１に移る。

以下同様にして曲面演算装置１のＣＰＵは、オペレータ
が新たな変形操作をするごとに上述の変形処理ループＬ
ＯＯＰ　１の処理を実行した後、当該設定されたパラメ
ータデータをコマンドリストメモリ１１に格納すると共
に、変形演算の結果得られた位置ベクトルＰ８″を曲面
データメモリに格納、更新して行く。従って曲面データ
メモリ１２には、Ｎ回の変形操作によって生じたトータ
ル変形量の変形を受けた曲面ＰＭ”　　（ｘ、ｙ）（（
９）式）が得られる。

やがてオペレータがすべての変形処理を終了すると、曲
面演算装置１のＣＰＵはステップ５Ｐ１１から５Ｐ１２
に移って当該プログラムを終了する。

従って第７図の曲面作成装置によれば、オペレータは１
回の変形操作をする際に、マウス４、レバー５．６．７
、トラックボール８を操作しながら曲面作成装置１に変
換パラメータを入力することにより、曲面の変形処理を
実行させることができる。かくするにつき、（１）式及
び（２）式、又は（８）式及び（９）式について上述し
たように、変形演算に必要な演算時間はたかだか１秒程
度で済むので、実質上オペレータが変形操作をすると直
ちにその変換結果が表示装置３の表示画面上に表示でき
ることにより、オペレータが変形前の曲面のうちの一部
を必要に応じて選択して所望の形に変形させるようなパ
ラメータを設定入力することができ、かくして全体とし
てインターラフティグに所望の曲面を部分的に手直しを
加えながら作成して行くことができる。

また第７図の曲面作成装置は、第９図（Ｂ）に示すよう
なコマンドリストメモリ１１を有することにより、曲面
データメモリ１２に記憶している最も新しい変形位置ベ
クトルＰ□（（９）式）から、１つ前の変形処理におい
て用いたパラメータを読み出して当該１つ前の変形操作
によって加えられた変形量を演算して曲面データメモリ
のデータから減算演算することによって、当該１つ前の
変形操作を実行する前の曲面を再現させることができる
。かくするにつき、データメモリとしては、１フレ一ム
分の画面データメモリ１２をもっていれば良いので、曲
面作成装置全体としての構成が簡易で済む。

なお上述の実施例においては、（８）式及び（９）式の
ベクトル場関数Ｆ１　としてガウス分布関数を用いた実
施例について述べたが（（１０）式）、ベクトル場関数
Ｆｉとしては、これに限らず以下に述べるような種々の
関数を用いることができる。

そしてこのような種々のベクトル場関数Ｆ！を選択でき
るような曲面作成装置を構成すれば、第８図について上
述した変形処理ループＬＯＯＰ１において各変形ループ
における変形演算式（ステップ５Ｐ５）を順次切り換え
て行くようにしてお（ことにより、曲面の変形を、種々
の特性をもった変形曲面を組み合わせながら実行して行
くことにより、オペレータの要求に最適に適応できるよ
うな曲面を作成することができる。

因に、変形曲面を必要に応じて切り換えて行くことは、
あたかも、刃先の形が異なる彫刻刀を順次変換しながら
、面を彫刻して行くのと同様の効果を生じさせることが
できる。

第１０図はｘｙ平面における変形領域ＶＣＦが円又は楕
円でなる筒体の外表面を表すベクトル場関数Ｆ、を用い
た場合で、ベクトル場関数Ｆ、は、Ｆ１＝１　　　　　
　　　　　　　　　　　　・・・・・・　（１２）とな
り、また のとき Ｆ１＝０　　　　　　　　　　　・・・・・・（１４）
となる。

第１０図に示すようなベクトル場関数Ｆｉを用いれば、
変形領域ＶＣＦの中央部において最大値をもち、かつ周
辺部において一挙に０になるような変形率の分布を呈し
ながら、円柱面に近僚の形状をもつ変形曲面を得ること
ができ、従って、変形領域を細かく区切りながら変形操
作を重ねて行くことにより、所望の曲面を作成すること
ができる。

第１１図はｘｙ平面上の変形領域ＶＣＦが長方形でなる
ベクトル場関数Ｆ１を用いた場合の実施例で、この場合
ベクトル場関数Ｆｉは、Ｘ軸及びｙ軸方向について、 −ａ：！ａｘ≦ａ　　　　　　　　　・・・・・・（１
５）−ｂ≦ｙ≦ｂ　　　　　　　　　・・・・・・（１
６）のとき Ｆ五＝１　　　　　　　　　　　・・・・・・（１７）
となる。これに対して変形領域ＶＣＦ以外の領域につい
ては、 −ａ≦Ｘ≦ａ　　　　　　　　　・・・・・・（１８）
ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ　　　　　　　　・・・・・・（１９
）のとき Ｆ、＝０　　　　　　　　　　　・・・・・・（２０）
となり、また ｘ＜−ａＳｘ＞ａ　　　　　　　　−・＝　（２１）−
ｂ≦ｙ≦ｂ　　　　　　　　　・・・・・・（２２）の
とき ｉ”ｉ−０・・・・・・（２３） となり、さらに ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ　　　　　　　　　・・・・・・（２
４）ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ　　　　　　　　・・・・・・（
２５）のとき Ｆ！＝０　　　　　　　　　　　・・・・・・（２６）
となる。

このようなベクトル場関数Ｆｉを用いれば、変形前の曲
面を局所的に四角柱の表面形状とするような角柱状の変
形曲面によって変形して行（ことができる。

第１２図はベクトル場関数Ｆ４として、ｘｙ平面上の形
状が円又は楕円の錐体の表面を表す関数を用いた場合の
実施例で、ベクトル場関数Ｆｉは、のとき ・・・・・・（２８） になり、また のとき ＦＡ＝０　　　　　　　　　　　・・・・・・（３０）
となる。

これにより変形前の曲面を、（２７）式で表される変形
領域ＶＣＦの範囲に限って、（２８）式で表される錘体
の表面の形状を有する変形曲面によって変形させて行く
ことができる。従ってこの場合の変形率の分布は、変形
領域ＶＣＦの中央部において最大で、周辺部に行くに従
ってＯに収束することになる。

第１３図はベクトル場関数Ｆ、として、ｘｙ平面上の形
状が四辺形の変形領域ＶＣＦに対して立てた錐体の外表
面を表す関数を用いた場合の実施例で、この場合ベクト
ル場間数Ｆｉは、−ａ≦Ｘ≦ａ　　　　　　　　　・・
・・・・（３１）−ｂ≦ｙ≦ｂ　　　　　　　　　・・
・・・・（３２）のとき ・・・・・・（３３） で表されるベクトル場関数Ｆｌを用いる。これに対して
変形領域ＶＣＦ以外の領域については、−ａ≦Ｘ≦ａ　
　　　　　　　　・・・・・・（３４）ｙ＜−ｂ、ｙ＞
ｂ　　　　　　　　・・・・・・（３５）のとき Ｆ、＝０　　　　　　　　　　　・・・・・・（３６）
となり、また ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ　　　　　　　　・・・・・・（３７
）−ｂ≦ｙ≦ｂ　　　　　　　　　・・・・・・（３８
）のとき Ｆ、＝０　　　　　　　　　　　・・・・・・（３９）
となり、さらに ｚ　＜　−ａ　Ｓｘ　＞　ａ　　　　　　　　　・＝　
−（４０）ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ　　　　　　　　・・・・
・・（４１）のとき Ｆ（＝０　　　　　　　　　　　・・・・・・（４２）
になる。

かくしてこの実施例の場合は、変形前の曲面に対して、
角錐の外表面の形状を有する変形曲面を用いて曲面の変
形をなし得る。

第１４図はベクトル場関数Ｆｉ　として、ｘｙ平面上の
形状が円又は楕円である球面を表す関数を用いた場合の
実施例で、この場合ベクトル場関数Ｆｉは、 で表される変形領域ＶＣＦについて、 ・・・・・・（４４） になる。

これに対してその他の領域については、のとき Ｆ！−０・・・・・・（４６） となる。

かくして変形前の曲面に対して、球面の外形形状をもつ
変形曲面を使って比較的柔らかい変形を加えて行くこと
ができる。

第１５図は、ベクトル場関数Ｆムとしてｘｙ平面上の変
形領域ＶＣＦの形状が四辺形のプリズム形柱体の外表面
を表す関数を用いた場合の実施例で、この場合ベクトル
場関数Ｆｉは、 −ａ≦Ｘ≦ａ　　　　　　　　　・・・・・・（４７）
−ｂ≦ｙ≦ｂ　　　　　　　　　・・・・・・（４８）
のとき になる。これに対してそれ以外の領域についてベクトル
場関数Ｆ１は、 −ａ≦Ｘ≦ａ　　　　　　　　　・・・・・・（５０）
ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ　　　　　　　　・・・・・・（５１
）のとき Ｆｉ−０・・・・・・（５２） になり、また 一ｘ＜−ａ、、ｘ＞ａ　　　　　　　　・・・・・・（
５３）−ｂ≦ｙ≦ｂ　　　　　　　　　・・・・・・（
５４）のとき Ｆ！＝０　　　　　　　　　　　・・・・・・（５５）
となり、さらに ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ　　　　　　　　・・・・・・（５６
）ｙ＜−ｂＳｙ＞ｂ　　　　　　　　・・・・・・（５
７）のとき Ｆ！＝Ｏ・・・・・・（５８） となる。

このようにすれば、変形前の曲面に対してブリズム形柱
体の外表面の形状で、ｙ軸方向に稜線をもつような方向
性をもった変形曲面を用いて曲面の変形をすることがで
きる。

第１６図は、第１５図に対してベクトル場関数Ｆｉを構
成する曲面の形を稜線の延長方向を９０゜回転させてＸ
軸方向に延長するように変更した場合の実施例で、この
場合ベクトル場関数Ｆｉは、−ａ≦Ｘ≦ａ　　　　　　
　　　・・・・・・（５９）−ｂ≦ｙ≦ｂ　　　　　　
　　　・・・・・・（６０）のとき となるのに対して、それ以外の領域については、−ａ：
５ｘ≦ａ　　　　　　　　　・・・・・・（６２）ｙ＜
−ｂ、ｙ＞ｂ　　　　　　　　・・・・・・（６３）の
とき Ｆ４＝ｏ　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・（
６４）となり、また ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ　　　　　　　　・・・・・・（６５
）−ｂ≦ｙ≦ｂ　　　　　　　　　・・・・・・（６６
）のとき Ｆｔ＝０　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・
　（６７）となり、さらに ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ　　　　　　　　　・・・・・・（６
８）ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ　　　　　　　　・・・・・・（
６９）のとき Ｆｉ＝０　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・（
７０）となる。

このようにしても第１５図について上述したと同様の効
果を得ることができる。

Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、変形対象曲面ＳＯＲ上の
作用点ＣＰ□′を指定し、この作用点ＣＰム１を基準に
して変形ベクトルｖ！１及びベクトル場関数Ｆｉを指定
することによって、ベクトル場関数Ｆ！によって指定さ
れた変形領域に限って部分的に変形演算をすることによ
り、実質上リアルタイムで変形曲面を発生することがで
きる。

かくするにつき特に本発明によれば、　作用点ＣＰｉ′
の位置、変形領域ＶＣＦの形及び大きさ、変形ベクトル
■ｉ′の方向、大きさを変形対象曲面ＳＯＲを基準にし
て決まる座標を用いていれば変形対象曲面ＳＯＲ上で設
定できるようにしたことにより、オペレータが変形後の
曲面を容易に直感的に予測できるようなパラメータの設
定入力操作をなし得、かくして自由曲面を作成するにつ
き、一段と使い易い曲面作成装置を容易に実現し得る。

【図面の簡単な説明】

第１図ないし第３図は、本発明による曲面作成方法の第
１実施例の説明に供する路線図、第４図はその動作態様
の説明に供する路線図、第５図は第２実施例の説明に供
する路線図、第６図はベクトル場関数Ｆｌの説明に供す
る路線図、第７図は本発明の曲面作成方法を実施する曲
面作成装置を示すブロック図、第８図はその処理手順を
示すフローチャート、第９図は第７図の曲面演算装置１
に設けられている曲面データメモリ及びコマンドリスト
メモリを示す路線図、第１０図〜第１６図は、ベクトル
場間数Ｆ１のその他の例を示す路線図である。 １・・・・・・曲面演算装置、２・・・・・・曲面表示
コントロール装置、３・・・・・・表示装置、４・・・
・・・マウス、５〜７・・・・・・レバー、８・・・・
・・トラックボール。

Claims (2)

【特許請求の範囲】
1. （１）（ａ）変形対象曲面上に作用点を指定し、（ｂ）
   上記作用点における変形方向及び大きさを表す変形ベク
   トルを指定し、 （ｃ）上記作用点において上記変形対象曲面に接しかつ
   上記作用点を基準とする座標平面を形成し、当該座標平
   面上の座標を用いて上記作用点を含む所定の変形領域及
   びこの変形領域内の各点における上記変形ベクトルに対
   する相対的な変形率を表すベクトル場関数を決め、 （ｄ）上記変形領域の各点を上記変形対象曲面上に投影
   した曲面位置について、上記ベクトル場関数と上記変形
   ベクトルとの積に基づいて上記変形対象曲面を変形する ことを特徴とする曲面作成方法。
2. （２）（ａ）変形対象曲面上に作用点を指定し、（ｂ）
   上記作用点における変形方向及び大きさを表す変形ベク
   トルを指定し、 （ｃ）上記作用点を基準とする座標曲面を上記変形対象
   曲面上に形成し、当該座標曲面上の座標を用いて上記作
   用点を含む所定の変形領域及びこの変形領域内の各点に
   おける上記変形ベクトルに対する相対的な変形率を表す
   ベクトル場関数を決め、（ｄ）上記ベクトル場関数と上
   記変形ベクトルとの積に基づいて上記変形対象曲面を変
   形することを特徴とする曲面作成方法。