JPS6286434A - 除算方式 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 （産業上の利用分野） 本発明は除算方式に関し、更に詳細には、浮動小数点演
算形式の乗算回路及びη−術演算回路を備えた除算装置
における収束型除算方式に関する。

（従来の技術） コンピュータによる除算方式として収束型除算方式があ
る。この方式は乗算的除算方式に分類され、乗算と論理
が共有できかつ高速化が可能であるので大形コンピュー
タにおいても採用されている。その原理は簡単に述べる
と、被除数と除数を小数の分子と分母とみなし、分数の
分母が１に近づく１で分子と分母に同じ収束係数を乗じ
ていき、最終的な分子を、求める商とするものである。

この方式は例えばカイ　ワンプ（Ｋａｊ　Ｗａｎｇ）著
、堀越彌他訳「コンピータの高速演算方式」近代科学社
（＋８和５５年９月１日）ｐ、２５１〜２５４　Ｋ示さ
れている。

一ヒ記文献に示されている従来の収束型除算方式につい
て第３図の演算ブロック図を用いて説明する。ここでは
、正規化されている正の数Ｎ。とり。

とをそれぞれ被除数及び除数として除数値Ｑｘを求める
ものとする。Ｎｏ、Ｄｏは例えば２進数表現では０．５
≦Ｎｏ＜１．ｏ５≦Ｄｏく１となる。ＱＸ　＋Ｎｏ、Ｄ
ｏの関係は式（１）で表される。

Ｑｘ　＝　Ｎｏ／Ｄｏ・（１） 先ず、収束係数の初期値Ｒ６を次の式（２）より求める
（ステップΦｐ）。

Ｒ＝１−Ｄ。

Ｏ・・・（２） 次に、初期値Ｒ６を用いて被除数Ｎ。と除数り。の第１
回目の更新を行なう（ステップ■、Ｏ）。こことで被除
数及び除数の更新の基本式をそれぞれ（３）式及び（４
）式に示す。なお、Ｎ、は第１回目の更新の被除数、Ｄ
ｉは第ｉ回目の更新の除数、Ｒｉけ第ｉ回目の更新の収
束係数、ｉ＝ｏ　、　Ｉ　、・・・とする。

ＮＨ−Ｒ４十　Ｎ１　→Ｎ１＋１　　　　　　　　　　
　　　　　　・・・（３）Ｄｉ”Ｒｊ　＋Ｄｆ→ＤＮ＋
　　　　　　　　・・・（４）今ｉ　＝　Ｏであるので
、第１回目の更新の被除数Ｎ１及び除数Ｄ１が（３）式
及び（４）式に基づいて求められる。すなわちＮ。−Ｒ
ｏ十Ｎ。よりＮ１が、Ｄｏ−Ｒｏ十ＤｏよりＤｌがそれ
ぞれ積和演算により求められる。

次に、収束係数の第１回目の更新を行なう（ステップ［
相］）。ここで収束係数の更新の基本式を（５）式に示
す。

１　−　　Ｉ）ｊ＋＋　　→Ｒｉ＋ｉ　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　°−（５）第１回目の更新の
被除数Ｎ１．除数Ｄ１．収束係数Ｒ１が求すると、これ
らの値を用いて（３）　、　（４）　、　（５）の各式
に基づき第２回目の更新の被除数Ｎ２　＋除数Ｄ２．収
束係数Ｒ２を求める（ステップ■→［相］→Ｏ→［相］
→■）。そしてこのような被除数及び除数の更新演算と
収束係数の更新演算を、除数の更新値Ｄｉ＋１が該積和
演算に用いる乗算装置の精度内でＤｉ＋１→１となるま
ですなわち〔（１）式の分母更新値〕→１となるまで続
け（ステップ＠→＠→Ｏ−＋［相］→■のルーチン）、
Ｄｉ−ｔ−１→１となったときの〔（１）式の分子更新
値〕を商とすることにより除算を完了させていた（ステ
ップ＠）。

（発明が解決しようとする問題点） しかしながら、以上述べた従来の収束型除算方式では、
除数の更新値Ｄｉ＋１が定数１に等しいか否かの判定を
行なう場合に、演算装置の精度が有限であるため、Ｄｉ
＋１　””　１＋ΔＱ（ΔＱは判定誤差）に基づいて判
定を行なっていた。ところが判定誤差ΔＱは入力データ
によって異なシ、更新演算回数ｉが一定しないという問
題点があった。また、最終的に求める商は、被除数の更
新値に相当するのに対して、更新演算が被除数、除数及
び収束係数という３種類もあり、演算ステップが増大し
、演算時間が増えるという欠点があった。

従って、本発明は以上述べた従来の収束型除算方式にお
ける演算回数が一定しないという問題点と、演算ステッ
プ数が多いという欠点を除去し、入力のデータ幅から定
まる最小限の演算ステップ数で除算を行なう収束型除算
方式を提供することを目的とする。

（問題点を解決するだめの手段） 本発明は、浮動小数点表示のデータの乗算を行なう乗算
回路と、浮動小数点表示のデータの加減算を行なう算術
演算回路とを備え、浮動小数点表示された除数（ＢＯ）
及び被除数（ＡＯ）を用いて除算を行なう除算装置にお
ける除算方式に係るもので、前記従来技術の問題点を解
決するために、次の４つのステップを具備するように構
成した。

第１のステップでは、被除数（ＡＯ）の指数部から除数
（ＢＯ）の指数部を減算して、被除数（ＡＯ）の指数部
のみを更新した被除数（Ａｏ′）を求めるとともに、除
数（Ｂｏ）の指数部のみをリセット更新した除数（ＢＯ
’）を求める。

第２のステップでは、該指数部のみを更新した被除数（
ＡＯ’）Ｋ定数（例えば４／３）を乗算して更新被除数
（Ａ、１／　）を求め、該指数部のみを更新した除数（
ｇｏ’）ＶＣ定数（例えば４／３）を乗算した後、さら
に他の定数（例えば１）から減算を行なったもの（１，
−−ＨＢ。′）を収束係数の初期値（ＸＯ）とする。

第３のステップでは、除数（ＢＯ）まだは被除数（ＡＯ
）の仮数部のデータ語長に基づいて、次の第４のステッ
プで実行される更新演算の回数（ｍ）を求める。

第４のステップでは、前記第２のステップで更新した被
除数（Ａｏ／ｌ　）に対してｍ回の更新演算が逐次節さ
れ、最終的に得られた更新被除数（Ａｍ＝Ａｒｎ−４’
５ｍ−１＋Ａｍ−＋　）を商とする。コノ第４のステッ
プで行なわれるｍ回の更新演算のうち、第１回目の更新
演算は、前記第２のステップで更新した被除数（ＡＯ”
）と収束係数の初期値（Ｓｏ）との乗算による積（Ａｏ
″Ｓｏ）と、該更新被除数（ＡＯ”）とを加算した和（
Ａｏ″Ｓｏ＋Ａｏ″）を第１回目の更新被除数（Ａ１）
とする。

第２回目以降は、例えば、第１番目の更新演算では、直
前回の更新演算より求めた更新被除数（Ａｉ−ｉ）と直
前回の収束係数（Ｓｉ−＋）を自乗した収束係数（５ｉ
−１＝ｓｉ−２）との乗算による（　Ａ１−＋・Ｓｌ−
＋　）と、直前回の更新演算より求めた更新被除数（Ａ
ｉ−１）とを加算した和（Ａｉ−＋・５ｉ−１十Ａ４−
＋）を新たな更新被除数（Ａｔ）として求める。

（作用） 第１のステップの処理により、指数部の処理を終了させ
ているので、以後は、浮動小数点データでの計算処理で
はあるが、従来の固定小数点処理が仮数部処理に適用で
きる。

第２のステップでは、被除数と除数の仮数部値域を原点
対称と々るように変数変換を行なっておシ、収束演算回
数が必要最低限におさえられる。

第３のステップでは、第２ステツプで更新された被除数
に対して逐次行なわれる更新演算の回数が求められるが
、この回数が除数または被除数の仮数部データ語長より
求めることができるので、従来方式のように、除数の更
新演算を逐次行なってその都度それが定数１に等しいか
どうかの判定をすることが不要になるとともに除数の更
新値を求める手順自体が省略できるようになる。

第４のステップでは、第２ステツプで更新された被除数
に対して、第３のステップにより求めた回数だけの更新
演算を行なうだけで、求めるべき商が得られることによ
り、演算ステップ数を低減できるとともに演算時間の短
縮が可能となる。

（実施例） 以下本発明の実施例の除算方式を第１図及び第２図を参
照して説明する。第１図は基本的演算内容を示すブロッ
ク図であり、第２図は本実施例の演算で使用される浮動
小数点表示のデータ形式を示す図である。

ここでは、浮動小数点表示で正規化されているｒ　（１ データＡ。とＢ。をそれぞれ被除数及び除数として除算
値Ｑ２を求めるものとする。但しＢ。〉０とする。ＡＯ
＋　Ｂｏ　＋　ＱＩＮの関係は式（６）で表される。

ＱＦ　−Ａｏ　／　Ｂｏ　　　　　　　　　　　　−（
６）本実施例の除算演算の原理は収束型アルコゞリズム
に基づくものであり、先ずその基本的演算内容の概要に
ついて述べる。本実施例の除算演算では最初に指数部の
処理を行なう。すなわち、被除数Ａｏの指数部から除数
Ｂ。の指数部を減算して被除数Ａ。の指数部のみを更新
した更新値Ａ。′を求め、該減算後、除数Ｂ。の指数部
のみをリセット更新た更新値Ｂ。′を求める。その後、
更新された除数と被除数の仮数部に対する値域の変換を
一次式で行ない（Ａｏ／／　、　Ｂｏ／／　）、以後の
収束演算の収束回数を早める。該変換処理を受けだ除数
Ｂ。′の逆数漸近値を乗算する係数として被除数Ａ。′
に逐次乗算し、被除数の更新演算を所定回数繰返し、最
終の被除数の更新値を商とする。ここで、実行される更
新演算の回数は、除数Ｂ。′に」二組乗算する係数をそ
の回数外逐次乗算すると、乗算結果→１となるように設
定するものである。

」二組更新演算の必要最低限の回数の求め方を以下に述
べる。まず、式（６）の演算に対して、次の無限乗積に
よる変換公式（式（７））を適用することを考える。

この式（７）を式（６）にそのまま適用すると、となる
が、除数Ｂ。の仮数部をす。とすると、０．５　＜　ｂ
。＜　１　　　　　　　　　　（９）であるため、変数
Ｘの値域は、Ｂｏ′の指数部がゼロであるから、 ｏ　（ｘ　＜　０．５　　　　　　　　　　０１となっ
てしまい、ゼロ点非対称となり、式（７）の収束性が良
くない状態となる。このだめ、変数Ｂ。′を一次式によ
る変換でゼロ点対称の値域をもつ変数Ｓへ変換すること
を考える。

Ｓ＝１−、Ｂｏ’ とおくと、Ｂｏ′の範囲が０．５　＜　Ｂ。′〈１であ
るため、 となり、このＳを用いれば、（６）式は、となって、式
（７）の変換公式の適用が最も収束速度の早い状態で行
なえることとなる。

一方、仮数部データ語長は、第２図に示すように、Ｍｂ
ｉｔという有限値であるため、Ｍｂｉｔの幅で弐〇のの
括弧の乗算を有限の回数行なえば、Ｊ＋　Ｉ　ｔで表現
できる限界値になる。そこで式０■の無限乗積を逐次展
開し、第ｍ回までの乗算値をＱｍとすると、弐α→は、
次の有限級数で近似できる。

このため、式０りの無限乗積と弐〇３の有限級数との差
であるΔＱｍを ΔＱｍ−ＩＱＦ　　Ｑｍ　ｌ　　　　　　　　　　（Ｊ
４とすると、式（１Φの最大値ΔＱｍ（ＭＡＸ）が何回
までの乗算でＭｂｉｔの範囲外となるかを求めれば良い
。

ΔＱｍ（ＭＡＸ）は、ｌＡｏ’ｌ→１．Ｘ→１／３の時
に生じ、他方、Ｍｌ）Ｉ　ｔの幅で表わせる２進数の数
値限界を２”−１１１とすると、ΔＱｍ（ＭＡＸ）は、
となるので、Ｍｂ　ｉ　ｔの語長精度に対してｐは、ｐ
≧（Ｍｌ２　）　（ｌｏｇ３２　）＋１　　　　　０４
となり、式（１３のｔが、の下限値（Ｍｌ　２Ｘ／−ｏ
ｇ３２）→−１に等しくなる項数ｍが求める値となる。

従って、２′１″−１，＝（Ｍｌ２）　（Ａｏｇ３２）
＋１　　　　　αのより、 ｍ　＝　Ａｏｇ２（（Ｍｌ２）（ｌｏｇ３２）＋２）　
　　　　　　（ＩＱとなり、例えば、仮数部がｓｋｌ＋
ｔ（符号）　＋　１５１）Ｉｔ（データ）のデータ形式
では、Ｍ＝１５よりｍ−３゜７≠４ステツプと々る。

また、式０→は収束級数であるため、Ｘが０に近い場合
、ｍ回以下の収束係数の乗算で収束するが、収束後も係
数乗算を行なってもＭｂｉｔの範囲外であ新演算の演算
回数ｍが入力データの仮数部データ語長Ｍｂｔｈｔから
決定できる。

次に、本実施例による除算演算の具体的手順を第１図に
基づき述べる。

先ず、前述したように指数部の処理を行々い、被除数Ａ
。の指数部のみを更新した被除数Ａ。′と、ヒ 除数Ｂ。の指数部のみを更新（す該ノド）シた除数Ｂｏ
′　とを求める４（ステップ■）。

次に、該更新除数Ｂ。′を用いて、収束係数の初期値Ｘ
。を次の（１◆式から求める（ステップ■）。

乗算ｉ〜て値域の変換を行なった被除数Ａ。′とする（
ステップ■）。

該Ｓ。を用いて、更新被除数Ａ。′の更新を次の（イ）
式の積和演算（乗算及び加算）により行なう（ステップ
■）。

ＡＯ”　ＳＯ十Ａ。−Ａ１ｅ；！ｆＪ）次に、収束係数
Ｓ。の更新演算をＱＩ）式の乗算により行なう（ステッ
プ■）。

５ｏ−８１ｅ１） ＩＪ下、この被除数の更新演算と収束係数の更新演算を
ｍ回行なう（ステップ■→■→■）。このｍの値は、」
二連した方法で得だものを用いる。すると、最終回、即
ち、第ｍ回目の積和演算Ａｍ−１・ｓｍ　Ｉ　Ａｍ−１
＝　Ａｍ　　　　　　　　　ｅＡの演算結果Ａｍが求め
る商となって除算が完了する。

以」二、述べた例では、式（６）の条件として、除数Ｂ
ｏが正に限定されているが、該除数Ｂ。が負の場■ 合には、除数及被除数の両者を極性反転してから、上記
と同様の演算処理を行なえば良く、何ｌら問題とならな
い。

さらに、剰余の取扱いは、除算完了後、次の式（イ）に
基づく乗算九算の演算を行なって求めれば良い。

被除数Ａ。−除数Ｂ。×商−剰余　　　　　（ハ）（発
明の効果） 本発明によれば、除数または被除数の仮数部のデータ語
長と有限語長の演算精度の点から必要最小限の更新演算
の回数を求めるようにしたので、従来の収束型除算方式
で必要とされていた除数の更新演算が省略できるように
なり、演算ステップ数の大幅な低減及び演算時間のより
一層の短縮により除算処理の高速化が可能となる利点が
ある。

また本発明の除算方式を適用した除算装置では乗算回路
及び算術演算回路を用いるだけで除算が実行できるので
、特別な除算専用の演算部を設ける必要がなく、装置の
小型化、経済化を図れる利点がある。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の実施例の主要な演算内容を示すブロッ
ク図、第２図は上記実施例の演算で使用される浮動小数
点表示のデータ形式を示す図、第３図は従来方式の演算
内容を示すブロック図である。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 浮動小数点表示のデータの乗算を行なう乗算回路と、浮
   動小数点表示のデータの加減算を行なう算術演算回路と
   を備え、浮動小数点表示された除数及び被除数を用いて
   除算を行なう除算装置における除算方式において、 前記被除数の指数部から前記除数の指数部を減算して前
   記被除数の指数部のみを更新した被除数を求めるととも
   に、前記除数の指数部のみをリセット更新した除数を求
   める第１のステップと、前記指数部のみを更新した被除
   数に定数を乗算して更新被除数を求め、前記指数部のみ
   をリセット更新した除数に定数を乗算した後、さらに他
   の定数から減算を行なったものを収束係数の初期値とす
   る第２のステップと、 前記除数または被除数の仮数部データ語長に基づいて、
   前記第２のステップで更新した被除数に対して施す更新
   演算の回数を求める第３のステップと、 第１回目の更新演算は、前記第２のステップで更新した
   被除数と前記第２のステップで求めた収束係数の初期値
   との乗算による積と、前記第２のステップで更新した被
   除数とを加算した和を第１回目の更新被除数として求め
   ることにより行ない、第２回目以降の更新演算は、直前
   回の更新演算より求めた更新被除数と直前回の収束係数
   を自乗した更新収束係数との乗算による積と、直前回の
   更新演算より求めた更新被除数とを加算した和を新たな
   更新被除数として求めることにより行ない、上記更新演
   算を前記第３のステップで求めた回数だけ逐次行ない、
   最終的に得られた更新被除数を商とする第４のステップ
   と、 を具備することを特徴とする除算方式。