Installation pour la transmission d'impulsions électriques. L'objet de la présente invention est une installation pour la transmission d'impulsions électriques, comportant une ligne de trans mission et une ligne artificielle, cette dernière comprenant une résistance en série, approxi mativement égale à la composante de résis tance de l'impédance de la ligne de trans mission, cette dernière comprenant des élé ments de résistance et de réaction calculés et combinés de façon à compléter ladite ré sistance en série de manière que l'impédance de la ligne artificielle entière soit pour une grande série de fréquences, y comprises les basses fréquences, sensiblement la même que celle . de la ligne de transmission aux fré quences correspondantes.
Plusieurs formes d'exécution de l'objet de l'invention sont représentées, à titre d'exem ples et schématiquement dans le dessin annexé.
Les lignes artificielles reproduisant des lignes de transmission pourront être utilisées avantageusement dans les installations télé phoniques et les formes d'exécution de l'objet de l'invention qui sont décrites plus bas sont construites principalement pour l'application dans de telles installations.
La transmission de courants alternatifs par une ligne de transmission quelconque entre des impédances extrêmes déterminées ne dépend que de la constante de propaga tion et de l'impédance caractéristique de la ligne (pour une fréquence déterminée). Dans ce cas, on peut classer les propriétés des lignes de transmission en caractéristiques de propagation et en caractéristiques d'impé dance. Dans la téléphonie il s'agit principale ment de la dépendance de ces caractéristiques de la fréquence dans les limites des fréquences téléphoniques.
Avant- l'emploi des répétiteurs dans les lignes téléphoniques les caractéristiques de propagation de ces lignes étaient plus impor tantes que leurs caractéristiques d'impédance, parce que l'énergie reçue dépendait en un plus haut degré des caractéristiques mention nées en premier lieu que de celles d'impé dance. L'application des répétiteurs à deux chemins a totalement renversé l'importance de ces deux caractéristiques; la nécessité d'une haute efficacité de transmission d'une ligne a été diminuée et, au contraire la dépendance des résultats obtenus de l'impédance de la ligne est devenue beaucoup plus importante.
Ceci résulte, comme il est bien connu, du fait que l'amplification produite par un répétiteur à deux chemins sans sifflement ou même sans détérioration sérieuse de l'intelligibilité de la transmission, dépend exactement de la com pensation des impédances entre les lignes ou entre les lignes et leurs lignes artificielles de compensation. Au cas de l'emploi d'un répé titeur du type 21 à deux chemins et à un élément, il est nécessaire que les deux lignes aient des impédances qui se balancent par faitement pour toutes les fréquences télépho niques.
Au cas de l'emploi d'un répétiteur du type 22 à deux chemins et à deux éléments qui pour des longues lignes demandant plus qu'un seul répétiteur est supérieur au répé titeur du type 21, on a besoin de lignes artificielles pour équilibrer aussi parfaitement que possible les impédances de deux lignes entre les limites des fréquences téléphoniques. De telles lignes artificielles sont aussi em ployées en combinaison avec le circuit répé titeur dit à quatre fils.
Des lignes dont les constantes électriques sont égales sur toute la longueur de la ligne sont fondamentales pour la transmission télé phonique. Ces lignes seront appelés ci-après lignes homogènes. Chaque ligne téléphonique est ou une ligne homogène simple, ou une ligne homogène combinée ou une ligne chargée et divisée en sections, dont les sections sont elles-mêmes de courtes lignes homogènes. E, ii tout cas, les impédances des lignes indivi duelles constituent une partie importante de l'impédance du système. De plus, l'impédance caractéristique d'une ligne chargée et divisée en sections est exactement la même, pour des fréquences basses par rapport à sa fré quence critique, que celle d'une ligne homogène.
L'impédance d'une ligne quelconque peut être reproduite aussi exactement qu'on le désire au moyen d'une ligne artificielle com posée de courtes sections dont chacune pré sente des bobines d'induction, des condensa teurs et des éléments de résistance, mais de telles constructions sont très coûteuses et difficiles. Les lignes artificielles qui seront décrites plus bas sont, par contre, très simples, non divisées en sections, très compactes et relativement peu coûteuses. II a été trouvé que les plus parfaites de ces lignes permettent de reproduire avec une haute précision l'im pédance de la plupart de types de lignes homogènes, tandis que les constructions les plus simples et, par conséquent, les moins précises peuvent être utilisées dans beaucoup de cas.
La fig. 1 représente des courbes compa rant la ,,résistance relative x Il et la "réac- tance relative ,y" (ces termes seront expli qués plus bas) avec la fréquence f. Ces courbes sont employées, comme il sera expliqué ci-après, pour calculer des lignes artificielles destinées à être utilisées dans l'installation.
Dans cette figure
EMI0002.0012
a <SEP> <U>dispersion <SEP> X <SEP> inductance</U>
<tb> résistance <SEP> X <SEP> capacité d'une ligne artificielle; a est employé comme paramètre ; La fig. 2 représente des courbes compa rant x avec la fréquence, en employant un paramètre b.
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_ <SEP> <U>dispersion</U>
<tb> 2 <SEP> r <SEP> X <SEP> capacité La fig. 21, représente des courbes compa rant y avec la fréquence de la même manière que x est composé dans la fig. 2; La fig. 3 montre un mode de représenta tion de l'impédance caractéristique d'une ligne et montre les variations des valeurs M et N respectivement de la .,résistance excédante\i et de la "réactance excédante" avec la fré quence.
(Ces termes seront expliqués plus loin) ; La fig. 4 montre titi autre mode de repré sentation de l'impédance caractéristique d'une ligne, en choisissant différents paramètres; dans cette figure, 2s et v sont respectivement les composantes réelles et imaginaires de l'impédance relative en question; Les fig. 51, et 6a sont des schémas d'un élément de la ligne artificielle ;
Les fig. 5b et 6b sont respectivement des schémas de deux différentes formes d'exécu tion d'un dispositif supplémentaire de repro- ductiort qui est appelé ci-après dispositif supplémentaire;
Les fig. 5 et 6 sont des schémas de lignes artificielles entières comprenant les éléments des fig. 5a et ab, respectivement 6a et 6b; La fig. 5d est le diagramme d'une ligne reproduite par la ligne artificielle de la fis. 5 ; Les fig. 7a et 7b représentent respective ment des schémas de deux autres formes d'exécution du dispositif supplémentaires;
La fig. 8 montre un autre mode pour in diquer l'impédance caractérisque d'une ligne en employant d'autres paramètres qui seront décrits plus bas<B>;</B> La fig. 9 montre une courbe dérivée de la fig. 8 et expliquée ci-après, La fig. 101, montre la forme que prennent les dispositifs des fig. 7a et 7b pour la valeur zéro d'un paramètre D qui sera défini ci-après;
La fig. 10b montre la forme que prennent les dispositifs des fig. 71, et 7b pour la valeur un de D; Les fig. 111, à 11d montrent différentes lignes artificielles entières; La fig. 12a montre la forme que prennent les lignes artificielles suivant les fig. 111, à 11d pour la valeur zéro de D;
La fig. 12b montre la forme que prennent lesdites lignes artificielles pour la valeur un de D; La fig. 12 montrent un équivalent de la ligne artificielle suivant la fig. 12b; Les fig. 131, et 13b montrent deux autres formes d'exécution de lignes artificielles; celle de la fig. 13a étant destinée pour les basses fréquences;
Les fig. 14a à 15d montrent d'autres formes d'exécution de lignes artificielles. <I>Considérations</I> générales <I>se rapportant</I> aux <I>lignes homogènes.</I>
La formule exacte et usuelle pour l'impé dance caractéristique K d'une ligne homogène quelconque est la suivante:
EMI0003.0061
Par R,<I>G, L</I> et C on désigne usuellement les constantes fondamentales de la ligne (des constantes en ce qui concerne les variations du courant et du voltage), c'est-à-dire la résistance, la dispersion, l'inductance et la capacité, par unité de longueur.
Par m on désigne le double de la fréquence<I>f</I> et par<I>i</I> l'expression
EMI0003.0063
Mais il est à remarquer que cette formule n'est pas la plus simple, car elle renferme les quatre quantités<I>R, G, L</I> et C et elle est par conséquent fonction de quatre variables, tandis qu'il est évident que la valeur de g dépend seulement de la valeur relative de ces quantités; par conséquent, elle pourra être exprimée seulement comme fonction de trois variables indépendantes, c'est-à-dire par le quotient de trois de ces variables à la quatrième.
Pour décider de la formule ou expression qu'on veut employer pour g, on peut se baser sur les considérations pratiques suivantes: (9.) Dans la téléphonie il est nécessaire en premier lieu de déterminer comment K varie avec la fréquence f, ou, en général; les variations d'une quantité qui est approxima tivement proportionnelle à K avec celle d'une quantité qui est approximativement propor tionnelle à f.
La classe des lignes homogènes se trouve comprise entre les deux groupes extrêmes suivants qui possèdent des caractéristiques très différentes (B) L'un de ces groupes extrêmes est représenté par les lignes aériennes à grand diamètre, spécialement lorsqu'elles sont utili sées pour de hautes fréquences. Pour ces lignes R est petit par rapport à L, et G par rapport à C Par conséquent K égale approxi mativement
EMI0003.0071
(C) L'autre groupe extrême est représenté par les lignes de câbles avec conducteurs à petit diamètre, spécialement lorsqu'elles sont utilisées pour de basses fréquences. Dans ces lignes, R est grand par rapport à L, et G est petit par rapport à C.
Par conséquent K égale approximativement
EMI0004.0003
(D) Les constantes R, L, C ne changent pas beaucoup avec la fréquence, au moins dans les limites des fréquences de la voix; par conséquent ces quantités ou des combi naisons de ces quantités peuvent être em ployées comme paramètres.
(E) La dispersion G, qui est presque toujours la moins importante des quatre constantes d'une ligne, varie ordinairement beaucoup avec la fréquence et, par conséquent, cette quantité ne peut pas être employée comme paramètre. Mais entre des limites très étendues d'applications G est approximative ment proportionnelle à la fréquence; dans ce cas, on petit prendre pour paramètre G/f ou, de préférence G/C Cette expression est juste pour les câbles à l'exception de fréquences extrêmement basses.
Elle est au moins approxi mativement juste pour des lignes aériennes à des fréquences très hautes, par exemple fréquences fondamentales ou porteuses, mais elle n'est pas juste ordinairement pour ces lignes à des fréquences de la voix. Pour la plupart des lignes la dispersion G est à l'ordinaire approximativeanent une fonction linéaire de la fréquence, c'est-à-dire G = Go <B><I>+y</I></B><I> f,</I> où Go est la dispersion pour /'== 0 et où r est approximativement indépendant de la fréquence. Pour des câbles Go est petit par rapport à<I>r f,</I> à l'exception de valeurs très basses de f; mais pour des lignes aériennes Go ne peut pas être négligé ordi nairement, à l'exception de très hautes va leurs de f.
Un examen de l'équation (1) en regard de ces considérations indique l'emploi des quantités F, E, 1c, <I>g, a</I> et b définies par les six équations suivantes.
On n'emploiera pas simultanément toutes ces équations; mais il sera utile de les enregistrer dans le tableau suivant: F <I>=</I> c) L/R <I>(2)</I> ., - (,) C/R (3)
EMI0004.0022
<I>a =</I> GL/RC <I>(6)</I> <I>b =</I> G/W <I>C (7)</I> A l'ordinaire on supposera que F ou E soit la variable indépendante;<I>k,</I> g, <I>a</I> et<I>b</I> sont les paramètres.
Il est à remarquer que les approximations mentionnées dans les cinq paragraphes (A) à (E) précédents sont employées seulement comme guides pour la sélection des variables et paramètres définis par les équations (2) à (7) et pour le choix des formes adoptées ci après pour la formule de l'impédance carac téristique. Tant qu'on n'indiquera expressé ment le contraire, les formules adoptées pour l'impédance caractéristique sont rigoureuse ment exactes, quoique les variables F et E ne sont jamais exactement proportionnelles à la fréquence et les paramètre<I>7c,</I> g, <I>a</I> et<I>b</I> ne sont jamais exactement indépendants de la fréquence.
Si les variables indépendantes étaient exactement proportionnelles à la fré quence et si les paramètres étaient exacte ment indépendants de la fréquence, les dia grammes d'après les formules représenteraient, par un simple changement des échelles, exactement l'impédance comme une fonction explicite de la fréquence.
En regardant spëcialement les paragraphes (B) et (C) il sera utile de diviser les expli cations qui suivent, concernant les lignes homogènes, en deux parties, se rapportant respectivement aux lignes aériennes et aux câbles. Or) donnera alors dans chacune de ces parties les formules pour l'impédance dans les deux foi-mes respectives pour les cas ou la dispersion est approximativement proportionnelle à la fréquence et approxima tivement indépendante de la fréquence, cor respondant au paragraphe (E).
Quoique la classification des lignes homo gènes en lignes aériennes et en câbles est utile, il n'y a pas évidemment une distinc tion très nette entre les lignes du type des il'nes aériennes et du type des lignes de câbles, parce que la distinction dépend beau coup plus des paramètres de ligne et de la fréquence que de la forme physique de la ligne. car pour des fréquences suffisamment Hautes une ligne quelconque possède les ca ractéristiques d'une ligne aérienne et pour des fréquences suffisamment basses les carac téristiques d'une ligne du type des lignes de câbles.
En regard de l'importance relative des constantes fondamentales d'une ligne (R, <I>G, L; C)</I> si les limites des fréquences sont celles de la voix, on peut dire que pour les lignes aériennes L et C ont une importance à peu prés égale, R une importance secon daire et G une importance tertiaire. D'autre part, pour les lignes à câbles R et C ont une importance à peu prés égale, L une im- pol-tance secondaire et G une importance tertiaire. Pour illustrer ces remarques, on fait remarquer que des lignes chargées de manière homogène (à moins d'une ligne chargée très faiblement) ont la caractéristique des lignes aériennes. Il en est de même pour les basses fréquences dans les câbles chargés et divisés en sections.
Avant de traiter des lignes aériennes et des câbles il est désirable d'indiquer briève ment la nature générale de l'effet produit par la dispersion sur l'impédance.
L'effet ,général <I>de la</I> dispersion.
Dans les câbles téléphoniques ordinaires la dispersion est si petite que à l'exception de fréquences très basses, l'impédance de ces câbles est exactement la même que dans le cas extrême, c'est-à-dire où il n'y a pas de dispersion. Ce cas extrême peut donc être pris comme une bonne approximation aux cas actuels. Dans les lignes aériennes la disper sion peut être beaucoup plus grande que dans les câbles, mais normalement elle est assez petite, de manière que ses effets sur l'impé dance sont très peu considérables, à l'excep tion des fréquences très basses. Par consé quent la valeur extrême zéro de la dispersion est une bonne approximation pour le calcul de l'impédance caractéristique.
En temps humide et particulièrement dans des climats et régions humides la dispersion dans les lignes aériennes devient assez grande pour influencer sensiblement l'impédance, même entre les limites de fréquence de la voix, tandis qu'elle l'influence beaucoup aux fré quences très basses.
La nature générale de l'effet produit par une valeur quelconque de la dispersion G sur l'impédance caractéristique K se comprend sans autre par un simple examen de l'équa tion (1) en ce qui concerne la valeur absolue et l'angle de l'impédance. Si G augmente, en partant d'une valeur initiale quelconque, la valeur absolue de l'impédance diminue, tandis que l'angle augmente (algébriquement).
Pour G = 0 l'angle est négatif et sa valeur est
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<I>arc</I> tg si G augmente, cet' angle
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négatif est diminué jusqu'à ce que G ait atteint la valeur RCIL, si l'angle est zéro et si la valeur de l'impédance égale
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ou, par conséquent,
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Si G augmente au delà de la valeur R CIL vers des valeurs infinies, l'angle de l'impédance devient positif et augmente continuement jusqu'à la limite
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<I>arc tg
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</I> tandis que la valeur absolue de l'impédance va en diminuant continue- ment vers sa limite zéro.
Ces explications sont valables pour toutes les fréquences quoique les effets de la dis persion sont à l'ordinaire les plus prononcés aux fréquences basses. En vérité pour la fréquence zéro l'impédance caractéristique d'une ligne, qui possède une dispersion limitée mais faible, est
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pour des fréquences aussi basses L est petit par rapport à R et C est petit par rapport à G, et l'impédance g est à peu près
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et, par conséquent, g égale approximative ment
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Il est évident que toute cette série de valeurs de G, en partant de zéro jusqu'aux valeurs infinies, ne peut pas être appliquée aux lignes actuelles.
Au contraire, la disper sion, même dans les lignes aériennes, atteint rarement une valeur telle que celle RC/L et, par conséquent, l'angle est rarement positif. Dans les câbles l'angle est probablement toujours négatif et se trouve au moins approxi mativement à sa limite
EMI0006.0002
ar-c tg
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excepté que la fréquence est basse. L'irr?,I)édajace <I>des</I> lignes aériennes.
Il a été expliqué que l'impPdance carac téristique d'une ligne aérienne ordinaire dé pend en premier lieu de l'inductance et de la capacité, et en second lieu de la résistance et beaucoup moins de la dérivation et que par conséquent, l'impédance est approxima tivement égale à
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Pour décrire les lignes aériennes, on choisit entre les quantités déterminées par les équations (2) à (7) de préférence et le plus avantageusement les quantités T, <I>k, b</I> et a.. F est convenable comme variante indé pendante, approximativement proportionnelle à la fréquence. k est propre à être employé comme paramètre.
Comme autre paramètre qui évidemment doit renfermer la dispersion, on choisit b respectivement a suivant que la dispersion Cr est approximativement propor tionnelle à la fréquence ou approximativement indépendante de la fréquence. Les formes correspondantes de l'équation pour l'impé dance caractéristique K sont alors
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La quantité
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qui figure dans les équations (8) et (9) comme un simple facteur est quand même importante parce qu'elle représente la valeur de, laquelle l'impédance se rapproche si la fréquence est augmentée à l'infini, pourvu que Glf, <I>oh f</I> est la fré quence, se rapproche de zéro.
Ladite quantité 7c représente aussi la valeur que l'impédance aurait pour toutes les fréquences si, sans changer L et C, on pouvait supprimer la dispersion de la ligne. Pour des lignes aériennes ordinaires et pour les fréquences de la voix (li/cU <I>L</I> petit ou très petit par rap port à l'unité) l'expression
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est au moins une approximation grossière de la va leur de l'impédance.
Cette limite
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sera appelée ci-après "l'impédance nominale" ou plus complètement l'impédance carac téristique nominale". <B>(A'</B> la rigueur k varie légèrement avec la fréquence à cause des variations de L et même de C:
) La quantité K-k de laquelle l'impédance caractéristique Ii surpasse l'impédance carac téristique nominale k sera appelée "impédance excédantes- et, par conséquent, ses deux com posantes ,,résistance excédante" et "réactance excédantell ou plus complètement "impédance caractéristique excédantell, "résistance carac téristique excédante" et "réactance caractéris tique excédante". Les deux dernières ont res pectivement les valeurs 111-k- et<I>N,</I> parce quo k est réel, JI et N indiquant les com posantes de résistance et de réactance de K.
Le terme "impédance excédante" sera utile particulièrement dans la description des ligues artificielles reproduisant l'impédance de lignes lisses.
Le rapport Zc/k de l'impédance caracté ristique K à l'impédance nominale k sera appelé l'"impédance relative" et sera désigné par<I>Z =</I> x + i <I>y ;</I> X <I>=</I> MIk sera appelé la "résistance relative" et<I>y =</I> IV/7c la "réac- tance relative". Cette quantité complexe égale approximativement l'unité pour la plupart des fréquences de la voix et elle se rapproche de l'unité si T augmente infiniment.
Sa valeur exacte, écrite en conformité de l'équation (8), est
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Ses composantes sont
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Orr emploiera dans toute la description sui vante l'expression<I>a g z</I> pour<I>arc fg
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</I> dans laquelle z <I>=</I> .z# -@- <I>i</I> t@. Par conséquent
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Dans une forme correspondante à l'équation (9), nous avons
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De cette manière, z qui est proportionnel à l'impédance caractéristique K (à l'exception du fait que le facteur de proportion k n'est pas exactement indépendant de la fréquence)
dépend seulement des deux quantités F <I>et b,</I> ou F et a et peut par conséquent être repré senté facilement par des tableaux ou des diagrammes.
Si les valeurs de z ont été disposées sous forme d'un tableau ou d'un diagramme, la valeur de K pour chaque cas déterminé <I>(R, G, L</I> et C étant déterminés) s'obtient facilement en appliquant à ce tableau ou au diagramme les valeurs des expressions I' <I>=</I> m LIR et<I>b =</I> Glw <I>C de</I> l'équation (8) ou les expressions F <I>=</I> w LIR et<I>a =</I> GL/RC de l'équation (9) et en multipliant la valeur de z qu'on a trouvé par
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(Dans une représentation graphique, cette opération consisterait simplement.
dans un changement des échelles si les paramètres employés étaient exactement indépendants de la fréquence). Ainsi la fonction
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représente d'une manière simple et facilement compréhensible les propriétés de l'impédance caractéristique de toutes les lignes homogènes quoiqu'elle est plus propre à représenter les lignes aériennes que les câbles.
Les deux composantes x et y de z sont représentées comme fonction de P par les courbes des fig. 1, 2 et 2a avec les paramètres b respectivement a.
Lorsqu'il n'y a pas de dispersion (G==O et, par conséquent,<I>b = 0 et a = 0),</I> les équa tions (10) et (11) se réduisent à la même forme toutes les deux, c'est-à-dire
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Les composantes et l'angle sont donnés par les équations suivantes:
EMI0007.0031
L'expression
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peut aussi être écrite dans la forme suivante:
EMI0007.0033
qui montre que x - 1 est toujours moindre que - y, et beaucoup moindre excepté pour de petites valeurs de F, <I>où</I> x <I>-1</I> s'approche de - y si F s'approche de zéro. .
La formule donnée ci-après pour l'impé dance relative z au moyen de l'équation (12) est assez importante parce qu'elle est relative ment simple et donne quand même une approxi mation très bonne pour l'impédance de la plupart des lignes actuelles, à l'exception des fréquences très basses parce que les effets de la dispersion normale sont très petits pourvu que les fréquences ne soient pas très basses.
En supposant que la dispersion est zéro, les formules pour x et<I>y</I> sont représentées par les diagrammes de la fig. 1 (b = 0) et des fig. 2 et 2a (a = 0). S'il n'y avait pas de résistance dans les fils (R=0), x serait égal à l'unité et y serait zéro.
Par conséquent l'effet de la résistance des fils dans une ligne non sujette à la dispersion doit être augmenté par rapport à sa limite par x -1, la "résis tance excédante relative" et on introduit une valeur négative pour y, la "réactance excé- dante relative" qui égale la "réactance rela tive".
Les quantités x - 1 et - y augmentent si F diminue, l'augmentation étant lente pour de hautes valeurs de T; mais elle est de plus en plus rapide à mesure que F di minue. x <I>- 1</I> est toujours moindre que<I>- y</I> et beaucoup moindre pourvu que les valeurs de F ne soient pas basses; x - 1 s'approche de - y si F s'approche de zéro.
Les expli cations données en regard de x et de<I>y</I> sont justes aussi pour l'effet de la résistance des fils sur la résistance caractéristique et la réactance caractéristique, comme ces dernières sont (approximativement) proportionnelles à x et y respectivement, le facteur de proportion étant l'impédance nominale
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II est à remarquer qu'on a trouvé que quelques formes approximatives et exactes de l'équation (12) sont très propres à calculer des lignes artificielles servant à reproduire l'impédance caractéristique de lignes homo gènes, comme il sera démontré plus en détail dans la dernière partie de cette description.
Pour, des hautes valeurs de F l'équation (19) donne immédiatement l'approximation
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d'où il résulte que x - 1 et y ont approxi mativement les valeurs suivantes
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En comparant ces équations avec (13) et (14), on verra que chacune des approxima tions (16) et (17) donne une valeur un peu supérieure à celle de la valeur exacte, puisque est toujours plus grand que l'unité. Toutefois, ces deux approximations sont très justes pour des valeurs de F s'approchant de l'unité, comme x alors ne surpasse pas 1,1.
Elles s'approchent rapidement de la valeur exacte si T augmente, parce que dans ce cas, x s'approche rapidement de l'unité. On donnera maintenant l'équation exacte pour -+- <I>i y</I> =1-f- (@ -1)<I>+</I> L <I>y ;</I> de (13) et (14), il résulte que
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L'ijra.pédarece <I>des</I> câbles.
II est connu que l'impédances d'un câble ordinaire dépend cri premier lieu de la capa cité et de la résistance, un peu moins de l'inductance et bien moins encore de la dis persion, par conséquent l'impédance d'un câble égale approximativement
EMI0008.0034
Pour étudier les câbles on emploie avec avantage les quantités<I>E,</I> k, b et y des équa tions (2) à (7). .E est la variable indépen dante, proportionnelle approximativement à la fréquence, k est l'un des paramètres;
l'autre paramètre qui évidemment doit renfermer la dispersion, peut être b respectivement y sui vant qu'on suppose que la dispersion soit approximativement proportionnelle à la fré quence ou approximativement indépendante de la fréquence.
Les formes correspondantes de l'équation pour l'impédance (19) et (20) sont les suivantes:
EMI0008.0043
les composantes et l'angle étant donnés par les équations
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les composantes et l'angle étant donnés par les équations
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Les deux formules (19). et 20 pour les câbles sont moins simples que les formules correspondantes (8) et (9) pour les lignes aériennes, parce que dans (19) et (20) aucun des deux paramètres n'entre comme simple facteur;. par conséquent le nombre des para mètres effectifs ne peut pas être réduit au- dessous de deux.
Malgré cela, une évaluation approximative n'est pas compliquée; mais dans une représentation graphique ce fait empêche la simplicité désirée, si on demande que la représentation soit exacte et intelligible.
La nature générale de l'effet de la disper sion dans les lignes homogènes a déjà été expliquée ci-dessus dans le paragraphe inti tulé "L'effet général de la dispersion". Dans les câbles, en particulier, l'effet de la dis persion est à l'ordinaire extrêmement petit à moins que les fréquences ne soient très basses.
Par conséquent il suffira de se limiter pour une représentation graphique des for mules (19) et (20) au cas extrême où la dispersion est zéro (G = 0, et par suite <I>b = 0 et</I> g <I>= 0).</I> Les deux équations sont alors réduites à la même forme, c'est-à-dire
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pour laquelle les composantes et les angles s'expriment de la manière suivante
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L'expression<I>N = -</I> 1@ <I>-</I> k\ peut être écrite sous la forme
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qui démontre que H-k est toujours plus petit que -N quoique ces deux quantités s'approchent de l'égalité lorsque E s'approche de zéro.
Les courbes de la fig. 3 représentent les composantes résistance et réactance 1E1 <I>et N</I> de .g comme fonctions de E avec le para- mètre k.
Un autre mode de représenter l'impédance caractéristique des câbles résulte du fait, que l'impédance d'un câble est approximativement égale à
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par conséquent sa valeur absolue est approximativement égale à
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Ceci donne lieu à étudier une impédance relative pour laquelle K est
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où mi désigne une valeur déterminée quelconque de c), et à supposer que la fraction mlcoi soit la variable indépendante.
Dans ce cas, il sera convenable d'employer les quantités iv, r, Fi, <I>b,</I> bi, définies par les équations
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(23) <I>Fi =</I> mi L/R <I>(24)</I> b = GIO) C (25) bi <I>=</I> G/wi <I>C (26)</I> iv désigne l'impédance relative à étudier; ses composantes réelles et imaginaires seront désignées par u et v, de manière que zv = u -+- iv. <I>r</I> désigne la fréquence relative;
c'est- à-dire relative par rapport à une fréquence déterminée quelconque fi.<I>Fi</I> est l'un des paramètres. L'autre paramètre est b respec tivement bi suivant que la dispersion est approximativement proportionnelle à la fré quence ou approximativement indépendante de la fréquence. Il est à remarquer que b est indentique à la quantité définie par l'équa tion (7); bi est du même ordre que b et Fi du même que F, cette dernière quantité ayant déjà été définie par l'équation (2).
Les formes corespondantes de l'équation pour l'impédance relative iv sont
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Comme on voit, ces formules ont la même forme que celles (19) et (20) respectivement; iv correspond à K,<I>r à E,</I> Fi <I>à k </I> et bi à g2. Mais sous un rapport il y a des différences nettes:
K est une impédance, tandis que iv est un simple nombre représentant le rapport de K à
EMI0010.0010
quoique approximativement proportionnel à la fréquence, n'est pas un nombre pur (parce qu'il n'est pas sans di mension), tandis que r est un nombre pur, représentant le rapport de la fréquence géné rale à une fréquence déterminée quelconque;
l'un des deux paramètres, k2, est très diffé rent de Fi et l'autre bi très différent de g2. Du fait que (27) et (28) ont respectivement la même forme que (19) et (20) il résulte que les équations pour les composantes et l'angle données directement après les équa tions (19 et (20) peuvent être employées dans le cas présent.
Comme il a été déjà mentionné, l'effet de la dispersion dans les câbles est à l'ordinaire extrêmement petit pourvu que les fréquences ne soient pas très basses. Par conséquent, il suffira pour une représentation graphique des formules (27) et (28) de se limiter au cas extrême où la dispersion est zéro (G = l1, et par suite b = 0 et bi = 0) et de réduire ces deux équations à la même forme, c'est- à-dire
EMI0010.0021
Cette équation a la même forme que (21);
<I>iv</I> correspondant à K, <I>r à L'</I> et Fi à k2, ce qui permet d'employer les équations pour les composantes et l'angle données directement par l'équation (21). Les courbes de la fig. 4 représentent les deux composantes u et u de av comme fonctions de r, Fi étant le paramètre. <I>Lignes</I> artifacielles poUr reproduire l'impédance <I>de lignes</I> honingènes.
Dans ce paragraphe, on décrira différentes lignes artificielles pour reproduire l'impédance caractéristique de lignes et particulièrement de lignes homogènes. Avant de procéder à la description de ces lignes artificielles, on indiquera quelques modes d'utilisation pratique de ces lignes artificielles. En premier lieu, elles sont employées pour l'équilibrage en combinaison avec les répétiteurs à cieux chemins et à deux éléments, dont on a déjà parlé dans l'introduction. De plus, on peut employer ces lignes artificielles pour terminer convenablement une ligne téléphonique exis tante en pleine campagne ou une ligne arti ficielle dans le laboratoire au cours d'essais ou de mesurages électriques sur les lignes.
En faisant des essais avec des appareils reliés normalement avec une ligne téléphonique, une telle ligne peut être représentée con venablement par la ligne artificielle de repro duction pour examiner l'impédance.
Quelques-unes des lignes artificielles qui seront décrites sont équivalentes en ce qui concerne l'impédance, mais elles peuvent différer en un certain degré, quant aux frais de fabrication, à l'espace occupé etc. Dans la description suivante, on appellera "poten tiellement équivalentes" deux lignes artifi cielles si, lorsque les éléments de l'une des deux lignes ont des valeurs quelconques, l'antre ligne peut être proportionnée de ma nière à posséder pour toutes les fréquences exactement la même impédance que la pre- inière ligne.
Il est évident que la condition mathématique pour une telle équivalence est celle que les expressions pour les impédances des deux lignes ont la même forme lorsqu'on regarde la fréquence comme variable indé pendante. Les deux lignes artificielles auront alors le même nombre de paramètres indé pendants ou le même degré de liberté pour l'ajustement: Ce nombre est le même due le nombre minimum d'éléments nécessaires à la construction d'une ligne artificielle ayant exactement la même impédance que celle de la ligne existante. Pour la plupart des lignes artificielles qui seront dcrites ci-après, on a donné des for mules pour le calcul des éléments résistances et capacités constituant lesdites lignes.
Mais pour quelques applications qui demandent la plus haute précision de reproduction pouvant être atteinte an moyen de telles lignes arti ficielles. les formules données ne peuvent être regardes que comme des premières approxi mations servant à réduire le calcul détaillé nécessaire en un certain degré, mais ne per mettant pas de mettre de côté entièrement ce travail, car les meilleures valeurs des éléments des lignes artificielles dépendent à un certain degré des limites des fréquences employées et de la précision désirée de la reproduction par rapport à la fréquence.
De plus, ces formules négligent complètement la dispersion, tandis qu'en vérité; la dispersion ne peut pas toujours être négligée entière ment, même entre les limites des fréquences de la voix.
<I>La résistance de base et le dispositif</I> supplémentaire <I>de reproduction.</I>
La première approximation d'une ligne artificielle pour reproduire l'impédance .K d'une ligne homogène est évidemment une simple résistance Ri (fig. 5-1), égale approxi mativement à l'impédance nominale )c de la ligne, c'est-à-dire
EMI0011.0010
Cette approximation est très parfaite, par exemple dans le cas où il s'agit d'une ligne aérienne et des fréquences de la transmission à fréquences porteuses. La formule (30) sera expliquée plus bas.
Pour les fréquences de la voix une simple résistance ne suffit pas; car l'impédance ca ractéristique excédante K- <I>k</I> ne peut pas être négligée, particulièrement pour les basses fréquences. Mais la résistance Ri, égale à l'impédance nominale peut être conservée comme base naturelle d'une ligne artificielle, à condition qu'on applique comme supplément un ou plusieurs autres éléments servant à reproduire approximativement l'impédance ca- ractéristique excédante. Cet élément ou ces éléments supplémentaires sont appelés ci- après "dispositif spplémentaire" ; il est repré senté schématiquement dans la fig. 5b.
La fig. 5 montre la ligne artificielle complète correspondante, comportant la résistance de base en série avec le dispositif supplémen taire, dont l'impédance est désignée par J. En pratique, on emploie souvent le terme "correcteur de basse fréquence" au lieu de dispositif supplémentaire. Il a été proposé parce que l'impédance excédante à reproduire est maximum aux fréquences - relativement basses. Le dispositif supplémentaire est évi demment moins simple au point de vue de la construction et du calcul que la simple résistance de base; le reste de cette descrip tion se rapportera à différents types du dis positif supplémentaire.
<I>Le type te</I> plats <I>simple du</I> dispositi <I>f</I> supplémentaire <I>et la ligne</I> artificielle complète.
Le type le plus simple du dispositif sup plémentaire est une capacité Ci (fig. 6b). Un tel dispositif supplémentaire ne peut être appliqué qu'aux lignes dont la résistance caractéristique d'excès peut être négligée, comme par exemple dans les ligues aériennes à grand diamètre et pour des fréquences pas trop basses. La capacité Ci peut reproduire la réactance d'une telle ligne assez parfaite ment; sa propre valeur pour ce but est approximativement
EMI0011.0029
La valeur la plus convenable dépend en quelque sorte des limites des fréquences em ployées.
De cette manière, la ligne artificielle complète (fig. 6 ) consiste en une résistance Ri et en une capacité C en série l'une avec l'autre et ayant approximativement les va leurs données par (30) et (31).
La -ligne artificielle suivant la fig. 6% consistant en une résistance Ri et une capa cité Ci en série l'une avec l'autre et ayant les valeurs exprimées dans les équations (30) et (31), avait été construite d'abord en supposant des valeurs hautes ou assez hautes pour F par rapport à l'unité.
Car alors, sui vant l'équation (12), l'impédance caractéris tique .ir a approximativement la valeur
EMI0012.0002
Dans cette équation K est représenté comme ayant une composante de résistance k. qui est indépendante de la fréquence, et une composante de réactance<I>-</I> 7c/2 <I>F</I> qui est négative et inversement proportionnelle à la fréquence F (puisque<I>F =</I> L/R); de là ré sultent exactement les valeurs de Ri et C données par (30) et (31); par conséquent l'impédance de cette ligne artificielle est exactement égale à la valeur approximative de l'impédance de ligne donnée par (31 ).
Pour connaître plus parfaitement la pré cision de reproduction de cette ligne artifi cielle, son impédance exacte k <I>-</I> ik/2 <I>F</I> sera comparée avec la valeur exacte de l'impé dance de ligne, si la dispersion est négligée. Dans ce but, on emploiera pour l'impédance de ligne la formule Is <I>=</I> x <I>k -</I> ik/2 x <I>F</I> (31") obtenue au moyen de l'équation (14).
L'équa tion (31b) montre que pour une reproduction exacte de l'impédance de ligne par une résis tance Ri et une capacité C'i en série entre elles, ces éléments doivent avoir les valeurs
EMI0012.0018
Ces valeurs rie diffèrent de celles données en (30) et (31) pour Ri et Ci que par le facteur x. Par conséquent, la résistance Ri et la capacité C'i idéales varieraient, pour repro duire exactement l'impédance de ligne, par faitement de la même manière que x varie avec F.
De plus, le rapport de ces valeurs idéales aux valeurs déterminées de Ri et C données en (30) et (31) est représenté sim plement par x. En se référant à la fig. 1 (b = 0), on verra qu'à l'exception de petites valeurs de F, le facteur x est à peu prés indépendant de F et est supérieur à l'unité.
On comprend donc que les valeurs de Ri et Ci déterminées par les équations (30) et (31) sont un peu trop petites pour toutes les fré quences, tandis que les valeurs déterminées par (31c) et (31a), pour une fréquence déter minée quelconque (en remplaçant x par la valeur correspondante), sont un peu trop petites pour des basses fréquences et un peu trop grandes pour des fréquences plus hautes.
Comme d'après (30), on peut écrire (31 ) dans la forme
EMI0012.0032
et comme x est toujours plus grand que l'unité, on voit. que la reproduction peut être améliorée en un certain degré en additionnant au dispositif supplémentaire une petite résis tance en série Rii, dont la valeur idéale serait
EMI0012.0036
Comme<B>e</B> varie avec la fréquence, Ri, est limitée à une certaine valeur moyenne. Dans la pratique Rii sera combinée avec la résis tance de base Ri quoique les fonctions de ces deux résistances sont nettement diffé rentes.
Si la valeur nécessaire de Rii était négative, celle de Ri serait simplement di minuée de cette valeur.
La plupart des applications actuelles demandent une précision (le reproduction si parfaite que la résistance caractéristique excédante de la ligne ne peut être négligée. De même une simple capacité ne suffit pas dans tous les cas pour reproduire aussi par faitement qu'il est désirable, la réactance caractéristique excédante. Poiii# remédier à ce défaut, on a construit les dispositifs supplé mentaires et les lignes artificielles complètes qui seront décrits dans les paragraphes sui vants.
<I>Deux</I> types <I>du</I> dispositif s24pplénieîrlair-e <I>et</I> leurs formes extrêmes.
Les fig. 7I et 71, représentent deux dis positifs supplémentaires qui peuvent être établis pour la plupart des cas de manière à permettre de reproduire avec haute préci sion l'impédance caractéristique excédante d'une ligne. La, ligne artificielle complète consiste alors en l'un de ces dispositifs en série avec la résistance de base Ri de la fig. 5'.
Pour une application quelconque les va- leiir@ les plu, convenables pour les éléments coli#titua t l'un des deux dispositifs des fig. 7a e 71# dépendent des fréquences employées et t<B>9</B> e du degré < le précision de la reproduction dé- cirée par rapport à la fréquence. On com prendra que pour déterminer aussi parfaite ment que possible la meilleure combinaison de valeurs pour les éléments du dispositif supplémentaire, on peut à peine éviter un calcul détaillé.
A l'ordinaire ce travail peut être réduit considérablement par la méthode denii-graphique qui sera expliquée ci-après. De plus, une première approximation peut être trouvée facilement au moyen des équa tions (32) à (37) qui sont explicites à l'ex ception d'uri paramètre non déterminé D, dont la signification sera expliquée immé diatement. Ces formules sont telles que le dispositif supplémentaire possédera une haute précision de reproduction pour des valeurs hautes et même très hautes de F et pour toutes les valeurs physiquement admissibles de D (0 < D < 1).
D'autre part, pour les valeurs basses de F le dispositif supplémen taire pourra être ajusté largement au moyen de D, dont la meilleure valeur peut être facilement déterminée à l'aide des fig. 8 et 9 qui seront décrites plus bas. Les formules susmentionnées pour le calcul approximatif des éléments des deux dispositifs de la fig. 7 sont les suivantes:
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Le développement de ces formules sera donné plus bas.
8i le dispositif de reproduction est établi conformément à ces formules, la ligne artifi cielle complète correspondante, consistant en un tel dispositif J en série avec la résistance de base
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possédera la précision de la reproduction représentée par le groupe de diagrammes de la fig. 8. Cette figure montre en pour-cent l'écart de l'impédance ô de la ligne artificielle complète Ri + J de l'impédance de ligne Ii', comme fonction de<I>F, D</I> étant le para mètre.
Dans un cas quelconque, oû la série des fréquences utilisées est connue, l'examen de ces courbes (fig.8) permet de trouver facilement comme fonction de F la meilleure valeur de D et la précision résulante correspon dante. Les courbes montrent que la meilleure valeur de D est déterminée par la valeur minimum de F, parce que l'écart ô est maximum pour de petites valeurs de F et parce qu'il augmente rapidement avec les valeurs plus hautes de F. On remarquera que les courbes pour les valeurs extrêmes D = 0 et D = 1 sont représentées dans la fig. 8; les formes correspondantes des dispositifs supplémentaires sont expliquées plus bas.
Les deux groupes de formules (32), (33), (34) et (35), (36), (37), représentant les pre mières approximations des valeurs exactes des éléments constituant les dispositifs sup plémentaires des fig. <B>7-</B> et 7b ont été obtenues en opérant avec les valeurs hautes ou au moins assez hautes de F par rapport à l'unité, car dans ce cas d'après (15) l'impé dance caractéristique excédante K-. k a approximativement la valeur
EMI0013.0033
tandis que pour des valeurs hautes ou assez hautes de<I>T,
</I> l'impédance<I>J = P</I> -f- <I>i</I> Q de chaque dispositif supplémentaire des fig. 7a et 7b peut être exprimée approximativement par l'équation
EMI0013.0039
dérivée de l'équation exacte (37P) qui sera donnée plus bas.
Dans cette équation<I>t,, Po</I> et<I>T</I> ont les valeurs définies dans les deux groupes suivants d'équations (37e), (37d), (37e) et (37f), (37y), (3711) pour les dispositifs des fig.7a et 711 respectivement <I>t =</I> C2/c3 (37e)
EMI0014.0007
<I>t =</I> C15/C4 (37f) Po = .Rs (37y) <I>T =</I> m C:
i Ra (3711) <I>P</I>o est la valeur de P pour c) <I>= 0. En</I> com parant les équations (37z) et (37b), on obtient immédiatement Po/T2 <I>= k/8</I> F2 (37i) (14- <I>t)</I> Po/T <I>= k/2 F -</I> (37j) Les équations (37') et 37j) indiquent les con ditions nécessaires et suffisantes pour l'égalité (approximative)
de J et de h--k pour hautes valeurs de<I>F et T.</I> Ces deux équations sont équivalentes aux équations
EMI0014.0027
De cette manière, le rapport T à F est dé terminé tant qu'on a déterminé<I>t</I> ou Po/%. Il est convenable d'employer
EMI0014.0029
comme quantité arbitraire et de la désigner par D, de sorte que
EMI0014.0030
d'où <I>Po = 2 D=</I> k . (37m)
EMI0014.0033
et T== <I>4</I> DF (37e) Comme des valeurs positives seulement de t et de D sont admissibles; l'équation (3711) montre que la série des valeurs possible de D s'étend de 0 à 1.
De (37m), (37") et (37e) et de l'équation définissant<I>F =</I> m L/R, ainsi que des deux groupes d'équations de définition (37e), (37d), (37e) et (37f), (37;), (3711) se déduisent immé diatement les deux groupes d'équations (32), (33), (34) et (35), (36), (37).
La formule pour tracer les courbes de la fig. 8 dépend de l'équation exacte pour J/Po, à savoir
EMI0014.0045
En substituant dans cette équation les valeurs de<I>Po, t</I> et<I>T</I> d'après (37m), 37n), (37 ), on obtient
EMI0014.0047
Cette équation représente la formule exacte pour l'impédance relative J/k de chaque dispositif supplémentaire (fi-. 7a et 711) si ses derniers sont construits en conformité des formules (32) à (37).
On décrira maintenant la rné- thode demi-graphique déjà mentionnée pour proportionner les dispositifs des fig. 7a et 7b. Dans cette méthode la fraction T/ f est dési gnée par<I>d.</I> On se rappelle que<I>P</I> + <I>i</I> Q <I>= J;
</I> il résulte donc de (37P) que P/Po dépend seulement de<I>f</I> et<I>d,</I> tandis que Q/Po dépend de<I>f,</I> d <I>et t.</I> Ces observations sont la base de la méthode pour calculer les trois para mètres<I>Po, d</I> et t qui déterminent implicite ment les éléments des dispositifs de fig. 7a et 711.
D'abord on choisit les deux paramètres d et Po de manière que la composante de résistance P du dispositif supplémentaire soit approxi mativement égale à la résistance excédante 31-k de l'impédance de ligne Ii pour la série de valeurs f considérée. Autrement P différera de<B><I>31-</I></B><I> k</I> d'une quantité à peu près cons tante qui peut être représentée approxima tivement par une simple résistance en série.
Puis le paramètre t est choisi de manière que la composante de réactance Q du dispo sitif supplémentaire soit approximativement égale à la réactance N de l'impédance de ligne, si<I>d</I> et<I>Po</I> ont les valeurs déjà choisies, comme il vient d'être décrit.
La méthode sera maintenant décrite plus précisément: 1 01, trace, sur une feuille de papier pour la série de valeurs de f considérée, un groupe de courbes représentant P/Po comme fonction de<I>f,.</I> d étant le paramètre;
sur la même fe uille, on trace un second groupe de courbes représentant<I>(</I><B>Il</B><I>-</I> k)/Po comme fonction de<I>f</I> avec le paramètre <I>Po.</I> Pour déterminer<I>d</I> et Po, on choisit (s'il est nécessaire par inter polation) une courbe PIPo et une courbe (-13- <I>k) /Po</I> telles qu'elles coïncident aussi parfaitement que possible. Une évaluation préliminaire concernant les séries de d et de Po, peut être obtenue facilement au moyen des formules approximatives (37e) et (37-) et de la fig. 8.
2 Sur une autre feuille on trace, comme fonction de<I>f,</I> la courbe particulière A7-/p0 dont le paramètre est Po, valeur qui a été déjà trouvée sous 1 . En employant cette va leur de<I>Po</I> et la valeur correspondante de<I>d,</I> telle qu'elle a été trouvée sous 1 , on trace un groupe de courbes Q/Po comme fonction de<I>f</I> avec le paramètre<I>t</I> pour trouver parmi elles la courbe qui coïncide aussi parfaite ment que possible avec la courbe NIPo, qui déjà a été tracée. Pour simplifier cette opé ration, on peut obtenir facilement des valeurs provisoires de t au moyen de l'équation (37n) et de la fig. 8.
Mais la série utile de t peut être déterminée plus exactement en résolvant suivant t l'équation obtenue en égalant les expressions déterminant Q et N. On trouvera alors la valeur de t, à savoir
EMI0015.0018
On se rappelle que la réactance de ligne N est pratiquement toujours négative. Les va leurs de ï; peuvent être tracées, comme fonc tion de f, pour voir si la valeur cherchée de t varie considérablement dans la série de valeurs de f considérée.
Si la meilleure valeur moyenne de t qu'on a trouvé par la seconde opération n'est pas satisfaisante en ce qui concerne la reproduc tion de 11T par Q, il est nécessaire de choisir une autre paire de valeurs pour<I>d</I> et<I>Po</I> et de répéter avec ces valeurs la seconde opé- ration. Il est à noter que dans la première opération, il n'est pas nécessaire de choisir la courbe P/Po et la courbe (11T- <I>k) Po</I> qui coïncident aussi parfaitement que possible; au contraire, il suffit de choisir deux courbes qui sont aussi parfaitement parallèles que possible (c'est-à-dire qui ont les mêmes incli naisons pour chaque f).
Car, conformément à la distance à peu près constante entre ces deux courbes, il ne sera nécessaire que d'ajouter au dispositif supplémentaire une résistance en série Ri, qui dans la ligne artificielle complète sera aussi en série avec la résistance de base R et pourra, par consé quent, être fusionnée avec celle-ci (même si Ri est négative, pourvu qu'elle ait une valeur absolue moindre que R).
Lorsqu'on a évalué les paramètres<I>t, Po</I> et<I>d ---</I> Tlf, on peut obtenir facilement les valeurs des éléments des dispositifs supplé mentaires (fig. 71, et 7b) à l'aide des deux groupes d'équations (37 ), (37a), (37e) et (37f), (37d), (37h).
On trouvera alors que Cz <I>= d/2</I> 7r <I>(1</I> + t) <I>Po</I> Cs <I>= d/2</I> zr <I>(1</I> + <I>t)</I> t <I>Po</I> Rs <I>= Po</I> (1 + t)2 C4 <I>=d/2</I> zrtPo C,
<I>= d/2</I> zs <I>Po</I> R5 <I>= Po</I> La valeur cherchée pour la résistance en série supplémentaire Rii est évidemment
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Cette valeur sera approximativement indé pendante de<I>f,</I> si les courbes de P/Po et (131- k)/Po qu'on a choisies dans la première opération sont approximativement parallèles. Si la valeur cherchée de Rii est négative, la résistance de base Ri sera simplement dimi nuée de cette valeur.
Au lieu d'employer f comme variable indépendante il est plus avantageux d'em ployer une quantité proportionnelle à f, par exemple F ou E; de même, on pourrait em ployer au lieu de<I>P, Po, Q,</I> 1ï1, <I>N</I> des quan tités proportionnelles à elles, par exemple leurs rapports à k. La fig. 9 représente la meilleure valeur de D comme fonction de F; elle montre aussi l'écart minimum dira correspondant de la ligne artificielle complète.
Lorsqu'on choisit D de manière qu'il soit la meilleure valeur pour un F déterminé quelconque, la ligne artificielle obtenue aura pour cet F exacte ment l'écart montré dans la fig. 9, mais à toutes les autres valeurs de F correspondent des écarts plus grands que ceux de la fig. 9.
Il est à noter que ces explications con cernant les écarts se rapportent à une ligne artificielle dans laquelle le dispositif supplé mentaire est proportionné conformément aux formules (32) à (37). Comme celles-ci ne sont que des premières approximations, la précision qu'on peut atteindre à la fin sera plus parfaite.
Quoique les deux dispositifs des fig. 71 et<B>7b</B> sont équivalents en ce qui concerne l'impédance, il y a une légère différence entre eux au point de vue des frais et de l'espace qu'ils occupent. Car, on comprend facilement, en considérant les lignes artifi cielles à la fréquence zéro, que si elles ont des impédances égales, la capacité totale Ca -E- C, du dispositif d'api-ès la fig. 7-1 est égale seulement à la capacité C4 du dispositif d'après la fig. 7b,
de manière que C5 soit en excès. Quant aux dimensions de leurs élé- inents les deux dispositifs supplémentaires peuvent bien être comparés à l'aide des équations (38) suivantes, dérivées de (32) à (37):
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Les fig. 101 et 101, représentent les deux formes extrêmes des dispositifs supplémen taires d'après fig. 71 et 7b, correspondant aux valeurs extrêmes (0 et 1) du paramètre D, qui se trouve dans les formules (32) à (37).
Pour D = 0 la forme extrême est celle de la fig. 101; on reconnaîtra que ce dispositif est le simple dispositif de reproduction déjà montré dans la fig. 6b et consistant simple ment en une capacité Cl dont la valeur est donnée par (31). Pour D = 1 la forme extrême est celle de la fig. 10v. Les courbes d'écart pour ces deux formes (D = 0 et D = 1) se trouvent dans la fig. 8, comme il a déjà été dit.
On y voit que la forme d'après la fig. <B><I>101</I></B> (D = 1) possède une pré cision de reproduction beaucoup plus haute que celle d*api-ès la fig. 101 (D ---- 0).
Pour la forme d'exécution du dispositif supplémentaire d'après la fig. 101, la méthode du calcul est considérablement plus simple, parce que le paramètre <I>t</I> est fixe (i <I>=</I> O<B>)</B>.
Les deux autres paramètres<I>d et Po</I> peuvent être évalués en examinant les deux feuilles de papier contenant les courbes tracées comme fonctions de f: L'une des feuilles contient un groupe de courbes P;'Po avec le paramètre<I>d</I> et des courbes (11Z <I>- le:) Po</I> avec le paramètre <I>Po;</I> l'autre feuille contient les courbes Q/Po avec le paramètre d et la courbe jY;\Po avec le paramètre Po.
Quatre <I>types</I> pi- < %is <I>de</I> lignes <I>artificielles</I> <I>et</I> leurs <I>f</I> ôrrnes extrêmes.
Les fig. 111 et 11b représentent deux lignes artificielles complètes équivalentes, qui peuvent être construites au moyen de la ré sistance de base R, suivant la fig. 51 et du dispositif supplémentaire suivant la fig.71 respectivement fig. 7''. Par conséquent les éléments de ces deux lignes artificielles ont approximativement les valeurs exprimées par les équations (30), (32) à (37).
Les fig. 11 et lia représentent deux autres lignes artificielles complètes qui sont aussi équivalentes à celles des fig. 1V, et 11''.
Les trois groupes de formules donnés ci-après expriment les valeurs des éléments constituant les lignes artificielles des fig. 1111, 11e-, et<B>11"</B> respectivement aux termes des éléments constituant la ligne artificielle de la fig. 1l1, si toutes les quatre lignes artifi cielles ont des impédances égales.
Ces for mules renferment les deux rapports concer nant la ligne d'après la fig. 111 et définis par les équations suivantes Pour la fig. <B>Il',</B>
EMI0017.0002
Pour la fig. 11 ,
EMI0017.0006
Pour la fig. 11d,
EMI0017.0008
Malgré que les quatre lignes artificielles com plètes des fig. 11a, 11b, 11 , 11d sont équi valentes en ce qui concerne l'impédance, il y a une différence entre elles au point de vue des frais et de l'espace occupé.
Car on voit immédiatement qu'à la fréquence zéro, si les lignes ont des impédances égales, <B><I>CI</I></B> +C3 =CS+C9=C4=C6 (3e9) Par conséquent, les lignes artificielles des fig. 111, et<B>1111</B> ont la même capacité totale, et celle-ci est inférieure à la capacité totale de la ligne artificielle suivant la fig. 11b dont elle diffère de C5 et elle est inférieure à la capacité de la ligne suivant la fig. 11 dont elle diffère de C7.
De même, on trouvera, si la fréquence est infinie, que Gs -f - G7 = Gs + <B>Go</B> = G i (40) les G étant les valeurs réciproques des résis tances R et étant par suite les conductances correspondantes.
Il est à noter que la ligne artificielle suivant la fig. 1111 a une forme comme si elle était obtenue en connectant en parallèle deux lignes artificielles ayant la même forme que celle indiquée dans la fig. 6, mais possédant des éléments R'i, C'1 et R"1,
C"1. Il est bien connu que la ligne suivant la fig. 11a présente le plus souvent une précision de reproduction beaucoup plus haute que celle suivant la fig. 6 . On est donc tenté de croire qu'il sera possible d'atteindre une précision encore plus haute en connectant en parallèle plusieurs lignes artificielles de ce genre, ayant les ..
constantes Ri, C,1, R i, C "I. R i, <I>C 1 . . . .</I> Les fig. 1211, 12v et 12 représentent les deux formes extrêmes des lignes suivant les fig.lla à 11d, correspondant aux valeurs extrêmes 0 et 1 du paramètre D se trouvant dans les équations (32) à (37).
Pour D = 0 la forme extrême de la ligne artificielle est celle de la fig. 121, qu'on reconnaîtra comme la simple ligne à deux éléments, montrée déjà dans la fig. 6 . Pour D = 1 les formes extrêmes sont les deux lignes artificielles à trois éléments représentées aux fig. 121, et 12 .
Les valeurs de la ligne d'après la fig. 12 sont les suivantes: Rs <I>= Ri</I> + R3 = 3 Ri (41)
EMI0017.0059
Comme on le voit la capacité de la ligne suivant la fig. 12 n'est que 4/s de la capacité de la ligne suivant la fig. 1.2'.
<I>Modifications</I> .pour <I>des</I> fréquences <I>très basses.</I> Jusque là, on a supposé dans la présente description que l'impédance caractéristique de lignes homogènes est différente de l'impé dance de l'extrémité de transmission de ces lignes. Ces deux impédances sont assez parfaitement égales, si les lignes. sont élec triquement longues, ce qui est ordinairement le cas pour les fréquences téléphoniques. Mais à des fréquences très basses l'impédance de l'extrémité de transmission même d'une ligne assez longue peut dépendre considé rablement de l'impédance terminale distante et peut, par conséquent être très différente de l'impédance caractéristique.
Au cas oii l'impédance terminale apparaît dans des élé ments alimentés de courant continu, l'impé dance de l'extrémité de transmission d'une ligne, ne possédant exactement aucune dis persion, aura une valeur finie à la fréquence zéro; sa composante de résistance sera évi demment égale à la résistance totale du fil de la ligne plus la résistance terminale, tandis que sa composante de réactance sera évidemment zéro. Par suite de la dispersion de la ligne, la composante de résistance sera un peu plus petite. Au cas où l'impédance terminale distante ne permet pas un passage du courant continu, l'impédance de l'extrémité de transmission de la ligne à la fréquence zéro dépendra largement de la dispersion de la ligne.
La plupart des lignes artificielles décrites jusque là étaient établies en premier lieu pour les fréquences de la voix, en négligeant les fréquences qui sont très au-dessous de cette limite. Aux fréquences très basses ces lignes artificielles ne sont plus utilisables parce que leur impédance est non seulement beaucoup trop grande, mais n'a pas même approximativement l'angle approprié. Il n'y avait pas jusqu'à présent beaucoup d'occa sions pour modifier les lignes artificielles de manière à étendre leur action de reproduction vers la fréquence zéro.
Mais il est bien probable que pour la plupart des cas la modification désirée de l'impédance de la ligne artificielle pourra être atteinte, au moins grossièrement, en shuntant le dispositif supplémentaire (fig. 5") avec une simple résistance S' approxi mativement égale à la résistance de l'extré- mité de transmission de la ligue pour la fréquence zéro, cette résistance étant diminuée par la résistance R1 de l'élément de résis tance de base.
Il est évident que cette modi fication produira dans la ligne artificielle l'impédance désirée à la fréquence zéro, sans influencer son impédance aux fréquences in finies, vu que l'impédance du dispositif sup plémentaire non shunté est infinie (à l'excep tion de la forme extrême suivant la fig. 101') à la fréquence zéro et qu'elle est zéro aux fréquences infinies. Aux fréquences moyennes la modification résultante sera sans doute peu considérable, à l'exeption des fré quences plus basses, pour laquelle la modifi cation augmentera de plus en plus rapidement à mesure que la fréquence s'approche de zéro.
I:videmment l'addition de l'élément modifiant .S' entraînera à l'ordinaire quelques change cnents dans les proportions de la ligne arti ficielle non modifiée comme il est indiqué à la fig. 13" dans laquelle les valeurs modi fiées de J et de R, sont désignées respec tivement par J' et R',. Cette figure montre une ligne artificielle dans laquelle le dispositif supplémentaire J' est shunté par une résis tance S'.
La fig. 13" représente une forme modifiée mais équivalente, obtenue en shuntant la ligne artificielle (fig. 5 ) au moyen d'une résistance S"; les conditions pour l'équiva lence sont s', - s' R-, (44) R", <I>-</I> R "@ (1 _.1 _ l;
', 'S') (-I5) <I> < 7" --</I> J' (1 -1- R"1i" S")s (46) Comme les shunts .S' et S" sont équivalents en ce qui concerne leurs effets, leur applica tion simultanée est équivalente à l'applica tion d'un seul de ces shunts.
Jusque là, on a expliqué les modifications proposées par rapport au dispositif supplé mentaire considéré sous forme schématique. Lorsqu'on vise à la construction pratique de ce dispositif, la modification peu être exécutée sous plusieurs différentes formes qui pour un dispositif supplémentaire quelconque sont équivalentes en ce qui concerne l'impédance. Quelques-unes de ces formes seront décrites dans les paragraphes suivants: Entre les dispositifs supplémentaires mo difiés, on trouvera évidemment un tel dis positif qui a la forme représentée à la fig. 14h.
Les fig. 14n et 14b représentent respec- tiveinent les dispositifs supplémentaires à trois éléments des fig. 7y et 7b, modifiés par la résistance en shunt S' et transformés par celle-ci en un dispositif supplémentaire à quatre éléments. Les fig. 14 et 1411 repré sentent deux autres dispositifs supplémen taires à quatre éléments qui sont équivalents à ceux des fig. 141, et 14b en ce qui concerne l'impédance.
Il est à remarquer que le dispositif sup plémentaire de la fig. 1411 a une forme comme s'il était obtenu en connectant en série deux dispositifs supplémentaires de la forme mo difiée d'après la fig. 10b possédant les élé ments C'2, .R's et C"2, R"s par exemple. Cette observation fait croire qu'il sera possible d'atteindre une précision de reproduction encore plus haute au moyen d'un dispositif supplémentaire modifié en connectant en série plusieurs dispositifs supplémentaires modifiés simples.
Parmi les lignes artificielles complètes modifiées, on trouvera deux lignes ayant respectivement les formes représentées dans les fig. 12b et 12c.
Les fig.15a à 15'1 représentent quatre lignes complètes artificielles équivalentes dé rivées de celle de la fig. 11d en y appliquant une résistance en shunt S". Les formes sui vant les fig. 15 et<B>15"</B> sont intéressantes parce qu'elles ont une construction comme si elles étaient obtenues en connectant en pa rallèle deux lignes artificielles dont les formes sont représentées respectivement dans les fig. 12 et 12b.
Modifications <I>pour des lignes</I> sujettes <I>à la dispersion.</I>
Quant aux lignes dont la dispersion ne peut pas être négligée il résulte de l'examen des formules et diagrammes de l'impédance de ligne, que les effets de la dispersion peuvent être considérés suffisamment en corri geant légèrement les proportions de la ligne artificielle, sans y ajouter un élément ulté rieur quelconque; dans les cas où la disper sion augmente rapidement avec la fréquence, on pourra quand même ajouter une petite inductance en série.
<I>Exemple:</I> L'exemple contenu dans ce paragraphe sert à expliquer: 1 L'usage de deux types des diagrammes généraux de l'impédance de ligne, décrits dans les paragraphes intitulés "L'impédance de lignes aériennes" et "L'impédance des câbles".
2 Le premier calcul approximatif d'une ligne artificielle à l'aide de la méthode dé crite plias haut.
L'exemple qui a été choisi se rapporte à une ligne aérienne bien isolée et consistant en deux fils de cuivre horizontaux et pa= rallèles, d'un diamètre de 2 mm et ayant par mille de boucle les constantes R = 10,4 ohms, L = 0,00367 henrys, C = 0,00835 # 10-s farads, la dispersion G étant supposée négligeable. Ce type particu lier de ligne a été choisi parce qu'il est bien souvent employé dans la pratique et parce que son impédance excédante est loin d'être négligeable même en regard de la composante de résistance.
On supposera qu'on désire évaluer les composantes de résistance et de réactance J1 et N de l'impédance caractéristique .g de cette ligne pour une série de fréquences de 200 à 2500 cycles par seconde, et qu'on désire calculer une ligne artificielle pour imiter approximativement cette impédance pour ladite série de fréquence et déterminer la précision de reproduction de cette ligne artificielle.
Le procédé et les résultats sont indiqués dans le tableau suivant, ainsi que dans la description qui suit.
EMI0020.0001
<I>I <SEP> <B>1</B> <SEP> J <SEP> <B>V</B></I> <SEP> I <SEP> I
<tb> 200 <SEP> 0,444 <SEP> 1,32 <SEP> 0,86 <SEP> 876 <SEP> 5-r0 <SEP> 0,222 <SEP> 1,b7 <SEP> 112 <SEP> - <SEP> 3,0
<tb> 300 <SEP> 0,666 <SEP> 1,19 <SEP> 0,64 <SEP> 790 <SEP> 425 <SEP> 0, <SEP> 333 <SEP> 1,69 <SEP> 0,91 <SEP> 16,t3 <SEP> 1,3
<tb> 500 <SEP> 1,110 <SEP> 1,08 <SEP> 0,42 <SEP> 717 <SEP> 279 <SEP> 0,555 <SEP> 1,53 <SEP> 0,6t) <SEP> 8,1 <SEP> 0,3
<tb> 8ï0 <SEP> 1,776 <SEP> 1,04 <SEP> 0,27 <SEP> <B>6</B>91 <SEP> 179 <SEP> 0,888 <SEP> 1,48 <SEP> 0,35 <SEP> 3,(3 <SEP> 0,1
<tb> 1200 <SEP> i <SEP> 2,6 <SEP> 64 <SEP> 1,02 <SEP> 0,19 <SEP> t376 <SEP> <B>1</B>26 <SEP> 1,33'? <SEP> 1,45 <SEP> 0g27 <SEP> 1,7 <SEP> 0,1
<tb> 1600 <SEP> 3,.552 <SEP> 1,01 <SEP> 0,
14 <SEP> 670 <SEP> 93 <SEP> <B>1 <SEP> 1,77(3</B> <SEP> 1,43 <SEP> 0,20 <SEP> <B>1</B>,<B>(</B>) <SEP> 0,1
<tb> 2000 <SEP> 4,440 <SEP> 1,01 <SEP> 0,12 <SEP> 670 <SEP> 80 <SEP> 3,220 <SEP> 1,43 <SEP> 0,17 <SEP> 0,6 <SEP> 0,1
<tb> 23t)0 <SEP> 5,106 <SEP> 1,01 <SEP> 0,10 <SEP> 670 <SEP> 66 <SEP> 2.553 <SEP> 1,43 <SEP> i1,<B>1</B> <SEP> -1 <SEP> ït,@ <SEP> 0,1
<tb> e500 <SEP> 5,550 <SEP> 1,01 <SEP> 0,10 <SEP> 670 <SEP> 6<B>6</B> <SEP> 2.775 <SEP> 1,43 <SEP> 1t,1-1 <SEP> , <SEP> 0,4 <SEP> 0,1
<tb> 1 <SEP> 0 <SEP> 663 <SEP> 0 <SEP> <B><I>-'ID</I></B> <SEP> V/2 <SEP> o <SEP> 0 <SEP> 0 La première colonne de ce tableau cou- tient un groupe de valeurs de la fréquence f se trouvant dans la série de 200 à 2500.
Les colonnes, intitulées F,<I>x, -y,</I> i11, <I>-N</I> montrent les opérations successives dans l'évaluation de l'impédance caractéristique h <I>=l</I> + <I>i N à</I> l'aide de la fig. 2 pour <I>ci</I> = 0 (parce que la dispersion G est négligée). Aussi la fig. 1 peut être utilisée pour b = 0. <U>Mais</U> la fig. 2 est dessinée à une plus grande échelle. La colonne F est dérivée de la co lonne f au moyen de l'équation<I>F=</I> o)/Pb = 0,00222 farads.
Puis, on lit dans la fig. 2 les valeurs de x et de y des courbes<I>a _-_ 0.</I> Ensuite, on obtient 111 et<I>N</I> de i11 -- k x et s17 <I>=</I> Ic <B>Y</B><I>,
EMI0020.0021
</I> ohms (par conséquent llI et N sont exprimés en ohms). On remarquera dans la table que pour f = 200 la résistance excédante est environ 1/3 de l'impédance nominale et que la réactance est environ 9,'io de l'impédance nominale.
Les colonnes r, <I>if,</I> -V montrent les opé rations pour évaluer 11'1 et N au moyen de la fig. 4. Fi (dans la fig. 4) est supposé être égal à 2. F = 1 serait plus convenable pour tirer les valeurs, mais les principes peuvent être exprimés beaucoup plus clairement en choisissant pour FI une valeur différente de l'unité. La colonne î, est dérivée de la co lonne<I>f</I> au moyen de l'équation r- <I>=</I> fjfi <I>= 2</I> ;z Lf/r <I>fi</I> --- 0,00111 farads.
Les valeurs de )a et v sont tirées des courbes Fi = 2 dans la fig. 4. Enfin les valeurs de i11 et X ont été obtenues de JI= liiu, N <I>=</I> Kiv et
EMI0020.0044
Les deux dernières colonnes (vo <I>-</I> c3) du tableau montrent en pour-cent la précision de certaines ligues artificielles construites en conformité de la méthode de la première approximation décrite et dont les éléments ont les valeurs données dans les paragraphes précédents.
ôo se rapporte à la ligne artificielle simple à deux éléments de la fig. 6 lorsque cette ligne est construite conformément aux équa tions (30) et (31). Les valeurs de ôo sont tirées de la courbe D = 0 de la. fig. 8. La précision aux fréquences plus basses pourrait être améliorée considérablement par l'addition d'une petite résistance Ri, comme il a été déjà mentionné par rapport à l'équation (31f).
d se rapporte aux lignes artificielles à quatre éléments suivant les fig. 111, et IIv lorsque ces lignes sont construites conformément aux équations (30), (32), (33), (34) et (30), (35), <B>(36),</B> (37) respectivement.
De même ô se rapporte aux lignes artificielles suivant les fig. 11 et l la lorsque celles-ci sont construites conformément aux formules données plus haut pour les éléments de ces figures, pour être équivalentes à. la ligne artificielle suivant la fig. li#". Les valeurs de ô ont été tirées de la courbe D = 0,55 (fig. 8), cette valeur de D étant approximativement la meilleure comme le montre la fig. 9.
Les valeurs des éléments des lignes arti ficielles auxquelles do et a se rapportent seront données ci-après, chacune étant pré cédée d'une référence au diagramme corres pondant et aux formules pour le calcul: fig. 6 , formules (30), (31), précision do, Ri = 663 oliiii.s. C = 1,063 # 10-s farads.
Fig. 11't, formules (30), (32), (33), (34), précision d, Ri = 663 ohms, Cs =1,063 # <B>10-6</B> farads, Ca = 1,300 # 10-b farads, Rs = 1326 ohms.
Fig. 11v, formules (30), (35), (36), (37) 1 précision â, <I>Ri</I> = 663 ohms, C4 = 2,362 -10-s farads, Cs = 1,932 # 10-s farads, R5 = 401 ohms.
Pour obtenir une précision suffisamment haute pour les applications pratiques, il aurait été nécessaire de dessiner les courbes et lignes de section dans les diagrammes de l'impédance de ligne avec des intervalles beaucoup plus étroits qu'il n'a été fait dans les dessins ci-joints.